UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCAFACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMASASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS

Profesor: Efraín Vásquez Millán.

TALLER No7. Teoría de aproximación:Aproximación discreta por mínimos cuadrados

1. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos dela tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios.

xi 1·0 1·1 1·3 1·5 1·9 2·1yi 1·84 1·96 2·21 2·45 2·94 3·18

2. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos dela tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios.

xi 0·00 0·15 0·31 0·50 0·60 0·75yi 1·000 1·004 1·031 1·117 1·223 1·422

3. La tabla siguiente muestra los promedios de puntos-calificación de 20 estudiantes universitarios dematemáticas y computación, junto con la puntuación que tuvieron en la parte correspondiente a lasmatemáticas del examen ACTP(Programa de pruebas para las universidades norteamaricanas), mien-tras cursaban la enseñanza media. Grafique los datos y obtenga para ellos una ecuación de recta demínimos cuadrados.

Puntuación ACT Promedio de puntos de grado Puntuación ACT Promedio de puntos de grado28 3.84 29 3.7525 3.21 28 3.6528 3.23 27 3.8727 3.63 29 3.7528 3.75 21 1.6633 3.20 28 3.1228 3.41 28 2.9629 3.38 26 2.9223 3.53 30 3.1027 2.03 24 2.81

4. En un trabajo realizado con el estudio de la eficiencia de la utilización de la energía por las larvas de lapolilla modesta (Pachysphinx modesta), L. Schroder [Schr] utilizó los siguientes datos para determinaruna relación entre W , el peso de las larvas vivas en gramos, y R, el consumo de oxígeno de las larvasen mililitros/hora. Por razones biológicas, se supone que entre W y R existe una relación de la formaR = bW a.

1

a. Encuentre el polinomio logarítmico lineal de mínimos cuadrados usando

lnR = ln b + a ln W

b. Calcule el error asociado a la aproximación en la parte (a):

E =37∑

i=1

(Ri − bW ai )2

c. Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados de la parte (a) agregando el térmi-no cuadrático c(lnWi)2, y después determine el polinomio logarítmico cuadrático de mínimoscuadrados.

d. Determine la fórmula y calcule el error asociado a la aproximación de la parte (c).

W R W R W R W R W R0.017 0.154 0.025 0.23 0.020 0.181 0.020 0.180 0.025 0.2340.087 0.296 0.111 0.357 0.085 0.260 0.119 0.299 0.233 0.5370.174 0.363 0.211 0.366 0.171 0.334 0.210 0.428 0.783 1.471.11 0.531 0.999 0.771 1.29 0.87 1.32 1.15 1.35 2.481.74 2.23 3.02 2.01 3.04 3.59 3.34 2.83 1.69 1.444.09 3.58 4.28 3.28 4.29 3.40 5.48 4.15 2.75 1.845.45 3.52 4.58 2.96 5.30 3.88 4.83 4.665.96 2.40 4.68 5.10 5.53 6.94

5. Determine la parábola óptima en el sentido de los mínimos cuadrados de la forma f(x) = Ax2+Bx+Cpara cada conjunto de datos.

a.xk −3 −1 1 3yk 15 5 1 5

b.xk −3 −1 1 3yk −1 25 25 1

6. Para el conjunto de datos que se muestra al final del enunciado, determine la curva de cada familia quemejor se le ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados.

a. y = f(x) = beax. Recuerde el cambio de variable X = x, Y = ln y y B = ln b.b. y = f(x) = bxa. Recuerde el cambio de variable X = ln x, Y = ln y y B = ln b.c. Use la estimación para el error

E2(f) =( 1

N

N∑

k=1

|f(xk)− yk|2) 1

2

para determinar cuál de las dos curvas se ajusta mejor.

xk 1 2 3 4 5yk 0·6 1·9 4·3 7·6 12·6

2