Tarea de numeros complejos

Gian Carlo Diluvi, C.U. 142957

Algebra Superior II. 09-10-14

Proposicion 1:Sea z C, z = cos() + i sin() y sea n N.

Entonces zn = cos(n) + i sin(n).

Observacion: Ya que z no tiene como factor explcito a su modulo en su representacion polar,su modulo es igual a 1, i.e., |z| = 1.Para demostrar esta proposicion, nos seran utiles los siguientes dos lemas:

Lema 1:Sea z C tal que |z| = 1. Entonces z1 = z.

Demostracion:Sea z C tal que |z| = 1.= z1 = 1

z

=1

z

z

z

=z

zz, pero zz = |z|2 = 1

= z

Lema 2:Sea z C, arg(z) = .

Entonces arg(z) = arg(z).

Demostracion:Sea z C, tal que arg(z) = .

Ya que z es el reflejo de z con respecto al eje real, es claro que arg(z) = 2pi .Pero 2pi (mod 2pi). arg(z) = arg(z).

Demostracion (de Proposicion 1):Sea z C, z = cos() + i sin(), y sea n N. Vemos quezn = (z1)n

= zn, por el Lema 1= (cos() + i sin())n, por el Lema 2= cos(n) + i sin(n), por el Teorema de De Moivre.

1

Proposicion 2:Sea z C, z = cos() + i sin(), y sean m,n N, n 6= 0.

Entonces zm

n = cos(mn) + i sin(m

n).

Observacion: Elevar un numero a un exponente fraccionario es lo mismo que sacar la razenesima de ese numero. As pues, z

1

n = nz, y ya sabemos como calcular las races de un numero

complejo (en particular la primera):

z1

n

0 =n

|z|(cos( +2pi(0)

n) + i sin( +2pi(0)

n))

= n|z|(cos(

n) + i sin(

n)).

= cos( n) + i sin(

n), si |z| = 1.

Demostracion (de Proposicion 2):Sea z C, z = cos() + i sin(), y sean m,n N, n 6= 0.

= zmn = (z 1n )m

= ( n|z|(cos(

n) + i sin(

n)))m, por la observacion

= (cos( n) + i sin(

n))m, porque |z| = 1

= cos(mn) + i sin(m

n), por el Teorema de De Moivre.

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