TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC · 2016-08-08 · matemáticos que definen a cada...

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

APUNTES DE SISTEMAS LINEALES

ASIGNATURA: SISTEMAS LINEALES

REALIZO:

MARIA TERESA GONZÁLEZ BAÑALES

ÍNDICE

UNIDAD I “INTRODUCCIÓN” 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS ------------------------------------------------------------------ 1

UNIDAD II “ANALOGÍAS”

2.1 MODELOS MATEMÁTICOS-------------------------------------------------------------- 3

UNIDAD III”FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA” 3.1 MÉTODO POR LEYES DE KIRCHOFF Y LEYES DE NEWTON ------- 12

3.2 ÁLGEBRA DE BLOQUE ---------------------------------------------------------------- 16

3.3 DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL ----------------------------------------------- 28

UNIDAD IV “ANÁLISIS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN”

4.1 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA --------------------------------- 35

4.2 FUNCIONES DE ENTRADA ---------------------------------------------------------- 36

4.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN -------------------------------- 37

UNIDAD V “ANÁLISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN” 5.1 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN -------------------------------------------------- 39 5.2 ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ------------------------------------------------------- 43

UNIDAD VI “ESTABILIDAD ABSOLUTA”

6.1 POLOS Y CEROS------------------------------------------------------------------------- 48

6.2 ESTABILIDAD ----------------------------------------------------------------------------- 49

6.3 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ ------------------------------------------------- 50

UNIDAD VII “LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES” 7.1 Lugar geométrico de las raíces ---------------------------------------------------- 56

UNIDAD VIII “CONTROLADORES”

8.1 INTRODUCCIÓN -------------------------------------------------------------------------- 74

8.2 CONTROL PROPORCIONAL (P). ---------------------------------------------------- 75

8.3 CONTROL INTEGRAL (I). ------------------------------------------------------------ 78

8.4 CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI). ------------------------------------- 81

8.5 CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD). ------------------------------ 82

8.7 CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID). -------------- 84

UNIDAD IX “ERRORES”

9.1 TIPO EN LOS SISTEMAS DE CONTROL. -------------------------------------- --- 87

9.2 ERRORES EN ESTADO ESTACIONARIO. ------------------------------------- --- 89

1

UNIDAD I “INTRODUCCIÓN”

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Sistema

Conjunto de elementos interrelacionados para alcanzar un fin común.

Sistema de lazo abierto

Se muestra en la figura 1.1

Figura 1.1 “Sistema de Lazo Abierto”

Características:

No hay retroalimentación

Es inestable a factores externos (perturbación)

Sistema de lazo cerrado

Se muestra en la figura 1.2.

Figura 1.2 “Sistema de Lazo Cerrado”

Características:

Hay retroalimentación (comparación)

Hay estabilidad en el sistema.

En la figura 1.3 se muestra una comparación entre las salida obtenidas de un

2

sistema de lazo abierto y uno de lazo cerrado si se tuviese una perturbación.

Lazo abierto Lazo cerrado Figura 1.3 “Salidas de un sistema de lazo abierto y de lazo cerrado”

Sistema Lineal

Los sistemas son lineales en un determinado momento, como se representa en

el esquema 1.4.

Resistencia Diodo

Figura 1.4 “Representación de la linealidad en dos elementos”

UNIDAD II “ANALOGÍAS”

Para concluir con un cuadro de analogías existentes entre los diferentes

elementos de sistemas eléctricos y mecánicos es necesario plantear los modelos

matemáticos que definen a cada elemento de los diferentes tipos de sistemas, lo

cual se planteará en este apartado.

3

2.1 MODELOS MATEMÁTICOS - Componentes Eléctricos Resistencia

VR (t) = R i (t) = R d q (t) dt Bobina

VL (t) = L d i (t) = L d2 q (t) dt dt2 Capacitor

VC (t) = 1 i (t) dt = 1 q (t) C C

-Componentes Mecánicos (traslación rotación ) Recordando algunos conceptos básicos de física se tiene que: v (t) = d y (t) a (t) = d v (t) dt dt TRASLACIÓN

Masa fm (t) = m a (t) = m dv (t) = m d2 y (t) dt dt2

Resorte fK (t) = k v (t) dt = K y (t) = K a (t) dt

4

Fricción fB (t) = B v (t) = B d y (t)= B a (t) dt dt ROTACIONAL Masa Inercial

TJ (t) = J (t) = J d (t) = m d2 (t) dt dt2 Resorte de torsión

TK (t) = k (t) dt = K (t) = K (t) dt Fricción

TB (t) = f (t) = f d (t)= f (t) dt dt Ejemplos: Encontrar el modelo matemático que define a cada sistema. 1)

V (t) = VR + VL + VC = RL + L d i (t) + 1 i (t) dt dt C 2)

f (t) = f m + f k + f B = = m dv (t) = k v (t) dt = B v (t) dt

5

3)

T (t) = T J + T K + Tf = J d (t) = k (t) dt = f (t) dt Tomando en cuenta los ejemplos anteriores se concluye con una tabla (tabla 2.1) de analogías, de elementos eléctricos y mecánicos.

E (serie) Tr R

R B f

C K K

B m J

Voltaje f (t) T (t)

corriente V (t) (t)

Tabla 2.1 “Analogías de elementos eléctricos y mecánicos” EJEMPLO: Encontrar el sistema análogo mecánico de traslación del siguiente sistema eléctrico.

Malla1

V (t) = R1 i1(t) + R2 (i1 - i2) + 1 (i1 - i2) dt + L1 d i1 (t) C1 dt Malla2

0 = R1 i2(t) + R2 (i2 - i1) + 1 i2 dt + L2 d i2 (t) + 1 (i2 - i1) dt C2 dt C1

6

RESULTADO GRÁFICO

f (t) = B1 V1 (t) + B2 (V1 - V2) + K1 (V1 - V2 ) dt + M1 d V1 (t) dt

0 = B1 V2 (t) + B2 (V2 - V1) + K2 V2 dt + M2 d V2 (t) + K1 (V2 - V1) dt dt Resolver los siguientes ejercicios: Ejercicio 1

f (t) = f3 V1 + B1 (V1 - V2) + K1 (V1 - V2 ) dt + M1 d V1 (t) dt

0 = f1 V2 + B1 (V2 - V1) + K2 V2 dt + M2 d V2 (t) + K1 (V2 - V1) dt dt Sistema Análogo

7

Ejercicio 2

(t) = f2 1 + + K1 (1 - 2 ) dt + J1 d 1 (t) + K2 1 dt dt

0 = f1 2 + J2 d 2 (t) + K1 (2 - 1 ) dt dt

Sistema Análogo.

Ejercicio 3

f (t) = B2 V1 + B1 (V1 - V2) + K2 (V1 - V2 ) dt + M1 d V1 (t) dt

0 = B1 (V2 - V1) + K3 V2 dt + M2 d V2 (t) + K2 (V2 - V1) dt dt

8

Sistema Análogo.

Ejercicio 4

(t) = f1 1 + + K1 (1 - 2 ) dt + J1 d 1 (t) + B1 1 dt

0 = J2 d 2 (t) + K1 (2 - 1 ) dt + B2 (3 - 2 ) + K2 (2 - 3 ) dt dt

0 = J3 d 3 (t) + K2 (3 - 2 ) dt + B2 (3 - 2 ) + f2 3 (t) dt Sistema Análogo.

9

Ejercicio 5

f (t) = K2 (V1 - V2 ) dt + M1 d V1 (t) + K1 (V1 - V2 ) dt dt

0 = B1 (V2 - V3) + M2 d V2 (t) + K2 (V2 - V1) dt + K1 (V2 - V1) dt dt

0 = B1 (V3- V2 ) + M3 d V3(t) + B2 V3 (t) + K3 V3 dt dt Sistema Análogo.

10

Ejercicio 6

0 = K1 (V1 - V2 ) dt + M1 d V1 (t) + B1 (V1 - V2 ) dt + f1 V1 (t) dt

f (t) = B1 (V2 - V1) + M2 d V2 (t) + K3 (V2 - V3) dt + K1 (V2 - V1) dt + f2V2(t) +

K2 (V2 - V3)dt dt

0 = f3V3 + M3 d V3(t) + B2 V3 (t) + K2 (V3- V2 ) dt + K3 (V3- V2 ) dt + K4 (V3- V2 ) dt

dt

Sistema Análogo.

Masa Puntual Ejercicio 1

11

K1 [ X1 (t) - X2 (t) ] = B1d X2(t) fk1 = fB1 dt f (t) = K2 X1 (t) + K1 [ X1 (t) - X2 (t) ] + M1 d

2 X1 (t) dt Sistema Análogo.

Ejercicio 2

f (t) = fk1 + fB1 f (t) = k1 [ X1 (t) - X2 (t) ] + B1 [ d X1 (t) - d X2 (t)] dt dt fB2 = fk1 + fB1 k1 [ X1 (t) - X2 (t) ] + B1 [ d X1 (t) - d X2 (t)] = B2 [ d X2(t) - d X3 (t)] dt dt dt dt B2 [ d X2(t) - d X3 (t)] = k2 X3 dt dt Sistema Análogo

12

UNIDAD III ”FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA”

La función de transferencia ayuda al análisis de una salida con respeto a un tipo

de entrada y definida de una manera sencilla se expresaría como:

FT = salida . entrada

Existen varios métodos para encontrar la función de transferencia de un sistema

determinado, aquí se verán tres uno es utilizando las leyes de Kirchoff y las

leyes de Newton, el segundo es por álgebra de bloques y el tercero es por

diagramas de flujo de señal.

3.1 MÉTODO POR LEYES DE KIRCHOFF Y LEYES DE NEWTON

Para entender este método será más sencillo hacerlo con base a ejemplos y

posteriormente con ejercicios.

Ejemplos:

Encontrar la Función de transferencia, a) I (s)/ Ve(s), b) VL (s) / Ve (s), del

siguiente sistema.

a) Ve (t) = R1 i (t) + R2 i (t) + L d i (t)

13

dt Ve (s) = R1 I (s) + R2 I (s) + L S I(s)

Ve (s) = Is [ R1 + R2 + L S ]

I (s) = 1 .

Ve(s) R1 + R2 + L S b) Ve (s) = Is [ R1 + R2 + L S ]

VL(t) = L d i(t) dt

VL(t) = L S I(s)

I (s) = VL(s) LS

Ve (s) = VL(s) [ R1 + R2 + L S ] LS VL (s) = LS . Ve (s) R1 + R2 + L S Encontrar la función de transferencia Y1(s)/F(s) y una vez obtenido el

equivalente eléctrico la relación del voltaje del capacitor con respecto el voltaje

de entrada.

f (t) = d2 y1 (t) + B d y1 (t) + K y1 (t) dt2 dt F(s) = M s2 Y1 (s) + K Y1 (s) + B s Y1 (s) Y1 (s) = 1 . F (s) M S2 + K + B S

14

SISTEMA ELÉCTRICO ANÁLOGO

Ve (t) = L d i (t) + 1 i (t) dt + R i(t) dt C Ve (s) = L S I (s) + 1 I (s) + R I (s) CS Ve (s) = I (s) [L S + 1 + R ] CS Ve (s) = I (s) [L S2 C + 1 + R S C ] CS

Vc (s) = 1 I (s) I (s) = Vc (s) C S y sustituyo en la anterior CS Ve (s) = (Vc (s) C S ) [L S2 C + 1 + R S C ] CS Vc (s) = 1 . Ve (s) L S2 C + 1 + R S C Ejercicio Encontrar : I1 (s) , I2 (s) , Vc (s) V(s) V(s) V(s)

a)

15

V (t) = L1 d i 1(t) + R2 i1 (t) + R1 [ i1 (t) - i2 (t)] dt V (s) = L1 S I1 (s) + R2 I1 (s) + R1 [ I1 (s) - I2 (s)] V (s) = L1 S I1 (s) + R2 I1 (s) + R1 I1 (s) - R1 I2 (s) V (s) = I1 (s) [L1 S + R2 + R1 ] - R1 I2 (s) Ecuación 1

0 = L2 d i2 (t) + 1 i2 (t) dt + R3 i2 (t) dt + R1 [ i2 (t) - i1 (t)] dt C 0 = I2 (s) [L2 S + 1 + R3 + R1 ] - R1 I1 (s) Ecuación 2 CS De la ecuación 2 despejamos I2 (s) sustituimos en la ecuación 1 I2 (s) = C S R1 I1 (s) . L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 Sustituimos en la ecuación 1 V (s) = I1 (s) [L1 S + R2 + R1 ] - R1 [ C S R1 I1 (s) ] L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 V (s) = I1 (s) [L1 S + R2 + R1 ] - C S R1

2 I1 (s) . L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 V (s) = I1 (s) [L1 S + R2 + R1 - C S R1

2 . L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 I1 (s) = L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 . V (s) (L1 S + R2 + R1 ) (L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) - C S R1

2 b) Despejamos I1 (s) I1 (s) = I2 (s) [ L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ] C S R1 V (s) = I2 (s) [ L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ] [L1 S + R2 + R1 ] - R1 I2 (s) C S R1 V (s) = I2 (s) [ (L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - R1 ] C S R1 V (s) = I2 (s) [ (L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - C S R1

2 ] C S R1 I2 (s) = C S R1 . V (s) (L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - C S R1

2

16

c) Vc (s) = 1 I2 (s) CS I1 (s) = I2 (s) [ L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ] C S R1

V (s) = I2 (s) [ L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ] (L1 S + R2 + R1 ) - R1 I2 (s) C S R1

V (s) = I2 (s) [ ( L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - R1 ] C S R1

V (s) = Vc (s) C S [ ( L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - C S R1

2 ] C S R1

Vc (s) = R1 . V (s) ( L2 C S2 + 1 + C S R3 + C S R1 ) (L1 S + R2 + R1 ) - C S R1

2 3.2 ÁLGEBRA DE BLOQUE Para este método es necesario definir algunos esquemas utilizados en el

proceso. En la figura 3.1 se muestran los elementos básicos para entender el

álgebra de bloques.

Bloque Punto de Toma Punto de Suma

Figura 3.1 “Símbolos básicos para el álgebra de bloques” Al igual que en el método anterior para su entendimiento se analizará el procedimiento para la resolución de algunos ejemplos.

17

Ejemplos: Hallar la función de transferencia indicada en el cada uno de los sistemas. A)

G (s) = G1 + G2

G (s) = G3 + G4

C (s) = G1 + G2 . R (s) 1 + (G1 + G2) (G3 + G4) B)

1. - G3 . 1 + G3 H3

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2.- G2 G3 . 1 + G3 H3

G2 G3 . 3.- 1 + G3 H3 . = G2 G3 . 1 + H2 G2 G3 . 1 + G2 H3 + G3G2H2 1 + G3 H3 4.- = G1 G2 G3 . 1 + G2 H3 + G3G2H2 5.- H4 H5 G1 G2 G3 . 6.- 1 + G2 H3 + G3G2H3 . = G1 G2 G3 . 1 + G1 G2 G3 H4 H5 . 1 + G2 H3 + G3G2H2 + G1 G2 G3 H4 H5 1 + G3 H3 + G3G2H2 7.- G1 G2 G3 + G4 1 + G2 H3 + G3G2H2 + G1 G2 G3 H4 H5 F. T. = G1 G2 G3 + G1 G2 G3 G4 H4 H5 + G2 G3 G4 H2 + G3 G4 H3+ G4 . 1 + G2 H3 + G3G2H2 + G1 G2 G3 H4 H5 C)

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1.- H1 + G2

2.- (H3 + G2)G3 3. - 1 . 1 + G2 H2 4.- (H1 + G2) G3 1 + G2 H2 (H1 + G2) G3 5.- 1 + G2 H2 = H1 G3 + G2 G3 . 1 + (H1 + G2) H3 G3 1 + H2 G2 + H1 G3 H3 + G2 G3 H3 1 + G2 H2 6.- H1 G3 G1 + G1 G2 G3 . 1 + H2 G2 + H1 G3 H3 + G2 G3 H3 H1 G3 G1 + G1 G2 G3 . 7.- 1 + H2 G2 + H1 G3 H3 + G2 G3 H3 . 1 + H1 G3 G1 + G1 G2 . 1 + H2 G2 + H1 G3 H3 + G2 G3 H3 F. T. = H1 G3 G1 + G1 G2 G3 . 1 + H2 G2 + H1 G3 H3 + G2 G3 H3 + H1 G3 G1 + G1 G2 G3 D)

1.- H1 G2 2.- G2 G3

20

3.- (G2 G3) + G4 4.- H2 (G2 G3 + G4) 5.- 1 . 1 + H2 (G2 G3 + G4) 6.- G1 . 1 + H2 (G2 G3 + G4) G1 . 7.- 1 + H2 (G2 G3 + G4) = G1 . 1 + G1 H1 G2 . 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 1+ H2 (G2 G3 + G4) 8.- G1 (G2 G3 + G4) . 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 G1 (G2 G3 + G4) . 9.- 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 . 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 + G1 (G2 G3 + G4) 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 9.- G1 (G2 G3 + G4) . 1 + H2 (G2 G3 + G4) + H1 G2 G1 + G1 (G2 G3 + G4) 10.- 1 + G1 H1G2 (G2 G3 + G4) = 1 + H2 (G2 G3 + G4) + G1 H1G2 (G2 G3 + G4) 1 + H2 (G2 G3 + G4) 1 + H2 (G2 G3 + G4) 11.- FT= 1 + H2 (G2 G3 + G4) + G1 H1G2 (G2 G3 + G4) 1 + H2 (G2 G3 + G4) E)

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I1(s) = V (s) - V1 (s) V1 (s) = R2 [ I1 (s) - I2 (s)] R1 I2(s) = V1 (s) - V2 (s) V2 (s) = 1 I2 (s) = VC (s) LS CS

1.- CS 2.- 1 . LCS2 1 . 3.- LCS2 . LCS2 +1 LCS2 4.- LCS2 + 1 5.- R2 . LCS2 + 1 R2 . 6.- LCS2 + 1 = R2 . LCS2 + 1 + R2CS LCS2 + 1 + R2CS LCS2 + 1 7.- R2 . R1 (LCS2 + 1 + R2CS) R2 . 8.- R1 (LCS2 + 1 + R2CS) . R1 (LCS2 + 1 + R2CS) + R2 (LCS2 + 1) R1 (LCS2 + 1 + R2CS) F. T. : R2 . R1 (LCS2 + 1 + R2CS) + R2 (LCS2 + 1)

22

F)

I1(s) = V (s) - V1 (s) V1 (s) = L1 S [ I1 (s) - I2 (s)] R1 + R2 I2(s) = V1 (s) - V2 (s) V2 (s) = 1 [ I2 (s) - I3 (s)] R3 + R4 C1 S I3(s) = V2 (s) - V3 (s) V3 (s) = 1 I3 (s) L2S + R5 C2 S

1. - C2 S 2. - 1 . C2 S (L2S + R5) 1 . 3. - C2 S (L2S + R5) = 1 . 1 + 1 . 1 + C2 S (L2S + R5) C2 S (L2S + R5) 4. - C2 S (L2S + R5) + 1 5. - 1 . [C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S 6. - [C2 S (L2S + R5)+ 1]C1 S = 1 . [C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S [C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S [C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S 7. - [C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S

23

1 . 8.- 1 . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S 1 . 9.- (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S 9.- 1 . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 10.- (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 11.- L1 S . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 L1 S . 12.- (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1+ [C2 S (L2S + R5) + 1] + C2 S (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 12.- L1 S . (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1+ [C2 S (L2S + R5) + 1] + C2 S 13.- L1 S .. (R1 + R2)(R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S+ C2 S (L2S + R5) + 1+ C2 S (L2S + R5) + 1 + C2 S NOTA: A = (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1 B = (R3 + R4)[ C2 S (L2S + R5) + 1]C1 S + C2 S + C2 S (L2S + R5) + 1+ [C2 S (L2S + R5) + 1] + C2 S L1 S . 14.- (R1 + R2) B . (R1 + R2) B + (L1 S) A (R1 + R2) B F. T. : L1 S . (R1 + R2) B + (L1 S) A

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G)

C1 = C3 = 1 F ; C2 = 0.1 F ; R1 = R4 = R5 = 4.7 K ; R2 = R6 = R3 = 1

K L1 = L3 = 10 mH ; L2 = 100 mH I1(s) = V (s) - V1 (s) V1 (s) = (L1 S + 1 ) [ I1 (s) - I2 (s)] R1 + R2 C1S I2(s) = V1 (s) - V2 (s) V2 (s) = (R4 + 1 ) [ I2 (s) - I3 (s)] L2S + R3 C2 S I3(s) = V2 (s) - V3 (s) V3 (s) = 1 I3 (s) R6 + R5 + L2S C3 S

1.- C3 S 2.- 1 . C2 S (L3S + R5 + R6) 1 . 3.- C2 S (L3S + R5 + R6) = 1 . 1 + 1 . 1 + C2 S (L3S + R5 + R6) C2 S (L3S + R5 + R6) 4.- 1 + C2 S (L3S + R5 + R6) 5.- C2 S R5 + 1 . [1 + C2 S (L3S + R5 + R6)]C2 S

25

C2 S R5 + 1 . 6.- [1 + C2 S (L3S + R5 + R6)]C2 S = C2 S R5 + 1 . [1 + C2 S (L3S + R5 + R6)]C2 S + (C3S) (C2 S R4+ 1) [1 + C2 S (L3S + R5+ R6)]C2 S + (C3S)(C2 SR4 + 1) [1 + C2 S (L3S + R5 + R6)]C2 S 7.- [1 + C2 S (L3S + R5 + R6)] (C2 SR4 + 1) . [1 + C2 S (L3S + R5+ R6)]C2 S + (C3S)(C2 SR4 + 1) NOTA: A = [1 + C2 S (L3S + R5+ R6)]C2 S + (C3S)(C2 SR4 + 1) B = 1 + C2 S (L3S + R5 + R6)] (C2 SR4 + 1) 1 . 8.- C2 S (L2S + R3) = A . 1+ B . A (L2S + R3) + B A (L2S + R3) C1 SL1S + 1 . 9.- C1 S = C1 SL1S + 1 = (C1 SL1S + 1) [A (L2S + R3) + B] . C1 S + A (C1 SL1S + 1) . C1 S + A (C1 SL1S + 1) [A (L2S + R3) + B] C1 S + A (C1 SL1S + 1) C1 S [A (L2S + R3) + B] C1 S A (L2S + R3) + B NOTA: D = (C1 SL1S + 1) [A (L2S + R3) + B] . [A (L2S + R3) + B] C1 S + A (C1 SL1S + 1) 10.- D . R1 + R2 D . 11.- R1 + R2 = D . R1 + R2 + C R1 + R2 + D R1 + R2 F. T. : [C2 S R5 + 1] A D . [1 + C2 S (L3S + R5+ R6)]C2 S + (C3S)(C2 SR4 + 1)A (L2S + R3) + BR1 + R2 + D

26

Ejercicios: Hallar la función de transferencia indicada. 1)

I1(s) = V (s) - V1 (s) V1 (s) = (R5 + 1 ) [ I1 (s) - I2 (s)] = (R5 C1S + 1 )[ I1 (s) - I2 (s)] L1S + R1 C1S C1S I2(s) = V1 (s) - V2 (s) V2 (s) = (L2S+ 1 ) [ I2 (s) - I3 (s)] = (C3 SL2S + 1)[ I2 (s) - I3 (s)] R2 + R3 C3 S C3 S I3(s) = V2 (s) - V3 (s) = SC4C2S[V2 (s) - V3 (s)] V3 (s) = [R4 + L3 S] I3(s) (1/C2S) + (1/ C4S) SC4 + SC2

Resuelva el diagrama a bloques. 2)

27

f (t) = M1 d

2 Y1 + (B1 + B2 + B3 ) (d Y1 - d Y2 ) dt dt 0 = M2 d

2 Y2 + (B1 + B2 + B3 ) (Y’2 - Y’1 ) + B4 (Y’2 - Y’3 ) + (K1 + K2 ) (Y’2 - Y’3 ) dt

2 0 = M3 d

2 Y2 + B5 Y’3 + (K3 + K4 ) Y5 + B4 (d Y’2 - d Y’3 ) + (K1 + K2 ) (Y’3 - Y’2 ) dt

2

I1(s) = V (s) - V1 (s) V1 (s) = (R1 + R2 + R3) [ I1 (s) - I2 (s)] L1S I2(s) = V1 (s) - V2 (s) V2 (s) = (R4 + 1 + 1 ) [ I2 (s) - I3 (s)] = C2 + C1 + C2 C1R4[ I2 (s) - I3 (s)] L2S C2 S C1 S C1C2 I3(s) = V2 (s) - V3 (s) = C3 [V2 (s) - V3 (s)] V3 (s) = 1 I3 (s) (1/C3) + R5 + L3S 1 + L3SC3S + C3R5 C4 S

28

Resuelva el diagrama a bloques.

3.3 DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL Términos

a) Nodo de entrada: nodo que sólo tiene ramas de salida.

b) Nodo de Salida: nodo que sólo tiene ramas de entrada.

c) Trayectoria directa: es una trayectoria (sucesión continua de ramas) que

empieza en un nodo de entrada y termina en un nodo de salida a lo largo de la

cual ningún nodo se atraviesa más de una vez.

d) Mallas: es una trayectoria que se inicia y se termina en el mismo nodo y en

donde ningún otro nodo se encuentra más de una vez.

e) Mallas que no se tocan: dos partes de la gráfica de flujo de señal que no se

tocan

29

Fórmula de Ganancia n

M = MK K

k=1 M (Ganancia): Relación de salida con respecto a la entrada

N = número total de trayectoria

MK = ganancia de la trayectoria directa

K = cofactor

= determinante

= 1-( de lazos individuales) + ( de los lazos disjuntos de 2 en 2) - ( de los

lazos disjuntos de 3 en 3) + ...

Ejemplo: Obtener la función de transferencia de la siguiente gráfica

Y1a2

a32 a43a44

a45a23 a34

a24

a25

1.- Trayectoria directa

M1= a12a23a34a45

M2= a12a24a45

M3= a12a25

2.- Determinante

Δ= 1- ∑ Lazos individuales + ∑ Lazos disjuntos (2/2)

Lazos individuales

L1= a23a32

L2= a34a43

L3= a44

L4= a24a43a32

Lazos disjuntos (2/2)

L1L3 = a23a32a44

30


No hay

Δ= 1- (a23a32 + a34a43 + a44 + a24a43a32) + a23a32a44

3.- Cofactores

ΔM1= 1-0=1

ΔM2= 1-0=1

ΔM3= 1- (a34a43 + a44)

332211 MMMMMM

M

4432233243244443343223

444334251245241245342312

(1

)1(

aaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaM

Ejercicio 1 Encontrar la función de transferencia del siguiente sistema

G1 G2 G3R(s)+

-

G4

H2

H1

C(s)+ + +

-

-

-

1 G1

-H1

G2 G3

-1

1

G4

-H2

R(s) C(s)

1.-

M1 = G1G2G3

M2 = G1G4

31

2.-

Lazos individuales

L1 = -G1G2H1

L2 = -G2G3H2

L3 = -G1G2G3

L4 = -G1G4

L5 = -G4H2


No hay

Δ= 1 + G1G2H1 + G2G3H2 + G1G2G3 + G1G4 + G4H2

3.-

ΔM1= 1-0=1

ΔM2= 1-0=1

2211 MMMM

M

2441321232121

41321

1 HGGGGGGHGGHGG

GGGGGM

1)(

)(

2423212141321

41321

HGHGGHGGGGGGG

GGGGG

sR

sC

RESOLVIENDO POR DIAGRAMAS DE BLOQUES: 1.- H1 G2 2.- G2 G3 + G4 3.- H1 G2 . (G2 G3) + G4 4.- G1 (G2 G3 + G4) .

32

H2 (G2 G3 + G4) + 1 5.- G1 G1 . 6.- 1 + H2 (G2 G3 + G4) = G1 (G2 G3 + G4) (G2 G3 + G4) . 1 + G1 H1 G2 (G2 G3 + G4) (G2 G3 + G4)[1 + H2 (G2 G3 + G4)] + H1 G2 G1 (G2 G3 + G4) 1+ H2 (G2 G3 + G4) G1 (G2 G3 + G4) (G2 G3 + G4) . 7.- (G2 G3 + G4)[1 + H2 (G2 G3 + G4)] + H1 G2 G1 (G2 G3 + G4) . (G2 G3 + G4)[1 + H2 (G2 G3 + G4)] + H1 G2 G1 + G1 G2 G3 + G1 G4 (G2 G3 + G4)[1 + H2 (G2 G3 + G4)] + H1 G2 G1 (G2 G3 + G4) 8.- G1 (G2 G3 + G4) (G2 G3 + G4) . (G2 G3 + G4) [1 + H2 (G2 G3 + G4)] + H1 G2 G1 + G1 G2 G3 + G1 G4 9.- G1 G2 G3 + G1 G4 . 1 + H2 G2 G3 + H2G4 + H1 G2 G1 + G1 G2 G3 + G1 G4 Ejercicio 2

G1 G2 G3 G41 1G5Y1 Y2

G6

-H1 -H2 -H3 -H4

-H5

-H6

1.-

M1 = G1G2G3G4G5

M2 = G6G5

2.-

Lazos individuales

L1 = -G1H1

L2 = -G2H2

33

L3 = -G3H3

L4 = -G4G5H4

L5 = -H6

L6 = -G3 G2 G4 G5 H5

L7 = -G6G5H1H5

L8 = -G6G5H1H2H3H4


L1L3; L1L4; L1L5; L2L5; L2L4; L3L5; L3L7


L1L3 L5

Δ=1+ (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8) + (L1L3 + L1L4 + L1L5 + L2L5 + L2L4 + L3L5 + L3L7) - L1L3 L5 3.- ΔM1= 1-0=1 ΔM2= 1-(L2 + L3)

5317353425251413187654321

325654321

1

2

)(1

)(1)(

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LLGGGGGGG

Y

Y

Ejercicio 3

G1G2

G3

G4G5

G9

G6

H1H2

H3 H4

G8

G7

1 1R(s) C(s)

1.-

M1 = G1G2G3G6G7

M2 = G4G5G6G7

34

2.-

Lazos individuales

L1 = G2H2

L2 = H1

L3 = G5H3

L4 = G6H4

L5 = G3 G6 G7 G8 H9


L1L2; L1L3; L1L4; L2L3; L2L4


L1L2 L4

L1L2 L3

Δ=1+ (L1 + L2 + L3 + L4 + L5) + (L1L2 + L1L3 + L1L4 + L2L3 + L2L4) – (L1L2 L4 + L1L2

L3)

3.-

ΔM1= 1- L2

ΔM2= 1-(L1 + L2)

)()()(1

)(1)1(

321421423241312154321

217654274321

1

2

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

LLGGGGLGGGGG

Y

Y

Ejercicio 4

1

1

R1+R2V(s)V3(s)1

-1 -1

-1 -1 -1

L1 S

1

R3+R4

1

C1 S

1

L2S+R5

1

C2 S

1.- M1 = L1S . (R1 + R2)(R3 + R4)(L2S + R5) C1SC2S

35

2.- Lazos individuales L1 = -L1 S

R1+R2 L2 = - 1 . (R3 + R4)(C1 S) L3 = - 1 . (L2 S+ R5)(C2 S) L4 = - L1S . R3 + R4 L5 = - 1 . (L2 S+ R5)(C1 S) Lazos disjuntos (2/2) L1L3; L1L5; L4L5 Δ=1+ (L1 + L2 + L3 + L4 + L5) + L1L3 + L1L5 + L4L5 3.- ΔM1= 1- 0 =1

54513154321

21524321

1

1

2

)(1

))()((

LLLLLLLLLLL

SSCCRSLRRRR

SL

Y

Y

UNIDAD IV “ANÁLISIS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN” 4.1 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

Respuesta Temporal = respuesta transitoria + respuesta estacionaria

Respuesta Transitoria: Originada por la respuesta dinámica del sistema y

determina el comportamiento del sistema durante la transición de algún estado

inicial hasta el estado final.

Respuesta Estacionaria: Es la respuesta que perdura cuando el tiempo crece

infinitamente.

36

En la figura 4.1 se observa de manera gráfica la respuesta transitoria y

estacionaria.

Primer Orden Segundo Orden (bajo amortiguamiento)

Figura 4.1 “Gráficas de respuesta transitoria y estacionaria” 4.2 FUNCIONES DE ENTRADA

a) Impulso Unitario (función delta (t))

∞ t = to f(t) = δ(t) L [ F (t)] = 1

0 t ≠ to

b) Escalón Unitario U (t)

1 t ≥ 0 u(t) =

0 t < 1

2 L [U s (t)] = k/s. Si k=1 se tiene U(s)1/s c) Rampa Unitaria (r (t))

t t ≥ 0 r (t) = 0 t < 0

37

L [ r (t)] = m / s2 . Si m=1 se tiene R(s)= 1/s2 Nota: m = pendiente de la rampa 4.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo Analizar I (s) , VR(s) , VL (s) de acuerdo a los datos presentados en el sistema.

Datos: Ve(t) = 10 Vcc

L = 0.01 H R = 1 KΩ Ve (s) = I (s) [R + LS] I(s) = 1 I (s) = Ve (s) = 10 . Ve(s) LS + R LS + R s (LS+R) I (s) = 10/L = 10 1 = L -1 = 10 1/R (1 – e-R/L t) = 10 (1 – e-R/L t) S(S+ R/L) L S (S + R/L) L L R I (s) = A1 + A2 10 = A1 (S + R/L) + A2 (S) S S+R/L L Cuando S=0 Cuando S = -R/L 10 = A1 R A1 = 10 10 = -A2 R A2 = -10 L L R L L R I (s) = (10/R) - (10/R) = 10 1 - 1 = 10 (1 – e-R/L t) S S+(R/L) R S S+(R/L) R VR(s) = R I(s) I(s) = VR(s) / R Ve(s) = (VR/R) [LS+R] VR/Ve = R/ (LS+R)

L

V(t) RI(t)

38

VR(s) = 10 R = 10 R = 10R/L = 10R 1 . S LS+R S (LS+R) S(S+ R/L) L S (S + R/L) L -1 = [VR(s)] = 10R 1/R (1 – e-R/L t) L L VR(s) = 10 (1 – e-R/L t) VR(s) = i (t)R= 10 (1 – e-R/L t) R = 10 (1 – e-R/L t) R VL(t) = L di i(t) = 10 (1 – e-R/L t) dt R d i(t) = - 10 e-R/L t = -10 e-R/L t (- R/L) = 10 e-R/L t dt R R L VL(t) = L ( 10/L e-R/L t ) = 10 e-R/L t Ve(s) = I (s) [ R + LS] VL(s) = L S I(s) I (s) = VL(t) LS VR(s) = VL/ LS [ R + LS] VC = (1 / CS) I(s) I(s) = C S VC(s) VL = LS VL = 10 LS = 10L = 10L/L = 10 Ve LS + R S LS + R LS + R S + R/L S + R/L VL = 10 e-R/L t

El análisis se hace de los gráficos obtenidos.

39

i (t) = 10/R (1-e-R/L t)

VR(t)

= 10 (1-e-R/L t)

VL(t)

= 10 (e-R/L t)

10/R

10

10

t

t

t

UNIDAD V “ANÁLISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN” 5.1 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Función de transferencia de lazo cerrado de un sistema de 2o orden es:

Y (s) = n2 .

R (s) s2 + 2 n S + n2

Obteniendo las raíces del denominador se tiene:

Si, 2 = - n + j n (1 - 2)½

n = frecuencia natural no amortiguada

= relación de amortiguamiento

También se tiene = n = = n (1 - 2)½

= constante de amortiguamiento

= frecuencia de oscilación

a = 1 b = 2 n c = n2

40

La figura 5.1 ilustra la relación entre la localización de las raíces de la ecuación

característica y , , n y .

Donde:

n = distancia radial de las raíces al origen del plano S

= es la parte real de las raíces

= es la parte imaginaria de las raíces

= coseno del ángulo entre la línea radial de las raíces están en el semiplano

izquierdo

Figura 5.1 “Relación entre los parámetros y , , n y .”

Las regiones del plano s se identifican con el amortiguamiento de la siguiente

forma y como se muestra en la figura 5.2.

a) En el semiplano izquierdo corresponde al amortiguamiento positivo: El

sistema es estable

b) En el semiplano derecho corresponde al amortiguamiento negativo: Sistema

inestable

c) El eje imaginario corresponde a cero amortiguamientos: Sistema críticamente

estable.

41

Figura 5.2 “Clasificación de los sistemas de acuerdo al valor del

amortiguamiento”

Dinámicas del sistema con respecto al valor de

a) > 0 , Si 2 = - n + n (2-1)½

Sobreamortiguado

b) = 1 , Si 2 = - n Amortiguamiento Crítico

c) 0< < 1 , Si 2 = - n + jn (1- 2 )½ Subamortiguamiento

d) = 0 , Si 2 = j n

No amortiguado

42

Ejercicio 1 Determinar el tipo de respuesta del siguiente sistema

Analizar Ve (t) = 10Vcc Vc(s) R1 = R2 = 1 K Ω C = 10µf L = 0.01 H

Ve (s) = I (s) [LS + 2R1 + 1/CS] Ve(s) = I (s) LCS2 + 2RCS + 1 CS Vc (s) = 1/CS I(s) I(s) = CS Vc(s) Ve(s) = CSVc LCS2 + 2RCS + 1 CS Vc(s) = 1 . Ve(s) LCS2 + 2RCS + 1 1 = LC ωn = (1 / LC)1/2 ωn

2 2ε = 2RC ε = 31.62 >> 1 Sistema sobreamortiguado ωn

Ve

R2L

C

R1

i(t)

43

5.2 ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Recordando:

Y (s) = n2 ; R(S) = 1

R (s) s2 + 2 n S + n2 S

Y (S) = n2 ;

S (s2 + 2 n S + n2 )

L -1 [Y (s)] = y (t) = 1 – e-R/L t sen ωn (1 – ε2)1/2 t (1 – ε2)1/2 φ = tan (1 – ε2)1/2 ε Esto indica que se requiere tener un sistema subamortiguado para determinar las

especificaciones que a continuación se describen. Cuyas características se

muestran en la figura 5.3

para 0 < ε < 1 Figura 5.3 “Características de un sistema subamortiguado”

44

Las especificaciones de la respuesta transitoria para un sistema de segundo

orden se muestran gráficamente en la figura 5.4. Posteriormente se explican de

manera general cada una de ellas.

Sobrepaso Máximo

MpY (t)

t

100%

90%

50%

10%

tp

tstr

td

Figura 5.4 “Parámetros de la respuesta transitoria para un sistema de segundo

orden”

a) Sobrepaso Máximo (p): valor pico máximo de la curva de respuesta medida desde el valor del escalón.

)/( dep

σ = constante de amortiguamiento

d = frecuencia de oscilación b) Tiempo Pico (tp, tiempo máximo): Tiempo en el cual se alcanza el sobrepaso máximo

d

tp

c) Tiempo de Retardo (td): Es el tiempo en que tarda la señal en alcanzar la mitad del valor final.

45

n

td

2439.025.01.1

d) Tiempo de levantamiento (tr): Es el timpo para que la respuesta al escalón alcance del 10% al 90% de su valor final.

n

tr

5.28.0

e) Tiempo de asentamiento (ts):

n

ts

2.3 0 < ε < 0.69

n

ts

5.4 ε > 0.69

Ejemplo 1 Se tiene un sistema de segundo orden con la siguiente función de transferencia:

22

2

2)(

)(

nn

n

SSsC

sY

ε= 0.6 ωn= 5 rad/seg

p = e – (σ/ωd) π σ = ε ωn ωd = ωn (1- ε2)1/2 σ = 0.6 (5) = 3 ωd = 5 (1- 0.62)1/2 = 4

p = e – (3/4) (3. 1416) = 0.09477 * 100 = 9.4%

segundostrn

46.05

)6.0(5.28.05.28.0

segundostsn

06.15)6.0(

2.32.3

segundostpd

78.04

1416.3

segundostdn

26.05

)6.0(439.0)6.0(25.01.1439.025.01.1 22

46

Sobrepaso Máximo

MpY (t)

t

100%

90%

50%

10%

tp=0.78 seg

ts=1.06 seg

9.4%

tr=0.46 segtd=0.26 seg

Ejercicio 2

Determinar del siguiente sistema los parámetros: p , tr, ts , tp y td

Si se tiene: K=1 B=3 M=25

f (t) =M d2 Y(t) + B d Y(s) + K Y(s) dt2 dt F (s) = M S2 Y(s) + K Y(s) + B S Y(s) F (s) = Y(s) (MS2 + BS + K) Y (s) = 1 . F (s) M S2 + BS + K

nK

M

1

25

1

M

Kn

wn = 0.2 rad/seg

m

BK

f(t)

Y (t)

47

K

B

n

2 3.0

)1(2

)2.0(3

2

)(

K

B n

σ = 0.3 (0.2) = 0.06 ωd = 0.2 (1- 0.32)1/2 = 0.19

p = e – (0.06 / 0. 19) ( 3. 1416) = 0.3723 * 100 = 37.23 %

segundostrn

75.72.0

)3.0(5.28.05.28.0

segundostsn

33.53)2.0)(3.0(

2.32.3

segundostpd

53.1619.0

1416.3

segundostdn

07.62.0

)3.0(439.0)3.0(25.01.1439.025.01.1 22

Sobrepaso Máximo

MpY (t)

t

100%

90%

50%

10%

tp=16.53 seg

ts=53.33 seg

37.23 %

tr=7.75 segtd=6.07 seg

48

UNIDAD VI “ESTABILIDAD ABSOLUTA” Para abordar el tema de la estabilidad se cree necesario abordar un tema

relevante concerniente a la definición de lo qué son los polos y ceros de manera

que así se iniciará esta unidad.

6.1 POLOS Y CEROS

ENTRADA

SALIDATF :. por ejemplo:

)(

)(

)2)(1(

12

23

12)(

2 sa

sb

ss

s

ss

ssF

De la función anterior se tiene que los valores de S tales que a(s) =0 llevará a F(s)

al infinito y esos valores se le conoce como POLOS de F(s). Por otro lado los

valores de S que hacen que b(s)=0 llevarán a F(s) =0 y a esos valores se les llama

CEROS.

Del ejemplo anterior se tiene:

Ceros 2s + 1 = 0 s = - ½ Polos s + 1 = 0 s = -1 s + 2 = 0 s = -2 Graficando se tiene:

Polos Cero

-2 -1 -1

2

IIm

IRe

Los polos y los ceros pueden describir cuál será la señal de salida que se tiene en un sistema específico. Por ejemplo: El polo S + 1 proporciona e-t El polo S + 2 proporciona e-2t

49

Graficando se tiene

-2 -1

IIm

IRe

De la gráfica se observa que si s = -1(e-t), la señal decae más lentamente que si s

= -2(e-2t), es decir s = -1 es un polo más lento que s 0 -2. Con esto se concluye

que los polos más alejados del eje imaginario están asociados a señales que

decaen más rápidamente que los polos más cercanos al mismo eje.

6.2 ESTABILIDAD Un sistema estable se define como aquel que tiene una respuesta limitada, esto

quiere decir que el sistema es estable si estando sujeto a una entrada o

perturbación limitada su respuesta es de magnitud limitada. La respuesta a una

condición inicial, dará como resultado una respuesta decreciente, neutral o

creciente, esto quiere decir: estable, críticamente estable, e inestable

respectivamente.

Una condición necesaria para que un sistema de retroalimentación sea estable es

que todos los polos de la función de transferencia, tengan partes reales negativas.

Para responder a la pregunta si el sistema es estable, se han planeado 3 enfoques

diferentes:

a) En el plano S (Criterio de Routh-Hurwitz)

b) En la frecuencia jω (Criterio de Nyquist)

c) En el tiempo (Variable de Estado)

50

La estabilidad relativa es la propiedad que se mide por los tiempos relativos de

estabilización de cata par de raíces.

6.3 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Para abordar este criterio será de mayor facilidad si se hace a través de ejemplos.

Ejemplo:

Utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz indicar si el sistema es estable.

F(s) = Ecuación Característica: 2s4 + s3 + 3s2 + 5s + 10 = 0

Se crea la Tabla

s4 2 3 10

s3 1 5

s2 A1 A2

s1 B1

s C1

A1 = 3(1) - 5(2) = 3 – 10 = -7 1 A2 = 1(10) – 0 = 10 1 B1 = A1(5) – A2(1) = -35-10 = -45 = 45 A1 -7 -7 7 Comprobación B1 C1 = B1A2-0 = B1A2 = 10 B1 B1 Se vuelve a crear una tabla

s4 2

s3 1

s2 -7

s1 45/7

s 10

Si existe un cambio de signo en los coeficientes de la primera columna. el sistema

es inestable.

51

En este caso hay dos cambios de signo por lo tanto el sistema es inestable.

Casos Especiales CASO I F(s) = s3- 3s + 2 = 0

s3 1

s2 0

s1 A1

s 2

A1 = 0(-3) - 2(1) = ∞ 0 Se vuelve a crear la tabla y se coloca ε en vez del cero

s3 1

s2 ε

s1 A1

s 2

A1 = ε (-3) - 2(1) = -2 ε ε Se vuelve a crear la tabla

s3 1

s2 ε

S1 -2/ ε

s 2

Como hay cambio de signo el sistema es inestable CASO II F(s) = s4 + s3 - 3s2 – s + 2 = 0

s4 1 -3 2

s3 1 -1

s2 A1 A2

s1 B1

s C1

52

A1 = 3 + 1 = -2 1 A2 = 2 – 0 = 2 1 B1 = -A1 – A2 = 2 – 2 = 0 A1 2 Por lo tanto del renglón anterior se extrae una ecuación auxiliar A(s) = -2 s2 + 2s y se deriva d A(s) = -4s + 2 y se toma el coeficiente perteneciente a la s dA

s4 2

s3 1

s2 -2

s1 -4

s 2

Como hay dos cambios de signo el sistema es inestable Ejercicio 1

10

S + 6S + 2S + 4S + 5+

-

C(s)

V1

5 4 3 2

5426

10..

2345

ssssTF

10)5426(

10..

2345

ssssTF

15426

10..

2345

ssssTF

F(s) = s5 + 6s4 + 2s3 + 4s2 + 15

53

s5 1 2 0

s4 6 4 15

s3 A1 A2

s2 B1 B2

s1 C1

s 15

A1 = 12 - 4 = 8 6 6 A2 = 0 – 15 = -15 6 6 B1 = A1(4) – A2(6) = 61 A1 4 B2 = A1(15) – 0 = 15 A1 C1 = B1A2-B1A1 = -465 B1 122

s5 1

s4 6

s3 8/6

s2 61/4

s1 -65/122

s 15

Como hay dos cambios de signo el sistema es inestable Ejemplo Encontrar el valor de k para que el siguiente sistema sea estable

011021064

GH(s)2345

sssss

k

F(s) = s5 + 4s4 + 6s3 + 10s2 + 2s + (10+k) = 0

54

s5 1 6 2

s4 4 10 10+k

s3 A1 A2

s2 B1 B2

s1 C1

s 10+k

A1 = 24 - 10 = 7 4 2 A2 = 8 – 10-k = -2-k = -1 (2+k) = -0.5 – 0.25k 4 4 4 B1 = A1(10) – A2(4) = 2(37+k) A1 7 B2 = A1 (10+k) = 10+k A1 C1 = B1A2-B1A1 B1

7

)37(2

2

7)10(]2[

4

1

7

)37(2

1 K

KKK

C

B1 >0 2(37+K) >0 K > -37 7 10+K >0 K > -10 C1 >0 Para el caso de la ecuación de C1 sólo se trabajará con la parte superior, ya que la inferior ya la tenemos

014

)10(49)2)(37()10(

2

7]2[

4

1

7

)37(21

kkkKK

KC

55

0]56488[14

56488

14

494903774 222

1

kkkkkkk

C

0)81)(7(1 kkC

(+) (-) < 0 ó (-) (+) < 0 k + 7 > 0 k + 81 < 0 k + 7 < 0 k + 81 > 0 k > -7 ∩ k < -81 k < -7 ∩ k > -81

-81 -7 U

-81 -7

C1 > 0 (-81,-7) Uniendo los tres rangos

-81 -37 -7 0-10

El rango es: (-10,-7) Ejercicio 2 Encontrar el valor de k para que el siguiente sistema sea estable

1132

)1(GH(s)

23

sss

sk

F(s) = s3 + 2s2 + 3s + [1+k(s+1)] = s3 + 2s2 + (3+k)s + (k+1)

s3 1 3+k

s2 2 k+1

s1 A1

s k+1

56

A1 = 2(3+k) - (k+1) > 0 2 En este caso se trabajará con la parte superior, ya que el 2 es mayor a cero 6+2k-k+1 k+7>0 k > -7 K+1 >0 k > - 1 Uniendo los 2 rangos

-7 -1

El rango es: k > -1

UNIDAD VII “LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES”

La técnica del lugar geométrico de las raíces es un método gráfico para dibujar la

posición de las raíces en el plano S a medida que se varía un parámetro. Este

esquema muestra información de una estabilidad relativa y absoluta de un

determinado sistema.

El lugar geométrico de las raíces se encuentra en el eje real del plano S. Existen

algunas categorías del lugar geométrico que son las siguientes

RL: Porción del lugar geométrico de las raíces donde k es positiva 0<k< t ∞. Se

encuentra en la sección donde el número total de polos y ceros de G(s) H(s) a la

derecha es impar.

CRL (Lugar Geométrico de las Raíces Complementario): Porción del lugar

geométrico de las raíces donde k es negativa -∞ <k<0. Región donde se

encuentra a la derecha de la sección donde el número de polos y ceros es par

57

Lugar Geométrico de las Raíces: Se refiere al lugar geométrico de las raíces

total donde -∞ < k < ∞.

La construcción de la gráfica LGR se basa en el conocimiento de los polos y ceros

de la función G(s)H(s).

Ejemplo:

Encontrar el lugar geométrico de la siguiente función:

)1)(1)(4(

)2(

)22)(4(

)2(GH(s)

2 jsjsss

sk

ssss

sk

1) Polos (4) P1 = 0 P2 = -4 P3 = -1-j P4 = -1+j 2) Ceros (1) Z1 = -2 Z2 = Z3 = Z4 = ∞ 3) No. De ramas (Grado máximo del denominador) N = 4 4) Simetría Si es simétrico Nota: El lugar geométrico de las raíces es simétrico respecto al eje real del plano S. 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RL

RL

RL CRL

IIm

IRe

58

6) Asíntotas Número Angulo de Inclinación N.A. = Polos – Ceros = 4 – 1 = 3

Angulo de Inclinación: ZP

KBK

180)12(

Para k = 0

0

0 603

180

3

180]1)0(2[

B

Para k = 1

0

1 1803

540

3

180]1)1(2[

B

Para k = 2

0

2 3003

900

3

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = ∑ Partes reales de los polos - ∑ Partes reales de los ceros Polos – Ceros σ = (0 – 4 – 1 – 1) – (-2) = - 6 + 2 = - 4 = -1.33 3 3 3 8) Ángulos de partida de los polos complejos

IIm

IRe

θ1

θ2

θ3

α

θ1'q

1=θ

4

∑ Ángulos de los Ceros - ∑ Ángulos de los Polos = 180o α - (θ1 + θ2 + θ3 + θ4) = 180o θ1’ = tan -1 (1/1) = 45o θ1 = 180-45= 135o θ2 = 90o θ3 = tan -1 (1/3) = 18.43o α = tan -1 (1/1) = 45o

59

45 – (135 + 90 + 18.43 + θ4) = 180 θ4 = 45 – 180 – 243.43 θ4 = -378.43 + 360 θ4 = -18.43o 9) Intersección con el eje imaginario

a) Se obtienen condiciones de estabilidad para k. b) Se toma el valor crítico de k y se sustituye en la ecuación establecida sobre

el renglón de s2 c) De esa ecuación se obtiene la intersección con el eje imaginario

Encontrar el valor de k para que el siguiente sistema sea estable

)22)(4(

)2(GH(s)

2

ssss

sk

02)22)(4(GH(s)1 2 kksssss

F(s) = s4 + 6s3 + 10s2 + (8+k)s + 2k = 0

s4 1 10 2k

s3 6 A2

s2 A1 s1 B1

s 2k

A1 = 60 – 8 -k = 52-k

6 6 52 – k > 0 k < 52 A2 = 2k

52

41628

6

52

1286

)522

1

K

KK

K

KK

B

-k2 – 28k + 416 > 0 k2 + 28k - 416 < 0

60

(k - 10.7) (k + 38.7) (+) (-) < 0 ó (-) (+) < 0 k - 10.7 > 0 k + 38.7 < 0 k – 10.7 < 0 k + 38.7 > 0 k > 10.7 ∩ k < -38.7 k < 10.7 ∩ k > -38.7

0 10.7-38

U -38 10.70

Uniendo los tres rangos

0 5210.7-38

El rango es: 0 < k < 10

s4 1 10 2k

s3 6 8+k

s2 (52-k)/6 2k s1 B1

s 2k

A(s) = [(52 – k )/6]s2 + 2k = 0 Tomando del rango el valor de k entonces: Si k = 10 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 1.69 j Graficando:

IIm

IRe

1.69

-1.69

61

La gráfica final: IIm

IReσ-2-4

1.69

-1.69

Bo=60

B2=-60

B1=180

Ejercicio 1 Encontrar el lugar geométrico de la siguiente función:

)44)(44()328(GH(s)

2 jsjss

k

sss

k

1) Polos (4) P1 = 0 P2 = -4 + 4j P3 = -4 - 4j 2) Ceros (0) Z2 = Z3 = Z4 = ∞ 3) No. De ramas (Grado máximo del denominador) N = 3 4) Simetría Si es simétrico 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RL

RL

IIm

IRe

6) Asíntotas

62

N.A. = Polos – Ceros = 3 – 0 = 3 Para k = 0

0

0 603

180

3

180]1)0(2[

B

Para k = 1

0

1 1803

540

3

180]1)1(2[

B

Para k = 2

0

2 3003

900

3

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = ∑ Partes reales de los polos - ∑ Partes reales de los ceros Polos – Ceros σ = (0 – 4 – 4) – 0 = - 8 = -2.66 3 3 8) Ángulos de partida de los polos complejos

IIm

IRe

θ1

θ2

θ1'q

1= θ

3

∑ Ángulos de los Ceros - ∑ Ángulos de los Polos = 180o α - (θ1 + θ2 + θ3 + θ4) = 180o θ1’ = tan -1 (1/1) = 45o θ1 = 180-45= 135o θ2 = 90o – (135 + 90 + θ3) = 180 θ3 = -45 9) Intersección con el eje imaginario

63

F(s) = s3 + 8s2 + 32s + k = 0

s3 1 32

s2 8 k

s1 A1

s k

A1 = (8)(32) – k

8 256 – k > 0 k < 256 k > 0

0 256


s3 1 32

s2 8 k

s1 (256-k)/8

s k

A(s) = 8s2 + k = 0 Si k = 256 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 5.6 j La gráfica final:

IIm

IReσ

5.6

-5.6

Bo=60

B2=-60

B1

180

64


)1)(1)(2(

)2(

)22)(2(

)5(GH(s)

2 jsjss

sk

sss

sk

1) Polos P1 = -4 P2 = -1-j P3 = -1+j 2) Ceros (1) Z1 = -5 Z2 = Z3 = ∞ 3) No. De ramas (Grado máximo del denominador) N = 3 4) Simetría Si es simétrico 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RL

CRL

IIm

IRe

CRL

6) Asíntotas N.A. = Polos – Ceros = 3 – 1 = 2 Para k = 1

0

1 902

180

2

180]12[

B

Para k = 2

0

2 2702

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = (– 2 – 1 – 1) – (-5) = 0.5 2 8) Ángulos de partida de los polos complejos

65

IIm

IRe

θ1

θ2

θ3

α

∑ Ángulos de los Ceros - ∑ Ángulos de los Polos = 180o α - (θ1 + θ2 + θ3 + θ4) = 180o θ1 = 45o θ2 = 90o α = tan -1 (1/4) = 14.3o 14.3 – (45 + 90 + θ3) = 180 θ3 = 59o 9) Intersección con el eje imaginario F(s) = s3 + 4s2 + (6+k)s + (4+5k) = 0

s3 1 6+k

s2 4 4+5k

s1 A1

s 4+5k

A1 = 4(6 + k)-(4+5k) = -k+20 4 4 – k + 20 > 0 k < 20 4 + 5k > 0 k > -4/5

-4/5 200 El rango es: -4/5 < k < 20

s3 1 6+k

s2 4 4+5k

s1 (-k+20)/4

s 4+5k

66

A(s) = 4s2 + (4+5k) = 0 Si k = 20 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 5.3j Graficando:

IIm

IReσ

-5.6

5.6

-2-5


)2)(1(GH(s)

sss

k

1) Polos P1 = 0 P2 = -1 P3 = -2 2) Ceros (1) Z1 = Z2 = Z3 = ∞ 3) N = 3 4) Simetría Si es simétrico 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RLRL CRL

IIm

IRe


67

0

0 603

180

3

180]1)0(2[

B

Para k = 1

0

1 1803

540

3

180]1)1(2[

B

Para k = 2

0

2 3003

900

3

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = (0 – 2 – 1) – (0) = -1 3 8) Ángulos de partida de los polos complejos No hay

IIm

IReσ

B1=180 Bo

60

B2

-60

9) Intersección con el eje imaginario F(s) = s3 + 3s2 + 2s + k = 0

s3 1 2

s2 3 k

s1 A1

s k

A1 = 6 - k 3 – k + 6 > 0 k < 6 k > 0

0 6

68


s3 1 2

s2 3 k

s1 (6-k)/3

s k

A(s) = 3s2 + k = 0 Si k = 6 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 1.44j 10) Puntos de ruptura F(s) = s3 + 3s2 + 2s + k = 0 k = - s3 - 3s2 - 2s dk = - 3s2 - 6s - 2 ds Resolviendo la ecuación: s1 = -1.5, s2 =-0.422 Por lo tanto el punto de ruptura es -0.422 Graficando:

IIm

IReσ

B1=180

Bo

60

B2

-60

1.44

-1.44

Ejercicio 4: Encontrar el lugar geométrico de la siguiente función:

)4)(3)(1(

)2(GH(s)

ssss

sk

1) Polos (4)

69

P1 = 0 P2 = -1 P3 = -3 P4 = -4 2) Ceros (1) Z1 = -2 Z2 = Z3 = Z4 = ∞ 3) N = 4 4) Simetría Si es simétrico 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RLRLRL CRL

IIm

IRe

CRL


0

0 603

180

3

180]1)0(2[

B

Para k = 1

0

1 1803

540

3

180]1)1(2[

B

Para k = 2

0

2 3003

900

3

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = (–3 – 1 – 4) – (-2) = - 6 = -2 3 3 8) Ángulos de partida de los polos complejos No hay 9) Intersección con el eje imaginario

70

F(s) = s4 + 83 + 19s2 + (12+k)s + 2k = 0

s4 1 19 2k

s3 6 12+k

s2 A1 A2

s1 B1

s 2k

A1 =152 – (12+k) = 140-k

7 8 140 – k > 0 k < 140 A2 = 2k

140

1680

8

140

16128

)1402

1

K

K

K

kKK

B

-k2 +1680 > 0 k2 - 1680 < 0 (k - 41) (k + 41) (+) (-) < 0 ó (-) (+) < 0 k - 41 > 0 k + 41 < 0 k – 41 < 0 k + 41 > 0 k > 41 ∩ k < -41 k < 41 ∩ k > -41

0 41-41 U

-41 410

Uniendo los tres rangos

0 14041-41


s4 1 10

71

2k

s3 6 8+k

s2 (140-k)/8 2k s1 B1

s 2k

A(s) = [(140 – k )/8]s2 + 2k = 0 Si k = 41 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 2.57 j 10) Puntos de ruptura F(s) = s4 + 83 + 19s2 + (12+k)s + 2k = 0 k = - s4 - 8s3 - 19s2 – 12s s+2 dk = (s+2)(-4s3 – 24s2 – 38s – 12) – (- s4 – 8s3 – 19s2 – 12s) = -3s4 – 24s3 – 67s2 – 76s - 24 ds (s+2)2 s2 + 4s + 4 Resolviendo la ecuación, s debe ser -0.5 Graficando:

IIm

IRe

Bo

60

B2

-60

B1=180

-0.5σ

Ejercicio 5

)42)(42)(4()204)(4(GH(s)

2 jsjsss

k

ssss

k

1) Polos (4) P1 = 0 P2 = -4 P3 = -2-4j P4 = -2+4j 2) Ceros (0) Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = ∞

72

3) N = 4 4) Simetría Si es simétrico 5) Zonas del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

RL

RL

IIm

IRe

CRL

6) Asíntotas N.A. = Polos – Ceros = 4 – 0= 4 Para k = 0

0

0 454

180

4

180]1)0(2[

B

Para k = 1

0

1 1354

540

4

180]1)1(2[

B

Para k = 2

0

2 1354

900

4

180]1)2(2[

B

Para k = 3

0

3 454

900

4

180]1)2(2[

B

7) Intersección de las asíntotas σ = ∑ Partes reales de los polos - ∑ Partes reales de los ceros Polos – Ceros σ = (0 – 4 – 2 – 2) = -2 4 8) Ángulos de partida de los polos complejos

73

IIm

IRe

q1=θ

4

θ1θ

1'

θ2

θ3

∑ Ángulos de los Ceros - ∑ Ángulos de los Polos = 180o α - (θ1 + θ2 + θ3 + θ4) = 180o θ1’ = tan -1 (4/2) = 63.43o θ1 = 180-63.4= 116.56o θ2 = 90o θ3 = tan -1 (4/2) = 63.43o – (116.56 + 90 + 63.43 + θ4) = 180 θ4 = -450o = -90o 9) Intersección con el eje imaginario F(s) = s4 + 8s3 + 36s2 + 80s + k = 0

s4 1 36 k

s3 8 80

s2 A1 A2

s1 B1

s k

A1 = 288 – 80 = 26

8 A2 = k k > 0 B1 = 2080 – 8k

26 2080 – 8k > 0 k < 26

2600


74

s4 1 36 k

s3 8 80

s2 26 k

s1 (2080-8k)/26

s k

A(s) = 26s2 + k = 0 Si k = 26 despejando a s de la ecuación tenemos que. S = + 3.16 j 10) Puntos de ruptura F(s) = s4 + 8s3 + 36s2 + 80s + k = 0 k = - s4 - 8s3 - 36s2 - 80s dk = - 4s3 - 24s2 - 72s - 80 ds Resolviendo la ecuación,el punto de ruptura se encuentra entre 0 y -4 En este ejercicio existen dos posibilidades de resultados

IIm

IRe

B1

B0

B2

B3σ

IIm

IRe

B1

B0

B2

B3σ

UNIDAD VIII “CONTROLADORES”

8.1 INTRODUCCIÓN

El controlador es un elemento en el sistema de lazo cerrado que tiene como

entrada la señal de error y produce una salida que se convierte en la entrada de la

planta. Un controlador tiene como objetivo disminuir los efectos que una

perturbación tiene sobre el proceso de la planta, de manera que siempre se

mantengan los requerimientos del proceso. En la figura 8.1 se muestra mediante

75

un diagrama de bloques la representación de un controlador (de forma general) y

una planta en lazo cerrado.

Figura 8.1 “Diagrama de un sistema de lazo cerrado con un controlador”

Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la

entrada de referencia (valor deseado), determina el error y produce una señal de

control que reducirá el error a cero a un valor muy pequeño. La forma como el

controlador produce la señal de control, se denomina acción de control. Se pueden

clasificar las acciones de control como sigue:

1.- Control Proporcional (P).

2.- Control Integral (I).

3.- Control Proporcional-Integral (PI).

4.- Control Proporcional-Derivativo (PD).

5.- Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID).

Las cuales serán abordadas en esta unidad.

8.2 CONTROL PROPORCIONAL (P).

Con el control proporcional la salida del controlador es directamente proporcional a

su entrada; la entrada es la señal de error, e, la cual es una función del tiempo, de

manera que:

Salida = Kp e

Donde:

Entrada Controlador

Gc (s)

Proceso

Gp (s)

Perturbación

+

-

Salida

76

Kp : es una constante llamada ganancia proporcional

La salida del controlador sólo depende de la magnitud del error en el instante a

considerar. El control proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia

ajustable.

La función de transferencia del controlador se le denomina Gc (s) y se define

como:

Gc (s) = Kp

En la figura 8.2 se grafica la salida del controlador contra el error, donde se

observa que la gráfica es una línea recta con pendiente de Kp en la banda

proporcional.

Figura 8.2 “Gráfica de salida de un Controlador con respecto al error”

Suele expresarse la salida del controlador como un porcentaje de la posible salida

total de éste, de manera que un 100% de cambio en la salida del controlador

indica un cambio en el error desde un extremo a otro de la banda proporcional.

Concluyendo:

Kp = 100 . Banda Proporcional

Salida del

controlador

Error

Banda Proporcional

0

77

El control proporcional es sencillo de aplicar, sólo se requiere de un amplificador

como se observa en la figura 8.3. En la cual se muestra que el OPAM_1 es el

amplificador y el OPAM_2 representa un inversor. De aquí se deduce que:

Kp = R2 . R1

Figura 8.3 “Circuito de un Controlador Proporcional”

En un sistema de control proporcional se tiene una función e transferencia de lazo

abierto:

Go(s) = KpGp(s)

Donde Gp(s) es la función de transferencia de la planta. Obsérvese la figura 8.4.

Figura 8.4 “Sistema con Controlador Proporcional”

El controlador proporcional no introduce nuevos ceros o polos al sistema,

simplemente determina la ubicación de los polos de lazo cerrado, debido a que la

función de transferencia de lazo cerrado con el controlador y la retroalimentación

unitaria (como se ve en la figura 8.4) es:

G(s) = Kp Gp(s) .

Entrada Controlador

Kp

Proceso

Gp (s)

+

-

Salida

R1

R2

OPAM_1 -

+

R

R

-

+ SALIDA

ERROR

OPAM_2

78

1+ Kp Gp(s)

De esta manera la ecuación característica (1+KpGp(s)) tiene los valores de sus

raíces afectados por Kp.

Algunos efectos del Controlador Proporcional son:

Puede tenerse una oscilación temporal al llegar el controlador al valor

final de la variable, aunque tarde o temprano estas oscilaciones

desaparecen si la banda proporcional está ajustada de manera

adecuada.

Este tipo de control trabaja muy bien sólo en aquellos sistemas en los

que los cambios de proceso son muy pequeños y lentos.

El que las perturbaciones ocurran con lentitud son de ayuda para que la

banda proporcional se ajuste de manera estrecha, sin embargo el tener

una banda proporcional pequeña puede causar la oscilación en el valor

de la variable a controlar.

Finalmente, se puede indicar que el Control Proporcional es en esencia una

amplificador con ganancia ajustable.

8.3 CONTROL INTEGRAL (I).

En un controlador con acción de control integral, la salida es proporcional a la

integral de la señal de error e con respecto al tiempo, es decir:

Salida = Ki ʃ e(t)

Donde:

Ki : es una constante llamada ganancia integral.

En la figura 8.5 se muestra lo que se obtiene cuando el error posee una de

escalón. Además, la integral entre 0 y t es, de hecho el área bajo la gráfica del

error entre 0 y t. Así, debido a que después de que error comienza, el área se

79

incrementa en una razón regular, la salida del controlador se debe incrementar a

una razón regular. La salida en cualquier tiempo, es proporcional a la acumulación

de los efectos de los errores pasados.

Figura 8.5 “Gráfica de la Salida de un Controlador Integral”

Al aplicar la Transformada de Laplace a la expresión de salida se obtiene la

siguiente función de transferencia para el controlador integral:

Gc (s) = Ki . s Así, que para un sistema como el mostrado en la figura 8.6 se tiene una función de

transferencia de lazo abierto:

Go(s) = Ki Gp(s) s

Donde: Gp (s) es la función de transferencia de la planta.

Figura 8.6 “Sistema con un Controlador Integral”

0 Error

Tiempo

Salida del

Controlador

Tiempo

Entrada Controlador

Ki / s

Proceso

Gp (s)

+

-

Salida

80

El circuito eléctrico que representa un Control Integral se esquematiza en la figura

8.7, donde al igual que en el controlador proporcional, es necesario incluir un

circuito inversor. De manera que el OPAM_1 es el integrador y el OPAM_2 es el

inversor de la señal de salida del integrador.

Figura 8.7 “Controlador Integral”

De acuerdo a los pasos matemáticos efectuados para encontrar la función de

transferencia de este sistema se concluye que:

Ki = 1 . R1C

Así, el valor de la ganancia integral depende de los valores de R1 y C.

Por otro lado, la ventaja de tener un controlador integral es que la introducción de

un término s en el denominador incrementa el tipo de sistema en 1. De esta

manera, si el sistema hubiera sido de tipo 0, el error en estado estacionario que se

habría presentado con la entrada escalón desaparecería cuando se presentara el

control integral. Sin embargo, una desventaja es que el término s en el

denominador significa que se ha introducido un polo en el origen y dado que no se

han introducido ceros se tendría una diferencia entre el número de polos y ceros

en 1, produciendo que los ángulos de las asíntotas del lugar geométrico de las

raíces decrecen provocando un efecto de apuntalamiento hacia el semiplano

derecho del plano s, provocando una disminución en la estabilidad relativa del

sistema.

R1

OPAM_1 R

R

SALIDA

ERROR

OPAM_2

-

+

-

+

C

81

8.4 CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI).

Para amortiguar el efecto que da el control integral a la estabilidad se diseña un

control proporciona integral (PI), como el expuesto en la figura 8.8.

Figura 8.8 “Esquemático de un Control Proporcional-Integral”

En el esquema 8.8 se observa que la función de transferencia del compensador en

términos de s ( Gc(s) ) está constituida por dos términos como se indica:

Gc (s) = Kp + Ki s

Realizando las operaciones necesarias se llega a:

Gc(s) = Kp [ s+ Ki/Kp ] s

A Ki/Kp se le denomina: constante de tiempo integral Ƭi, este tiempo regula la

acción de control integral. El recíproco del tiempo integral Ƭi recibe el nombre de

frecuencia de reposición y es la cantidad de veces por minuto en que se repite la

acción proporcional.

Una vez analizada la función del controlador y analizando la figura 8.8, se deduce

que la función de transferencia de trayectoria directa es:

Go(s) = Kp[ s+(1/ Ƭi]Gp(s)

Kp

Ki/s Salida Entrada

Proceso

Gp (s)

+

-

+

+

Controlador Gc (s)

82

s

A través de ésta expresión se observa que un control PI adiciona un cero en – (1/

Ƭi) y un polo en el origen. El polo en el origen (1/s) incrementa el tipo del sistema

en 1 y elimina la posibilidad de un error en estado estacionario para una entrada

escalón. Por otro lado, debido a la introducción de un nuevo polo y un nuevo cero,

la diferencia entre el número de polos y ceros permanece sin cambios.

En el esquema 8.9, se muestra el circuito eléctrico que representa un control PI,

del cual se concluye:

Kp = R2/R1 y Ki = 1/(R1C)

Figura 8.9 “Diagrama eléctrico de un Controlador PI”.

8.5 CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD).

La unión de un controlador proporcional con un control derivativo da como

resultado un control proporcional derivativo, mostrado en la figura 8.10.

Kp

Kd s Salida Entrada

Proceso

Gp (s)

+

-

+

+

Controlador Gc (s)

R1

OPAM_1 R

R

SALIDA

ERROR

OPAM_2

-

+

-

+

C

R2

83

Figura 8.10 “Esquemático de un Control Proporcional-Derivativo”

Este control se define por la siguiente ecuación:

u(t) = Kp e(t) + Kp Ƭd de(t) . dt

Y su función de transferencia (del controlador) se expresa como:

U (s) = Kp (1+Ƭd s) E (s)

Donde:

Kp es la ganancia proporcional

Ƭd es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo de adelanto

Este tiempo también es conocido como tiempo de razón y es la cantidad de tiempo

durante la cual el controlador “ve adelante” o “ve en el futuro”, de otra manera es

el tiempo en el que la acción derivativa se adelanta al efecto de la acción

proporcional, este efecto se muestra en la gráfica 8.11.

Figura 8.11 “Gráfica que representa una entrada rampa unitaria y la salida del

controlador PD”

e(t)

t 0

Rampa Unitaria

0 t

U(t)

Ƭd

Sólo proporcional

Acción de Control PD

84

En la figura 7.11 se aprecia de manera notable cual es la respuesta que el

controlador PD presenta, observando también de forma gráfica el concepto de

tiempo derivativo.

Haciendo referencia nuevamente a la figura 8.10, se concluye que la función de

transferencia de lazo abierto es:

Go (s) = (Kp + Kd s) Gp (s)

Go (s) = Kd [ (1/Ƭd) + s] Gp (s)

Donde:

Ƭd = Kp / Kd

Por último se muestra en la figura 8.12 el circuito eléctrico que representa un

controlador PD.

Figura 8.12 “Diagrama eléctrico de un Controlador PD”.

8.7 CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID).

La combinación de los efectos de la acción proporcional, integral y derivativa, se le

denomina acción de control proporcional-integral-derivativa o PID, conocido

también como controlador de tres términos con un sistema de la forma que ilustra

la figura 8.13.

R1

OPAM_1 R

R

SALIDA ERROR OPAM_2

-

+

-

+

C R2

R3

85

Con un sistema como el ilustrado en la figura 8.13 dará una salida, para una

entrada de error e de la manera siguiente:

Salida = Kp e(t) + Ki ʃ e(t)dt + Kp de(t) dt

La función de transferencia del controlador quedaría como:

Gc(s) = Kp + Ki . + Kd s s

Como la constante de tiempo integral se define como: Ƭi = Kp / Ki y la constante

de tiempo derivativa es: Ƭd = Kd / Kp Gc(s) se puede reestructurar quedando como:

Gc(s) = Kp 1 + Ki . + Kd s Kps Kp

Concluyendo la función de transferencia del controlador sería:

Gc(s) = Kp 1 + 1 . + Ƭd s Ƭis

Retomando nuevamente el esquema 8.13 se obtiene la función de transferencia

de lazo abierto como:

Go(s) = Gc(s) Gp(s) = Kp 1 + 1 . + Ƭd s Gp(s)

Ƭis

Salida Entrada Proceso

Gp (s) -

Controlador Gc (s)

Kp

Kd s

+

+

Ki .

s

+

Derivativo

Integral

Proporcional

+

86

Factorizando se obtiene:

Go(s) = Kp ( Ƭis + 1 + Ƭi Ƭd s2 ) Gp(s) . Ƭi s De este modo, el controlador PID ha incrementado el número de ceros en 2 y el

número de polos en 1, lo cual influye en la estabilidad del sistema.

El diagrama 8.14 muestra el circuito eléctrico de este tipo de controlador.

Figura 8.14 “Diagrama eléctrico de un Controlador PID”

Del diagrama anterior y retomando la ecuación del controlador Gc(s), se concluye

lo siguiente:

Ki = R8 . Kd = R8 R2 C2 Kp = R4 R8 . R5 R1 C1 R6 R3 R7 Como nota se indica que es posible sintonizar Kp , Kd y Ki con tan sólo los valores

de R1, C1, R2, C2, R3 y R4, el resto de los elementos que son resistencias se

definen con un mismo valor preferentemente 10 KΩ .

UNIDAD IX “ERRORES”

Vcc

+

-

Vsal

+

-

R2

C2

+

-

R3

R4

+

-

C1

R1

R6

R7

R8

R5

-

+

Vref e(t)

Vsal

87

INTRODUCCIÓN.

Cuando a un sistema de control se le aplica una señal de entrada, se espera que

después de desvanecerse todos los efectos transitorios, su señal de salida siga de

manera exacta a la señal de entrada en el estado estable. A la diferencia entre la

salida y la entrada en estado estable se define como error en estado estable o

error en estado estacionario. Este error es una medida de la exactitud de un

sistema de control al seguir una entrada y es un error después de que decaen

todas las respuestas transitorias a la entrada. Este error depende del sistema en

estudio y de la forma de la entrada al sistema.

9.1 TIPO EN LOS SISTEMAS DE CONTROL.

Por otro lado, los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo a su

capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parabólica, entre otras. Este

esquema de clasificación es congruente ya que las entradas reales se suelen

considerar como combinaciones de aquellas entradas. Los valores de los errores

estacionarios debido a estas entradas individuales son muestras de la bondad del

sistema.

Considérese la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s) siguiente:

G(s)H(s) = K (Tas+1) (Tbs+1) (Tcs+1)… (Tms+1) .

sN(T1s+1) (T2s+1) (T3s+1)… (Tps+1)

Donde:

K: es una constante.

m y n son enteros.

a0 y b0 no pueden ser cero.

q: es un entero, valor que determina el tipo o clase del sistema.

88

Si q=1 entonces el sistema es de tipo 1 o si q=5 el sistema es de tipo 5, y si se

observa con detenimiento la expresión anterior se deduce que el tipo del sistema

se determina por el número de integradores (1/s) que posee la función de

transferencia de lazo abierto.

En la práctica es difícil tener un sistema de tipo 3 o mayor, pues resulta difícil

diseñar sistemas estables con más de dos integradores en el paso directo.

Ejemplo

¿Qué tipo de sistema se tiene en los siguientes casos?

4

s+1θ

i(s) θ

o(s)

+

-

)()(1

)(..

sHsG

sGTF

1

4)(

ssG

Tipo cero, porque no hay un factor integrador

Ejercicio 2

θi(s)

+-

1-s

s

θo(s)

+

-

5

s+2

)552)(2(

)2(5

2

552

2

5

2

551

2

5

..2

2

2

2

2

ssss

ss

ss

sss

s

ss

ssTF

53

5

)552)(2(

)2(5..

22

ss

s

ssss

ssTF

89

53

5)(

2

ss

ssGo

Tipo cero porque no hay ningún factor integrador

Ejercicio 3

1

s2(s2+2s+1)θ

i(s) θ

o(s)

+

-

)12(

1)(

22

ssssGo

Tipo 2 porque tenemos 1/s2 es decir 2 factores integradores

9.2 ERRORES EN ESTADO ESTACIONARIO.

El error en cualquier sistema es la diferencia entre la señal de salida requerida y la

señal de salida real que se presenta. Para un sistema de control en lazo abierto,

como el mostrado en la figura 9.1.

Figura 9.1 “Sistema de Control en lazo abierto”

El error E(s) es:

E(s) = θi (s) – θo (s)

Y puesto que la función de transferencia para el sistema de lazo abierto es:

G(s) = θi (s)

Θi Θo G(s)

90

θo (s)

Obteniendo:

E (s) = θi (s) – G(s) θi (s) = [1- G(s)] θi (s).

Llegando a la conclusión de que el error no sólo depende del sistema, sino de la

forma de la entrada θi (s), como se muestra en la ecuación anterior.

Para un sistema de lazo cerrado como el mostrado en la figura 9.2 el error es:

E(s) = θi (s) – θo (s)

Figura 9.2 “Sistema de Control en lazo cerrado.”

Recordando, la función de transferencia para el sistema de lazo cerrado con

retroalimentación unitaria es:

θi (s) = G(s) . θo (s) 1 + G(s)

Obteniendo el error de la siguiente manera:

E (s) = θi (s) – G(s) θi (s) . = 1 . θi (s) 1 + G(s) 1 + G(s)

Comprobando nuevamente que el error no sólo depende del sistema sino del tipo

de entrada el mismo.

Ahora, si se tiene un sistema de lazo cerrado cuya retroalimentación no es

unitaria, como se observa en la figura 9.3, será necesario hacer una modificación

Θi + Θo G(s)

-

91

al sistema de manera que se tenga un sistema de lazo cerrado con

retroalimentación unitaria, como se ilustra en la figura 9.4.

Figura 9.3 “Sistema de Control en lazo cerrado.”

Figura 9.4 “Conversión a retroalimentación de Sistema de Control en lazo

cerrado.”

Así se logra que la función de transferencia de la trayectoria directa es:

Go = G(s) . 1 + G(s)[H(s)-1]

Por otro lado, aplicando el teorema del valor final para hallar el error en estado

estacionario se llega a:

ess = lim e(t) = lim s E(s) t∞ s0

De manera que para un sistema de lazo abierto se tiene:

ess = lim s[1-G(s)]θi(s) s0

Θi + Θo G(s)

-

H(s)

Θi + Θo G(s)

-

H(s) - 1

-

+

92

Y para un sistema de lazo cerrado:

ess = lim s 1 . θi (s) s0 1 + G(s)

Error en estado estacionario para una entrada escalón o constante Kp de

error estático de posición.

Recordando, el error en estado estacionario para un sistema en lazo cerrado está

dado por:

ess = lim s 1 . θi (s)

s0 1 + Go(s)

Donde: Go(s) es la función de transferencia de lazo abierto. Si se tiene que la

entrada es un escalón unitario se tiene: θi (s) = 1/s, sustituyendo en la ecuación

anterior se obtiene:

ess = lim s 1 . 1 . s0 1 + Go(s) s

ess = lim 1 . s0 1 + Go(s)

Y como se indicó con anterioridad la función de transferencia de lazo abierto es:

K ( sm + am-1sm-1 + am-2s

m-2 + …+ a1s + a0 )

sq ( sn + bn-1sn-1 + bn-2s

n-2 + …+ b1s + b0 )

Se hacen las siguientes apreciaciones:

1.- Si q=0 se tiene un sistema de tipo cero, obteniendo como función de

transferencia de lazo abierto: K a0/b0, representando una constante.

2.- Si q es diferente de cero, la función de transferencia de lazo abierto

toma un valor de infinito, debido a que el tipo es distinto de cero y siempre

93

se obtendrá un cero en el denominador al sustituir en el límite. Y esto

provocará que el error en estado estable vaya disminuyendo.

3.- Es más habitual representar el valor de la función de transferencia en

lazo abierto cuando s0 como un constante Kp a la cual se le denomina

constante de error de posición y queda definida como:

Kp = lim Go(s) s0

Donde si se tiene un sistema de tipo cero, Kp es:

Kp = K a0 / b0

Con lo anterior se concluye que error en estado estacionario para una entrada

escalón es:

ess = 1 . 1 + Kp

Y el error dependerá del tipo del sistema.

Error en estado estacionario para una entrada rampa o constante Kv de error

estático de velocidad.

Retomando nuevamente la expresión del error en estado estacionario, se tiene

que:

ess = lim s 1 . θi (s) s0 1 + Go(s)

Además, considerando que una entrada rampa es: θi (s) = 1/s2, se concluye:

ess = lim s 1 . 1 . s0 1 + Go(s) s2

ess = lim 1 . s0 s (1 + Go(s))

94

Como el límite tiende a cero, se observa que s tiende de igual forma a cero y el

denominador se hace cero. La expresión del error se puede denotar como:

ess = 1 . Kv

Donde, Kv es una constante conocida como constante del error de velocidad y

queda definida por:

Kv = lim sG0(s) s0

Por otro lado, se hacen algunas acotaciones al respecto.

Se tiene que para un sistema de lazo abierto se tiene la siguiente función de

transferencia:


m-2 + …+ a1s + a0 )


n-2 + …+ b1s + b0 )

Ahora, si se tiene una entrada rampa para un sistema de tipo cero, Kv será

igualmente cero, (del análisis de la expresión de Kv) y error en estado estable será

muy grande, lo cual no es deseable.

Si se tiene un sistema de tipo uno, es decir q=1, Kv tendrá un valor de:

Kv = K a0 / b0

La cual es una constante y el error dependerá de este valor.

Finalmente, si q>1, es decir si se tiene un sistema de un tipo mayor a 1 Kv tendrá

un valor de infinito y error en estado estable tiende a cero.

Error en estado estacionario para una entrada parabólica o constante Ka de

error estático de aceleración.

95

Para determinar este error se considera una entrada parábola unitaria, definida

como:

θi (s) = 1/s3, la cual se sustituye en la expresión del error que se ha estado

manejando en los apartados anteriores, obteniendo:

ess = lim s 1 . 1 . s0 1 + Go(s) s3

ess = lim 1 . s0 s2 (1 + Go(s))

ess = 1 . Ka

Donde Ka, es la constante de error de aceleración y queda definida por:

Ka = lim s2 G0(s) s0

Y realizando los análisis necesarios al igual que para las entradas escalón y

rampa unitaria, se hacen las consiguientes valoraciones:

1.- Se considera:


m-2 + …+ a1s + a0 )


n-2 + …+ b1s + b0 )

Para un sistema de tipo 0, Ka=0, por tanto el error es muy grande.

2.- Si q=1 Ka sigue teniendo un valor de cero, (por el límite) alcanzando un error

muy grande.

3.- Si el tipo del sistema es q=2, Ka es una constante que depende de a0, b0 y K,

llegando a:

96

Ka = K a0 / b0

Y el error depende del valor de esta constante del error de aceleración.

4.- Finalmente, si q>3 Ka siempre será infinito provocando que el error tienda a

cero.

Con estos análisis se concluye el apartado de errores, donde este error en estado

estacionario es al que llega el sistema una vez pasado el estado de transitorios.

REFERENCIAS

Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”, Segunda Edición, Edit. Prentice Hall.

Dorf, “Sistemas de Control Moderno”, 10ª Edición, Edit. Pearson.

Bolton, “Ingeniería de Control”, 2da. Edición, Edit.Alfaomega.

Norman, “Sistemas de Control para Ingeniería”, Tercera Edición, Edit. CECSA.

Kuo, “Sistemas de Control Automático”, Segunda Edición, Edit. Prentice Hall.

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC · 2016-08-08 · matemáticos que definen a cada...

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