Tarea 4, Dinámica de Medios Deformables, 2016-1

Edna M. Hernández González, Roberto Velasco Segura

28 de septiembre de 2015

Para entregar el lunes 5 de octubre, se recomienda hacer primero lo que no está marcado como �extra�.

Problema 1 (Landau, sección 22)

Una onda longitudinal monocromática propagandose en un medio isotrópico semin�nito (medio 1),

incide con un ángulo arbitrario sobre la super�cie de un cuerpo plano (medio 2). Considere que el medio 2

es mucho más rígido que el medio 1 y la onda no se transmite.

Inciso a (5 puntos)

Haga un esquema de las ondas incidentes y re�ejadas (coloque los ejes de forma que el medio 2 se

encuentre en la parte negativa del eje y). Explique brevemente como son las ondas re�ejadas.

Inciso b (5 puntos)

El vector de desplazamiento u se puede escribir como la suma de la deformación ocasionada por cada

onda en el medio. Ahora, una onda incidente longitudinal se escribe como:

u0 = A0n0eik0·re−iωt

donde k0 es el vector de onda. Una onda incidente transversal se escribe como:

u0 = A0a× n0eik0·re−iωt

donde a es un vector unitario perpendicular al plano de incidencia.

Escriba el vector de desplazamiento completo u para este caso (onda longitudinal incidente). Indique

los valores de los vectores de onda en términos de cl y ct. Indique la relación entre los ángulos de la onda

incidente y las ondas re�ejadas.

Inciso c (5 puntos)

Calcule el tensor de deformaciones. Indique cual es el cambio de volumen que sufre el medio.

Inciso d (5 puntos)

Primero calcule el tensor de tensiones.

Inciso e (5 puntos)

Usando las condiciones de contorno (σxx = σxy = 0) exprese Al y At en función de A0.

Inciso d

Indique los valores de Al y At cuando θ = 0, explique que ocurre físicamente en este caso. ¾Existe algún

ángulo para el cual la onda incidente longitudinal se transforme en una onda puramente transversal después

de la re�exión?

1

Inciso e (5 puntos, extra)

Determine el coe�ciente de re�exión.

Problema 2 (Landau, sección 22) (25 puntos)

Haga lo mismo en el problema 1 pero para una onda incidente transversal.

Problema 3 (Landau, sección 25, problema 1)

Se pide calcular las frecuencias características de las vibraciones longitudinales de una barra con longitud

l, con un extremo �jo y el otro libre.

Lo que sugiere Landau para resolverlo es colocar un eje z a lo largo de la barra, con condiciones de

frontera

uz = 0 en z = 0

σzz = Euzz =∂uz∂z

= 0 en z = l

aplicadas a la ecuación (25.1). El tipo de solución que propone Landau

uz = A cos(ωt+ φ) sin kz

donde resulta que las frecuencias ω están restringidas a ciertos valores.

Para apreciar la generalidad de esta solución haga lo siguiente

inciso a (5 puntos)

Demueste que si sabe que g(z) y h(z) son soluciones de la ecuación (25.1) entoncesm(z) = αg(z)+βh(z)es también solución, donde α y β son escalares.

inciso b (5 puntos)

Recuerde que cualquier función f(x) bien comportada en el intervalo −π, π se puede expresar como una

serie de Fourier

f(x) =a02

+

∞∑n=1

an cos(nx) +

∞∑n=1

bn sin(nx)

entonces proponga una solución

uz(z, t) =a0(t)

2+

∞∑n=1

an(t) cos(nx) +

∞∑n=1

bn(t) sin(nx)

donde x = π2lz, y con la condición de frontera en z = 0 encuentre las funciones an(t).

inciso c (5 puntos)

Ahora tome el n-ésimo termino de la serie de uz, es decir,

bn(t) sin(nπ

2lz)

sustituyendo en (25.1), y de�niendo una constante

ω2 =(πn2l

)2 Eρ

resuelva para bn(t).

2

inciso d (5 puntos)

Luego, aplique la condición de frontera de z = l sobre el resultado del inciso anterior, obtenga la

restricción correspondiente a ω y comparela con lo que indica Landau.

Finalmente, usando lo que se demostró en el inciso �a�, exprese la solución general uz(z, t) y diga cómo

obtendría los valores de los coe�cientes que aún desconoce, si es que hay algunos.

inciso e (5 puntos)

Gra�que cos(θ) y señale en su grá�ca donde se satisface la condición

cos(πn

2

)= 0

Observe que los valores permitidos para ω son múltiplos del primero de ellos.

inciso f (5 puntos, extra)

Observe que el cambio de variable de x a z que uso mapea el intervalo (0, π/2) al intervalo (0, l).Discuta qué hubiera obtenido con un cambio de variable que mapeara el intervalo completo (−π, π) al

intervalo (0, l). Es decir, x = 2πl z − π.

Discuta también qué hubiera obtenido con un cambio de variable que mapeara el intervalo (0, π) al

intervalo (0, l).

Problema 4 (Landau, sección 25, problema parecido al 4)

Se pide calcular las frecuencias características de las vibraciones transversales de una barra con longitud

l, pero a diferencia de lo que indica Landau, en este caso la barra está empotrada en un extremo y su otro

extremo está libre.

Este problema también está resuelto en el texto de Morse �sound and vibration� p. 157.

Se coloca un sistema de coordenadas de modo que la barra esté sobre el eje z y la vibración esté en el

eje x. Las condiciones de frontera en este caso son (vea Morse)

ux =∂ux∂z

= 0 en z = 0

∂2ux∂z2

=∂3ux∂z3

= 0 en z = l

Le ecuación diferencial correspondiente a esta vibración es Landau-(25.10), la que está del lado izquierdo.

inciso a (5 puntos)

Demueste que si sabe que g(z) y h(z) son soluciones de la ecuación (25.10) entoncesm(z) = αg(z)+βh(z)es también solución, donde α y β son escalares.

inciso b (5 puntos)

Suponga una solución del tipo

ux = f(z) sin(ωt+ φ)

sustituya en (25.10) y resuelva para f(z). Ponga atención en los signos, es fácil ponerlos al revés.

inciso c (5 puntos)

Aplique la condición de frontera en z = 0 y con ello determine el valor de dos de las constantes.

3

inciso d (5 puntos)

Aplique la condición de frontera en z = l. Luego con ayuda de las identidades

sin2 θ + cos2 θ = 1 ∀θsinh2 θ + cosh2 θ = −1 ∀θ

reduzca estas restricciones a

cos(kl) cosh(kl) = −1 (1)

especi�cando cual es la relación entre esta constante k y la constante ω.Observe que los valores permitidos de ω están determinados por las soluciones de la ecuación 1, y esta

es una ecuación trascendental en el sentido de que no se puede despejar ω. Una manera de ver donde

están estas soluciones es gra�car 1 como función de k, pero aún esto no es trivial porque la amplitud crece

exponencialmente y no se puede usar directamente una escala logarítmica por que la función toma valores

negativos.

inciso e (5 puntos)

Gra�que 1 como función de k, dentro del intervalo (0, 20), restringiendo el eje ordenado al intervalo

(−20, 20).Señale en su grá�ca los puntos donde se satisface la restricción de ω y observe que estos puntos no son

exactamente múltiplos del primero.

Diga como cambiaría su grá�ca si el eje abciso fuera ω en lugar de k.

inciso f (5 puntos, extra)

Gra�que

| cos(kl) cosh(kl) + 1|

como función de k, con una escala logarítmica en el eje ordenado.

inciso g (5 puntos, extra)

Discuta lo que se obtiene cuando uno supone que la vibración se puede describir como una serie de

Fourier cuyos coe�cientes son funciones de t.

4