telesecundaria.colombia

COLOMBIA MINISTERIO DE EDUCACIN NACIONALCOORDINACIN PEDAGGICA Y EDITORIAL Mary Luz Isaza Ramos ASESORA PEDAGGICA Y DIDCTICA Edith Figueredo de Urrego Ciencias Naturales y Educacin Ambiental: (Biologa, Fsica, Qumica, Educacin Ambiental) Matemticas

Cecilia Casasbuenas Santamara

ADAPTACIONES Y/O PRODUCCIONES NACIONALES MATERIAL IMPRESO Edith Figueredo de Urrego Ana Mara Crdenas Navas Cecilia Casasbuenas Santamara Virginia Cifuentes de Buritic Patricia Arbelez Figueroa Eucaris Olaya Alejandro Castro Barn Mariela Salgado Arango Alba Irene Schica Antonio Rivera Serrano Javier Ramos Reyes Edith Figueredo de Urrego Alexander Aristizbal Fquene Csar Herreo Fierro Augusto Csar Caballero Adiela Garrido de Pinzn Betty Valencia Montoya Enoc Valentn Gonzlez Palacio Laureano Gmez vila Edith Figueredo de Urrego Mary Luz Isaza Ramos Mary Luz Isaza Ramos Edith Figueredo de Urrego

Biologa y Educacin Ambiental

Matemticas Educacin en Tecnologa Educacin tica y en Valores Humanos Espaol

Historia Universal

Geografa Universal

Fsica, Qumica y Ambiente

Educacin Fsica

Horizontes de Telesecundaria

Perspectivas del Camino Recorrido

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA - MXICO COORDINACIN GENERAL PARA LA MODERNIZACIN DE LA EDUCACIN UNIDAD DE TELESECUNDARIACOORDINACIN GENERAL ASESORES DE TELESECUNDARIA PARA COLOMBIA COLABORADORES ESPAOL Mara de Jess Barboza Morn, Mara Carolina Aguayo Roussell, Ana Alarcn Mrquez, Mara Concepcin Leyva Castillo, Rosala Mendizbal Izquierdo, Pedro Olvera Durn, Isabel Rentera Gonzlez, Teresita del Nio Jess Ugalde Garca, Carlos Valds Ortz. Miguel Aquino Zrate, Luis Bedolla Moreno, Martn Enciso Prez, Arturo Eduardo Echeverra Prez, Jossefina Fernndez Araiza, Esperanza Issa Gonzlez, Hctor Ignacio Martnez Snchez, Alma Rosa Prez Vargas, Mauricio Rosales Avalos, Gabriela Vzquez Tirado, Laurentino Velzquez Durn. Francisco Garca Mikel, Ivonne Boyer Gmez, Gisela Leticia Galicia, Vctor Hugo Gutirrez Cruz, Sixto Adelfo Mendoza Cardoso, Alejandro Rojas Vzquez. Rosa Mara Moreschi Oviedo, Alicia Ledezma Carbajal, Ma. Esther Encizo Prez, Mary Frances Rodrguez Van Gort, Hugo Vzquez Hernndez, Laura Udaeta Colls, Joel Antonio Colunga Castro, Eduardo Domnguez Herrera, Alma Rosa Mara Gutirrez Alcal, Lilia Lpez Vega, Vctor Lpez Solano, Ma. Teresa Aranda Prez. Guillermo Kelley Salinas Jorge Velasco Ocampo Pedro Olvera Durn

MATEMTICAS

HISTORIA UNIVERSAL

GEOGRAFA GENERAL

BIOLOGA

Evangelina Vzquez Herrera, Csar Minor Jurez, Leticia Estrada Ortuo, Jos Luis Hernndez Sarabia, Lilia Mata Hernndez, Griselda Moreno Arcuri, Sara Miriam Godrillo Villatoro, Emigdio Jimnez Lpez, Joel Loera Prez, Fernando Rodrguez Gallardo, Alicia Rojas Leal. Ricardo Len Cabrera, Ma. del Rosario Caldern Ramrez, Ma. del Pilar Cuevas Vargas, Maricela Rodrguez Aguilar, Joaqun Arturo Melgarejo Garca, Mara Elena Gmez Caravantes, Flix Murillo Dvila, Rebeca Ofelia Pineda Sotelo, Csar Minor Jurez, Jos Luis Hernndez Sarabia, Ana Mara Rojas Bribiesca, Virginia Rosas Gonzlez. Mara Alejandra Navarro Garza, Pedro Cabrera Rico, Rosalinda Hernndez Carmona, Fernando Pea Soto, Delfina Serrano Garca, Mara del Roco Zrate Castro, Arturo Antonio Zepeda Simancas. Rafael Menndez Ramos, Carlos Valds Ortz, Carolina Aguayo Roussell, Ma. de Jess Barbosa Morn, Ana Alarcn Mrquez.

INTRODUCCIN A LA FSICA Y QUMICA

EDUCACIN FSICA

PERSPECTIVAS DEL CAMINO RECORRIDO

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA - MXICO COORDINACIN GENERAL PARA LA MODERNIZACIN DE LA EDUCACIN UNIDAD DE TELESECUNDARIA

ASESORA DE CONTENIDOSESPAOL MATEMTICAS INTRODUCCIN A LA FSICA Y QUMICA BIOLOGA QUMICA EDUCACIN FSICA CORRECCIN DE ESTILO Y CUIDADO EDITORIAL Mara Esther Valds Vda. de Zamora Elosa Beristin Mrquez Benjamn Ayluardo Lpez, Luis Fernando Peraza Castro Rosario Leticia Corts Ros Luis Fernando Peraza Castro Jos Alfredo Rutz Machorro Alejandro Torrecillas Gonzlez, Marta Eugenia Lpez Ortz, Mara de los Angeles Andonegui Cuenca, Lucrecia Rojo Martnez, Javier Daz Perucho, Esperanza Hernndez Huerta, Maricela Torres Martnez, Jorge Issa Gonzlez Jaime R. Snchez Guzmn, Juan Sebastin Njera Balczar, Araceli Comparn Velzquez, Jos Antonio Fernndez Merlos, Maritza Morillas Medina, Faustino Patio Gutirrez, Ignacio Ponce Snchez, Anbal Angel Zrate, Gerardo Rivera M. y Benjamn Galvn Ziga.

DIBUJO

ACUERDO DE COOPERACIN MINISTERIO DE EDUCACIN DE COLOMBIA Y LA SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA DE MXICOColombia ha desarrollado importantes cambios cualitativos en los ltimos aos como espacios generadores de aprendizaje en los alumnos. En este marco el Ministerio de Educacin de Colombia firm con la Secretara de Educacin Pblica de Mxico un ACUERDO DE COOPERACIN EDUCATIVA, con el propsito de alcanzar mayores niveles de cooperacin en el mbito educativo. En el acuerdo, el Gobierno de Mxico a travs de la Secretara de Educacin Pblica, ofrece al Gobierno de Colombia el Modelo Pedaggico de TELESECUNDARIA, como una modalidad educativa escolarizada apoyada en la televisin educativa como una estrategia bsica de aprendizaje a travs de la Red Satelital Edusat. El Ministerio de Educacin de Colombia ha encontrado en el modelo de TELESECUNDARIA, una alternativa para la ampliacin de la cobertura de la Educacin Bsica Secundaria en el rea rural y una estrategia eficiente para el aprendizaje de los alumnos y las alumnas. El programa se inicia en Colombia a travs de una ETAPA PILOTO, en el marco del PROYECTO DE EDUCACIN RURAL, por oferta desde el Ministerio de Educacin de Colombia en el ao 2000, realizando las adaptaciones de los materiales impresos al contexto colombiano, grabando directamente de la Red Satelital Edusat los programas de televisin educativa, seleccionando los ms apropiados a las secuencias curriculares de sexto a noveno grado, organizando 41 experiencias educativas en los departamentos de Antioquia, Cauca, Crdoba, Boyac, Cundinamarca y Valle del Cauca, capacitando docentes del rea rural y atendiendo cerca de 1 200 alumnos en sexto grado. El pilotaje continu en el ao 2001 en sptimo grado, 2002 en octavo grado, y en el ao 2003 el pilotaje del grado noveno. En la etapa de expansin del pilotaje se iniciaron por oferta en el presente ao 50 nuevas experiencias en el marco del Proyecto de Educacin Rural. Otras nuevas experiencias se desarrollaron con el apoyo de los Comits de Cafeteros, el FIP y la iniciativa de Gobiernos Departamentales como el del departamento del Valle del Cauca que inici 120 nuevas Telesecundarias en 23 municipios, mejorando los procesos de ampliacin de cobertura con calidad. El Proyecto de Educacin para el Sector Rural del Ministerio de Educacin Nacional - PER, inici acciones en los diez departamentos focalizados y en ocho de ellos: Cauca, Boyac, Huila, Antioquia, Crdoba, Cundinamarca, Bolvar y Norte de Santander se organizaron por demanda 40 nuevas experiencias del programa de Telesecundaria a partir del ao 2002. Al presentar este material hoy a la comunidad educativa colombiana, queremos agradecer de manera muy especial al Gobierno de Mxico, a travs de la Secretara de Educacin Pblica de Mxico - SEP y del Instituto Latinoamericano para la Comunicacin Educativa - ILCE, el apoyo tcnico y la generosidad en la transmisin de los avances educativos y tecnolgicos al Ministerio de Educacin de Colombia.

TABLA DE CONTENIDONcleo Bsico 1 Horizontes de las Matemticas .................................................................................. 17 1 2 3 4 5 6 7 8 HASTA DNDE SE PUEDE LLEGAR?.............................................................. 19 QU HAY DE NUEVO EN OCTAVO GRADO? .................................................. 21 NO HAY PROBLEMA ........................................................................................... 23 UN CAMINO SEGURO ......................................................................................... 28 SER O NO SER .................................................................................................... 30 PARECE QUE NO FUE ........................................................................................ 37 ACEPTO EL RETO ............................................................................................... 39 DEMUESTRA QU SABES! ............................................................................... 41

Ncleo Bsico 2 Aritmtica ..................................................................................................................... 43 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 UNA RELACIN ESPECIAL ...............................................................................44 TODO EN PARTES IGUALES ..............................................................................54 LAS CAMPECHANAS .........................................................................................60 CONVERTIR PARA OPERAR .............................................................................65 PARTE DE UNA PARTE O DE UN ENTERO ...................................................... 71 TRANSFORMA Y MULTIPLICA ...........................................................................81 EL QUE PARTE Y COMPARTE ...........................................................................86 NI FALTA NI SOBRA .............................................................................................94 RESULVELOS T MISMO ............................................................................... 100 LLEGA A LA RAZ .............................................................................................. 102 COMPRENDER ANTES QUE RECORDAR ES DOMINAR LAS MATEMTICAS ........................................................................109 ENSAYO Y ERROR ............................................................................................111 CERCA DE LA SOLUCIN ...............................................................................117 RACES BABILNICAS .....................................................................................120 CMO LLEGAR A LA RAZ ...............................................................................125 ASTILLAS DE RAZ ...........................................................................................129 RESULVELOS T MISMO ............................................................................... 134 ERROR O EQUIVOCACIN? .......................................................................... 135 QUIN TUVO LA CULPA? ............................................................................... 140 COMPRENDER ANTES QUE RECORDAR ES DOMINAR LAS MATEMTICAS ..................................................................143 MAYOR O MENOR QUE LA UNIDAD? ............................................................146 SEA BREVE! .....................................................................................................15111MATEMTICAS

31 32 33

COMPRENDER ANTES QUE RECORDAR ES DOMINAR LAS MATEMTICAS ........................................................................156 DEMUESTRA QU SABES! II .......................................................................... 158 DEMUESTRA QU SABES! I ........................................................................... 160

Ncleo Bsico 3 lgebra .......................................................................................................................163 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 EJES QUE NO SON DE CARRETA ..................................................................166 INFINIDAD DE PUNTOS ....................................................................................173 UNO DEPENDE DE OTRO ................................................................................180 LA FUNCIN DEBE CONTINUAR ....................................................................192 CON DOS SE PUEDE .......................................................................................199 ALGO CAMBIA ...................................................................................................209 VAYA FAMILIAS! ................................................................................................214 UNA FUNCIN EN CUATRO ACTOS ...............................................................222 CURVAS SOBRE LA Y ......................................................................................228 CURVAS SOBRE LA X ......................................................................................239

Ncleo Bsico 4 Slidos .......................................................................................................................251 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 CON TRMINOS PRECISOS ............................................................................253 CON LA MISMA CARA ......................................................................................257 UN CUERPO... VARIAS CARAS ........................................................................264 LOS DESCARADOS ..........................................................................................271 MANIPULACIN DE SLIDOS ......................................................................... 277 IGUALES O DIFERENTES ................................................................................. 278 ES UN DADO? ................................................................................................. 281 LAS TRES DIMENSIONES DEL PLANO ........................................................... 285 CUERPO A CUERPO ........................................................................................ 288 CON EL CONTORNO Y LA ALTURA ................................................................. 290 RAZONAR, ANALIZAR, Y REFLEXIONAR SON ACCIONES PRESENTES EN EL DOMINIO DE LAS MATEMTICAS .................................294 UNA EN OTRO ...................................................................................................296 PARTICULARIDADES TRIDIMENSIONALES ...................................................300 DE MIL EN MIL ...................................................................................................304 CUNTO CABE? .............................................................................................307 METAMORFOSIS ENTRE MEDIDAS ................................................................310 RESULVELOS T MISMO ............................................................................... 314 COMPRENDER MS QUE RECORDAR ES... DOMINAR LAS MATEMTICAS ........................................................................316 DEMUESTRA QU SABES! ............................................................................31912

GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

Ncleo Bsico 5 Paralelogramos, tringulos y crculos .....................................................................323 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 FIGURAS BSICAS ...........................................................................................324 DESCUBRIENDO PROPIEDADES! .................................................................329 EL DOBLE UNO! ...............................................................................................336 SIEMPRE IGUALES ...........................................................................................340 SUMAN LO MISMO ............................................................................................345 LOS GRANDES DE FRENTE ............................................................................350 EL ROMPECABEZAS DESTACADO! ..............................................................356 SIEMPRE PARALELOS .....................................................................................362 A LA MISMA DISTANCIA ...................................................................................369 LNEAS EN UNA CURVA PERFECTA ..............................................................370 LUGAR COMN ................................................................................................375 TODOS CON SU ARCO .....................................................................................377 SIGUE LOS PUNTOS ........................................................................................ 385 PUNTO DE REUNIN ........................................................................................ 389 POR UN PUNTO ................................................................................................ 392 NO PIERDAS EL COMPS ................................................................................ 395 COMPRENDER MS QUE RECORDAR ES... DOMINAR LAS MATEMTICAS .................................................................................................. 399

Ncleo Bsico 6 Manejo y tratamiento de la informacin y la probabilidad ................................... 403 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 PARA MUESTRA UN BOTN ............................................................................ 404 USTED, QU OPINA? ...................................................................................... 409 EL MUNDO DE LOS NMEROS ....................................................................... 412 SIEMPRE LO MISMO ........................................................................................ 417 SIGUIENDO LA LNEA ....................................................................................... 420 UNA CURVA PELIGROSA ................................................................................. 424 LO QUE NOS DICEN LOS NMEROS .............................................................. 429 TENDENCIA CENTRAL ..................................................................................... 436 QUINES RODEAN? ....................................................................................... 440 COMPRENDER MS QUE RECORDAR ES... DOMINAR LAS MATEMTICAS .......................................................................................... 444 QU SER? ..................................................................................................... 447 A MENUDO ........................................................................................................ 452 RECTA EXCLUSIVA ........................................................................................... 457 PARA NADA! ..................................................................................................... 463 DEMUESTRA QU SABES! ............................................................................. 468

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MATEMTICAS

PRESENTACIN

Al iniciar este grado, suponemos que posees un rico acervo cultural adquirido durante los aos anteriores; de ah que tengas capacidad para elegir entre varios caminos, opciones y procedimientos. El texto est diseado para ayudarte en el aprendizaje de las matemticas, pero te corresponde una parte importante: involucrarte en las actividades que se te plantean y discutirlas con tus compaeros. Cuando trabajes de manera individual debes concentrarte y realizarlas con inters. En realidad, para aprender es necesario slo que desees hacerlo y realices un esfuerzo constante en esa direccin. El aprendizaje es tu responsabilidad individual; en ello, t eres irreemplazable, pero mucho ayudan las discusiones con tus compaeros, porque de ellas aprenders lo que te puede ser til. Conviene que compartas las diferentes formas de resolver un problema; de este modo se enriquecern mutuamente con diversos puntos de vista. Aprender matemticas no se limita a resolver ejercicios; abandona la idea de que saber hacer operaciones o ejercicios rutinarios significa que ya dominas la materia. El aprendizaje de matemticas implica el desarrollo de capacidades de anlisis y sntesis, es decir, aprender a razonar. Es comunicar tus ideas mediante el lenguaje matemtico y hablar acerca de las matemticas; es hacer conjeturas y proponer formas para verificarlas; es interpretar informacin y traducir de un sistema de representacin a otro; es utilizarlas para encontrar explicaciones e intervenir acertadamente en situaciones de la vida diaria. Te has dado cuenta de la presencia de las matemticas en las diferentes culturas que han sido tu objeto de estudio en los grados anteriores? Las matemticas han sido y seguirn siendo creacin de la mente humana y por tanto, constituyen un patrimonio cultural del que todos podemos disfrutar y al cual podemos seguirle aportando nuevos resultados. Entrgate con entusiasmo y dedicacin a la continuacin de este viaje y tendrs xitos en tus estudios y habrs desarrollado formas de pensamiento que te sern de gran utilidad en otras asignaturas y en tu vida diaria. Esto es lo ms valioso que te puede aportar el estudio de las matemticas. Finalmente, deseamos y esperamos que esta obra te sea de gran utilidad. xitos!

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MATEMTICAS

Ncleo Bsico 1

HORIZONTES DE LAS MATEMTICAS

Este ncleo te servir de introduccin para el estudio de las matemticas de octavo grado. Se pretende dar una visin actual y al futuro acerca de la importancia de las matemticas en los avances del mundo, sin perder de vista que pueden ser la base de estudios posteriores dentro de tu proyecto de vida. Algunas sesiones te sern tiles para que obtengas un panorama general de los temas que vas a estudiar, otras para que aprendas a organizar tu tiempo y utilices una metodologa en la resolucin de problemas, as como para que inicies el nuevo curso con una valoracin de tus conocimientos actuales con los cuales puedas continuar tu preparacin acadmica y, junto con el conocimiento de otras asignaturas ampliar tu comprensin de la realidad social y cultural en que vives. Recuerda que nuestro lema es: Educar para vivir mejor.

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MATEMTICAS

1

HASTA DNDE SE PUEDE LLEGAR? Las matemticas en el desarrollo de otras ciencias. Alcance de los adelantos donde participan las matemticas

Lo que hoy ha empezado como novela de ciencia-ficcin, maana ser terminado como reportaje. Esta frase nos seala cmo la ciencia avanza a pasos agigantados y lo que ahora puede parecer cosa de locura no tardar mucho en ser creado por el hombre. Comenta con un compaero(a) el papel que han desempeado las matemticas en acontecimientos como: la conquista del espacio produccin de maquinaria especializada y de computacin adelantos farmacolgicos determinacin de caracteres hereditarios experimentos genticos sistematizacin y explicacin de experiencias de la fsica y de la qumica otros relacionados con tu experiencia y conocimientos y con el desarrollo de tu comunidad.

Expn, ante el grupo, tus comentarios y enriqucelos con los de tus compaeros.

Con tu mismo compaero(a) haz la siguiente lectura:

LAS MATEMTICAS EN EL DESARROLLO DE OTRAS CIENCIASA lo largo de nuestra vida personal y de la historia hemos tenido la oportunidad de constatar la presencia de las matemticas en actividades que estn en la base de todas las19MATEMTICAS

organizaciones sociales. Quin pone en duda su utilidad en el manejo y representacin de conceptos como el tiempo, el espacio, el dinero, como ejemplos emblemticos. En pocas ocasiones las personas actuamos sobre objetos, mientras que en mayor medida lo hacemos sobre representaciones (simblicas, grficas, icnicas) de tales objetos. Por tanto, la capacidad de interpretacin simblica se hace cada vez ms necesaria para comprender y actuar sobre la realidad. Las matemticas desde sus distintos lenguajes, contribuyen notablemente al desarrollo de esta capacidad. Las matemticas se han configurado a lo largo de la historia a impulsos de la necesidad real o intelectual de las personas por resolver problemas que tienen su origen, en muchas ocasiones, en otros mbitos del conocimiento o de la actividad humana, pero cuya solucin ha sido decisiva en el avance social y personal. Uno de los indicadores del uso de las matemticas son los medios de comunicacin: analizndolos podemos ver qu tipo de matemticas se emplean en ellos nmeros, grficas, diagramas o argumentos, cmo y para qu. Con toda justicia cabe decir que las matemticas forman parte importante del patrimonio cultural de la humanidad, en estrecha relacin con otros conocimientos sociales y cientficos que gracias a ellas pueden ser modelados para su estudio y un mayor aprovechamiento. Comenta con tus compaeros qu otros proyectos en desarrollo y a futuro conoces y si las matemticas tienen injerencia en ellos.

Atiende al video; en l vers algunas escenas de lo que, hasta hace poco tiempo, eran sueos y ahora es realidad. Asimismo, observa qu cosas estn planeadas para un futuro no muy lejano. Elige cualquiera de los siguientes incisos y comenta tu punto de vista con tus compaeros de grupo. a) En la explotacin de los recursos martimos, cmo pueden contribuir las matemticas? En la siembra, cmo puedes servirte de las matemticas? En qu aspectos de la construccin de casas crees que se apliquen las matemticas? En una granja, cmo pueden aprovecharse las matemticas?

b) c) d)

En forma individual, responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:20


a) b) c)

Qu aplicacin tienen las matemticas en el desarrollo de tu comunidad? En qu actividades de tu vida cotidiana aplicas los conocimientos matemticos adquiridos? Qu actividad has pensado desarrollar cuando termines 8o. grado y cmo te pueden servir los conocimientos matemticos adquiridos en la escuela?

Espera las indicaciones de tu maestro para evaluar esta seccin.

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QU HAY DE NUEVO EN OCTAVO GRADO? Contenido del programa de matemticas de 8o. grado Conocimientos de los temas de estudio

Qu satisfaccin continuar avanzando en la bsqueda y comprensin del conocimiento! Los resultados redundarn en tu crecimiento como ser humano y en grandes beneficios para tu familia y para la comunidad. Con un compaero(a) haz un recuento de lo visto en 7o. grado.

Para ello, hagan un cuadro de cinco columnas encabezadas con los nombres de los contenidos centrales.Presentacin y tratamiento de informacin Nociones de probabilidad

Aritmtica

lgebra

Geometra

En cada columna escriban los temas tratados, como tambin los que segn tu profesor(a) quedaron pendientes. Desde esa perspectiva lean la propuesta para el grado octavo.21MATEMTICAS

TELESECUNDARIA 8o. GRADOLGEBRA GEOMETRA PRESENTACIN Y TRATAMIENTO DE LA INFORMACIN Poblacin y muestra Variables y parmetros estadsticos Tipos de variables Medidas estadsticas PROBABILIDAD

ARITMTICA


Probabilidad de un evento Nocin frecuencial Frmula clsica de probabilidad Probabilidad nula

Nmeros racionales Equivalencia, orden Operaciones +, , x, Potenciacin y radicacin de fracciones Potencias de diez Notacin cientfica Variacin proporcional inversa El nmero Pi Raz cuadrada (tanteo, interpolacin, mtodo babilnico) Funciones Concepto Notaciones Funciones lineales Grfica de funciones de la forma f(x) = mx + b ; f(x) = mx b f(x) = mx + b ; f(x) = mx b Pendiente de una recta Funcin cuadrtica Grfica de funciones de la forma y = x2 + a y = ( x a )2 y = ( x + a )2 Desigualdades Operaciones entre monomios y polinomios Algunos productos notables Caracterizacin y descripcin de slidos Poliedros regulares e irregulares Cuerpos de revolucin Tetraedro y octaedro Volumen y capacidad de slidos Cubos y paraleleppedos Congruencia de tringulos Teorema de Pitgoras

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Con la orientacin de tu profesor(a) analiza tambin el cuadro de contenido de 9o. grado y consideren la posibilidad de traer algunos de los temas propuestos en este ltimo grado para que sean estudiados en 8o. grado. Temas de la aritmtica y del lgebra podrn ser objeto de esta adecuacin.

Intgrense con otra pareja de compaeros(as) para analizar en grupo los cuadros de contenido y decidir si hay vacos en algunos conocimientos del grado anterior que ameriten un repaso. Conviene que al momento de hacer el anlisis, tengan en cuenta que en la Gua Didctica estn los cuadros de 6o. y 7o. que podrn hacerse en cartulina y colgarse en el saln. Cmo les parece la secuencia de los contenidos relacionados en cada columna? Qu comentarios les suscita cada uno de ellos? Para mirar el video tengan a mano el cuadro de contenido de 8o. grado y tomen nota de aquellos temas que se mencionan en l y que no figuran en dicho cuadro. Ellos sern objeto de estudio en el grado 9o. Con base en el cuadro de 8o. grado y en el video, responde individualmente las siguientes preguntas: Cules son los temas de 7o. grado que debo repasar? Qu temas de los comentados en el video no sern objeto de estudio en 8o. grado? De los contenidos propuestos para 8o. grado cules me interesan ms? Por qu?

En sesin plenaria y bajo la asesora del maestro(a) se hace una sntesis de los posibles vacos conceptuales del ao anterior y se elabora un plan para superarlos. Igualmente, se comenta el desplazamiento de temas para noveno grado. Tngase en cuenta que la propuesta de Mxico para secundaria, est conformada por tres grados, mientras que este ciclo en Colombia es de cuatro grados; de ah que algunos videos evidencien este hecho y en algunos casos aparezcan como terminales de la secundaria.

3

NO HAY PROBLEMA Resolucin de problemas Bsqueda de estrategias para resolver problemas

Te has enfrentado a algn problema que no hayas podido resolver? Te gustara conocer caminos que lleven a la resolucin de problemas?23MATEMTICAS

Divirtete resolviendo stos! Problema 1: Se dispone de tres recipientes que puedan contener respectivamente 8, 5 y 3 litros.

Si el recipiente de 8 l se llena completamente de agua: a) b) c) Cmo hacer para aislar 2 l de agua? Cmo hacer para aislar 1 l de agua? Cmo hacer para aislar 4 l de agua?

Problema 2: Una vaca produce 6 200 litros de leche en un ao. Si su rendimiento aumenta en un 12%, cul ser la nueva produccin?

Qu puedes decir de esta vaca?

Problema 3: Con seis palillos forma cuatro tringulos.

Seguiste algn mtodo especial en la resolucin de esos problemas? No lo olvides comparar con los aportes de otros compaeros(as).GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

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Observa en el video cmo las matemticas han ayudado, desde hace mucho tiempo, a resolver problemas. Comenta en tu grupo cul fue la idea principal del programa.

Renete en equipo y lee el siguiente texto:

RESOLUCIN DE PROBLEMASUn aspecto esencial de las matemticas y sus procedimientos de resolucin de problemas es que fomentan en el alumno el razonamiento y la toma de decisiones frente a situaciones circundantes; es decir, le ayudan a ejercitar procesos mentales y hacen que reflexione y busque la manera de vencer los obstculos que se le presentan, y encontrar caminos ms convenientes que le permitan resolver problemas. La resolucin de problemas no se limita a la lectura de enunciados y a la bsqueda de respuestas inmediatas. Significa tambin saber manejar situaciones cotidianas aplicando los conocimientos ya adquiridos y descubriendo nuevas estrategias que indiquen uno o ms caminos para tal fin. Para resolver un problema es conveniente seguir ciertos pasos: 1. 2. Empezar por analizar el planteamiento del problema. Localizar los datos del problema, examinarlos y buscar puntos de contacto con conocimientos anteriores. Buscar un proceso operacional con el que se pueda llegar al resultado. Si es posible, hacer un clculo mental del resultado. Realizar las operaciones necesarias y encontrar el resultado. Analizar si, a la luz del problema, el resultado es razonable.

3. 4. 5. 6.

Con base en los puntos anteriores, analcese el siguiente problema: Un grupo de alumnos se rene todas las tardes durante una semana para pintar la barda de su escuela. El lunes pintan 6.5 m, el martes 5.75 m, el mircoles 7.85 m, el jueves 6.9 m y el viernes 5 m. Cuntos metros de barda pintaron en total?25

MATEMTICAS

1.

Se lee el problema y se inicia su anlisis estableciendo cul es la pregunta; en este caso, cuntos metros de barda se pintaron en la semana.

2.

Se localizan los datos que da el problema: Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes 6.5 5.75 7.85 6.9 5 m m m m m

3.

Se busca un proceso operacional; como lo que se quiere encontrar es el total de metros de barda que se pintaron, se realiza una adicin. Utilizando slo las cifras de los enteros se realiza una estimacin del resultado, en forma mental o escrita: 6 + 5 + 7 + 6 + 5 = 29 Este dato se toma slo como una aproximacin del resultado.

4.

Si se emplea el clculo mental debe anotarse el resultado.

5.

Se realizan en forma escrita las operaciones necesarias. 6.7 + 5.75 + 7.85 + 6.9 + 5 = 32.20 Este resultado se comprueba con la ayuda de la calculadora.

6.

Se establece la razonabilidad del resultado, sin olvidar las unidades con las que se est trabajando ni la pregunta formulada. Resultado: Pintaron 32.2 m de barda en una semana.

El anlisis de problemas y su correcta resolucin ayudar a tener un pensamiento ms ordenado y a seguir un camino ms confiable. Cmo te pareci tu forma de proceder, en la resolucin de los dos problemas iniciales, frente a lo expuesto en la lectura?


26

Con un compaero(a), analiza el siguiente problema y contesta las preguntas. Jorge entr a un almacn donde haba tres suteres. El primero costaba $100 000, el segundo la mitad y el tercero el triple del segundo. Cul era el costo de los tres suteres? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Cul es el primer paso para resolverlo? Qu pregunta el problema? Qu datos da el problema? Con cules operaciones se puede resolver el problema? Cmo procedes mentalmente para resolverlo? Cul es una estimacin del resultado? (Suma las cifras de mayor orden) Realizando las operaciones en forma escrita, cul es el resultado? Son razonables? Si no lo fueron, rectifica tus operaciones

Comprueba los resultados en la calculadora. Lee en voz alta tus respuestas. Si hay errores, corrige.

Individualmente, resuelve el siguiente problema.

Cul es el total de litros de aceite en 3 cajas que contienen 24 envases cada una, con 0.475 l en cada envase? Lee atentamente el problema y analiza. 1. 2. 3. 4. Cul es la pregunta del problema? Qu datos ofrece el problema? Qu operacin lo resuelve? Haz una estimacin del resultado.27

MATEMTICAS

5. 6. 7. 8.

Realiza las operaciones. Cul es el resultado? El resultado es aproximado a la estimacin que hiciste? Comprueba con la calculadora. Fue correcto tu resultado? Anota tu resultado con la unidad sealada.

Compara tus respuestas con la clave. Si hay diferencias, analiza y corrige.

CLAVE1) Total de litros; 2) 3 cajas con 24 envases, cada envase con 0.475 l; 3) Una multiplicacin; 4) 30 litros (es valor aproximado, por lo tanto, puede ser slo parecido); 5) 34.2 l; 6) S debe serlo; 7) S debe serlo; 8) Son 34.2 l en total.

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UN CAMINO SEGURO Cmo estudiar matemticas Estrategias para el estudio y comprensin de las matemticas

Debes tener presente que no es el tiempo que le dediques sino la calidad del estudio que realices, el que te ayudar a aprovechar mejor tus conocimientos.

Con un compaero(a) analiza y contesta las siguientes preguntas:

1. 2. 3.

Tienes alguna forma especial o mtodo para estudiar matemticas? Cul? Es importante seguir un mtodo? Por qu? Discute en grupo tus conclusiones.


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Observa el video; te mostrar buenos hbitos de estudio. Comenta con tus compaeros cmo el video enriquece tus hbitos de estudio.

Lee en equipo.

CMO ESTUDIAR MATEMTICASCuando un estudiante ingresa en una escuela, su objetivo principal es el aprendizaje de nuevos conceptos, el logro de algunas metas, su crecimiento personal y el cambio de ciertos hbitos y habilidades que le conduzcan a progresar en conocimientos; todo ello se adquiere con buenos hbitos de estudio y de autoevaluacin, actividades adecuadas y actitudes que faciliten una mayor comprensin de s mismo y del objeto de estudio y que le permitan avanzar en todo sentido. Algunas actividades que contribuyen a que tu formacin se realice de una manera ms ordenada y eficaz son:

1.

Escuchar con atencin. No slo or sino entender y cuestionar aquello que se plantea, estableciendo mentalmente modelos que te ayuden a comprender, valorar y retener lo escuchado. Evaluarse con sinceridad y decidir cambiar o avanzar hacia metas de crecimiento personal y convivencia pacfica. Reconocer en los otros aquellas cualidades, hbitos y costumbres que los llevan al xito.

2.

3.

Comenta en equipo el ejercicio siguiente:

1. 2.

Por qu crees necesario discutir con el grupo sobre un tema especfico? En el lugar donde estudias, existen libros que puedas consultar? Son suficientes para los trabajos que realizas? Qu puedes hacer en caso de que no lo sean? Crees que es suficiente la cantidad de ejercicios que realizas en la escuela? Qu puedes hacer para que resulten ms completos? Por qu ser importante aplicar el conocimiento en la resolucin de problemas?29MATEMTICAS

3.

4.

5. 6.

Realizas otras actividades mientras estudias? Ser necesario que cambies tus hbitos de estudio? Por qu?

Expnle al grupo tus respuestas y concluye.

Individualmente, anota en tu cuaderno lo que entiendas sobre cada una de las siguientes expresiones.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Escuchar con atencin Crecimiento personal Convivencia pacfica Autoevaluacin Realizar ejercicios Resolver problemas Visitar la biblioteca

Comenta con el grupo tus respuestas. Si hay dudas, consulta con tu maestro(a).

5

SER O NO SER Evaluacin diagnstica

Esta evaluacin diagnstica tiene como finalidad determinar qu conocimientos del grado 7o. asimilaste, debido a que aplicars muchos de ellos en ste. Asimismo, la evaluacin permitir que, tanto el profesor como t, detecten los temas que no dominas y aprecies que entre mayor haya sido su comprensin ms fcil te resultar avanzar en otros temas.30


Observa el video; en ste se te dar informacin para contestar el cuestionario; si tienes alguna duda, comntala con tu profesor.

En forma individual, contestars un cuestionario que te permitir apreciar tus conocimientos y avances del curso anterior.

EVALUACIN DIAGNSTICANombre del estudiante: Nmero de aciertos:

Trabaja en tu cuaderno. Escribe el nmero de la pregunta y el literal que escojas como la respuesta correcta.

1.

Es el mcm de (8, 12, 15) a) 60 b) 120 c) 90

( )

2.

Es el mcd de (20, 25,15) a) 5 b) 10 c) 50

( )

3.

Resultado que se obtiene de multiplicar (35) (13) (2) a) 910 b) 83 c) 910

( )

4.

Es el resultado de (20) + (30) (15) + (5) a) 70 b) 20 c) 10

( )

5.

Cociente que se obtiene de dividir 8 2 17 a) 16 17 b) 10 1731

( ) c)

8 34MATEMTICAS

6.

Es el resultado de ( 9 ) (0.8) 5 a) 1.44 b) 72 50 c) 72 50

( )

7.

Fraccin comn impropia equivalente a 2 5 7 17 10 a) b) 7 7

( ) c) 19 7

8.

Fraccin comn menor que 7 3 a) 5 4 b) 2 5 c) 5 2

( )

9.

Fraccin comn equivalente a 0.27 a) 27 100 b) 2.7 10 c) 0.27 100

( )

10.

Diferencia que se obtiene en 9 2 3 7 7 63 a) 4 63 b) 60 63 c) 104 63

( )

11.

6 Nmero de kilmetros que hay en 4 de milla, si un kilmetro es aproximadamente5 de milla. 8

( ) b) 12 5 c) 15 16 ( )

a) 16 15 12.

Constante que se tiene en la frmula P = d (permetro del crculo) a) 2r b) 32

c) d


13. Expresin algebraica equivalente a la mitad de un nmero menos el triple de otro. ( ) a) x y 2 3 b) x 3y 2 c) x 3y 2

14. Forma de leer en lenguaje comn la expresin x y 3 a) El triple del producto de dos nmeros. b) El producto de dos nmeros divididos entre tres. c) La tercera parte del producto de dos nmeros.

( )

15. Potencia indicada que se obtiene de multiplicar (3a2 b)6 (3a2 b)2 a) (3a2 b)12 b) (3a2 b)8 c) (3a4 b2)8

( )

16. Resultado que se obtiene de simplificar la expresin 26xy2 13y2 29xy2 46xy ( ) a) 3xy2 46xy 13y2 b) 49xy2 13y2 c) 3x3y5 13y2

17.

Valor numrico del polinomio 3a2b + 2ab2 + b2, cuando a = 2 y b = 1 a) 9 b) 15 c) 7

( )

18. Resultado que se obtiene al simplificar la expresin (5x2 + 3x + 2) (8x 4) (6x2 + 10) ( ) a) 11x2 + 11x + 8 b) x211x + 16 c) x2 5x 4

19. Producto que se obtiene en (5m2 n) (3m2 + 2n) a) 15m4 + 13m2n 2n2 b) 15m4 + 7m2n 2n2 c) 15m4 13mn2 2n2

( )

33

MATEMTICAS

20. Enunciado de la propiedad fundamental de la igualdad. a) Si dos igualdades tienen un miembro comn, los otros dos son iguales.

( )

b) Si a los dos miembros de una igualdad se les aumenta, disminuye, multiplica o divide entre la misma cantidad, la igualdad subsiste. c) Se pueden suprimir sumandos o factores iguales en los dos miembros de una igualdad y el resultado es otra igualdad.

21.

Valor de la incgnita que hace verdadera la ecuacin 32 = 16 x a) 48 b) 16 c) 16

( )

22. Nmero que sumado a 17 da como resultado 25. a) 8 b) 8 c) 42

( )

23. Medida del frente de un terreno cuya rea es de 1 800 m2 y tiene de fondo 20 m ( ) a) 80 m b) 90 m c) 70 m

24.

Ecuacin que se obtiene de: Por cuatro cuadernos y un bicolor se pagaron $ 23 500 y el bicolor cost $2 500. ( ) a) 4x + 2 500 =23 500 b) 4x + y = 23 500 c) 4x + y = 23 500 2 500

25.

Ecuacin que se obtiene de: Si al doble de la edad de Mara se le adicionan 4, resulta 30. ( ) a) 2x = 30 b) x + 4 2 c) 2x + 4 = 30

26. Valor numrico de la incgnita en la ecuacin 11x 4 = 8x + 14 a) x = 6 b) x = 4 c) x = 5

( )


34

27. Es una escala natural. a) 8 : 1 b) 3 : 3 c) 5 : 1

( )

28. Razn de proporcionalidad del rea de una figura cuando se reproduce una figura a escala de ampliacin. ( ) a) al cubo b) uno a uno c) al cuadrado

29. Tipo de simetra en la cual existe una rotacin de 180. a) axial b) central c) de reflexin

( )

30. Frmula para determinar el rea de un rombo a) A = Dd 2 b) A = b h c) A = (B + b) h 2

( )

31. Forma general de expresar el teorema de Pitgoras a) a2 = c2 + b2 b) a2 + b2 = c2 c) b2 = c2 + a2

( )

32. Medida de uno de los ngulos interiores de un tringulo si dos de ellos son iguales y sus medidas suman 125. ( ) a) 55 b) 180 c) 62.5

33.

Es el permetro de un rodeo de forma circular, si tiene un radio de 7 m a) 21.98 m b) 43.96 m c) 152.86 m

( )

34. Letras y ejes de simetra.

35

MATEMTICAS

a) Cules son las letras del alfabeto que tienen un eje de simetra vertical? b) Cules tienen un eje de simetra horizontal? c) Cules no tienen eje de simetra? d) Cules tienen dos ejes de simetra?

35. Opuesto de un nmero entero. Existe una mquina que cambia a todo nmero entero que entra en ella por su opuesto.

OP.

ENTRADA 2

SALIDA 2


36

a) Qu nmeros se obtienen a la salida si entran: 2; 4; 0; 120

b) Cules nmeros entraron si a la salida se obtuvieron: 25; 38; 0; 1

Una vez que hayas terminado, conserva tu cuaderno; en la siguiente sesin se analizar el examen.

6

PARECE QUE NO FUE Anlisis de resultados Determinacin del nivel de conocimientos del grado sptimo

Una vez que pusiste en prctica los conocimientos adquiridos en cursos anteriores, debers analizar los aciertos y errores que tuviste en la evaluacin diagnstica; ello te servir de gua para saber en qu temas tienes deficiencias.

Observa el video y comenta con tus compaeros(as) cul es la finalidad de una evaluacin diagnstica.

Comenta con tu grupo las siguientes preguntas:

1.

Consideras que esta evaluacin es necesaria antes de comenzar un nuevo curso? Por qu? La evaluacin diagnstica que realizaste en el grado sptimo, te fue til? En qu forma? Crees que antes de aplicar una evaluacin diagnstica es necesario que se les avise para que repasen y la aprueben satisfactoriamente? Por qu?37MATEMTICAS

2.

3.

Espera a que el profesor o la profesora indique quin expondr sus respuestas ante el grupo y luego realiza comentarios al respecto.

Lee en silencio las siguientes instrucciones. Al terminar, realiza lo que se indica en ellas con la ayuda de tu profesor(a).

a) b)

Intercambia tu cuaderno con uno de tus compaeros(as). El profesor o la profesora proporcionar la respuesta correcta; marca con () si la respuesta es correcta y con una (X) si es errnea; anota a un lado de los errores la respuesta correcta. Anota en la parte superior el nmero de aciertos y de errores. Devuelve el cuaderno a tu compaero(a). Anota en tu cuaderno el nmero de aciertos que obtuviste; considera el nmero de la pregunta y el tema correspondiente.

c) d) e)

Tema Operaciones con nmeros racionales Expresiones algebraicas Operaciones algebraicas Ecuaciones de primer grado Escalas y simetra reas y Teorema de Pitgoras ngulos interiores de un tringulo Permetro del crculo

Nmero de la pregunta 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 35 12, 13, 14 15, 16, 17, 18, 19 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 27, 28, 29, 34 30, 31 32 33

Nmero de aciertos

Con base en el cuadro anterior, puedes advertir en qu temas tienes deficiencias; de este modo podrs repasarlos, ya que te servirn de base para el grado octavo. Observa la siguiente escala y, de acuerdo con el nmero de aciertos que obtuviste, determina la calificacin que has obtenido. Recuerda que sta no cuenta en ningn momento para calificar un mes o el curso.GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

38

ESCALA ESTIMATIVA 35 - 29 28 - 22 21 - 15 14 - 0 MUY BIEN BIEN REGULAR MAL

7

ACEPTO EL RETO Proyecto personal Elaboracin de un proyecto personal

Alguna vez te has preguntado cules son las metas y objetivos que se propusieron tus padres con respecto a tu educacin y a la de tus hermanos? Y t mismo, qu has pensado al respecto? Observa el video, ya que en l se te dar una visin general de lo que es un proyecto personal. Comenta con tus compaeros(as) cul fue la idea principal del programa.

Haz la siguiente lectura, ya que con ella tendrs una mejor idea de cmo elaborar tu proyecto personal.

PROYECTO PERSONALEn la mayora de las actividades humanas siempre se tienen proyectos, tanto de forma directa como indirecta; en stos siempre se tienen objetivos que cumplir y para alcanzarlos deben seguirse ciertos planes y estrategias. Asimismo para alcanzar los objetivos; se deben ir logrando metas previas en tiempos establecidos; conforme se vayan cubriendo stas, se estar ms cerca de los objetivos finales. Por otra parte, conviene considerar los imprevistos; sin embargo, si los objetivos se cubren entre un 70% y un 80%, se puede considerar que el proyecto es satisfactorio.39MATEMTICAS

Algunos ejemplos de proyectos son: instalar una fbrica; mejorar un sistema de riego; construir una escuela, un hospital o una unidad habitacional; desarrollar una investigacin en diferentes ciencias para proporcionar los descubrimientos al servicio de la sociedad, etc. En lo que respecta al proyecto personal, ya se tiene la experiencia de haber elaborado dos en cursos anteriores; ahora, con base en esa experiencia, si no se consiguieron los objetivos buscados, deben hacerse cambios para mejorar el proyecto; si da resultado en este curso, se puede realizar uno cada vez que inicies un nuevo curso. Se debe establecer qu tiempo debe dedicarse, despus de clase, a las materias que se consideren con mayor dificultad; tambin si se har en forma individual o con otros compaeros(as); o si se tiene la finalidad de resolver dudas o afirmar conocimientos; todo ello traer como consecuencia la asimilacin y comprensin de otros temas. No olvides considerar aquellos propsitos que te aproximan cada vez ms a hacer de ti un ser humano solidario, sembrador de paz, amante de la armona, de la belleza interior y del entorno; una persona capaz de escuchar y comprender las razones y problemas de los otros, de reconocer su propia grandeza y valores para comunicarlos, acrecentarlos e irradiarlos; tambin puedes considerar aquellos que hagan de ti un asiduo conversador contigo mismo como posibilidad para desentraar debilidades y enfrentarlas, para convertirlas en retos y oportunidades de crecimiento personal.

Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas para que inicies tu proyecto personal.

1. 2.

El proyecto personal del grado sptimo, para qu te sirvi? Consideras que un proyecto para el grado octavo ayudar a tu aprendizaje? De qu manera? Dependiendo de las actividades que realizas despus de salir de la escuela, qu tiempo dedicaras a cada una de las materias para tener un mejor dominio de ellas? Lo haras en forma individual o con otros compaeros? Por qu? Cules son los objetivos que te has propuesto para este nuevo curso? Si se cumplen la mayora de las metas que te propusiste en el proyecto aplicaras un proyecto similar al continuar tus estudios? Con qu finalidad?

3.

4. 5.

Espera a que el profesor(a) indique quin leer sus respuestas ante el grupo; despus, si lo consideras necesario, da tus opiniones al respecto.GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

40

Escribe en tu cuaderno tu proyecto para el grado octavo de matemticas; ste debe tener un ttulo, los objetivos que te propongas alcanzar, los planes que debers seguir y las metas que irs cubriendo para obtener buenos resultados. Consulta tu proyecto con el profesor(a); luego, l o ella elegir los que considere convenientes y los leer ante el grupo. En caso de que se est llevando a cabo un proyecto en tu comunidad, comntalo.

8

DEMUESTRA QU SABES! Evaluacin personal Demostracin del aprendizaje logrado

Al iniciar un curso, es importante tener un panorama general del mismo, a fin de estar preparado para emprender el trabajo diario. Te sientes preparado? En esta sesin lo comprobars.

Observa el video; te recordar aspectos importantes del ncleo y te invitar a jugar para demostrar qu tanto sabes.

Trabaja individualmente, en tu cuaderno, los ejercicios que se presentan a continuacin.

Sigue las instrucciones del programa y usa la sopa de letras que aparece en seguida para encontrar las respuestas. Si el tiempo no te permite encontrar las respuestas, escrbelas y posteriormente localzalas.

41

MATEMTICAS

Contina con tu evaluacin sin la ayuda del programa y en forma individual contesta las siguientes preguntas: a) Cules son las asignaturas de las matemticas que permitieron clasificarlas para su estudio en este grado? Cul de las asignaturas del rea te fue ms difcil estudiar en sptimo grado? Por qu? Qu solucin propones para eliminar la dificultad que algn tema haya presentado? Seala algunas actividades que contribuyan a mejorar tu aprendizaje dentro del saln de clases. Consideras necesaria una evaluacin diagnstica antes de iniciar un nuevo curso? Por qu? Cul es el principal objetivo que te has propuesto alcanzar en el rea de matemticas este ao? Cules son tus propsitos de crecimiento personal diferentes de los acadmicos?

b)

c) d)

e)

f)

g)

Espera indicaciones de tu profesor para revisar tus respuestas y ampliar ante el grupo algunas que consideres especialmente importantes.


42

Ncleo Bsico 2

ARITMTICA

En el siglo XVI todava se calculaba con fichas colocadas sobre lneas (ver personaje a la derecha). Pero el clculo escrito utilizando cifras se impuso con el paso del tiempo (personaje de la izquierda). Margarita Philosophica. 1504 Pars, Biblioteca Nacional.

La aritmtica aparece en la vida del hombre debido a la necesidad de contar. Con la aparicin de instrumentos sofisticados como las calculadoras y computadoras, la aritmtica, puede delegar en ellos los clculos y procedimientos mecnicos y de rutina, para ocuparse ms bien de la comprensin matemtica que los justifica y del desarrollo de habilidades de estimacin y aproximacin de resultados. Las operaciones aritmticas son una herramienta indispensable en la resolucin de problemas y en cualquier clculo que se realice. Estas operaciones amplan su campo de43MATEMTICAS

aplicacin cuando en los datos intervienen los nmeros racionales (incluyen los naturales, los enteros y los fraccionarios). Es as como la multiplicacin y la divisin en los fraccionarios sern objeto de especial atencin tanto en la resolucin de problemas como de la sistematizacin de los algoritmos correspondientes. Respecto a la potenciacin trabajars las potencias de diez y las operaciones entre ellas para concluir con la notacin cientfica. Tambin se enriquecer tu visin acerca de los nmeros cuando reinventes otros, diferentes de los racionales, que constituyen sin lugar a dudas un aporte valioso de la inteligencia humana al universo de las matemticas. En ese aspecto avanzars notablemente en grado noveno.

927-2

UNA RELACIN ESPECIAL Nmeros racionales, su equivalencia y orden Concepto de nmero racional, su equivalencia y orden

Vamos a hacer un recuento de los sistemas numricos que conoces para establecer relaciones entre ellos. Pero lo ms importante es que logremos comprender desde dnde son vlidas dichas relaciones. Forma un grupo de tres participantes y discutan, para llegar a acuerdos, los conocimientos que estn involucrados en las respuestas a las siguientes preguntas: 1. Los llamados nmeros naturales se originan para solucionar necesidades experimentadas por el ser humano desde pocas muy remotas. Cules fueron algunas de esas necesidades? Es el nmero cero un natural? Puedes hacer una lista de los nmeros naturales? Existe una nica forma de representacin para los nmeros de contar?GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

44

2.

Cmo surgen los nmeros enteros?

3.

Cmo es el comportamiento de los nmeros naturales mayores que cero comparado con el de los enteros positivos? Cmo son sus representaciones en la recta numrica? Haz la representacin!

4.

Te parece razonable pensar que los nmeros naturales sean un subconjunto de los nmeros enteros? Por qu?

5.

Qu otro tipo de nmeros conoces? El cociente 3 4 de qu forma lo puedes expresar sin realizar la divisin?

6.

Representa, de tres formas diferentes, el nmero fraccionario tres cuartos. Formula un problema donde intervenga este nmero, y resulvelo.

7.

Utiliza fracciones para representar (disfrzalos de fraccin) los siguientes nmeros: 1; Localzalos en una recta. 7; 1; 7; +7; 0.5; 2.5; 0

8.

a) Discute con tu grupo si es cierto que los nmeros hasta aqu mencionados (naturales, enteros) son representables mediante fracciones.

b) Utiliza fracciones para representar: 4 5;

3 7;

5 3;

6 11.

9.

Cmo pasas de la representacin fraccional de un nmero a su expresin decimal? Ilustra tomando como ejemplos los cocientes del literal anterior.

10.

El nmero (pi) es de la misma clase de los nmeros mencionados a lo largo de este cuestionario? En los problemas que has resuelto utilizando este nmero especial qu has hecho?

45

MATEMTICAS

Nota especial: El nmero no es racional, pero en la prctica lo utilizamos como si lo fuera. A lo largo de los siglos, los matemticos han encontrado fracciones y expresiones decimales no peridicas muy cercanas al valor de . Por ejemplo: 22 , 333 , 7 106355 , pero ninguna de ellas es igual a . 113

Encuentra en la expresin decimal de cada una de las fracciones anteriores, aproximaciones del nmero . Ordnalos! Acerca del nmero y de otros que pertenecen a su misma clase, hablaremos en grado 9o. En sesin plenaria y bajo la asesora del profesor o de la profesora comenten las respuestas a las preguntas anteriores.

Observen el video y tomen nota de aquellos aspectos que requieren discusin o aclaraciones.

Con un compaero(a), lean el siguiente texto.

NMEROS RACIONALES, SU EQUIVALENCIA Y ORDENLos nmeros naturales satisfacen la necesidad de contar y de ordenar (numerar). As por ejemplo, se dice que la semana tiene 7 das, que la Tierra es el 3er planeta segn su distancia al Sol, o que la sesin de matemticas es la 1a. de la maana. Los nmeros naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado siempre es un nmero natural.GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

46

Estos nmeros tienen un orden natural y los podemos representar sobre una recta:

0

1

2

3

4

5

Los nmeros naturales no siempre pueden restarse. Cuando se tienen $2 450 380 en la cuenta de ahorros de un banco, no se puede cancelar una deuda de $3 500 000 que se tenga en el mismo banco, salvo que ste nos preste el resto del dinero para quedar, entonces con una nueva deuda de $1 049 620. A veces, para contar, se requieren cantidades negativas como en el caso anterior, donde el saldo en el banco sera de $1 049 620. Igualmente, el ao 450 es el ao 450 antes de Cristo. Se trata, como ya sabes, de los enteros negativos. Los nmeros naturales y sus correspondientes opuestos constituyen el conjunto de los nmeros enteros. El nmero cero no es ni positivo ni negativo, es el origen y tambin es un entero.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

En los nmeros enteros adems de poderse sumar y multiplicar, se puede restar con la seguridad de que el resultado ser un nmero entero. Los nmeros fraccionarios, surgen de la necesidad de expresar porciones de unidad o de un todo (conjunto de objetos). Ya viste los diferentes significados que puede tener una fraccin (expresin simblica de un nmero fraccionario) segn el contexto desde el cual ella surja. Conoces nmeros fraccionarios menores que la unidad, como:1, 1, 2 3 6 , 8 , etc. 7 10

Tambin los hay, mayores que uno. Equivalen a varias unidades completas ms una fraccin de unidad:47MATEMTICAS

3 =1+ 1 2 2

;

7 =2+1 3 3

;

42 = 4 + 1 5 10

Por ltimo, tenemos los fraccionarios negativos que podemos representar con fracciones precedidas del signo .1 , 1 , 3 , 7 2 4 2 3

La representacin de nmeros positivos y negativos en la recta numrica te resulta conocida:

7 3

3 2

1 2

1 2 1 4

3 2

7 3

42 10

4

3

2

1

0 13

1

2

3

4

El conjunto formado por todos los nmeros enteros y todos los fraccionarios, es el conjunto de los nmeros racionales. Nmero racional es aquel que puede expresarse por medio de una pareja ordenada de nmeros (a/b) donde a, b son enteros y b es diferente de cero.

Los nmeros racionales se localizan en la recta numrica a ambos lados del cero: a la derecha los racionales positivos y a la izquierda los negativos.

RACIONALES NEGATIVOS

RACIONALES POSITIVOS

7 4

2 2

1 2

0

1 2

2 2


48

Como ves, un nmero racional se puede representar por medio de una fraccin comn y por los llamados nmeros decimales, que son expresiones con cifras despus del punto; stas se obtienen al dividir los nmeros de una fraccin comn. Ejemplos: 1 = .25 4 9 = .9 10 8 = .008 1000

Entre dos nmeros racionales se puede establecer una relacin especial: la relacin de orden. Esa relacin, tambin llamada Ley de tricotoma, establece que entre dos nmeros racionales a y c , se da una y slo una de las siguientes relaciones: b da > c, b d a < c, b d a = c b d

Para establecer entre una pareja de racionales cul es mayor, menor o igual, debe observarse lo siguiente: a) De dos nmeros racionales, uno positivo y otro negativo, el mayor ser siempre el positivo. Ejemplos: Si se tienen: 3 y 1 5 4 Si se tienen: 4 y 4 8 8 entonces 3 > 1 5 4 entonces 4 < 4 8 8

b)

Entre un racional positivo y el cero, es mayor el racional positivo. Ejemplos:

49

MATEMTICAS

Si se tienen: 3 y 0 5 Si se tienen: 0 y 2 9 3

entonces

3 > 0 5 0 < 2 9 3

entonces

c)

Entre un racional negativo y el cero, es mayor el cero. Ejemplos: Si se tienen: 4 y 0 8 Si se tienen: 0 y 3 5 10 entonces 4 < 0 8 entonces 0 > 3 10 5

d)

Entre dos nmeros positivos, ser mayor el de mayor valor absoluto. Esto puede determinarse fcilmente reducindolos a un comn denominador o por medio de productos cruzados. Ejemplos:4 y 2 , un comn denominador es 15 5 3

4 4 3 12 = = 5 5 3 15de donde 4 > 2 5 3

;

2 2 5 10 = = . 3 3 5 15

Relaciona el procedimiento anterior con el de productos cruzados. 12 4 5 2 3 10 entonces

4 > 2 5 3


50

Compara las fracciones por comn denominador. Veamos cmo hacerlo por productos cruzados. 30 3 5 e) 6 10 30 entonces

3 = 6 5 10

Entre dos nmeros racionales negativos, ser mayor el de menor valor absoluto. Para identificarlo rpidamente se realizan de nuevo los productos cruzados.

36 6 8 5 1 2 3 5 3 6

24 entonces

6 < 3 8 6

6 entonces

1 > 3 2 5

Para encontrar una fraccin equivalente a una dada, se multiplica el numerador y denominador por un mismo nmero; la fraccin resultante ser equivalente a la original. Ejemplos: Encontrar dos fracciones equivalentes a 4 74 2 = 8 7 2 14 4 = 8 7 14

4 3 = 12 7 3 21

4 = 12 7 21

Existen varios caminos que llevan a establecer una relacin de orden entre fracciones; una de ellas es reducindolas a comn denominador; sin embargo, por productos cruzados resulta ms rpido y sencillo.

51

MATEMTICAS

Con tu compaero(a), contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

1. 2.

Cmo compruebas que dos fracciones son equivalentes? Qu criterio se sigue para establecer la relacin de orden entre dos racionales, uno positivo y el otro negativo? Cmo se establece la relacin de orden entre un nmero positivo y el cero? Cul es mayor entre un nmero negativo y el cero? Cmo se establece la relacin de orden entre dos nmeros negativos? Cmo se establece entre dos nmeros positivos?

3. 4. 5. 6.

Lee tus respuestas en voz alta, y discute con tus compaeros(as) las dudas que tengas. Corrige tus errores.

Resuelve con tus compaeros(as) los siguientes ejercicios. Trabaja en tu cuaderno.

1.

Encuentra fracciones equivalentes a las fracciones dadas.

2.

Cmo encontraste las fracciones equivalentes a 2 y 5 ? 8 3 Encierra en un crculo las fracciones comunes: 2 ; 0.9 ; 1 6 4 ;2 ; 0.86 ; 552

3.

6 9

;

4 5


4. 5.

Seala en una recta: el cero, el espacio de los racionales negativos y el de los positivos. Encuentra la relacin de orden entre las siguientes parejas de fraccionarios; utiliza para ello el criterio que corresponda. (Si es necesario, realiza operaciones mentalmente).4 6 2 5 1 2 0 2 3 4 2 5

;

;

Compara los resultados obtenidos con los de otros compaeros. Si existen diferencias, revisa tus procedimientos y corrgelos.

Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes ejercicios:

1.

Encuentra entre las fracciones de la derecha las que sean equivalentes a las de la izquierda.

1 3 3 5 2 4

2 3 6 10 1 2

,

2 6 2 3 3 4

,

4 10 9 15 3 6

,

3 9 15 25 1 4

,

4 12 12 20 4 8

,

,

,

,

,

,

,

,

Cmo encontraste las fracciones equivalentes?

2.

Anota los signos >, < o =, entre cada pareja de fracciones. 4 5 2 3 1 2 1 3 3 8 0 6

;

;

5 8

4 6

;

0 653

4 5

;

3 5

7 8MATEMTICAS

Comenta con tu profesor(a) las respuestas. Detecta los errores que hayas tenido y corrgelos.

1028-2

TODO EN PARTES IGUALES Adicin y sustraccin de fracciones Aplicacin del mcm en el trabajo con fracciones

RECUERDA: ya sabes cmo se obtienen fracciones equivalentes a una fraccin dada.

Con un(a) compaero(a) utiliza ese conocimiento para expresar con un mismo denominador las siguientes fracciones:

1.

a)

4, 1, 1 5 3 2 3, 5, 3 8 4 2

c)

1 , 7 , 3, 7 12 12 5 4

b)

1 2 4 d) , , 7 5

35

2.

Observa si el denominador comn es, en cada caso, el mnimo comn mltiplo (mcm) de los denominadores. El mcm puede ser uno de tales denominadores como lo es en b) y en d). Esto es lo primero que debes verificar. 8 es el mcm de 8, 4 y 2 ; 35 es el mcm de 7, 5 y 3554


2.1.

4 > 2; 5 3

1 , 2 , 4 , 3 , 9 , 12 , 6 ; 2 , 1 , 3 , 4 ; 3 6 12 5 15 20 10 4 2 6 8

1 > 1; 2 3

3 > 0; 8 6

5 > 4; 8 6

0 < 4; 6 5

3 < 7 5 8

CLAVE

3.

Ahora encuentra la suma de cada uno de los cuatro grupos de fracciones.

Compara sus resultados con los de tus compaeros(as) ms cercanos; en caso de que existan diferencias, consulta con tu profesor.

Observa el video. Despus comenta con tus compaeros(as) el procedimiento que debe seguirse para la solucin de las adiciones y sustracciones con distinto denominador, empleando el mcm.

Lee el siguientes texto.

ADICIN Y SUSTRACCIN DE FRACCIONESAl presentarse el problema de sumar o restar fracciones con diferente denominador, es conveniente emplear el mnimo comn mltiplo para que la resolucin sea menos laboriosa. Tmese como ejemplo la siguiente adicin:17 + 5 = 9 6

Se halla el mcm de los denominadores:9 9 3 1 6 2 3 3 1 3 2 3 3 18

mcm (9, 6) = 18

El nmero 18 ser el comn denominador de las fracciones por sumar, el cual se divide entre cada uno de los denominadores:17 9 5 = 6

+

18

+

18

55

MATEMTICAS

Enseguida, los cocientes obtenidos se multiplican por los numeradores de cada fraccin:17 9 + 5 = 6 +

18

18

Tambin pudiste pensar en el nmero que multiplic a 9 para convertirlo en 18 y en el que multiplic a 6 para transformarlo en 18. Los numeradores respectivos se multiplican por ese mismo nmero. Los resultados son los numeradores de las nuevas fracciones equivalentes:

17 9

+

5 6

=

34 18

+

15 18

Finalmente, se resuelve la operacin con las nuevas fracciones, sumndolas en forma directa. En las sustracciones con diferentes denominadores se sigue un proceso semejante al utilizado en la adicin de fracciones con distinto denominador. Tmese para ejemplificar la siguiente sustraccin:

23 7 10 6Se halla el mcm de los denominadores:

10 5 5 1

6 2 3 3 1 5 2 3 5 30

mcm (10, 6) = 30 Se convierten en fracciones equivalentes con igual denominador y se efecta la operacin entre los numeradores, simplificando el resultado, en caso de que se pueda:23 7 = 69 35 = 34 = 17 10 6 30 30 30 15GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

56

Habr situaciones, tanto en la adicin como en la sustraccin, en las que aparezcan nmeros enteros; esto obliga a colocarles la unidad como denominador para que quede expresado como fraccin comn o bien convertirlos en fracciones con el denominador que se requiera.

4 Ejemplo: 3 + 7

4 y 3 7

Se convierten los nmeros enteros en fracciones comunes colocndoles la unidad como denominador:

3 + 4 1 7El mcm de los denominadores es 7.

3 4 1 7

Se convierten en fracciones equivalentes con denominador 7 y se efecta la operacin.

3 + 4 = 21 + 4 1 7 7 7o bien

3 4 = 21 4 1 7 7 7o bien

= 21 + 4 = 25 7 7

= 21 4 = 17 7 7

Para efectuar operaciones de adicin y sustraccin en donde las fracciones tengan signos diferentes, se sigue un procedimiento semejante. Ejemplo: Sumar 3 4 y 5 3

Se convierten en fracciones con igual denominador: 3 + 5 = 9 + 20 4 3 12 12

57

MATEMTICAS

Se efecta la operacin: 9 + 20 = 11 12 12 12 Siguiendo los mismos lineamientos para la adicin de nmeros enteros, el resultado tendr el mismo signo que el sumando de mayor valor absoluto. Restar 1 2 4 de 5

Se plantea la operacin: 4 1 5 2 Se convierte en fracciones con igual denominador: 8 5 10 10 Se le suma al minuendo el simtrico del sustraendo: 8 + 5 = 13 10 10 10 Obsrvese que, en este caso, la sustraccin se transforma en adicin.

Forma una pareja y resuelve los siguientes problemas en el cuaderno.

a)

Pedro ha estudiado

3 2 de hora. Enrique de hora y Juan 2 horas. Si se suman los 4 3

tres tiempos, cunto tiempo han estudiado los tres?


58

b)

Doa Mara vendi martes y

2 3 de una docena de zapatos el lunes, de una docena el 3 12

4 el mircoles. Si tena dos docenas de pares de zapatos, cuntos pares 6

le quedan?

Con base en los problemas resueltos contesta: Te result difcil solucionar los problemas? Tienes alguna duda? Compara tus resultados con los de otra pareja; si existen diferencias, consulta con tu profesor(a).

En forma individual, contesta o complementa en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a)

1 + 3 + 2 = 3 5 7

+ 63 +

=

b)

2 1 = 9 12

= 5

c)

Cul es mayor

11 12

o

12 ? 13 3 1 kg de naranja, kg de manzana y 2 kg de uva. 4 2

d)

Se compraron 4 kg de mango,

Cunto peso se cargar?

Reto: e) Se reparti una herencia de $ 165 000 000 entre la viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibi la mitad de lo que recibi su hermana y, sta, el triple de lo que recibi su madre. Cunto recibi cada uno?59

MATEMTICAS

Pistas para la solucin

x x 2

dinero hermana dinero hijo dinero madre

x es el triple de x 3

x 3x + x + x= 165 000 000 1 2 3

Compara tus resultados con los del compaero(a) ms cercano; en caso de que existan diferencias consulta con tu profesor(a) y con la clave.

CLAVEe) d) c) Hermana $90 000 000; hijo $45 000 000; viuda $30 000 000.

1129-2

LAS CAMPECHANAS Adicin y sustraccin Resolucin de operaciones combinadas

En sesiones anteriores practicaste la adicin y la sustraccin de fracciones; ahora podrs avanzar aplicndolas en forma combinada, tanto en la resolucin de operaciones como en la solucin de problemas. Observa el video, en l encontraras cmo resolver problemas con varias operaciones.60


mientras que a12 > 11 . 13 12

7 1 kg 4

A

12 1 slo le falta para ser igual a la unidad, 13 13

11 1 1 1 le falta y es menor que 12 13 12 12

Despus renete con un compaero(a) para que comentes los aspectos de mayor inters. Intgrate a un equipo de trabajo y realiza una lectura del siguiente texto, para que se te facilite la resolucin de los problemas y ejercicios que se plantean posteriormente.

ADICIN Y SUSTRACCINUna vez que se ha comenzado el aprendizaje de las fracciones comunes y se han ejercitado operaciones tanto de adicin como de sustraccin, se est en condiciones de realizar operaciones combinadas, que surgen de diversas situaciones problemticas. Vanse los siguientes ejemplos: 1. Una persona acude a la tienda para comprar azcar, que recibe en tres paquetes con las siguientes cantidades:2 3 1 , , y de kilogramo. Sin embargo, al pagar, nota 4 4 4 1 kg de azcar. Qu cantidad 4

que no cuenta con el dinero suficiente y debe regresar de azcar compr?

Para poder determinar la cantidad de azcar que compr, basta con realizar la siguiente operacin combinada.2 + 3 + 4 1 = 2 + 3 + 4 1= 8 4 4 4 4 4 4 8 = 2 4

Como se puede apreciar, esta operacin presenta tanto adicin como sustraccin de fracciones, situacin que se manifiesta por el uso de los signos de operacin (+) y menos (). Otro aspecto por considerar es el hecho de que sus denominadores son iguales, por lo cual el procedimiento utilizado en la adicin y sustraccin se aplica en la resolucin de operaciones de esta forma. Una vez hechas las consideraciones anteriores y realizadas las operaciones correspondientes, se tiene que la cantidad de azcar que compr es 2 kg. Enseguida se tiene un problema que ampla el uso del mcm, ya que se trata de fracciones con diferente denominador en operaciones combinadas.61MATEMTICAS

2.

Una cisterna tiene una profundidad de 5 m y contiene agua hasta la marca de 3 1 m 2 1 . de profundidad, y durante la noche se llena hasta la marca de 1 4 Qu tanto ascendi el nivel de agua en la cisterna?

Los 3 1 y el 1 1 m de profundidad se puede representar como 3 1 y 1 1, respectivamente, 2 4 2 4 debido a que se encuentran debajo del nivel del piso. Para resolver este problema numricamente, se procede a representar la situacin de la siguiente manera:

3 1 + 2Donde

= 1 1 4

es un sumando desconocido por lo cual su valor se puede obtener al

restar de la suma ( 1 1 ) el sumando conocido ( 3 1 ). Es decir: 4 21 1 ( 3 1 ) = 2 4

En una sustraccin de nmeros con signo, el resultado se obtiene sumndole al minuendo ( 1 1 ) el simtrico del sustraendo que es 3 1 . Por lo tanto, la operacin es: 4 21 1 + 3 1 = 4 2

Se transforman los dos nmeros en fracciones comunes.1 1 = 4 + ( 1 ) = 5 4 4 4 4 31 = 6 + 1 = 7 2 2 2 2


62

As, la operacin es:5 + 14 5 + 7 = = 9 = 21 4 4 2 14 4

Lo que significa que el nivel del agua de la cisterna aument 2 1 m. 4 Se puede comprobar efectuando la adicin inicial y sustituyendo el sumando desconocido ( ) por la solucin obtenida ( 2 1 ). Es decir: 4

3 1 + 2Sustituyendo:

= 1 1 4

3 1 + 2 1 = 7 + 9 4 2 4 2Entonces:14 + 9 7 + 9 = = 5 = 11 4 2 4 4 4

Esto comprueba que el nivel de agua de la cisterna aument su volumen en 2 1 m. 4 De lo anterior se puede concluir que: Para resolver operaciones combinadas de adicin y sustraccin, con igual o diferente denominador, se aplican los mismos procedimientos utilizados en la adicin y sustraccin de fracciones.

Con tu equipo de trabajo, completa las siguientes expresiones, anotando en el espacio, el nmero que falta. (Realiza las operaciones necesarias en tu cuaderno):63MATEMTICAS

a)

5 + 2 = 6 5 5 5 5 10 + 20 2 = 472 9 3 7 1 + 7 2 = 2 9 5 90

b)

c)

Compara tus resultados con los de otro equipo; si tienes dudas, comntalas y en caso necesario corrgelas.

Resuelve de manera individual los siguientes ejercicios, aplicando el clculo mental:

a)

1 + 3 2 = 2 2 2 1 + 8 2 = 5 5 5 9 + 3 7 = 9 9 9

b)

c)

Compara tus resultados con los de un compaero(a); si se te dificult el ejercicio, contina practicando para que se desarrolle tu habilidad mental.

De manera individual, resuelve los siguientes problemas.

1.

Juanita tena 15 kg de arroz y compr 1 kg ms para preparar arroz con leche; del 20 4 total de arroz que tena, utiliz 11 kg. Qu cantidad de arroz no utiliz? 20


64

2.

Un alumno de Telesecundaria emplea 5 de hora en el bus y 1 de hora ms 10 4 caminando para llegar a su casa; pero si a la salida de la escuela lo encuentra su pap, que conduce un carro, se ahorra 1 de hora. 4

Cunto tiempo emplea el alumno para llegar a su casa si encuentra a su pap? (Resuelve el problema aplicando el clculo mental.) Al terminar, tu profesor(a) te dar las respuestas; compralas con las tuyas y corrige en caso necesario.

1230-2

CONVERTIR PARA OPERAR Relaciones aditivas de fraccionarios comunes y decimales Realizacin de adicin y sustraccin con fracciones comunes y decimales

Has realizado muchas adiciones y sustracciones con fracciones comunes o decimales. Ahora comprenders que es necesario aplicar la conversin de fracciones comunes a decimales y viceversa para realizar las operaciones de adicin y sustraccin que se requieren para solucionar situaciones cotidianas.

Para calentar motores! Con un(a) compaero(a) haz en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Si tienen calculadora utilcenla cuando sea necesario pero anticipen un posible resultado.

1.

Escribe en forma de fraccin los siguientes nmeros: 3.1 ; 0.3 ; 10.5 ; 2.14 ; 0.04

65

MATEMTICAS

2.

Escribe la expresin decimal de las siguientes fracciones:

3 43.

;

5 8

;

8 5

;

18 25

;

35 4

De los siguientes cocientes indicados, escribe en forma decimal aquellos donde la divisin termina (residuo cero) y en forma de fraccin aquellos donde la divisin no termina (residuo diferente de cero)

a = 6 25

;

b = 27 75

;

c = 8 3

4.

Escribe dos fracciones para cada uno de los nmeros siguientes: 4.2 ; 3.64 ; 1.40 ; 0.033

Si tienen alguna duda, tnganla presente para aclararla despus del video o de la lectura.

Para que comprendas lo anterior, observa con atencin el video. Al terminar, comenta con tus compaeros(as) lo que consideres importante.

Lee el siguiente texto, para que al terminar te renas con un compaero(a) a intercambiar ideas respecto a lo que hayas entendido.

RELACIONES ADITIVAS DE FRACCIONES COMUNES Y DECIMALESLa necesidad de sumar cantidades se hace presente con frecuencia en la vida cotidiana. Muchas de esas cantidades no se pueden expresar con nmeros enteros, ya que al medir se obtienen nmeros fraccionarios o tienen una parte entera y una parte fraccionaria. Adems, la parte fraccionaria puede estar representada como fraccin comn o como fraccin decimal. Para concretar estas ideas, considere la siguiente situacin. Mara adquiri 3 m de listn rojo, 1.35 m de listn azul y 2 m de listn amarillo. 4 5 Qu cantidad de listn adquiri en total?GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

66

En matemticas, para resolver este problema, se indica la siguiente operacin:

3 + 1.35 + 2 = 5 4Es necesario considerar que las fracciones comunes con diferente denominador no se pueden sumar directamente, ya que para realizar la operacin primero se obtienen fracciones equivalentes con el mismo denominador. Tampoco se podr sumar directamente si en la misma operacin se tienen fracciones comunes y decimales como sumandos. En este caso, se requiere una sola forma de representacin numrica para poder sumar. Si se decide que todos los sumandos tengan la forma de fraccin, se requiere convertir 1.35, o sea:

1.35 = 135 = 27 100 20

y la operacin queda

3 + 27 + 2 4 20 5Se observa que 20 contiene exactamente a 4 y 5, por lo que puede ser el comn denominador. As:

3 + 27 + 2 = 15 + 27 + 8 = 50 4 20 5 20 20 20 20y

50 = 5 = 2 1 m 2 20 2

Es decir, Mara adquiri 2 1 m de listn. 2 Sin embargo, puede optarse por la expresin decimal de todos los sumandos; y para poder efectuar la operacin, ser necesario transformar 3 y 2 en decimales. As que: 4 53 4 30 0.75 20 y 2 5 20 0.4 0

Como 0.4 = 0.40, la adicin queda:67MATEMTICAS

0.75 + 1.35 0.40 2.50

Es decir, Mara compr 2.50 m de listn. Adems, se sabe que:2.50 = 250 = 25 = 2 5 = 2 1 2 10 100 10

Por lo tanto, se concluye que las dos formas de proceder dan la misma solucin, ya que:2 1 m = 2.50 m 2

En un laboratorio se realiza un experimento para el cual se somete una sustancia a una temperatura de 7.2 C. Enseguida, se la coloca al fuego donde asciende 4 1 C 4 en pocos segundos.

Se desea conocer la temperatura de dicha sustancia en ese momento. Temperatura inicial de la sustancia 7.2 C Aumento de temperatura Temperatura final de la sustancia

4 1 C 4

El problema se puede resolver sumando la temperatura inicial con el aumento, para obtener la temperatura final; es decir: 7.2 + 4 1 = 4 La adicin se puede realizar solamente si ambos nmeros tienen el mismo tipo de representacin, ya sea fraccin comn o expresin decimal.


68

Al transformar 7.2 + 4 1 = en fraccin comn, se tiene: 4

7.2 = 72 = 36 10 5Por lo tanto, la operacin es:

y

41 = 9 2 2

72 + 45 36 + 9 = = 27 = 2 7 10 5 2 10 10

Otra opcin es transformar 4 1 en decimal, es decir: 241 = 2 ( 4 2) + 1 8 + 1 = = 9 2 2 2

9 2 10 4.5As, la operacin es: 7.2 + 4.5 = Se toma como minuendo el nmero con mayor valor absoluto y como sustraendo el de menor valor absoluto y se resta, asignndole al resultado el signo del minuendo. 7.2 4.5 2.7 Es notorio que con los dos procedimientos se obtuvo el mismo resultado y que ste es negativo. Lo que significa que la temperatura de dicha sustancia ascendi a 2.7 C. Todo lo expresado muestra las relaciones aditivas que existen entre las fracciones comunes y las expresiones decimales. Conocer estas relaciones permite resolver muchas situaciones que pueden presentarse en la vida diaria.

69

MATEMTICAS

Con un(a) compaero(a) realiza en tu cuaderno las conversiones que se te piden.

1.

Convierte 0.245 en fraccin comn y simplifica. Convierte 5 en decimal 8

2.

3.

Convierte 2 3 en fraccin comn impropia. 4

Compara tus resultados con los de otra pareja. Donde sea posible, utiliza tu calculadora de bolsillo para verificar las respuestas. Si te equivocas, corrige.

Individualmente, resuelve los siguientes problemas:

1.

La comisin de recreacin de un grupo adquiri 2.5 kg de alimento para pasabocas, pero esta cantidad fue insuficiente, por lo que requiri 3 kg ms. Cuntos kg de 4 alimento adquiri en total la comisin?

2.

Juanita adquiri 3 1 de tela para realizar un trabajo de corte y confeccin. 5

Solamente utiliz 7 m. Qu cantidad de tela le qued? 8 Muestra los resultados a dos compaeros(as) de grupo. Si hay necesidad de comprobar, usa tu calculadora de bolsillo cuando sea posible. Si hay errores en tu trabajo, corrgelos.

CLAVE1.3 1 kg ; 4


70

2. 13 m 40

1331-2

PARTE DE UNA PARTE O DE UN ENTERO Productos de fracciones comunes Aplicacin del algoritmo de la multiplicacin

Existen ocasiones en que nicamente no se fracciona en partes iguales un todo, sino que tenemos la necesidad de calcular o de tomar una o varias partes ya fraccionadas o tomar una fraccin de un nmero entero; se te ocurre un procedimiento para resolver esta situacin? En esta sesin aprenders un mtodo sencillo.

Forma un grupo con otros dos participantes para realizar la siguiente actividad:

Taller: Una situacin en la que se toman sucesivamente dos fracciones de una cantidad. 1. Cuenten 32 tapas de gaseosa, fichas o piedritas y colquenlas encima de la mesa o del pupitre. Echen en una bolsa (o separen) los tres cuartos del nmero de tapas. Cuntas tapas son?Un solo cuarto de 32 es 8. Tres cuartos sern24. Entonces los 3 de 4 32 tapas son 24 tapas.

2.

3 de 32 4

3.

Del nmero de tapas o de fichas que echaron en la bolsa (o que separaron) tomen la mitad. Cuntas tapas quedan?La mitad de los 3 de 4 32 tapas es igual a 12 tapas.1 de 24 2

71

MATEMTICAS

4.

Qu parte de 32 tapas son las 12 tapas?

5.

Discutan y verifiquen si es cierto que tomar la mitad de los tres cuartos de 32 tapas da lo mismo que tomar los tres octavos de esas 32 tapas.

6.

Qu operacin haran para obtener 3 a partir de 1 y de 3 ? 8 2 4

La mitad de los tres cuartos de 32 tapas son 12 tapas. 1 de 3 de 32 tapas = 12 tapas. 2 4

Analicen atentamente estos clculos: 1 de 3 2 4 3 de 32 8 = 1 3 2 4 3 32 8 = 1 3 2 4 3 32 8 = 3 8

=

=

96 = 12 8 96 = 12 8

3 4 = 12GUA DE APRENDIZAJE CONCEPTOS BSICOS

72

7.

Cmo se multiplican dos fracciones?

8.

Cmo se multiplica una fraccin por un entero?

9.

Verifiquen si es lo mismo tomar la mitad de los tres cuartos de algo, que tomar los tres cuartos de la mitad de ese mismo algo.

1 de 3 2 410. Efecten:

y

3 de 1 cmo son? 4 2

1 3 = 2 4

3 1= 4 2

Si quedan algunas inquietudes, vamos a superarlas en esta sesin.

Observa con mucha atencin el video y al trmino de ste comenta su contenido con tu profesor(a) y compaeros(as).

Lee con tus compaeros(as) de grupo el siguiente texto:

PRODUCTO DE FRACCIONES COMUNESExisten situaciones cotidianas en las que se relacionan las partes de un entero; estas relaciones se expresan a travs de las operaciones que con ellas se realizan. Vanse algunos ejemplos concretos de multiplicacin en las siguientes situaciones.

a)

Siete alumnos del grupo del grado segundo van a vender jugos de frutas con leche en la escuela. Cada uno aporta 1 litro de leche. Cuntos litros de leche se reunieron? 2

73

MATEMTICAS

7 cajas de 1 litro son 7 litros, o sea, 3 1 litros 2 2 2

7 veces 1 son 7 2 2

7 1 = 7 2 2

b)

Para confeccionar un vestido, una modista dispone de 8 metros de tela; como solo necesita 3 de la tela, cuntos metros utiliza? 4 Tomamos 3 de los 8 metros: 4

3 de 8 metros son 6 metros: 4 3 8 = 24 = 6 4 4c) Un campesino va a sembrar legumbres en la mitad de la tercera parte de su parcela. Qu parte del total de la parcela tendr legumbres? Qu parte representa la mitad de la tercera parte de un entero? Se puede representar grficamente la situacin:


74

Se divide el entero en tres partes iguales (tercios) y se marca una de ellas. Los tercios se dividen a la mitad y se marca 1 del tercio marcado inicialmente. 2

1 de 2

1 es 1 3 6

La figura queda dividida en seis partes iguales, as que un medio de un tercio es un sexto.

1 1 = 1 2 3 6Como se puede observar, la multiplicacin de fracciones puede aplicarse en diferentes situaciones: Cuando se repite un nmero entero de veces una fraccin: 6 3 = 18 5 5 Cuando se toma una parte de un entero: 2 12 = 24 3 3 Cuando se toma una parte de una fraccin: 5 7 = 35 6 8 48 Para representar la multiplicacin de dos fracciones se puede hacer de varias formas: a) Utilizando un punto:

1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3

b)

Utilizando el signo :

c)

Utilizando parntesis:

Las formas b) y c) son las ms usuales. Los trminos de multiplicacin de fracciones son:

75

MATEMTICAS

Factores

Producto

Ntese la relacin que hay entre los numeradores y denominadores de los factores 1 y 1 2 3 y el numerador y denominador del producto 1 . 6 Factores1, 1 2 3 1 6

Producto1 es producto de 1 6 es producto de 2

1 3

El procedimiento para multiplicar dos fracciones es el siguiente:

El producto de dos fracciones es otra fraccin cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador producto de los denominadores.

b c b c = En general b c = , donde e, d son distintas de cero. e d e d e dEjemplos:

a)

2 3 = 2 3 = 16 3 5 3 5 5

2 5

Es conveniente expresar los resultados en su forma ms simple, siempre que se pueda.

b)

11 4

11 4

11 476

3 1 1 = 3 5 = 15 = 3 3 4 4 4 4


Para multiplicar nmeros mixtos se convierten a fracciones impropias y luego se multiplican. Obsrvense los siguientes ejemplos:

a)

3 5 = 15 ; 5 3 = 15 4 6 24 6 4 241 2 2 = 2 2 = 4 3 5 4 15 4 60

El orden de los factores no altera el producto.

b)

1 2 2 = 1 4 = 4 5 3 4 3 20 60

Agrupando los factores

c)

6 1 = 6 7 73 0 = 0 5 3 5 = 1 5 3

Todo nmero multiplicado por uno da como producto el mismo nmero. Cualquier nmero multiplicado por cero da cero.

d)

e)

4 1 =1 1 4

1 3 =1 3 1

2 7 =1 7 2

Observa esto:

qu opinas?

Dos nmeros fraccionarios que al multiplicarse dan como resultado la unidad, se llaman inversos multiplicativos o recprocos.

LOS SIGNOS EN LA MULTIPLICACIN DE FRACCIONESLas leyes de los signos en la multiplicacin de fracciones sern las mismas que se ha convenido utilizar en la multiplicacin de enteros? (+)(+)=+ ()()=+ (+)()=77

()(+)=MATEMTICAS

Veamos un ejemplo 3 2 = 6 4 5 20 Por que? Tratemos de demostrarlo:

3 0 = 0 4

Cualquier nmero multiplicado por cero da cero.

3 2 + 2 = 0 ; 5 4 5

Por ser inversos aditivos.

2 + 2 = 0 5 5

3 2 + 3 2 = 0 4 4 5 5 6 20 + 6 20 = 0

Aplicando la distributiva del producto con respecto a la suma.

Realizamos las operaciones.

Se puede concluir que:

3 2 = 6 4 5 20Forma equipo con dos compaeros(as), analiza la informacin que leste e intercambia ideas respecto a las siguientes situaciones:

1. 2. 3. 4.

Cules son los casos que se presentan al multiplicar fracciones? Cul es el procedimiento que se sigue para multiplicar fracciones? Cmo debe quedar el resultado? Puedes encontrar el producto cuando las fracciones tienen diferentes signos?

Contina trabajando con tu equipo. Resuelve lo que se indica.


78

1.

Representa grficamente, como desees, las multiplicaciones de fracciones:

5 3 = 42.

2 9 = 3

3 2 = 5 3

Plantea un problema, el cual resuelvas

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