Taller9_JeissonPrieto

7/24/2019 Taller9_JeissonPrieto

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Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniera

Mtodos numricos

Jeisson Andrs Prieto Velandia jarietov!unal"edu"co

Consideraciones#

I" $erivaci%n numrica

II" &a 'unci%n no dimensional ara el 'lujootencial sobre un cilindro de radio ("

)" $erivaci%n numrica"&a derivada de una 'unci%n es una medida de la

raide* con la +ue cambia el valor de dic,a'unci%n matem-tica. seg/n cambie el valor de suvariable indeendiente" &a derivada de una'unci%n es un conceto local. es decir. se calculacomo el lmite de la raide* de cambio media dela 'unci%n en un cierto intervalo. cuando elintervalo considerado ara la variableindeendiente se torna cada ve* m-s e+ue0o"Por ello se ,abla del valor de la derivada de unacierta 'unci%n en un punto dado"

La derivada de la funcin en el punto marcado esequivalente a la pendiente de la recta tangente (la grfica

de la funcin est dibujada en rojo; la tangente a la curva

est dibujada en verde).

nos ocuamos de aro1imar las derivadas deorden arbitrario ven un unto cual+uier 2 de una'unci%n fde la cual solo conocemos sus valoresen los 3n 4 )5 nodos distintos

Para ello. buscaremos formulas de derivacindel tio#

Nos restringiremos al estudio de las 'ormulas detio interolatorio olinomio. esto es. searo1ima f or el olinomio de interolador de&agrange. se deriva 6 se evalu- en el unto#

Por tanto. los coe'icientes de la 'ormula son#

7n muc,os casos los datos son medidos otomados de di'erentes e1erimentos. o de unagran cantidad de valores calculados" 7steconjunto de untos uede ser usado aracalcular una aro1imaci%n numrica medianteel uso de un mtodo de aro1imaci%n dedi'erencias 'initas. ara ,allar las derivadas"Una aro1imaci%n de di'erencias 'initas es unaderivada de un unto . es un calculoaro1imado basado en el valor de untosvecinos. &a recisi%n de una aro1imaci%n de

di'erencias 'initas deende de la recisi%n de losdatos. el esacio entre untos. 6 la '%rmulaeseci'ica usada or la aro1imaci%n"
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Estimacin de las derivadas

)")" Aro1imaci%n Finita de la $erivada&a derivadaf`(x) de una 'unci%n f(x)en el untox a es de'inida como#

$onde la derivada es el valor de la endiente delnea tangente a la 'unci%n en x a" 8btenidatomando valores cercanos a x 6 calculando laendiente de la lnea +ue conecta los dos untos.la cual es m-s recisa a medida +ue xse acercaa.7l lmite es la base del calculo de derivadasanalticas en calculo 6 del mismo modo de losmtodos descritos a continuaci%n" 9-sicamentese tienen tres '%rmulas"

$i'erencia Adelante3Progresiva5A artir del desarrollo de :a6lor#

se deduce#

7ntonces. ara . se tiene la 'ormula#

$i'erencia Atr-s3(egresiva5A artir del desarrollo de :a6lor#

se deduce#


$i'erencia Centrada(estando los desarrollos de :a6lor#

se deduce#



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Finalmente tenemos las gr-'icas de los di'erentesmtodos de derivaci%n"

)";" $erivadas de orden sueriorA artir de las 'ormulas rogresivas. regresivas ocentrales ara la aro1imaci%n de las derivadasrimeras. 6 teniendo en cuenta +ue la derivada deorden ! de f es la derivada rimera de la derivadade orden(! " #) def$ se ueden obtener 'ormulasara las derivadas de orden suerior"

As. or ejemlo. si consideramos las 'ormulasrogresivas ara la rimera derivada se tiene lasiguiente 'ormula rogresiva ara la derivadasegunda#

%a&onando de la misma manera se puedenobtener otras formulas para la derivadasegunda$ partiendo de las regresivas o de lascentrales$ o incluso combinando los distintostipos.

Por ejemlo. considerando las 'ormulascentrales se tiene#

Combinando las 'ormulas centrales. lasrogresivas 6 las regresivas se tiene#

Mediante este mismo roceso se ueden obtener'ormulas ara las derivadas de orden tercero.cuarto. etc"

)"


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sistema con dos variables indeendientes#

=i lo usamos en los mtodos numricos debemostener el ar-metro en cuenta ara de'inir losintervalos de cada derivada arcial"

7ste rimer acercamiento es la derivada usandoel mtodo rogresivo"

&as siguientes son las regresivas#

Por ultimo las centradas#

&a segunda derivada arcial con tres untos estadada or#

$i'erencia central de segundo orden de cuatrountos#

)">" C%digo//Algoritmo para encontrar el fujo potencial// sobre un cilindro de radio R

//Author: Jeisson Andres Prieto Velandia//Codigo: 287!"

//#e damos un $ormato %ariable con && digitosformat('v', 7)

//'abla de $uncion de cordenadas nodimensionales ( angulo polar thetaa=[0-2.8214-4.5651-4.5651-2.821402.82144.56514.56512.82140;0-0.6270-1.0145-1.0145-0.627000.62701.01451.01450.62700;00000000000;00.40310.65220.65220.40310-0.4031-0.6522-0.6522-0.40310;00.73151.18351.18350.73150-0.7315-1.1835-1.1835-0.73150;01.02601.66001.66001.02600-1.0260

-1.6600-1.6600-1.02600;01.30222.10702.10701.30220-1.3022-2.1070-2.1070-1.30220;01.56742.53622.53621.56740-1.5674-2.5362-2.5362-1.56740]

//'abla en $uncion de theta ( r/Rdisp(a, !a"#a $% f&%io% d$ t$ta r*+)

//Angulos ( cordenadas correspondientesa% =[03672108144180216252288324360]r+ =[0.20.61.01.41.82.22.63.0]

disp(a%/pi.*180, a#or$s d$ #osa%os(o%v$rtidos a radia%$s))

da%(1)=1//Paso de los angulos en grados a radianesfori =1#$%t(a%) da%(i)=(a%(i)/pi.*180)$%d

disp(r+, a#or$s d$ #os radios)


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disp(da%, a#or$s d$ #os a%os(o%v$rtidosa radia%$s))

%a% =#$%t(a%)%r+ =#$%t(r+)

disp(%a%)

//Valores de psifori =1%r+ for =1%a% psi(i,)=a(i,)da%()r+(i) $%d$%d

disp(psi, atri o% #os va#or$s d$ psi)

//)ncontramos las deri%adas parciales de los

angulos//( de las cordenadas para reali*ar elrespecti%o

//calculofori =2%r+-1 for =2%a%-1 fda%(i-1,-1)= (a(i,1)-a(i,-1)).*(2/pi.*5) fdr(i-1, -1)=((a(i1,)-a(i-1,)).*(20.4)) $%d$%d

disp(fdr, $rivada d$ r)disp(fda%,$rivada d$ t$ta)

//Paso total + 2,-. , 2,pi/! =8.*25/pi

disp( ,# paso tota# d$ #a f&%io% $s )

// )ncontramos la deri%ada de segundo ordende psi con respecto a la table de psi ha(adafori =2%r+ -1 for =2%a%-1 d9+(i-1,-1)= (((psi(i1,1)-psi(i-

1,1))-(psi(i1,-1)-psi(i-1,-1))).*) $%d$%d

// 0espliegue del %alor de Psidisp(d9+, a#or d$ #a d$rivada d$ s$&%doord$% d$ :si)

//)ncontramos el %alor de la componente nodimensional ( del componente a*imutal.fori =16

for =1

//1e hacen las %alidaciones

respecti%as de las //deri%adas del angulo ( de la

posicion para //3ue no ha(an di%isiones por -

iffda%(i,)==0t$% &r9(i,)=0 $#s$ &r9(i,)=(1.*r+(i1))(d9+(i,)).*(fda%(i,)) $%d iffdr(i,)==0t$% &t$ta9(i,)=0 $#s$ &t$ta9(i,)=-((d9+(i,)).*(fdr(i,))) $%d $%d$%d

disp(&r9,


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7l comonente no dimensional radialur

6 el comonente a*imutal

u t(teta

)de

la velocidad esta dada or

Una 'uente o un sumidero de alg/n 'luido tiene la

articularidad de +ue el 'lujo s%lo sale o entra. lo

+ue imlica +ue el vector velocidad ara cada

unto del 'lujo ser- lineal al origen ara ambos

casos" 7s muc,o m-s sencillo ,allar esta 'unci%n

otencial usando coordenadas olares" As#

$onde es el caudal +ue sale si es ositivo o entra

si es negativo" Para ,allar la 'unci%n otencial

integramos#

Como la velocidad en @ es igual a cero s%lo

+ueda una constante de integraci%n la cualodemos ,acer cero entonces#

Para obtener la 'unci%n corriente odemos

reali*ar un rocedimiento an-logo considerando

la 'orma del oerador gradiente en coordenadas

olares#

entonces#

7ncontrando el caudal *#

*=; r + vr

6 (emla*ando en la 'unci%n de corriente B#

,=*

;+

-

,=; r + vr

; +-

,=r vr-

Para encontrar el 7l comonente no

dimensional radialur

6 el comonente

a*imutal u tteta

de la velocidad se necesita

encontrar"

- (r

%) (

,

%)


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7ncontramos la derivada arcial con resecto al

angulo - " :eniendo la tabla anteriormentemencionada"

&lamamos a la 'unci%n en =CI&A9

//)ncontramos las deri%adas parciales de losangulos

//( de las cordenadas para reali*ar el

respecti%o//calculo%a% =#$%t(a%)%r+ =#$%t(r+)fori =2%r+-1 for =2%a% fda%(i-1,-1)= (a(i,1)-a(i,-1)).*(2/pi.*5) fdr(i-1, -1)=((a(i1,)-a(i-1,)).*(20.4)) $%d$%d

7ncontramos 'inalmente los valores ara cada

unto de la 'unci%n"

An-logamente ,acemos lo mismo ara encontrar

la derivada con resecto al radio (r

%) . 6 los

valores +ue tenemos son"

Para encontrar ( ,

)%) la cual es la segunda

derivada de con resecto a la velocidad 6 al

radio. encontramos matri* con los valores de

3si5"

:enemos +ue ara encontrar

,=r vr-

Para los valores de rtenemos#

D ara los valores de los -ngulos3Convertidos a

radianes5

:enemos +ue la 'unci%n ara encontrar la matri*

de esta dada or

,=ri vi j-j

Para todo i $ j "


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&lamamos a la 'unci%n en =CI&A9

%a% =#$%t(a%)%r+ =#$%t(r+)

//Valores de psifori =1%r+ for =1%a% psi(i,)=a(i,)da%()r+(i) $%d$%d

disp(psi, atri o% #os va#or$s d$ psi)

7ncontramos los valores ara cada valor de

,i j

=abiendo +ue#

No imorta +ue 'actor derivemos rimero en la

'ormula ( ,

)%) el valor de la derivada

siemre sera el mismo"

7ncontramos el valor de la segunda derivada de

,

//Paso total + 2,-. , 2,pi/! =8.*25/pi

disp( ,# paso tota# d$ #a f&%io% $s )

// )ncontramos la deri%ada de segundo ordende psi con respecto a la table de psi ha(adafori =2%r+ -1

for =2%a%-1 d9+(i-1,-1)= (((psi(i1,1)-psi(i-1,1))-(psi(i1,-1)-psi(i-1,-1))).*) $%d$%d

// 0espliegue del %alor de Psidisp(d9+, a#or d$ #a d$rivada d$ s$&%doord$% d$ :si)

7ncontramos los valores ara cada valor de la

segunda derivada de ,i j

Finalmente teniendo los valores de - .

(r

%) . (

,

%) " (emla*amos en las

ecuaciones ara encontrar el comonente no

dimensional radial 6 el comonente a*imutal de

la velocidad"

(ur))

i j

= )

(r /%)i

( ,

)%)

i j

(-)i j

(u-))

i j

=(

,

)% )i j

(r

%)

i j

Para todo i #$/$.....01(2umero de radios) ' j #$/$....$ 31 (2umero de ngulos)


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NOTA:4ara encontrar cada una de lasderivadas parciales utili&amos el m5todo dederivadas centradas. 6si que recorremos lamatri& de valores desde / asta n7# siendo n el

tama8o de la matri&

Eacemos el llamado a la 'unci%n en =CI&A9"

**%o%tramos $# va#or d$ #a ompo%$%t$ %odim$%sio%a# d$# ompo%$%t$ aim&ta#.fori =16 for =1

//1e hacen las %alidaciones

respecti%as de las //deri%adas del angulo ( de la

posicion para //3ue no ha(an di%isiones por -

iffda%(i,)==0t$% &r9(i,)=0 $#s$ &r9(i,)=(1.*r+(i1))(d9+(i,)).*(fda%(i,)) $%d iffdr(i,)==0t$% &t$ta9(i,)=0 $#s$ &t$ta9(i,)=-((d9+(i,)).*(fdr(i,))) $%d $%d$%d

disp(&r9,

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