Tarea de ecuaciones diferenciales. Semestre 2014-I

1. Muestre que la ecuación (xy0 � y)2 � (y0)2 � 1 = 0 tiene una solucióngeneral dado por y = Cx�

pC2 + 1, pero que cualquier función de�nida

implícitamente por la relación x2+y2 = 1 también es una solución que nocorresponde a ningún valor particular de C en la expresión de la solucióngeneral.

2. Pruebe o dé un contraejemplo a la a�rmación: Toda ecuación separablede primer orden dy

dx = g (x)h (y) es exacta.

3. Suponga que f es una función tal que f (x) =R x0f (t) dt 8t 2 R. De-

muestre que f (x) � 0.

4. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

(a) exydy ��e�y + e2x�y

�dx = 0

(b) dydx =

xy�3y+x�3xy�x+2y�2

(c) 2r�1t dr + r�2r2

t2�1 dt = 0; r (2) = 4:

5. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas y casi-homogeneas.

(a) (x� y) dx+ xdy = 0

(b) dydx =

�y(2x3�y3)x(2y3�x3)

(c) (2x+ 3y + 4) dx = (4x+ 6y + 1) dy

6. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales cuando sean exactas.

(a)�1x + ye

xy�dx+

�1y + xe

xy�dy = 0

(b)�

xyp1+x2

+ 2x�dx+

p1 + x2dy = 0, con y (0) = 6

(c) ex cos (y) dx� xexsen (y) dy = 0, con y (0) = �

7. Encuentre un factor de integración que haga exacta la ecuación diferencialy resuelvala.

(a)�6y � 24xy5

�dx+

�9x� 56x2y4

�dy = 0

(b)�2xy2 + x

y2

�dx+ 4x2ydy = 0

(c) 1y2 (1 + ln (xy)) dx+

�xy3 � 3

�dy = 0

8. Encuentre la solución general o particular de la ecuación lineal.

(a) cos2 x dydx + y � 1 = 0, con y (0) = �3(b) y0 = y

2y ln y�x

1

(c) xy0 = 3y + x4 cosx, con y (2�) = 0

9. Encuentre la solución general de la ecuación Bernoulli.

(a)�1� x2

�y0 � xy = 7xy2

(b) y2dx+�2xy � 5x3

�dy = 0

(c) y0�x2y3 + xy

�= 1

10. Encuentre la solución general para la ecuación de Ricatti.

(a) dydx = �

4x2 �

1xy + y

2, si y1 = 2x es solución.

(b) y0 = �y2 + xy + 1. Busquen una solución particular.(c) y0 = e2x + (1� 2ex) y + y2. Busquen una solución particular.

11. Una ecuación de lpCa forma dy

dx = f(ax+by) puede transformarse en unaecuación de variables separables al hacer la substitución z = ax + by oz = ax+ by+ c, donde c es cualquier constante. Use esta sustitución pararesolver:

(a) y0 � y = 2x� 3(b) (x+ 2y) y0 = 1; y (0) = �1(c) y0 =

p4x+ 2y � 1

12. Encuentre la familia ortogonal a

(a) x2 � y2 = c2

(b) y = cex

(c) y2 = 4cx

13. SeaW =W (t) su peso en kilogramos el día t de una dieta. Si se consumenC calorías cada día y el cuerpo quema EW calorías por día, donde Erepresenta las calorías por kilogramo , entonces la ecuación diferencialdWdt = k (C � EW ) modela la velocidad del cambio de peso.

(a) Resuelva la ecuación diferencial.

(b) ¿Qué ocurre con W (t) si t!1?(c) SiW0 = 80 kg, E = 45 cal/kg, k = 1=7875 kg/cal y C = 2500 cal/día,

¿cuánto tardará en perder 10 kg? ¿cuánto para 15? ¿cuánto para 20?¿qué sugieren sus respuestas acerca del proceso de la párdida de peso?

14. Un jet necesita alcanzar los 360 km /hr para despegar. Si el reactor puedeacelerar de 0 a 360 km/hr en 30 segundos y si suponemos que la aceleraciónes constante, ¿Qué longitud mínima debe tener la pista?

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15. Un experto forense del departamento de policía revisa un arma disparandouna bala en un fardo de algodón. La fuerza de fricción resultante del pasode la bala a través del algodón provoca una reducción en la velocidad dela bala proporcional a la raíz cuadrada de la misma. Se detuvo en 0.1segundos, tras penetrar 3 metros en el interior del fardo de algodón. ¿Quévelocidad llevaba la bala cuando impactó en el fardo?

16. Cuando se administra teo�lina, un fármaco para el asma, una concen-tración en la sangre por debajo de 5 mg/l tiene poco efecto; pero, si laconcentración excede los 20 mg/l, aparecen efectos secundarios no desea-dos. Suponga que inicialmente se administra una dosis correspondiente a14 mg/litro de sangre. La concentración se adecúa a la ecuación diferencialdCdt =

�C6 , donde el tiempo está expresado en horas.

(a) Encuentre la concentración en el instante t.

(b) Demuestre que para impedir que el fármaco se vuelva ine�caz despuésde aproximadamente 6 horas hará falta administrar una segunda in-yección.

(c) Dado que la segunda inyección también incrementa la concentraciónen 14 mg/l, ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que sea necesario ad-ministrar otra inyección?

(d) ¿Cuál es el tiempo mínimo de seguridad tras el que se puede aplicaruna segunda inyección, de forma que no se produzcan efectos secun-darios?

17. En un circuito eléctrico, cuando una pila o batería suministra tensiónE = k constante a un condensador de capacitancia C a través de una re-sistencia R, la carga instantáneaQ del condensador se adecúa a la ecuacióndiferencial R dQ

dt +QC = E

(a) Calcule Q como función de tiempo, considerando el condensador ini-cialmente descargado, es decir Q0 = Q (0) = 0.

(b) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la carga Q del condensadorsea la mitad de su valor "�nal"?

(c) Hallar Q si Q0 = 0 y si se cambia la tensión por E (t) = E0sen (!t) :

18. Supongan un depósito de 200 dal (dal=decalitro) con agua dulce. Se abreun desagüe que retira del depósito 3 dal por segundo y, al mismo tiempo,se abre una válvula que deja entrar una solución del 1% (concentracióndel 1%) de cloroa un ritmo de 2 dal por segundo.

(a) ¿Cuándo se encuentra el depósito lleno hasta la mitad? Y en esemomento, ¿cuál es la concentración de cloro?

(b) Si se cierra el desagüe cuando el depósito está medio lleno y éste seva llenando, ¿cuál será la concentración �nal de cloro en el depósito?

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19. Una agencia gubernamental tiene actualmente una plantilla de 6000 em-pleados entre los que un 25% son mujeres. Los empleados van dejando sutrabajo de un modo aleatorio a un ritmo de 100 por semana. Se contratansustitutos a un ritmo de 50 por semana, con la condición de que la mitadsean mujeres.

(a) ¿Cuál es el tamaño de la agencia al cabo de 40 semanas? ¿Quéporcentaje serían mujeres en ese momento?

(b) Si se hubiera decidido que todos los nuevos empleados sean mujeres,¿cuál habría sido el nuevo porcentaje?

20. Se colocan 100 colonias de bacterias en una solución nutriente en la que seproporciona constantemente una cantidad abundante de alimento, pero elespacio es limitado. La competencia por el espacio forzará a la poblaciónde bacterias a estabilizarse en 1000 colonias. Bajo estas condiciones, elritmo de crecimiento de las bacterias es proporcional al producto de lacantidad de bacterias presentes en el cultivo con la diferencia entre lamáxima población que la solución puede sostener y la población presente.Estime la cantidad de bacterias en la solución en un tiempo t si se sabeque había 200 colonias de bacterias en la solución después de siete horas.

21. Esboce a mano el campo de direcciones para las ecuaciones dadas. Tracealgunas posibles curvas solución.

(a) dxdt = t� 2x

(b) dydx =

2yx

(c) dydx = x

2 + y2

22. Utilice el método de Euler para hallar una solución aproximada al prob-lema de valor inicial sobre el intervalo dado. Haga una tabla de valoresy �nalmente compare este resultado con el valor exacto. ¿Cuáles son loserrores relativos y absolutos?

(a) dydx = x

2 � y2; y (0) = 1; 0 � x � 1, h = 0:25

(b) dydt = e

(2=y); y (0) = 2; 0 � t � 2, h = 0:5

(c) dydt = e

(2=y); y (1) = 2; 1 � t � 3, h = 0:5Compare sus respuestas entre los incisos b y c. ¿Qué se observa?

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