Tarea de numeros complejos
Gian Carlo Diluvi, C.U. 142957
Algebra Superior II. 09-10-14
Proposicion 1:Sea z C, z = cos() + i sin() y sea n N.
Entonces zn = cos(n) + i sin(n).
Observacion: Ya que z no tiene como factor explcito a su modulo en su representacion polar,su modulo es igual a 1, i.e., |z| = 1.Para demostrar esta proposicion, nos seran utiles los siguientes dos lemas:
Lema 1:Sea z C tal que |z| = 1. Entonces z1 = z.
Demostracion:Sea z C tal que |z| = 1.= z1 = 1
z
=1
z
z
z
=z
zz, pero zz = |z|2 = 1
= z
Lema 2:Sea z C, arg(z) = .
Entonces arg(z) = arg(z).
Demostracion:Sea z C, tal que arg(z) = .
Ya que z es el reflejo de z con respecto al eje real, es claro que arg(z) = 2pi .Pero 2pi (mod 2pi). arg(z) = arg(z).
Demostracion (de Proposicion 1):Sea z C, z = cos() + i sin(), y sea n N. Vemos quezn = (z1)n
= zn, por el Lema 1= (cos() + i sin())n, por el Lema 2= cos(n) + i sin(n), por el Teorema de De Moivre.
1
Proposicion 2:Sea z C, z = cos() + i sin(), y sean m,n N, n 6= 0.
Entonces zm
n = cos(mn) + i sin(m
n).
Observacion: Elevar un numero a un exponente fraccionario es lo mismo que sacar la razenesima de ese numero. As pues, z
1
n = nz, y ya sabemos como calcular las races de un numero
complejo (en particular la primera):
z1
n
0 =n
|z|(cos( +2pi(0)
n) + i sin( +2pi(0)
n))
= n|z|(cos(
n) + i sin(
n)).
= cos( n) + i sin(
n), si |z| = 1.
Demostracion (de Proposicion 2):Sea z C, z = cos() + i sin(), y sean m,n N, n 6= 0.
= zmn = (z 1n )m
= ( n|z|(cos(
n) + i sin(
n)))m, por la observacion
= (cos( n) + i sin(
n))m, porque |z| = 1
= cos(mn) + i sin(m
n), por el Teorema de De Moivre.
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