Tarea 3 Meto

8/18/2019 Tarea 3 Meto

1/86


2/86

/.- Antes 0 $a#ea

2

Métodos Matemáticos /2-ene#o-/

Ejercicios del cuadreno

SERIE COMPLEJA DE FOURIER

la seriede fourier complejade la funcion f , deinida en elintevalo abierto (0, L )

0


3/86

/.- Antes 0 $a#ea

3


Cn=1

2 [−2e−2 inπ

inπ +

e−2 inπ

n2

π 2 −

1

n2

π 2 ]

Cn=1

2 [−2inπ ( cos2nπ −isen2nπ )+ 1n2 π 2 (cos2nπ −isen 2nπ )− 1n2 π 2 ]

Cn=[−2inπ + 1n2 π 2− 1n2 π 2 ]

Cn=1

2 [−2inπ ]=−1inπ

Cn=(−1nπ ) (−i )= inπ si n=0

F ( x )=∑n=−∞

∞i

nπ e

inπxdonden≠0

Co=1

2∫ f ( x ) e

−2 i (0) π 2

x

dxCo=1

2∫0

2

x e0

dxCo=1

2∫0

2

xdx

f ( x )=Co+∑n=−∞

∞i

nπ e

inπx∴

f ( x )=1+∑n=−∞

∞i

nπ e

inπx


4/86

/.- Antes 0 $a#ea


2¿ f ( x )=1− x ; 0


5/86

/.- Antes 0 $a#ea


f ( x )= ∑n=−∞

∞−3 i

nπ e

inπ

3 x

donde n≠ o

f ( x )=Co+

∑n=−∞∞

−3 i

nπ e

inπ

3 x

∴

f ( x )=−2+∑n=−∞

∞−3inπ

einπ

3 x

definicion de serie compleja defourier : la seriecompleja de fourirer dela

funcion f ( x ) definidade un intervalo de− p


6/86

/.- Antes 0 $a#ea

1


TRANSFORMADA DE LAPLACE

∞∞eslafuncionF ( s )definida por lainte"ral [ o , ∞ ) dela funcion

F ( s)=∫0

∞

f (t )e−st dt

1¿ f ( t )=1

∫0

b

e−st

dt =¿

∫0

b

1 ∙ e−st

dt =¿ limb # ∞

¿

L {f (t )}= L {1 }=limb # ∞

¿

limb # ∞ [−1s e−st ]b0= limb # ∞ [−1s e−sb−(−1s e0)]

¿−1

s limb # ∞

1

esb+1

s∴

L {1}=1s

f ( t )=$


7/86

/.- Antes 0 $a#ea

4


L {$ }= $ s

2¿ L {eat }=limb #∞

∫0

b

eat

∙ e−st

dt

¿ limb #∞

∫0

b

eat −st

dt =limb # ∞ [ −1(s−a ) e−(s−a ) t ]bo

limb # ∞ [ −1s−a e−(s−a ) b−( −1s−a e−( s−a )0)]

¿− 1

s−a limb # ∞

1

e(s−a ) b

+ 1

s−a∴

L {eat }= 1

s−a

3¿ L {teat

}=limb # ∞∫0

b

t eat

∙ e−st

dt

¿ limb #∞

∫0

b

t e−(s−a ) t dt


8/86

/.- Antes 0 $a#ea

5


¿ limb #∞ [ −t s−a e−(s−a )t + 1s−a ( −1s−a e−(s−a)t )]b0

¿ limb #∞ [ −t s−a e−(s−a )t − 1(s−a)2 e−(s−a )t ]b0

¿ limb #∞ [ −bs−a e−(s−a ) b− 1(s−a )2 e−( s−a )b−( −0s−a e−( s−a)0− 1(s−a)2 e−(s−a)0)]

¿0+0+ 1

(s−a)2∴

L {teat }= 1(s−a)2

4 ¿ L {sen $t }=limb # ∞

∫0

b

sen$t e−st

u=sen$t dv=e−st dt

du=$cos$t v=−1

s

¿−1s

e−st

sen$t + $ s∫cos$t ∙e

−st dt

u=cos$t dv=e−st dt


9/86

/.- Antes 0 $a#ea

6


du=−$sen$t v=−1

s e

−st

¿−1

s e

−st sen$t +

$

s [−1s e−st cos$t −∫(−1s e−st ) (−$sen$t )]

∫0

∞

sen$te−st

dt =−1

s e

−st sen$t −

$

s2

e−st

cos$t −$

2

s2∫ sen$t e

−st dt

¿ limb #∞ [−1s e−st sen$t − $ s2 e−st cos$t ]

¿ $

s2+$ 2

%e desea encontrar la transformada de La &lacede la si"uiente funcion

1¿ L {15−3e−7 t +4 sen3 t }

L {15−3e−7 t +4 sen3 t }= L {15 }−3 L {e−7 t }+4 L {sen3 t }

¿15 ∙ 1

s−3

1

s− (−7 )+4

3

s2+9

¿15

s −

3

s+7+ 12

s2+9


10/86

/.- Antes 0 $a#ea

/7


2 f ( t )=cos5 t −t 5+t 3 e2 t

t 5

L {f (t )}= L {cos5 t }− L {¿ }+ L {t 3 e2 t }

¿ 5

s2+52

−5 '

s6+

3 '

(s−2)2

$#ans8o#mada de na &e#i"ada

S9 L {f (t ) = F ( s ) entonces

/ L {f ( ( t ) }=% L { f ( t ) }−f (0 )=%F (s )−f (0)

2 L {f ( ( (t ) }=%2 L { f (t ) }−%f (0 )−f ( (s )=%2 F (s )−sf (0 )−f ( (0)

3 L {f ( ( ( (t ) }=%3 L { f (t ) }−%2 f (0 )−sf ( (0 )−f ( ( (0)

L {f )* (t ) }=%4 L { f (t ) }−%3 f (0 )−%2 f ( (0 )−%f ( ( (0 )−f ( ( ( (0)

Reso"e# as si;ientes ecaciones di8e#enciaes

1) + ( +4 +=e−4 t

; + (0 )=2

d+dt +4 +=e−4 t

L { + ( +4 + }= L {e−4 t }

L { + }+4 L { + (t ) }= L {e−4 t }


11/86

/.- Antes 0 $a#ea

//


( % ( s)− + (0 ) )+4 ( s)= 1

s+4

% ( s)−2+4 ( s )= 1

s+4

(s ) ( %+4 )= 1

s+4+2

¿1+2(s+4)

s+4

¿1+2s+8

s+4

¿2 s+9s+4

(s ) ( %+4 )=2 s+9

s+4

(s )=2 s+9

(s+4 )2

L { ( s) }= L−1{ 2 s+9( s+4 )2 } + (t )= L−1 { 2 s+9(s+4 )2 }2 s+9s+4 =

-( s+4 ) +

.( s+4 )2

¿ - ( s+4 )+.

(s+4 )2

2 s+9= - ( s+4 )+.

2 s+9= -s+4 -+.

2= -

9=4 -+. # .=9−4 -⇒.=9−4 (2 )=1

L−1{ 2 s+9( s+4 )2 }= L−1{ 2( s+4 ) }+ L−1 { 1( s+4 )2 }

¿2 L−1 { 1(s+4 ) }+ L−1{ 1(s+4 )2 }


12/86

/.- Antes 0 $a#ea

/2


¿2e−4 t +t e−4 t

+ (t )=2 e−4 t + t e−4 t

2) + ( + +=sent ; + (0 )=0

L { + ( + + }= L {sent }

L { + ( }+ L { + ( t ) }= L {sent }

( % ( s)− (0 ) )+ (s )= 1

s2+1

% ( s)−0+ (s )= 1

s2+1

(s ) ( s+1 )= 1

s2

+1

s

(¿¿2+1)(s+1)

(s )=1

¿

s

(¿¿ 2+1)( s+1)1

¿ L

−1 { + (s ) }= L−1¿

s

s(¿¿ 2+1)( s+1)

(¿¿ 2+1)(s+1)=( s+1 ) ( -s+. )+C (s2+1 )

¿1

¿

1=( s+1 ) ( -s+. )+c ( s2+1 )

1= - s2

+.s+ -s+.+C s2

+C 1=( -+C ) s2+ ( -+. ) s+( .+C )

-+C =0

-+.=0

.+C =1


13/86

/.- Antes 0 $a#ea

/3


(1 0 11 1 00 1 1

|001)−1 f 1+ f 2# (

1 0 0

0 1 −10 1 1

|001)−f 2+f 3# (

1 0 0

0 1 −10 0 2

|001) 12 f 3

# (1 0 00 1 −10 0 1 |

0

0

1

2) f 3+ f 2# −f 3+ f 1# (100

-=−12

.=−12

C =1

2

+ (t )= L−1

{ -s+.

s2+1 }+ L−1

{ C

s+1 }¿ L−1{−12 s+12

s2+1

}+ L−1{ 12s+1 }¿ L−1{ ss2+1 }+

1

2 L

−1{ 1s2+1 }+1

2 L

−1 { 1s+1 }t +¿

1

2 sent +

1

2 e

−t

+ (t )=−1

2 cos¿

Ci#cito %RC

/ (t )=c

L d

2

/d t

2 +i (t ) 0+1

c / (t )= E (t )

i (t )= -


14/86

/.- Antes 0 $a#ea

/


i (t )=d/

dt

i (t )=/ ( (t )

1) Un ind!"#$ d% 3 &%n$i#' %'"( %n '%$i% !#n n( $%'i'"%n!i( d%

30 O*' + n( ,%$-( %.%!"$#*#"$i- d% 150 /#."i#' '#ni%nd#% %n " 0 .( !#$$i%n"% %' !%$# (..($ .( !#$$i%n"% %n!(.i%$ "i%*# "0

L d

2/

d t 2 +i (t ) 0= E (t )

3d

2/

d t 2 +30 i (t )=150 ; i (0 )=0

L {3/ ( ( (t )+30 i (t ) }= L {150 }

3 L {/ ( ( (t ) }+30 L {i (t ) }= L {150 }

3 [s21 (s )−%/ (0 )−/ ( (0 ) ]+30 )s= L {150 }

3 s2

1 (s )−3 %/ (0 )−3/ ( (0 )+30 )s=150

s

3 s2

1 (s )−3 %/ (0 )−3/ ( (0 )+30 )s=150

s

3 s2

1 (s )−3 %/ (0 )+30 )s=150

s

/ ( (t )=i (t )

d2

/ (t )dt

= d

dt [ d/dt ]

¿ d

dt [ / ( (t ) ]


15/86


16/86

/.- Antes 0 $a#ea

/1


50

s ( s+10 )=

- (s+10 )+. (s )s (s+10 )

50= - ( s+10 )+. (s )

50= -s+10 -+. (s )

10 -=50# -=5

-+.=0# .=−5

L−1{5s − 5s+10 }

L−1

{5s }− L

−1

{ 5

s+10 }5 L

−1 {1s }−5 L−1 { 1s+10 }

¿5 (1 )−5e−10 t

i (t )=5−5 e−10 t

2)dx

dt = x−2 + x (0 )=−1

d+

dt =5 x− + + (0 )=2

L { x }= L { x }−2 L { + }

L { + }=5 L { x }− L { + }

%2 ( s)− x (0 )= 2 (s )−2 ( s )

%, ( s)− + (0 )=5 2 (s )−, (s )

%2 ( s)+1= 2 (s )−2 ( s)


17/86

/.- Antes 0 $a#ea

/4


%, ( s)−2=5 2 (s )−, (s )

%2 ( s)− 2 (s )=−2 ( s)−1

, (s ) ( s−1 )=−2, ( s )−1

2 (s )=−2 (s )−1

(s−1 )

5 2 (s )=5 , (s )−2+,s

2 (s )=% ( s)−2+s

5

2 (s )=% ( s)−2+s

5

2 (s )= ( s)

−2 ( s )−1s−1

=% ( s )−2+ (s)

5

5 (−2 , (s )−1 )=(s−1 ) (%, ( s)−2+, ( s ))

−10 (s )−5=( %2 ( s )−2 (s )+% ( s )−% ( s )+2+ ( s) )

−5−2+2 s=%2 (s )− (s )+10 ( s)

−7+2 s=s2

, ( s )+9 , (s )

2 s−7= ( s ) ( s2+9 )

(s )=2 s−7

(s2+9)

L−1 { (s ) }= L−1 {2 s−7s2+9 }

+ (t )= L−1

{ 2 s

s2+9−

7

s2+9 } + (t )=2 L−1{ 2 ss2+9 }−7 L−1 {

1

s2+9 }#

3

3(s2+32)

+ (t )=2cos3 t −7

3 sen3 t


18/86

/.- Antes 0 $a#ea

/5


&e#i"ada de na $#ans8o#mada

Si L {f ( t ) }= F (s) < entonces ⟹ L {t n

f ( t ) }=(−1 )n d(n )

d%

(n ) F (s)

(se a &e#i"ada de na $#ans8o#mada a#a encont#a#

1) L {t e3t }= 1

(s−3)2

Aicando a #oiedad de a &e#i"ada

L {t e3t }=(−1 )n d(n )

d %(n )

F ( s)

¿ (−1 )1 d

d% F (s )

f ( t )=e3 t

L {f ( t ) }= L {e3 t }

F ( s)= 1

s−3

L {t e3t }=(−1 ) dds [ 1s−3 ]

¿−( s−3 ) (0 )−1 (1 )

( s−3 )2

¿−( −1(s−3 )2 )

L {t e3t }= 1( s−3 )2


19/86

/.- Antes 0 $a#ea

/6


2) L {t 3 cos2 t }= 3 ' s

s4(s2+4 )

= 3 ' s

s6+4 s4

L {t 3 cos2 t }=(−1 )n dn

d sn L {f ( t ) }

¿−13 d

3

d %3

L {cos2 t }

¿− d

3

d %3 [ ss2+4 ]

F ( s )=[ ss2+4 ]

F ( (% )=( s2+4) (1 )−% (2 s )

(s2+4 )2

= s2+4−2 s2

( s2+4 )2 =

4−s2

(s2+4 )2

2 ( s2+4 )(2 s)¿

( s2+4 )2(2 s)−(4−s2)¿

F ( ( ( s)=¿

¿−2 s ( s2+4 )2−4 s (4−s2)( s2+4 )

( s2+4 )4

−2 s¿¿

( s2+4 )¿¿¿

¿−2 s3−8 s−16 s+4 s3

(s2+4 )3

¿2 s

3−24 s

( s2+4 )3


20/86

/.- Antes 0 $a#ea

27


F ( ( ( (s )=( s2+4 )

3

(6 s2−24 )−(2 s3−24 s ) (3 ( s2+4) (2 s ) )( s2+4 )

6

( s2+4 ) (6 s2−24 )−(2 s3−24 s)(6 s)¿

( s2

+4

)

2

¿¿¿

¿6 s

4−24 s2+24 s2−96−12 s4+144 s2

( s2+4 )4

¿−6 s4+144 s2−96

( s2+4)4

¿ d3

d s3 [

s

s2+4 ]=−

6 s4+144 s2−96(s2+4 )

4

3) L {t 2

cosh5 t }=−12 d2

d s2 L {cosh5 t }

¿ d

2

d s2

[ s

s2

−2 s ] F ( (s )=

( s2−25 ) (1 )−(s)(2s )(s2−25)2

¿ s

2−25−2 s2

(s2−25)2

¿−s2

−25( s2−25)2


21/86

/.- Antes 0 $a#ea

2/


2( s2−25 )2 s¿

(( s2−25)2−25)−25−s2¿ F ( ( ( s)=¿

¿

( s2−25 )[−25 (s2−25 )−(−25−s2) 4 s ](s2−25 )

4

¿−2 s3+50 s+100 s+4 s3

( s2−25 )3

F ( ( (s)=2 s

3+150 s

( s2−25 )3

/e#. $eo#ema de $#asaci=n

S9 L {f ( t ) }= F ( s ) + a∈ 0 < entonces L{eat

f ( t ) }= F (s−a)

L{eat f ( t ) }= L {f ( t )}s # s−a

¿ F (s )|s # s−a

¿ F (s−a)

1) L {e5 t

t 3 }= L { f (t ) }s− s−5a=5

¿ L {t 3 }s−s−5

¿ 3 '

s4 |

s # s−5

¿ 3 '

(s−5)4=

6

(s−5)4

2) L {e−2 t

cos4 t }= L {cos 4 t }s # s+2a=−2


22/86


23/86

/.- Antes 0 $a#ea

23


( >t-s? 7 t 3

/ tB< 3

M ( >t-a? M ( a >t ? o si t a

/ si t B< a

M --

$

3 e(2−3 )

>t-2

e−(2−3 )

>t-2

? 2 8 >t? e(−3 )

e(−23) e(−3 )

e(−23)

>/Ds/

? e(−23)

D>s/

F#$*( %. (."%$n# d% 2 "%#$%*( d% "$('.(!in 8 >t >t-a ? e

(2−3 )

8 >ta

1) , "3)


24/86

/.- Antes 0 $a#ea

2


? e(2−3 )

8 >ta

Ft ?t

F>t3 ?>t3

? e(2−3 )

8 >t 3

? e(2−3 )

>/Ds 3Ds ? e(2−3 )

3s e(2−3 )

D>s2

? s Ds /1?s2D >s2 /1

3 t - e−t

3 e−4 t

H cos t

Cos t - e−t

cos t 3 e−4 t

cos t

cos t J e−t

cos t 3

F>K ?d7D2 L An cos > nD2 N7 sen nD H

cos > nD2 x= en 4 /2

+¿en 4/2

x2

sen nD H?e

n 4 /2+¿en 4/2 x2

F>$


25/86

/.- Antes 0 $a#ea

2


7

/

2

3

1

>t

a Encont#a# 8>t en 8o#ma sa

N Encont#a# 8>t en té#minos de a 8nci=n aia

c encont#a# 8t

() 8>t? / si 7< t/

3 si 7< t

:) 8 >t ? / >t-7 -/ >t-/ 3>t-/ ?3 t-/ 2>t-


26/86

/.- Antes 0 $a#ea

21


/-/>t- 3>t-/ 2 >t-

F>t ? / 2 >t-/ J >t-

!) / 2 >t-/ J>t-

/ 2 t-/ J >t-

/Ds /Ds -/Ds

SE;UNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si 8>t ? 8 >s 0 a 7 entonces

> t-a >t-a ? en 4/2

8 >t

/ Encont#a# a t#ans8o#mada de aace a#a >-t >t-/ 8 > ? t a ? /8 >t-a ?t-a8 >t-/ ?t-/

>-t >t-/ ? es

8 >t

? e−s

D s

2 >t-/ e−t

>t-/

>t-/e−t

>t-/ ? e

−t

>t-/

? e−t

8>t

? e−t

>sD>s-/ ? 1e D>s-/


27/86

/.- Antes 0 $a#ea

24


TRANSFORMADA DE UNA DERIt ? 8 >s entonces

/ 8>t ? s 8>- 8Q ? 8> J 8>e2 8>t ? s2 8>- s 8Q ? 8> J s2 8>e J 8>E 3 8>t ? s3 8>- s 8Q ? 8> J s3 8>e J 8>E 8>t ? s 8>- s 8Q ? 8> J s 8>e J 8>E -8>

%a t#ans8o#mada de aace con na 8nction nita#ia conaB7 es.

>t-a ?/Ds e

aa# a t#ans8o#mada de aace de

F>t ? -s >t-/ 1 >t-7

-s >t-/ 1 t-7

-s >t-/ 1 t-7

? -s >t-/ 1 t-7

? -Ds e 1D

8>t ? 1-eDs

4s-/Ds-4s-1aa#

F>t t>2 si 7< t 2

3t2 si 2< t


28/86

/.- Antes 0 $a#ea

25


si tB

F>t ? t >t-7 Jt2 a>t-2-3t 2>t- ( >t-

F>t? t2 >t2 Jt >t2 >t-

? t>2>-t>23t -2>t-2->3t-3 >t-

F>t

>t


29/86

/.- Antes 0 $a#ea

26


I!S$I$($O PO%I$TC!ICO

!ACIO!A%(!I&A& PROFESIO!A% I!$ER&ISCIP%I!ARIA

&E I!GE!IER'A U CIE!CIAS SOCIA%ES U

A&MI!IS$RA$IVAS

PROBLEMAS TERCER PARCIAL

Métodos Matemáticos

I!GE!IERIA I!&S$RIA%

ELA=ORO> CRU? CORT@S DANIEL ANTONIO

PROFESOR> ;ON?ALES NA


30/86

/.- Antes 0 $a#ea

37


• Se#ie Comea de Fo#ie#

/ Encont#a# se#ie comea de a 8nci=n::

F ( x )= x ; 0


31/86

/.- Antes 0 $a#ea

3/


2nπ

cos2nπ −i sin ¿+ 1

n2

π 2 (cos2nπ −isen2nπ )−

1

n2

π 2

−2inπ

¿

Cn=1

2 ¿

Cn=1

2 [ −2inπ + 1n2 π 2− 1n2 π 2 ]

Cn=1

2 [−2inπ ]=−1inπ

Cn=

(−1

inπ

)(−i )= i

nπ

F ( x )=∑n=−∞

∞ x

nπ e

inπ donde n≠ 0

Ee#cicio 2

f ( x )=1− x ;

0! x<

6

Cn=1

6∫0

6

x e

−2 inπ 6 dx

¿ 1

6∫0

6

(1− x)e−lnπ 3

x

dx

¿ 1

6∫0

6

e

−lnπ 3

x

dx−1

6∫0

6

x e

−lnπ 3

x

dx

Cn=1

6 [−3lnπ e−lnπ 3 6

0]−16 [−3 xlnπ e−lnπ 3

x

− 9

x2

n2

π 2 e

−lnπ 3

x ]60


32/86

/.- Antes 0 $a#ea

32


−3lnπ

e−lnπ 3 x dx

(¿)

−3 xlnπ

e

−lnπ 3

x

−∫¿

¿−1

6

¿

−3 (0 )lnπ

e

−lnπ 3

(0)+ 9n2

π 2 e

−lnπ 3

(0 )

(−3 (6 )lnπ e−lnπ 3

(6 )

+ 9

n2

π 2 e

−lnπ 3

(6 ))−¿cn=

−12 lnπ

[ e−lnπ 3

(6 )−e

−lnπ 3

(0 )]−16 ¿

Cn= −1

2lnπ [e−2lnπ −1 ]−1

6 [−18

lnπ e

−2 lnπ + 9

n2

π 2

e−2 lnπ −

9

n2

π 2 ]

¿− 1

2 lnπ e

−2 lnπ + 1

2lnπ + 3

lnπ e

−2lnπ − 3

2n2

π 2

e−2 lnπ +

3

2n2

π 2

2nπ −isen2nπ cos¿

¿− 1

2 lnπ (cos2nπ −isen 2nπ )+

1

2 lnπ + 3

lnπ (cos 2nπ 5 isen2nπ )−

3

2n2 π ¿

¿− 1

2 lnπ +

1

2lnπ + 3

lnπ −

3

2n2

π 2

%a se#ie se#9a:

f ( x )=∑n=−∞

∞−3 i

nπ e

lnπ

3 x


33/86

/.- Antes 0 $a#ea

33


• $#as8o#mada de a ace

/ F (t )=1

L {f (t )}= L {1 }=limb # ∞∫0

b

1−e−st dt

¿ limb #∞

∫0

b

e−st

dt

¿ limb #∞ [−1s e−st ]b0

¿ limb #∞ [−1s e−sb−(−1s e0)]

¿limb # ∞

−1

s e

−sb+limb #∞

1

s

¿−1

s

1

esb+1

s

L {1}=1s

2 L {eat }=lim

b # ∞∫0

b

eat

e−st

dt

¿ limb #∞

∫0

b

e( at −st ) dt

¿ limb #∞

∫0

b

e−( s−a )t dt


34/86

/.- Antes 0 $a#ea

3


¿ limb #∞ [ −1(s−a) e−(s−a ) t ]b0−1

s−ae−(s−a) 0

−1

s−a e

−( s−a )b−¿

¿ limb # ∞

¿

¿limb # ∞

−1

s−a e

−( s−a) b+limb# ∞

1

s−a (1 )

¿− 1

s−a limb # ∞

e−( s−a) b+ 1

s−a

L {eat }= 1s−a

3 L {t eat }= lim

b# ∞∫0

b

t eat −st

dt =limb # ∞

∫0

b

t e−( s−a) t dt

Inte;#aci=n o# a#tes:

(?t ∫du=∫e−(s−a ) t dt

d?dt u= −t s−a

e−( s−a) t

¿ limb #∞ [ −t s−a e−(s−a )t + 1s−a∫ e−( s−a )t dt ]


35/86


36/86

/.- Antes 0 $a#ea

31


2t ¿

t 3e¿

¿ L {cos 5t }− L {t 5 }+ L¿

¿ s

s2

+52−

5 '

s6+

3 '

(s−2)4

In/%$'( d% .( .(!%

/ L−1 { f ( s ) }=f (t )

L−1 { $f (s )}=$ L−1 {f (s)}

L−1 { $f (s )}+∝6 (s )= L−1 {$f (s)}+ L−1 {∝6(s) }

¿ 7 L−1 {f (s) }+∝ L−1 {6(s)}

¿ 7f ( t )+∝" (t )

2 f ( s)= s

s2+25

−5 's6+ 3 '(s−2)4

s−2¿¿¿3 '¿

¿ L−1{ ss2+25 }−{5 's6 }+ L−1 ¿

¿ L−1{ s

s2+52 }− L

−1

{ 5 '

s5+1 }+ L

−1

{ 3'

(s−2)3+1 }f ( t )=cos5 t −t 5+t 5 e2 t

T$(n',#$*(d( d% n( d%$i/(d(


37/86

/.- Antes 0 $a#ea

34


/ +8 +4 +=e−4 t ; + (0 )=2

d+

dx+4 +=e−4 t

L { + 8 +4 + }= L {e−4 t }

L { + 8 (t )+4 L { + (t )} }= L {e−4 t }

%+ (s )−2+4 + (s )= 1

s+4

+ (s ) ( s+4 )= 1s+4

+2

¿1+2 s+s

s+4

2 s8 +9

(s+4 )2=

- (s+4 )+.

(s+4)2

1 '(s+4 )2

= 1'(s−(−4 ))

2 +8 + +=sent ; + (0 )=0

L { + 8 }+ L { + }= L {sent }

(s+1 ) + ( s)= 1

s2+1


38/86

/.- Antes 0 $a#ea

35


L−1 { + (s)}= L−1 { 1( s2+1 )(s+1)}

1

( s2+1 ) (s+1)=

( s+1 ) ( -s+. ) c (s2+1)

( s2+1 ) (s+1)

1=( -+C ) s2+ ( -+. ) %+(.+C )

-+C =0, -+.=0, .+C =1

Resoci=n o# mat#ices

Sstitci=n

+ (t )=−12

L−1{ ss2+1 }+

1

2 { 1s2+1 }+1

2 L

−1 { 1s+1 }

+ (t )=−12 cos t +

1

2 sent +

1

2 e

−t

A.i!(!i#n%'

L d2

d t 2 =i (t ) 0+

1

c / (t )= E(t )

L {3/8 8 (t )+30i(t )}= L {150 }

3 [s21 (s )−s/ (0 )−/ 8 (0) ]+30 ) ( s )= L {150 }


39/86

/.- Antes 0 $a#ea

36


3 s2

1 (s )−2 %/ (0 )−3/ (0 )+30 ) (s )=150

s

3 s) (s )+30 ) (s )=150

5

) ( s)= 50s (s+10 )

50

s (s+10)=

- (s+10 )+.ss(s+10)

=0=% -s+10 -+.%

i (t ) 0 s−s e−10 t

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONALINTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y

CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

Métodos Matemáticos a!a "a I#$e#ie!%a

E&e!cicios a!a te!ce! a!cia"

'IV(A


40/86


41/86


42/86

/.- Antes 0 $a#ea

2


¿−1

s e

−st sen$t +

$

s∫cos$t e−st dt

u=cos$t dv=∫ e−st

dt

du=−$ sen$t dt v=−1

s e−st

−1s

e−st

cos $t −∫ 1s

$sen$t e−st

dt

¿−1

s e

−st sen$t +

$

s ¿

¿−1

s e

−st sen$t −

$

s2 e−st

cos $t −$

2

s2∫ sen$t e

−st dt

∫0

∞

sen $t e−st

dt =−1

s e

−st sen $t −

$

s2 e

−st cos $t −

$ 2

s2∫sen $t e

−st dt

sen$te−st

dt =¿−1

s e

−st sen$t −

$

s2

e−st

cos$t

$ 2

s2∫

0

∞

sen$t e−st

dt +∫0

∞

¿

( $ 2

s2+1) limb #∞∫0

b

sen $t e−st

dt =limb # ∞

[−1

s e

−st sen$t −

$

s2

e−st

cos$t ]b0

¿ limb #∞

[(−1s e−st sen $t − $ s2 e−st

cos $t )−(−1s e−s (0) sen $ (0 )− $ s2 e−s (0 )cos $ (0 ))]

( $ 2

s2+1) limb #∞∫0

b

sen $t e−st

dt =$

s2

$ 2+s2

s2 lim

b # ∞∫0

b

sen$te−st

dt = $

s2


43/86

/.- Antes 0 $a#ea

3


¿ s

2($ )

s2($ 2+s2)

% {sen $t }= ($ )

($ 2+s2)

Transformada !n"ersa de Laplae

Si % { f (t ) } =F(S) entonces %-1 { F ( % ) }=f ( t ) , se llama transformada inversa de

F(S) y también es lineal.

E#emplos$ Determinar la transformada inversa de:

1.- %-1 { 1

%4

}=¿ %-1

{ 1

%3+1

}=¿ %-1

{ 3 ' (1 )

3 ' %3+1

}= 1

3 ' %-1 { 3 '

%3+1

}= 1

3' t 3

∴ f ( t )=1

6 t 3

2.- %-1 { 3%6 }=¿ %-1 { 3

%5+1 }=¿ %-1 { (3 )5 '5 ' %5+1 }= 35 ' %-1 {

5 '

%5+1 }= 35' t 5∴ f ( t )= 3120 t 5

.- %-1 { 4 %4 %2+1 }=¿ %-1 { 4 %

4 (%4+ 14 ) }=¿ %-1 { %

%2+

1

4 }=¿ %-1

{ %

%2+( 12 )

2 }=cos 1

2t ∴ f ( t )=cos

1

2t

4.- %-1 { 14 %+1 }=¿ %-1 { 1

4 (%+ 14 ) }=1

4 %-1 { 1%+ 1

4 }=14 %-1

{ 1

%−(−14 )}=

1

4 e

−1

4

t

∴ f (t )=1

4 e

−1

4

t


44/86

/.- Antes 0 $a#ea


!.- %-1 { 1%2−16 }=¿ %-1 { 1

%2−(4 )2 }=¿ %-1 { (4 ) (1 )4 (%4−(4 )2 )}=14 %-1

{ 4%2−(4 )2 }∴ f ( t )=14 sin 94 t

".- %-1 {3%+5%2+7 }=¿ %-1 { 3 %

%2+7

+ 5

%2+7 }=¿ %-1 {

3 %

%2+7 }+¿ %-1 {

5

%2+7 }=¿ %-1

{ %%2+7 }+¿ ! %-1 { 1

%2+7 }

= %-1 { %%2+(√ 7 )2 }+¿ ! %-1 { 1

%2+(√ 7 )

2 }=¿ %-1 { %%2+(√ 7 )2 }+¿ ! %-1

{ (√ 7 ) (1 )(√ 7 ) (%2+(√ 7)2) }∴ f ( t )=3cos√ 7 t −

5

√ 7sin √ 7 t

#.- %-1

{ 5

%−6

− 6%

%2

+9

+ 3

2%2

+8%+10 }=¿

%-1

{ 5

%−6 }−¿

%-1

{ 6 %

%2

+9 }+¿

%-1

{ 32%2+8%+10 }

=! %-1 { 1%−6 }−¿ " %-1 { %%2+32 }+¿ %-1 { 3

2 (%2+4 %+5) }=5 e6 t +6cos93 t +3

2 %-1

{ 1

%2

+4 %+5 }Donde:


45/86

/.- Antes 0 $a#ea


3

2 %-1 { 1%2+4 %+5}=3

2 %-1 { 1%2+4 %+(2 )2−(2 )2+5 }=32 %-1 { 1( %+2 )2+1 }=32 %-1

{ 1( %−(−2 ) )2+1 }

=3

2e−2t

sin t ∴ f (t )=5e6 t +6cos 93t +3

2e−2 t

sin t

$.- %-1 { %−12%2+%+6 }=¿ %-1 { %−1

2(%2+ 12 %+3) }=¿ %-1

{ %−1

2(%2+ 1

2 %+(

14 )

2

−( 14 )

2

+3)}=¿

%-1

{ %−1

2[(%+ 14 )

2

+ 4716 ] }

1

2 %-1 { %−1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }=¿ 12 %-1 { %+

1

4−

1

4−1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }=12 %-1

{ (%+ 1

4 )(%+ 14 )

2

+( √ 474 )2−

5

4 ( 1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 )}

1

2 %-1

{

%+1

4

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2

}−( 54 )( 12 ) %-1 {

1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }

f ( t )=1

2e−14

t

cos ( √ 474 t )−58 %-1 {( 4√ 47 )√ 474

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }


46/86

/.- Antes 0 $a#ea

1


f ( t )=1

2e−14

t

cos ( √ 474 t )−(58 )( 4√ 47 )e−14

t

sin( √ 474 t )

∴ f ( t )=1

2 e

−14

t

cos ( √ 474 t )− 12√ 47 e−14

t

sin( √ 474 t )

%.- %-1 {−8 %2−5%+9

%3−2%2−%+2 }

Donde: %3−2%2−%+2≠0= (%−1 ) ( %2−%−2 )=( %−1 ) ( %−2 ) ( %+1 )

∴ %-1 { −8 %2−5 %+9

( %−1 ) ( %−2 ) ( %+1 ) }=¿ %-1

{ -%−1+ .%−2 + C %+1 }= (%−2 ) (%+1 ) -+ (%−1 ) (%+1 ) .+( %−1 ) ( %−2 )C (%−1 ) (%−2 ) (%+1 )∴−8 %2−5 %+9=( %−2 ) ( %+1 ) -+( %−1 ) ( %+1 ) .+ (%−1 ) (%−2 ) C

Si S=2

−8 (2 )2−5 (2 )+9=(2−2 ) (2+1 ) -+(2−1 ) (2+1 ) .+(2−1 ) (2−2 )C

−32−10+9=(1 ) (3 ) .

−33=3. #∴.=−11

Si S=1

−8 (1 )2−5 (1 )+9=(1−2 ) (1+1 ) -+ (1−1 ) (1+1 ) .+(1−1 ) (1−2 )C

−8−5+9=(−1 ) (2 ) -

−4=−2 - #∴ -=2

Si S=-1

−8 (−1 )2−5 (−1 )+9=(−1−2 ) (−1+1 ) -+(−1−1 ) (−1+1 ) .+(−1−1 ) (−1−2 ) C


47/86

/.- Antes 0 $a#ea

4


−5+5+9= (−2 ) (−3 )C

6=6C #∴C =1

∴ %-1 { 2%−1+ −11%−2 + 1%+1 }=¿ 2%-1 { 1%−1 }−11 %-1 { 1%−2 }+¿ %-1

{ 1%− (−1 ) }

f ( t )=2e t −11e2 t +e−t

1&.- %-1 { 2 %

2+10 %

( %2−2 %+5 )( %+1 ) }=¿ %-1 {

-%+.

( %2−2%+5 )+ C

%+1 }=¿ %-1

{( %+1 ) ( -%+. )+( %2−2%+5 ) C

( %2−2%+5 ) ( %+1 ) }∴2 %

2+10%=( %+1 ) ( -%+. )+ (%2−2%+5 ) C

'ara S= -1

2 (−1 )2+10 (−1 )=(−1+1 ) ( - (−1 )+. )+( (−1 )2−2 (−1 )+5 )C

2−10=(1+2+5 )C #−8=8C #−1=C

2%2+10 %= -%2+.%+ -%+.+C %2−2C%+5C

2 %2+10 %=( -+C ) %2+( .+ -−2C ) %+( .+5 C )

Donde:

-+C =2# -=2−C # -=2−(−1 )∴ -=3

.+5C =0# .=−5 C # .=−5 (−1 )∴.=5


48/86

/.- Antes 0 $a#ea

5


%-1 { 2%2+10 %

( %2−2%+5 ) ( %+1 ) }=¿ %-1 { 3 %+5( %2−2 %+5 ) }−¿ %-1 { 1( %+1 ) }Donde:

%2−2%+5=%2−2%+12−12+5#=(%−1 )2+4

∴ %-1 { 3 %+5( %2−2 %+5 ) }=¿ %-1 { 3%+5( %−1 )2+4 }=¿ %-1 {3%−3+3+5(%−1 )2+4 }=¿ %-13 (%−1 )+8

( %−1 )2+4

∴

%-1

{ 3 %+5

( %2

−2 %+5 ) }−¿

%-1

{ 1

( %+1 ) }=¿

%-1

{ %−1

( %−1 )2

+22

}+¿

%-1

{ (4 ) (2 )( %−1 )2+22 }−¿ %-1 { 1( %+1 ) }

%-1 { %−1( %−1 )2+22 }+¿ 4 %-1 { (2 )( %−1 )2+22 −¿ %-1 { 1( %+1 ) }

f ( t )=3 et

cos2 t +4 et

sin 2t −e−t

11.- %-1 { 5%2+34 %+53

%3+7 %2+15%+9 }

Donde:

%

3

+7

%

2

+15

%+9

=(%+

1 ) (%

2

+6

%+9 )=

(%+

1 ) (%+

3 ) (%+

3 )=

(%+

1 ) (%+

3 )2


49/86

/.- Antes 0 $a#ea

6


%-1 {5%2+34 %+53

( %+1 ) (%+3 )2 }=¿ %-1

{ -%+1+ .%+3 + C (%+3 )2 }# 5%2+34 %+53

( %+1 ) (%+3 )2 =

(%+3 )2 -+ (%+1 ) ( %+3 ) .+(%+1 )C

( %+1 ) ( %+3 )2

∴5 %2+34 %+53=(%+1 )2 -+ (%+1 ) ( %+3 ) .+(%+1 ) C

'ara S= -1

5 (−1 )2+34 (−1 )+53=(−1+3 )2 -+(−1+1 ) (−1+3 ) .+(−1+1 )C

5−34+53=4C #24=4 C #∴ -=6

'ara S=-

5 (−3 )2+34 (−3 )+53=(−3+3 )2 -+ (−3+1 ) (−3+3 ) .+(−3+1 ) C

45−102+53=−2C #−4=−2C #∴C =2

5%2+34%+53=( %+1 )2 -+( %+1 ) (%+3 ) .+( %+1 )C

5%2+34%+53=( %2+6%+9 ) -+( %2+4%+3) .+(%+1 )C

5%2+34%+53=( -+. ) %2+(6 -+4.+C ) %+(9 -+3 .+C )

Donde : -+.=5# .=5− - ; .=5−6 ; .=−1

%-1 { 6%+1 }+¿ %-1 { −1%+3 }+¿ %-1 { 2( %+3 )2 }=¿ "%-1 { 1%+1 }−¿ %-1 { 1%+3 }+¿ 2 %-

1

{ 1'

( %+3 )1+1 }∴ f ( t )=6 e−1−e−3 t +2te−3 t


50/86

/.- Antes 0 $a#ea

7


Teorema de %ea"!s!de

Sean '(S) y (S) olinomios en los c*ales '(S) es de +rado menor *e (S) y

(S) tiene n races diferentes /, con /=1, 2, , 0, n. ntonces:

%-1 { & (%)1(%)}=∑$ =1n

&(:$ )

1 ) (:$ )

e:$ t

1)

%-1 { 2 s+4s3+2 s2−5 s−6 } & (% )=2s+4

1 (% )=s3+2 s2−5 s−6

-1 1 2 -! -"-1 -1 "

1 1 -" &

1 (% )=(s+1)( s2+5−6)

1 (% )=(s+1)( s+3)( s−2)

1 ) ( % )=3 s2+4 s−5

: 1=−1

: 2=−3

: 3=2

%-1 { & (%)1(%)}=∑$ =1n

&(:$ )

1 ) (:$ )

e:$ t =

&(: 1)

1 ) (: 1)

e: 1 t +

&(: 2)

1 ) (: 2)

e: 2 t +

&(: 3)

1 ) (: 3)

e: 3 t


51/86

/.- Antes 0 $a#ea

/


¿ &(−1)

1 ) (−1)

e−t +

&(−3)

1 ) (−3)

e−3 t +

&(2)

1 ) (2)

e2 t

& (−1 )=2 (−1 )+4=2

& (−3

)=2

(−3

)+4

=−2

& (2 )=2 (2 )+4=8

1 ) (−1 )=3 (−1 )2+4 (−1 )−5=−6

1 ) (−3 )=3 (−3 )2+4 (−3 )−5=10

1 ) (2 )=3 (2 )2+4 (2 )−5=15

f ( t )=−26

e−t −

2

10e−3 t +

8

15e2 t

%-1 { 2 s+4s3+2 s2−5 s−6 }

%-1 { 2 s+4(s+1)( s+3)( s−2) }2 s+4

(s+1)(s+3)(s−2)=

-

s+1+

.

s+3+

C

s−2

2 s+4(s+1)(s+3)(s−2)

= - ( s+3 ) ( s−2 )+. ( s+1 ) (s−2 )+C (s+1)( s+3)

(s+1)( s+3)( s−2)

2 s+4= - (s+3 ) (s−2 )+. (s+1 ) ( s−2 )+C (s+1 ) (s+3 )

si s=−3

2(−3)+4= - (−3+3 ) (−3−2 )+. (−3+1 ) (−3−2 )+C (−3+1 ) (−3+3 )


52/86

/.- Antes 0 $a#ea

2


−6+4=.(−2)(−5)

−2=10. # .=−210

si s=2

2(2)+4= - (2+3 ) (2−2 )+. (2+1 ) (2−2 )+C (2+1 ) (2+3 )

8=15C #C = 8

15

si s=−1

2(−

1)+

4= - (−

1+3

) (−1−2

)+. (−1+1

) (−1−2

)+C (∓1

) (−1+3

)

2=−6 - #C =−13

%-1 { 2 s+4(s+1)( s+3)( s−2) } = %-1 { -s+1+ .s+3 + C s−2 }

?%-1 {−13

s+1 } %-1 {−15

s+3 } %-1 { 8

15

s−2 }=

−13 %-1 { 1s+1 }−15 %-1 { 1s+3 }+ 815 %-1 { 1s−2 }

¿−1

3 e

−t −1

5e−3 t +

8

15e2 t

Der!"ada de &na 'ransformada

Si % { f (t ) = F (%) entonces


53/86

/.- Antes 0 $a#ea

3


% {t n

f (t ) }=(−1 )n d(n )

ds (n) F (%)

3se la derivada de *na transformada ara encontrar

1)

% {te3 t }= 1

(s−3)2

% {teat }= 1

(s−a)2

f ( t )=e3 t

f ( s)= 1s−3

% {te3 t }=(−1) d

ds [ 1s−3 ]

% {te3 t }=−( s−3 ) (0 )−1(1)

(s−3)2

% {te3 t }= −−1

( s−3 )2=

1

(s−3)2

2)

% {t 3

cos2 t }=(−1 )n d(n )

ds (n ) F (%)

% {t 3cos2 t }=(−1)3 d

3

ds3 % {cos2 t }

¿− d

3

ds3 [ ss2+4 ]


54/86


55/86

/.- Antes 0 $a#ea


)

% {t 2cosh 95 t }=(−1 )n d

( n)

ds( n) F (%)

¿ (−1 )2 d

2

ds(2 ) F (%) L {t 2 cosh95 t }

¿− d

2

ds2 [ ss2−25 ]

F ( % )= s

s2−25

F ) (% )=(s

2

−25) (1 )

−(25 ) (

s)

( s2−25)2 = s

2

−25

−2

s

2

(s2−25 )2 =−

25−s

2

( s2−25 )2

F )) (% )=

(s2−25 )2

(−2 s )−(−25−s2)2 ( s2−25 )2 s

(s2−25 )4

F )) (% )=

(s2−25 )[−2 s (s2−25 )−(25−s2 )4 s]( s2−25 )

4

F )) (% )=

−2 s3+50 s+100 s+4 s3

( s2−25 )4

=2 s

3+150 s

( s2−25 )3

¿− d

2

ds2 [ ss2−25 ]

¿− d

2

ds2 [ F (%) ]

¿ F )) (%)

¿2 s

3+150 s

(s2−25 )3


56/86

/.- Antes 0 $a#ea

1


PRIMER TEOREMA DE TRASLACI(N

Si % { f (t ) } =F(S) y a∈ 0 entonces % {ea% f ( t ) }= F (%−a) % {e

a% f ( t ) }=¿

% { f (t )}% # %−a

ncontrar la transformada de 5alace, *sando el rimer teorema de traslacin.

1.- % {e5 t

t 3 } a=5 ; f ( t )=t 3

% {t 3 }%# %−5=

3 '

%4

% # %−5

= 3'

( %−5 )4=

6

(%−5 )4∴ F (% )=

6

(%−5 )4

2.- % {e−2 t

cos4 t } a=−2; f (t )=cos4 t

% {cos 4 t }% # %+2=

%

%2+42

= %+2

(%+2 )2+16∴ F (% )=

%+2

(%+2 )2+16

.- % {t (e t +e2 t )2 }=¿ % {t ( e

2 t +2e t e2 t +e4 t )}=¿ % {te2 t +2e3t +te4 t }

=% {t e2 t }+¿ 2% {t e

3 t }+¿ % {te4 t }=¿ % {t }% # %−2 , 2% {t }% # %−3 , % {t }% # %−4

¿ 1

%2

% # %−2

, 1

%2

% # %−3

, 1

%2

% # %−4

∴ F (% )= 1

(%−2 )2+

2

( %−3 )2+

1

( %−4 )2

Si ∫ {f (t )} ? F >s 0 a ∈ 0

∫ { eat

f (t ) } ? F >s-a

∫eat f ( t ) ? ∫ {f ( t ) } s ¿ s-a


57/86

/.- Antes 0 $a#ea

4


? F >s

? F >s-a

/ ∫ { est

t 3

} ?3 '

( s−5 )4 ?6

( s−5 )4

∫ { e5 t t 3 } ? ∫ {f (t )} s ¿s−5

a=5 ? ∫ {t 3 } s B s -

?3 '

s4 s B s J

?3 '

( s−5 )4 ?6

( s−5 )4

2 ∫ { e−2 t

cos 4 t } ? ∫ {f (t )} s B s-a

? ∫ {cos 4 t } s B s J >-2

?5

s2+16 sB s2

?s+2

(s+2)2+16

3 ∫ { [1−et +3e−4 t ]cos5 t }


58/86

/.- Antes 0 $a#ea

5


∫ {cos5t −et cos5 t +3e−4 t cos5 t }

∫ {cos5 t }−∫ {et cos5 t }+3∫ {e−4 t cos5 t }

s

s2+25 - ∫ {cos5 t } s B s J / 3 ∫ {cos5 t } s>s+4

s

s2+25

− s

s2+25 ⋮ s B s J / 3

s

s2+25 ⋮ s B s

?s

s2+25

− (s−1)

( s−1 )2+25

3(s+4 )

(s+4 )2+25

Fnci=n esca=n nita#io

%a 8nci=n esca=n nita#io ( >t- a ? (a>t se de@ne como

( >t Ja ? (a >t ? {0 sit t J 3 ? {0 ; t t- /7 ? {0 ; t t Ja ? M (a >t ? { 0 si t


59/86

/.- Antes 0 $a#ea

6


4 ( >t J /7 ? {0 ; t t ? - ( > t -/ 1 ( >t J 7

∫ {f (t )}=∫ {−5= (t −1 )+6 = (t −0) }

? ∫ {−5= (t −1 ) }+∫ {6= (t −0 ) }

? −5∫ {= (t −1 ) }+6∫ {= ( t −0)}

? -1

s e

−s+61

s e

0=−5e−5

s +

6

5

? 1 e−5


60/86

/.- Antes 0 $a#ea

17


Se)&ndo 'eorema de 'rasla!*n

Si % { f (t ) } =F(S) y a6& entonces % { f (t −a )u (t −a ) }=e−a%

% { f (t ) }

Forma alternativa de S.7.7 % { " (t ) u (t −a ) }=e−a%

% { " ( t −a ) }

E#emplo$ 8li*e el se+*ndo teorema de traslacin ara encontrar

1.- % { (t −2 ) u (t −2 ) }a=2 ; f ( t )=t

¿e−2% % {t }=e−2%

> 1

%2=

e−2%

%2

2.- % {(t −1 )3

e( t −1 ) u (t −1 ) } a=1 ; f (t )=t 3 et

¿e−% % {t 3

et }=e−% 3'

( %−1 )4=e−%

6

(%−1 )4=

6e−%

( %−1 )4

.- % {tu (t −2 ) } a=2 ; " (t )=t ; " (t +a )=t +a∴ " ( t +2 )=t +2

% {tu (t −2 ) }=e−2%

% { (t +2) }=e−2%

9% {t }+¿ % {2} = e−2%[ 1%2 + 2% ]

4.- % {t 2

u (t −3 ) } a=3 ; " (t )=t 2∴" (t +2 )=( t +3 )2=t 2+6 t +9

¿e−3% % {t 2+6t +9 }=e−3% % {t

2 }+¿ % {6 t }+¿ % {9 }=e−3 % [ 2 '%3 + 6%2+ 9% ]

Transformada de la !n'e)ral

Si % { f (t ) } =F(S), entonces % {∫0t

f ( ? )d? }=1

% % { f (t ) } .

ncontrar la transformada de la inte+ral dada or:


61/86

/.- Antes 0 $a#ea

1/


1.- % {∫0

t

e?

d? }; f ( t )=e t ∴=1% % { f (t ) }=1% [ 1%−1 ]

2.- % {∫0

t

cos? d? }; f (t )=cos t ∴=1% % { f (t ) }=1% [ %%2+1 ]= 1%2+1

.- % {∫0

t

e−?

cos ? d? }; f ( t )=e−t cos t ∴=1% % { f (t ) }=1% [ %− (−1 )( %+1 )2+1 ]=1% [ %+1(%+1 )2+1 ]

%-1 { F (%)}=¿ %-1 {1% }+3 %-1 { 1%2 }+¿ %-1 { 2

%3 }

∴ f ( t )=1+3t +t 2

Con"ol&!*n

Si las f*nciones f(t) y +(t) son contin*as or tramos en el intervalo ¿ , la

convol*cin de f(t) y +(t) se reresenta or f;+ y se define como:

f ∗"=∫0

t

f ( ? ) " (t −? ) d?

Teorema de la on"ol&!*n

Si f(t) y +(t) son contin*as or tramos en el intervalo ¿ y de orden

e


62/86

/.- Antes 0 $a#ea

12


¿[ 1%−1 ][ 1%2+1 ]= 1( %−1 ) ( %2+1)

2.- % {∫0

t

?e (t −? ) d? }; f (t )=t ; " (t )=e t ∴=¿ % {t } % {e t }=[ 1%2 ] [ 1%−1 ]= 1%2 (%−1 )>es*elva con resecto a f(t) la ec*acin inte+ro-diferencial dada or:

1.- f ( t )=2 t +1+∫0

t

f ( t −? )e−? d? ;f ( t )=f ( t ); " (t )=e−t

% { f (t ) =¿ 2% {t } % {1 } % {∫o

t

f (t −? )e−? d? }

F ( % )= 2

%2+1

%+¿ % { f (t )} % {e

−t } # F (% )= 2%

2+1

%+ F (%)[ 1%+1 ]

F ( % )− F (% )[ 1%+1 ]= 2%2+ 1

%# F ( % )[1− 1%+1 ]=2+%%2 # F (% )[ %+

1−1%+1 ]=2+%%2

F ( % )[ %%+1 ]=2+%%2 # F ( % )=( %+2 ) ( %+1 )

%3

# F ( % )=%

2+3 %+2%

3

F ( % )=%2

%3+3 %

%3 +

2

%3 # F ( % )=

1

%+ 3

%2+ 2

%3

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL


63/86

/.- Antes 0 $a#ea

13


(!I&A& PROFESIO!A% I!$ER&ISCIP%I!ARIA &E I!GE!IERIA

U CIE!CIAS SOCIA%ES U A&MI!IS$RA$IVAS

T($%( T%$!%$ P($!i(.

Nom+res$

8me?c*a @ernAnde? Besar@ermida on?Ale? Cara Fernanda'ére? 8lvarado BarolinaSAnce? van+elista 8t?iri

Se&en!a$

2E8

Ma'er!a$

Cétodos CatemAticos De 5a En+eniera

Carrera$

En+eniera End*strial

Profesor$

on?Ale? Gavarrete Barlos

T$(n',#$*(d( d% L(.(!%

F (t )=1

L {f (t )}= L {1 }=limb # ∞

∫0

b

1−e−st dt =limb # ∞

∫0

b

e−st

dt =limb# ∞ [−1s e−st ]b0


64/86

/.- Antes 0 $a#ea

1


¿ limb #∞ [−1s e−sb−(−1s e0)]=

limb # ∞

−1

s e

−sb+limb# ∞

1

s =

−1s

1

esb+1

s L {1 }=1

s

F (t )= 7

L {f (t )}= L {$ }= limb # ∞

∫0

b

$ e−st

dt = limb# ∞

$ ∫0

b

e−st

dt = limb# ∞

$ [−1

s e

−st

]b0

¿ limb #∞

$ [−1s e−sb−(−1s e0)]=lim

b # ∞

−$

s e

−sb+limb # ∞

$

s =

−$ s lim

b# ∞

e−sb+

$

s=

$

s

L {eat

}=limb # ∞∫0

b

eat

e−st

dt

limb # ∞

∫0

b

e(at −st ) dt = lim

b #∞∫0

b

e−( s−a )t dt = lim

b #∞ [ −1(s−a) e−( s−a )t ]b0−1

s−ae−( s−a) 0

−1

s−a e

−( s−a )b−¿=limb # ∞

−1

s−a e

−(s−a ) b+limb # ∞

1

s−a (1 )

¿ limb # ∞

¿

¿− 1

s−a limb # ∞

e−( s−a) b+ 1

s−a L {eat }= 1

s−a

L {t eat }

limb # ∞

∫0

b

t eat −st

dt = limb # ∞

∫0

b

t e−( s−a )t dt = =t ……∫ du=∫e−( s−a) t dt

du=d t … … u= −t s−a

e−( s−a) t ¿ limb #∞ [ −t s−a e−(s−a )t + 1s−a∫ e−( s−a )t dt ]


65/86

/.- Antes 0 $a#ea

1


¿ limb #∞

[

−t s−a

e−(s−a )t −

1

(s−a )

2e−(s−a ) t

]b0limb # ∞

[

−bs−a

e−(s−a ) b−

1

(s−a)

2e−(s−a )t

]b0

¿ limb #∞ [( −bs−a e−( s−a) b− 1( s−a )2 e−( s−a) b)−( −0s−a e−( s−a) 0− 1( s−a )2 e−( s−a) 0)]

¿ 1

(s−a)

limb # ∞

b

e ( s−a) b−

1

(s−a)2

limb # ∞

1

e( s−a) b+

limb # ∞

1

(s−a)2=

1

(s−a)2

% {sen $t }

limb # ∞

∫0

b

sen$te−st

dt ..u=sen$t … ..dv=∫ e−st dt…du=$ cos $tdt ..v=−1s

e−st

¿−1

s e

−st sen$t +

$

s∫cos$t e−st dt … u=cos $t …du=−$ sen$t dt

dv=∫ e−st

dt … v=−1

s e−st

…

−1s

e−st

cos $t −∫ 1s

$sen$t e−st

dt

¿−1

s e

−st sen$t +

$

s ¿

¿−1

s e

−st sen$t −

$

s2 e−st

cos $t −$

2

s2∫ sen$t e

−st dt

? ∫0

∞

sen $t e−st

dt =−1

s e

−st sen $t −

$

s2 e

−st cos $t −

$ 2

s2∫sen $t e

−st dt


66/86

/.- Antes 0 $a#ea

11


sen$te−st

dt =¿−1

s e

−st sen$t −

$

s2

e−st

cos$t

¿ $

2

s2∫

0

∞

sen$te−st

dt +∫0

∞

¿

¿($ 2

s2 +1)

limb # ∞∫0

b

sen$te−st

dt =limb # ∞ [−1

s e−st

sen$t − $

s2 e

−st

cos $t ]b0

¿ limb #∞

[(−1s e−st sen $t − $ s2 e−st

cos $t )−(−1s e−s (0) sen $ (0 )− $ s2 e−s (0 )cos $ (0 ))]

¿( $ 2

s2+1) limb # ∞∫0

b

sen$te−st

dt = $

s2 ..

$ 2+s2

s2 lim

b# ∞∫0

b

sen$t e−st

dt =$

s2

¿ s

2($ )

s2($ 2+s2)

= ($ )

($ 2+s2)

L {15−3e−7 t +4 sen3 t }

¿ L {15 }− L {3 e−7 t

}+ L {4 sen3 t }=15 L {1 }−3 L {e−7 t

}+4 L {sen3 t }

¿151

s−3

1

s−(−7 )+4

3

s2+9

=15

s −

3

s+7+ 12

s2+9

L (t )=cos 5t −t 5+t 3 e2 t

¿ L {f (t ) }= L {cos5 t −t 5+t 3 e2 t }= L {cos5 t }− L {t 5 }+ L {t 3 e2 t }

¿ s

s2+52

−5 '

s6+

3 '

(s−2)4

T$(n',#$*(d( in/%$'( d% L(.(!%


67/86

/.- Antes 0 $a#ea

14


L−1{ ss2+25−5 's6 + 3 '(s−2)4 }

s−2¿¿¿3 '¿

¿ L−1{ ss2+25 }−{5 's6 }+ L−1 ¿

¿ L−1{ ss2+52 }− L−1{ 5 '

s5+1 }+ L−1{ 3'(s−2)3+1 }=cos5 t −t 5+t 5 e2 t

L

−1

{ 1

%4

}¿

L−1{ 1%3+1 }=¿ L−1{ 3 ' (1 )3 ' %3+1 }= 13' L−1{

3 '

%3+1 }= 13 ' t 3=16 t 3

L−1{ 5%−6− 6 %%2+9 +

3

2 %2+8%+10 }

¿ L−1

{ 5

%−6 }−¿ L−1

{ 6 %%2+9 }+ L

−1

{ 3

2 %2+8%+10 }

? L−1{ 1%−6 }−¿ 1 L−1{ %%2+32 }+¿ L−1{

3

2 ( %2+4%+5 ) }=5e6 t +6cos93 t +3

2

L−1{ 1%2+4%+5 }

¿3

2 L

−1{ 1%2+4%+5 }=3

2 L

−1{ 1%2+4 %+( 2 )2−(2 )2+5 }=32 L−1{ 1( %+2 )2+1 }=32 L

−1{ 1( %−(−2 ) )2+1


68/86

/.- Antes 0 $a#ea

15


?3

2e−2t

sin t =5e6 t +6cos 93t +3

2e−2 t

sin t

L−1{ %−12 %2+%+6 }

¿ L

−1

{ %−1

2(%2+ 12 %+3) }=¿ L

−1

{ %−1

2(%2+ 12 %+( 14 )2

−( 14 )2

+3) }=¿

L−1

{ %−1

2 [(%+ 14 )2

+47

16 ]}

?

1

2 L

−1

{ %−1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }=¿ 12 L−1 { %+

1

4−

1

4−1

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2 }=12

L−1

{ (%+ 14 )

(%+

1

4

)

2

+

( √ 47

4

)

2−

5

4

(

1

(%+

1

4

)

2

+

( √ 47

4

)

2

)}?

1

2 L

−1 { %+1

4

(%+14 )2

+( √ 474 )2 }−( 54 )( 12 ) L−1{ 1(%+ 14 )2+( √ 474 )2 }

¿ 12

e

−14 t cos ( √

474

t )−58

L−1

{( 4√ 47 )

√ 47

4

(%+ 14 )2

+( √ 474 )2


69/86


70/86

/.- Antes 0 $a#ea

47


¿−2

6 e

−t − 2

10e−3 t +

8

15e2 t

L−1{ 2 s+4s3+2 s2−5 s−6 }… L−1{

2 s+4(s+1)(s+3)(s−2)}

2 s+4(s+1)(s+3)(s−2)

= -

s+1+

.

s+3+

C

s−2

2 s+4(s+1)(s+3)(s−2)

= - ( s+3 ) ( s−2 )+. ( s+1 ) (s−2 )+C (s+1)( s+3)

(s+1)( s+3)( s−2)

2 s+4= - (s+3 ) (s−2 )+. (s+1 ) ( s−2 )+C (s+1 ) (s+3 )

si s=−3

2(−3)+4= - (−3+3 ) (−3−2 )+. (−3+1 ) (−3−2 )+C (−3+1 ) (−3+3 )

−6+4=.(−2)(−5)

−2=10. … .=−210

si s=2

2(2)+4= - (2+3 ) (2−2 )+. (2+1 ) (2−2 )+C (2+1 ) (2+3 )

8=15C … C = 8

15

si s=−1


71/86

/.- Antes 0 $a#ea

4/


2(−1)+4= - (−1+3 ) (−1−2 )+. (−1+1 ) (−1−2 )+C (∓1 ) (−1+3 )

2=−6 - … C =−13

¿ L−1

{ 2 s+4

(s+1)( s+3)( s−2)}? L

−1

{ -

s+1 + .

s+3+ C

s−2 }

? L−1{ −13s+1 } L−1{

−15

s+3 } L−1{ 8

15

s−2 }?

−13

L−1{ 1s+1 }−15 L−1{ 1s+3 }+ 815 L−1{ 1s−2 }=−13 e−t −15 e−3 t + 815 e2 t

T$(n',#$*(d( d% n( d%$i/(d(

+8 +4 +=e−4 t ; + (0 )=2

d+

dx+4 +=e−4 t … L { + 8 +4 + }= L {e−4 t }

L { + 8 (t )+4 L { + (t )} }= L {e−4 t }… %+ ( s)−2+4 + ( s)= 1s+4

+ (s ) ( s+4 )= 1

s+4+2…=

1+2 s+ss+4

(% )= 2 s8 +9

(s+4)2

D%$i/(d( d% n( "$(n',#$*(d(

L {te3t }= 1(s−3)2

L {teat }= 1(s−a)2


72/86

/.- Antes 0 $a#ea

42


L {te3t }=(−1 ) dds [ 1s−3 ]

L {te3t }=−(s−3 ) (0 )−1(1)(s−3)2

L {te3t }= −−1(s−3 )2

= 1

(s−3)2

L {t 3 cos2 t }=(−1 )n d(n)

ds(n)

F (% )

L {t 3

cos2 t }=(−1)3 d

3

ds3 L {cos2t } …=

−d3

ds3

[ s

s2+4 ]

F ) (%)=

(s2+4 ) (1 )−s(2 s )( s2+4)

2 =

s2+4−2 s2

( s2+4)2 =

4−s2

(s2+4 )2

F )) (%)=

( s2+4 )2 (−2 s )−(4−s2)(2 (s2+4 ) (2 s ))

(s2+4 )4

F )) (%)=

−2 s ( s2+4 )2−4 s(4−s2) ( s2+4 )

(s2+4 )4

F )) (% )=

(s2+4 ) [−2s ( s2+4 )−4 s (4−s2 ) ]( s2+4 )

4

F )) (% )=−

2 s3−8 s−16 s+4 s3

( s2

+4 )

3 =

2 s3−24 s

( s2

+4 )

3

F ))) (% )=

( s2+4 )3

(6 s2−24 )− (2s3−24 s)(3 ( s2+4 )2(25 ))

(s2+4 )6


73/86

/.- Antes 0 $a#ea

43


s

( s2+4 )2 [(¿¿ 2+4 )(6 s−24 )−(2 s3−24 s)(6 s)]

( s2+4 )6

F ))) (% )=¿

F )))

(% )=6 s

4−24 s2+24 s2−96−12 s4+144 s2

( s2+4 )4

F ))) (% )=

−6 s4+144 s2−96

(s2+4 )4

F ))) (% )=

−d3

ds3 [ ss2+4 ]=−[−6 s

4+144 s2−96

( s2+4 )4 ]

F ))) (% )=−

6 s4+144 s2−96

(s2+4 )4

L {t 2 cosh95 t }=(−1 )n d(n )

ds(n ) F (%)

¿ (−1 )2 d

2

ds(2 )

F (% ) L {t 2 cosh95 t }…=−d2

ds2 [ ss2−25 ]

F ( % )= s

s2−25

F ) (% )=

(s2−25) (1 )−(25 ) ( s)

( s2−25)2

=s2−25−2 s2

(s2−25 )2 =

−25−s2

( s2−25 )2

F )) (% )=

(s2−25 )2 (−2 s )−(−25−s2)2 ( s2−25 )2 s

(s2−25 )4

F )) (% )=

(s2−25 )[−2 s (s2−25 )−(25−s2 )4 s]( s2−25 )

4


74/86

/.- Antes 0 $a#ea

4


F )) (% )=

−2 s3+50 s+100 s+4 s3

( s2−25 )4

=2 s

3+150 s

( s2−25 )3

¿− d

2

ds2 [ ss2−25 ]

¿− d

2

ds2 [ F (%) ]

¿ F )) (%)

¿2 s

3+150 s

(s2−25 )3

P$i*%$ "%#$%*( d% "$('.(!in

L {e5 t t 3 }

a=5… f ( t )=t 3

L {t 3 }% # %−5=3'

%4

% # %−5

= 3 '

(%−5 )4=

6

( %−5 )4=

6

( %−5 )4

L {e−2 t cos4 t }

a=−2… f (t )=cos4 t

L {cos4 t }% # %+2= %

%2+42

= %+2

( %+2 )2+16=

%+2

(%+2 )2+16

L {[1−et +3e−4 t ]cos5 t }

L {cos5 t −et cos5 t +3e−4 t cos5 t }

L {cos5t }− L {e t cos5 t }+3 L {e−4 t cos5 t }


75/86

/.- Antes 0 $a#ea

4


s

s2+25 -

L {cos5t } s B s J / 3 L {cos5t } s>s+4

s

s2+25

− s

s2+25

⋮ s B s J / 3s

s2+25

⋮ s B s ?

s

s2+25

− (s−1)( s−1 )

2+25

3(s+4 )(s+4 )2+25

Fn!in %'!(.n ni"($i#

F >t ? - ( >t -/ 1 ( >t J 7

L {f (t )}= L {−5= (t −1 )+6= (t −0)}

? L {−5= (t −1 ) }+ L {6= (t −0 ) }

−5 L {= (t −1 ) }+6 L {= (t −0)}

? -1

s e

−s+61

s e

0=−5e−5

s +

6

5…=

6−5e−5

s

T$(n',#$*(d( d% .( in"%$(.

L

{∫0t

e?

d?

}f ( t )=e t …=

1

% L {f ( t ) }=1

% [ 1%−1 ]

L{∫0

t

cos ? d? }

f ( t )=cos t …=1

% L {f ( t ) }=1

% [ %%2+1 ]= 1%2+1

L{∫0

t

e−? cos ? d? }


76/86

/.- Antes 0 $a#ea

41


f ( t )=e−t cos t …=1

% L {f ( t ) }=1

% [ %−(−1 )(%+1 )2+1 ]=1% [ %+1( %+1 )2+1 ]C#n/#.!in

T%#$%*( d% .( !#n/#.!in

L{∫0

t

e? sin (t −? ) d? }

f ( t )=e t ; " (t )=sin t …=¿ L {et } L {sin t }

¿[ 1%−1 ][ 1%2+1 ]= 1( %−1 ) ( %2+1)

INSTITUTO POLIT@CNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONALINTERDISCIPLINARIA DE IN;ENIERBA

CIENCIAS SOCIALES ADMINISTRATI


77/86

/.- Antes 0 $a#ea

44


M@TODOS MATEMTICOS DE LA IN;ENIERBA

S%!%n!i(> 2IV3A

In"%$(n"%>

CeNaos C#z And#és

TERCER CORTE

M@TODOS MATEMTICOS DE LA IN;ENIERBA

SERIE COMPLEJA DE FOURIER

f ( x )=a0

2 +∑

n=1

∞

[ancos nπ p x+bnsen nπ p x]

cos nπ

p x=

einπ

p x

+e−inπ

p x

2


78/86

/.- Antes 0 $a#ea

45


sen nπ

p x=

einπ

p x

+e−inπ

p x

2

ei@=cos@+isen@

e−i@=cos@−isen@

D%ni!in d% '%$i% !#*.%( d% F#$i%$

L( '%$i% !#*.%( d% F#$i%$ d% .( ,n!in , d%nid( %n n in"%$/(.#d% GHH %'" d(d( #$>

f ( x )=∑−∞

∞

C n einπ

p x

C n= 1

2 p∫− p

p

f ( x) e−inπ

p x

dx;n=0,±1,±2,±3,± …

En!#n"$($ .( '%$i% !#*.%( d% F#$i%$ d% .( ,n!in

1) f ( x )={−1 ;−2


79/86

/.- Antes 0 $a#ea

46


C n=−14 ∫

0

2

e

−inπ 2

x

dx+ 1

4∫0

2

e

−inπ 2

x

dx

u=−inπ

2 x du=

−inπ 2

dx

dx=−inπ 2

dx

C n=−14 ∫−2

0

eu[−2duinπ ]+ 14∫

0

2

eu[−2duinπ ]

C n= +24 inπ

[ eu ] 20−

2

4 inπ [ eu ] 2

0=

1

2inπ [e

−inπ 2

x ] 0−2

− 1

2inπ [e

−inπ 2

x ]20

C n= 1

2 inπ [e0−e

−inπ 2 (−2)]− 1

2inπ [e

−inπ 2 (−2)

−e0 ]

C n= 1

2 inπ [1−einπ ]− 1

2inπ [e−inπ −1 ]

2) f ( x )=e− x

;−π


80/86

/.- Antes 0 $a#ea

57


C n= 1

2(π )∫−π

π

e− x

∙ e

−inπ π

x

dx

e

(¿¿− x ∙ e−inx)dx

C n= 1

2 π ∫−π

π

¿

C n= 1

2 π ∫−π

π

e(− x−inx )

dx

C n= 1

2 π ∫−π

π

e(−1−¿) x

dx

u=−(1−¿) x du=−(1−¿)dx

dx=−du1+¿

C n= 1

2 π ∫−π

π

eu[ −du(1+¿) ]

C n= −12 π (1+¿)∫−π

π

eu du

C n= −12 π (1+¿ )

eu| π −π = −12π (1+¿ ) e−(1+¿) x| π −π

C n= −12 π (1+¿ )

C n= −12 π (1+¿ )

C n= −12 π (1+¿ )


81/86

/.- Antes 0 $a#ea

5/


C n= −12 π (1+¿ )

L( '%$i% d% F#$i%$ !#*.%( d% .( ,n!in , d%nid( %n 0 L)%'" d(d( #$

f ( x )=∑n=−∞

∞

C n e2inπ

L x

C n=1

L

∫0

L

f ( x )e−2 inπ

L x

dx

En!#n"$($ .( '%$i% !#*.%( d% .( ,n!in f ( x )= x ;0


82/86

/.- Antes 0 $a#ea

52


T$(n',#$*(d( d% L(.(!%

S%( , ") n( ,n!in d%nid( %n %. in"%$/(.# d% K0 ∞ ) t 0

L( "$(n',#$*(d( d% L(.(!% d% , ") %' .( ,n!in f (%)

∫0

∞

f (t )e−st dt

F ( % )=∫0

∞

f (t )e−st dt

¿ limb #∞∫0

b

f (t )e−st

dt

L {f (t )}= F (%)

1) f ( t )=1

L {f (t )}= L {1 }=limb # ∞

∫0

b

1∙ e−st

dt

¿ limb #∞

∫0

b

e−st

dt


83/86

/.- Antes 0 $a#ea

53


¿ limb #∞

[−1s e−st

]b0

¿ limb #∞ [−1s e

−sb

−( 1s e0

)]

¿ limb #∞

[−1s e−sb

+limb #∞

1

s ]¿−1

s lim

b # ∞

e−sb+

1

s

¿−1

s

limb #∞

1

esb +

1

s

L {1}=1

s

D%$i/(d( d% n( "$(n',#$*(d(

Si L {f (t ) = F (%)

L {t n f ( t ) }=(−1 )n d( n)

d% (n )

F (%)

U'% .( d%$i/(d( d% n( "$(n',#$*(d( ($( %n!#n"$($

1) L {t e3t }= 1

(%−3)2

L {t eat }= 1(%−a)2


84/86

/.- Antes 0 $a#ea

5


L {t e3t }=(−1 )n d(n)

d%(n) F (%)

L {t e3t }=(−1 )1 dd%

F (%)

f ( t )=e3 t

L {f (t )}= L {e3t }= 1%−3

F ( % )= 1

%−3

L {te3t }=(−1) dd% [ 1%−3 ]

L {te3t }=−(%−3 ) (0 )−1(1)(%−3)2

¿− −1

(%−3)2

¿ 1

(%−3)2

P$i*%$ "%#$%*( d% "$('.(!in

Si L {f (t )}= F ( % ) + a∈ 0 , %n"#n!%'>

L {eat f (t ) }= F ( %−a )


85/86

/.- Antes 0 $a#ea

5


L {eat f (t ) }= L {f ( t )}

¿ F (%)

¿ F (%−a)

1) L {e5 t

t 3 }= 3 '

(%−5)4=

6

(%−5)4

L {e5 t t 3 }= L { f (t )}

¿ L {t 3 }

¿ 3 '(%−5)4

= 6(%−5)4


86/86

/.- Antes 0 $a#ea

51

Tarea 3 Meto

Documents

Transcript of Tarea 3 Meto