UNIVERSIDAD DEL QUINDÍOFACULTAD DE INGENIERÍA

Cálculo IntegralTALLER. Unidad 1: La Integral De�nidaDocente: Carlos Andrés Trujillo Salazar

1. Use notación sigma para expresar la suma.

a. 13(1)

+ 13(2)

+ 13(3)

+ � � �+ 13(9)

b.h1�

�13

�2i+h1�

�19

�3i+h1�

�127

�4i+ � � �

c.�2�18

�+ 3�+�2�28

�+ 3�+ � � �+

�2�88

�+ 3�

d.h�

2n

�3 � 2n

i �2n

�+ � � �+

h�2nn

�3 � 2nn

i �2n

�e.h2�1 + 3

n

�2i � 3n

�+ � � �+

h2�1 + 3n

n

�2i � 3n

�f.�1n

�2

q1�

�0n

�2+ � � �+

�1n

�2

q1�

�n�1n

�22. Use las propiedades y fórmulas de la notación sigma para calcular el valor de la suma-toria.

a.7Xk=1

(8) b.4Xj=1

(j3) (3) c.10Xj=4

(2j � 3) d.4Xi=1

(i� 1)2 (i+ 1)

e.5Xi=1

(2i2 � 3i+ 1) f.15Xi=1

i (i� 1)2 g.20Xi=1

(i2 + 3) h.nXk=1

�2k � 2k�1

�

i.100Xk=1

�1

k� 1

k + 1

�j.

nXi=1

(2i� 1) k.nXi=1

4i2 (i� 2) l.nXi=1

(i+ 2) (3i� 5)

3. Halle una fórmula para la suma de n términos. Con esa fórmula, calcule el límite cuandon!1.

a. l��mn!1

nPi=1

16in2

R/ 8 b. l��mn!1

nPi=1

�1 + i

n

� �2n

�R/ 3 c. l��m

n!1

nPi=1

1n3(i� 1)2 R/ 1

3

4. Usando la de�nición, halle el área de la región limitada por la grá�ca de f (x) = x3, eleje x y las rectas x = 1 y x = 4. R/ 255

4

5. Usando la de�nición, halle el área de la región limitada por la grá�ca de f (x) = 1�x2,el eje x y las rectas x = �1 y x = 1. R/ 4

3

1

6. Usando la de�nición, halle el área de la región más pequeña limitada por la grá�ca def (x) = 4� x2, el eje x y la recta x = 1. R/ 5

3

7. Usando la de�nición, halle el área de la región limitada por la grá�ca def (x) = x2 � 2x+ 3, el eje x y las rectas x = �1 y x = 2. R/ 9

8. Usando la de�nición, halle el área de la región limitada por la grá�ca de f (x) = x2�x3,el eje x y las rectas x = �1 y x = 1. Elabore la grá�ca. R/ 2

3

9. Evalue la integral inde�nida y veri�que el resultado por derivación

a.Z

1xpxdx b.

Z �px+ 1

2px

�dx c.

Z(x+ 1) (3x� 2) dx d.

Zx2+x+1p

xdx

e.Zy2pydy f.

Z(�2 + sec2 �) d� g.

Zsec � (tan � � sec �) d� h.

Zsin �

1�sin2 �d�

i.Z6t2 3ptdt j.

Zy4+2y2�1p

ydy k.

Z �3� 1

x4+ 1

x2

�dx l.

Zcos �sin2 �

d�

m.Z

27t3�13pt dt n.

Z3 tan ��4 cos2 �

cos �d� o.

Z(2 cot2 � � 3 tan2 �) d� p.

Z1

cos �+1d�

q.Z

x4�8x2x2�4xdx r.

Z �x32 + 2x�

23

�dx s.

Z(tan � + cot �)2 d� t.

Z1

1+sin �d�

u.Z

13px�dx v.

Zcos 2�

cos �+sin �d� w.

Z(cos � � cos 4) d� x.

Zsin�� + �

4

�d�

10. Determine la función f si f 0 (x) = (2x� 3)2 y f (0) = �4

11. Dado que la grá�ca de una función f pasa por el punto (1; 6) y que la pendiente de surecta tangente en el punto (x; f (x)) es 2x+ 1, encuentre f (2) R/ 10

12. El punto (3; 2) está en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curva la rectatangente tiene pendiente igual a 2x� 3. Determine una ecuación de la curva.R/ y = x2 � 3x+ 2

13. Los puntos (�1; 3) y (0; 2) están en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curvad2ydx2= 2� 4x. Determine una ecuación de la curva.

SUGERENCIA: Considere d2ydx2= dy0

dx, y obtenga una ecuación que contenga a y0, x y una

constante arbitraria C1. A partir de esta ecuación determine otra ecuación que involucre

a y, x, C1 y C2. Calcule C1 y C2 a partir de las condiciones. R/ y = �23x3+x2+

2

3x+2

14. En cualquier punto (x; y) de una curva, d2ydx2

= 1 � x2, y una ecuación de la rectatangente a la curva en el punto (1; 1) es y = 2�x. Determine una ecuación de la curva.(Tenga en cuenta la sugerencia del ejercicio anterior) R/ y = �x4

12+ x2

2� 5

3x+ 9

4

2

15. Se sabe de una función que su derivada de segundo orden esta dada por f 00 (x) = 6x�4.Además, la recta que tiene por ecuación y = 7x � 36 es tangente a la grá�ca de lafunción en el punto (3;�15). Determine la función. R/ f (x) = x3 � 2x2 � 8x

16. Se sabe de una función que su derivada de segundo orden esta dada por f 00 (x) = 1�x2.Además, la recta que tiene por ecuación y = 2�x es tangente a la grá�ca de la funciónen el punto (1; 1). Determine la función. R/ f (x) = �x4

12+ x2

2� 5

3x+ 9

4

17. Dibujar la región cuya área representa la integral de�nida. Usar entonces una fórmulageométrica para calcular la integral (a > 0; r > 0) :

a.

aZ�a

(a� jxj) dx b. 32

2Z0

xdx+ 3

6Z2

dx+

9Z6

(�x+ 9) dx c.

rZ�r

pr2 � x2dx

d.

5Z1

p�x2 + 6x� 5 dx. SUGERENCIA: Complete cuadrados

e.

2Z0

[x] dx. SUGERENCIA: Asuma [x] como la función parte entera.

18. Dé un ejemplo de una función continua en el intervalo (0; 1) tal que

1Z0

f (x) dx no

exista. ¿Por qué esto no contradice el teorema que a�rma que continuidad implicaintegrabilidad?

19. Tenga en cuenta el siguiente hecho

bZa

f (x) g (x) dx =

24 bZa

f (x) dx

3524 bZa

g (x) dx

35. Si esverdadero explique el porqué o de un ejemplo que muestre su falsedad.

20. Veri�que que si f es continua en [�1; 2], entonces2Z

�1

f (x) dx+

0Z2

f (x) dx+

1Z0

f (x) dx+

�1Z1

f (x) dx = 0

21. Veri�que que si f es continua en [�3; 4], entonces

�1Z3

f (x) dx+

3Z4

f (x) dx+

4Z�3

f (x) dx+

�3Z�1

f (x) dx = 0

22. Calcule la integral de�nida

a.

8Z1

13pxdx R/ 9

2b.

2Z0

�p2 +

pq�dq R/ 10

3

p2

3

c.

2Z�1

(x� 1) (2x+ 3) dx R/ �32

d.

�=6Z��=6

sec2 � d� R/ 2p33

e.

�Z0

(2 sin � + 3 cos � + 1) d� R/ 4 + � f.

�=3Z��=3

4 sec � tan � d� R/ 0

g.

4Z0

jx2 � 4x+ 3j dx R/ 4 h.

0Z�5

(3 + jx+ 4j) dx R/ 472

i.

7Z�1

(jx� 2j � 3) dx R/ �7 j.

4Z3

x4 � 8x2x2 � 4xdx R/ 35

3

k.

3Z2

x3 + 2x2 � x� 2x2 � 1 dx R/ 9

2l.

2Z0

f (x) dx, f (x) =

�x4; si 0 � x � 1x5; si 1 < x � 2

R/ 32130

23. Encuentre la derivada de la función

a) h (x) =

xZ�x

t3 dt b) y =

3xZ2x

u2�1u2+1

du c) y =

x3Zpx

pt sin tdt d) h (x) =

x+2Zx2+2x

p3 + jtj dt

SUGERENCIA:

xZ�x

f (u) du =

0Z�x

f (u) du+

xZ0

f (u) du

24. Probar que la función f (x) =

1=xZ0

1t2+1

dt+

xZ0

1t2+1

dt es constante para x > 0.

25. Determine:

a.

16Z4

24Dx

xZ5

�2pt� 1

�dt

35 dx R/ 1883

b.

1Z0

(x2 � 1)32

24 ddx

xZ1236

(t2 � 1)12 dt

35 dx R/ 815

26. Encuentre una función f y un número a tales que 6+

xZa

f(t)t2dt = 2

px para toda x > 0.

R/ f (x) = x32 , a = 9

4

27. Ciclo respiratorio. El volumen V , en litros, de aire en los pulmones durante un ciclorespiratorio de 5 segundos viene dado aproximadamente por el modelo V = 0; 1729t+0; 1522t2 � 0; 0374t3 donde t es el tiempo en segundos. Estimar el volumen medio deaire en los pulmones a lo largo del ciclo.

28. Alcohol en la sangre. La funciónH (t) = �0;0008 (t3 + t2 � 72t) da el porcentaje aprox-imado de alcohol en la sangre, t horas después de haber bebido una cantidad estandarde alcohol. Al cabo de 8 horas el alcohol desaparece. Estimar el porcentaje medio dealcohol en la sangre a lo largo de estas 8 horas. R/ 0;11%

29. La temperatura del aire durante un periodo de 12 horas viene representada por elmodelo T = 53 + 5t � 0;3t2, 0 � t � 12, donde medimos t en horas y T en gradosFahrenheit. Hallar la temperatura promedio durante:

a) Las primeras 6 horas del periodo. R/ 64;40

b) El periodo entero. R/ 68;60

30. Suponga que un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 minutos en vaciarse y quedespués de tminutos, la cantidad de agua que queda en el tanque es V (t) = 50 (10� t)2litros. ¿Cuál es la cantidad promedio de agua en el tanque durante el tiempo en quese vacía? R/ 5000

3L

31. Suponga que una varilla caliente está a lo largo del intervalo 0 � x � 10. Si la tem-peratura en los puntos de la varilla está dada por T (x) = 4x (10� x), ¿cuál es latemperatura promedio de la varilla? R/ 200

3

32. Dibuje la región acotada por las grá�cas de las siguientes funciones y calcule su área

a) x = 4y � y3, x = 0 R/ 8 b) f (y) = y2 + 1, g (y) = 0, y = �1, y = 2 R/ 6

c) y = x, y = 3x, x+ y = 4 R/ 2 d) f (x) = x2 + 2x+ 1, g (x) = 3x+ 3 R/ 92

e) f (x) =p3x+ 1, g (x) = x+ 1 R/ 3

2f ) y2 = �x, x� y = 4, y = �1, y = 2 R/ 33

2

g) y2 = 4 + x, y2 + x = 2 R/ 8p3 h) y = x2 � 4x+ 3, y = 3 + 4x� x2 R/ 64

3

i) x = y2, x = y2 � 2y + 1,x = 0 R/ 112

j ) y = 1x2, y = �x2, x = 1, x = 2 R/ 17

6

k) x = y2 � 2, x = 6� y2 R/ 643

l) y = 6x� x2, y = x2 � 2x, x = �1 R/ 783

33. Determine mediante integración el área de la región acotada por el triángulo cuyosvértices son (5; 1), (1; 3) y (�1;�2). R/ 12 U2

34. Determine el área exacta de la región acotada por las grá�cas de las siguientes funciones:y = x2, y = 3x+ 4, y = �3x+ 10. R/ 21

2U2

35. Determine el área exacta de la región acotada por las tres curvas y = x2, y = 8� x2 y4x� y + 12 = 0. R/ 64 U2

5

36. Determine el área exacta de la región acotada por las tres curvas y = x2, y = 8� x2 yx� y + 12 = 0. R/ 215

6U2

37. Determine el área exacta de la región limitada por las dos curvas y = sinx y y = cos xentre dos puntos de intersección consecutivos.

38. Determine el área exacta de la región acotada por las dos parábolas y2 = 4px yx2 = 4py. R/ 16

3p2 U2

39. Determine m de modo que la región por arriba de la curva y = mx2 (m > 0), a laderecha del eje y, y debajo de la recta y = m tenga un área de K unidades cuadradas,donde K > 0. R/ m = 3

2K

40. Encuentre el número b tal que la recta y = b divida la región limitada por las curvasy = x2 y y = 4 en dos regiones con áreas iguales. R/ 42=3 = 3

p16

41. Halle los valores de c tales que el área de la región encerrada por las parábolas y = x2�c2y y = c2 � x2 sea 576. R/ 6

42. Las grá�cas de f (x) = x2 y g (x) = cx3, siendo c > 0, se cortan en los puntos (0; 0)y�1c; 1c2

�. Determine c de modo que la región limitada entre esas grá�cas y sobre el

intervalo�0; 1

c

�tenga área 2

3. R/ c = 1

2

43. Sean f (x) = x � x2, g (x) = ax. Determine a para que la región situada por encimade la grá�ca de g y por debajo de f tenga área 9

2. R/ a = �2

44. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvasdadas alrededor del eje especi�cado. Bosqueje la región y el sólido.

a) y = x2, x = 1, y = 0; alrededor del eje x R/ �5U3

b) y = 1x, x = 1, x = 2, y = 0; alrededor del eje x R/ �

2U3

c) y = x2, 0 � x � 2, y = 4; alrededor del eje y R/ 8� U3

d) y = x2, y2 = x; alrededor del eje x R/ 3�10U3

e) y2 = x, x = 2y; alrededor del eje y R/ 64�15U3

f ) y = x, y =px; en torno de y = 1 R/ �

6U3

g) y = x4, y = 1; en torno de y = 2 R/ 208�45

U3

h) x = y2, x = 1; en torno de x = 1 R/ 16�15U3

i) y = x2, x = y2; en torno de x = �1 R/ 29�30U3

45. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la rectay = 1, la región acotada por la parábola y = x2

4+ 4, el eje y y las rectas y = x

2+ 2 y

x = 4. Bosqueje las grá�cas de la región y del sólido. R/ aprox 199 U3

6

46. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la rectay = 4, el lado derecho de la región acotada por el eje y y por las grá�cas de lasfunciones f (x) = �x2

8+ 14 y g (x) = �x

4+ 8.

Bosqueje las grá�cas de la región y del sólido. R/ 601615� U3

47. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la rectax = 1, la región acotada por las curvas cuyas ecuaciones se dan a continuación:

2x� y � 8 = 0, x =y2

8+ 6, y = 4, y = �4

Bosqueje las grá�cas de la región y del sólido. R/ 265615� U3

48. Encuentre el volumen del sólido S descrito a continuación: Cono circular recto truncadocon altura h, radio R de la base inferior y radio r de la parte superior. (Ver �gura 1)

49. Longitud de arco. Calcule la longitud de arco de la grá�ca en el intervalo que se indica

a) y = x3

6+ 1

2x,�12; 2�

R/ 3316

b) y = x5

10+ 1

6x3, [1; 2] R/ 779

240

c) y2 = x3, [1; 4] tenga en cuenta que Dx

h23

�1 + 9x

4

� 32

i= 9

4

�1 + 9x

4

� 12 R/ 7;6

d) y2 =�x� 4

9

�3, [1; 2] R/ 2

p2� 1

e) y = x4

4+ 1

8x2, [1; 3] R/ 181

9

f ) y = 13(x2 + 2)

3=2, [0; 1] R/ 43

g) y = 13

px (3x� 1), [1; 4] R/ 22

3

h) 4 (y � 1)3 = 9x2, [1; 4] R/ 143

50. Calcule la longitud de arco de la grá�ca cuya ecuación es 30xy3 � y8 = 15 entre lospuntos A

�815; 1�y B

�271240; 2�. R/ 353

240

51. Calcule la longitud de la curva y =

xZ1

pt3 � 1dt, 1 � x � 4 R/ 12;4

52. Longitud de persecución. Un objeto parte del origen y se mueve hacia arriba por el ejey (ver �gura 2). Al mismo tiempo, un perseguidor parte del punto (1; 0) y se muevesiempre en dirección al objeto. Si la velocidad del perseguidor es doble que la del objeto,la ecuación de la trayectoria es

y =1

3

�x3=2 � 3x1=2 + 2

�¿Que distancia ha recorrido el objeto en el momento de ser capturado? Muestre que elperseguidor recorre el doble R/ 4

3

7

0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Figura 1 Figura 2

8