TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES.

Antonio J. BarberoC.A. AlbaceteFebrero 2017

PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (FILAMENTO).

PROBLEMA 2. CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)

PROBLEMA 2b. CAMPO H EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES

PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA

BIBLIOGRAFÍA

APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EJE ESPIRA CIRCULAR

2

Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico tambiénindefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético linealde permeabilidad relativa r. Determine:

a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.b) Las corrientes de imanación en el tubo.

u

rIH

11 2

r1

a b

I

a) Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento

Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1

IldH

1

u

Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u

IrH 11 2

urIHB

1

0101 2

01 M

Región 2. a r2 br2

1. r1 < a2. a r2 b

3. r3 > b

Dentro del material magnético

IldH

2 IrH 22 2

u

rIHB r

r

2

0202 2

u

rIH

22 2

20

22 MBH

ur

IM r

22 2

1

PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN.

C4

3

PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa).

a b

r1r2

r3

I

Región 3. r3 > b

u

IldH

3

IrH 33 2 u

rIH

33 2

u

rIHB

3

0303 2 03 M

b) Corrientes de imanación MJm

nm uMK

(A/m2)(A/m)

rz

zrzr

Mr

rMr

ur

Mz

Muz

MMr

uM 11

2

22 21)(r

IrfM r

En la región 2 la forma de M es (resultado apartado anterior) 02 rM 02 zM

Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tienecomponentes r ni z.

El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nuloporque la derivada de M2 respecto a z es cero.El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nuloporque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero.

Véase que 0 MJm

No hay corrientes volumétricas de imanación

a) Región 3 (exterior).

C4

4

PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa 2).

Densidades de corrientes superficiales de imanación nm uMK

a b

I

En r2 = a rn uu

rr

narm uua

IuarMK

21)( 22

2

z

r ua

I 21

ruu

zu

Sobre la cara interna r2 = a

ruu

zu

Sobre la cara externa r2 = b

En r2 = brn uu

r

rnbrm uu

bIubrMK

21)( 22

2

zr u

bI

21

Corrientes de imanación

Superficie interna Ia

IaaI rr

m 1 21 2)(

Superficie externa Ia

IbaI rr

m 1 2

1 2)(

C3

5

CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN

Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM

0

PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B

6

Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM

0

'z

zuMM 0

L

R

(0,0,z)

'dz

X

Y

Z

ruzu u

ruzu

u

rs uMJ

rz uuM 0 uM 0El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica

por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)

sJ

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.

22)'( Rzz

El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es

Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es

2.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO

L

z

Rzz

udzMRBdB0

2/3 220

20

)'(2

' zu

RLzLz

RzzM

222200

)(2

22222

0

2/3 22

1

)'(

'RLz

LzRz

zRRzz

dzL

2/3 220

20

)'(2 '

RzzudzMRBd z

zuRz

IRB 2/3 22

20

2

Véase, por ejemplo http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/C5

7Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L cuando R << L (imán largo y estrecho)

222200

)(2 RLzLz

RzzMB

2222

00

1

1

2

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

MB

El origen z/L = 0es el polo sur. Elimán es la zonagris 0 < z/L < 1.

En el exterior del imánpueden realizarse medidasdel campo B y verificar quelas mismas se ajustan a laecuación anterior.

05.0LR

01.0LR

Imán (R, L)

LR

(discontinua)

(continua)

B

200M

00M

PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B

C2

8

1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2

0

20

40

60

80

100

B (m

T)

z/L

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

C1

9

Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente.

zuMM 0

zuRLz

LzRz

zMB

222200

)(2

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 222200

MHB

0

MBH

0

1

1

1

21

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uM z

Dentro del imán 0 z/L 1

Fuera del imán

0BH

1

1

2

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uM z

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50

H

B

Lz /

25.0/ LR

Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

0 unidades M

PROBLEMA 2b. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO H

2

1

1

2

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uMH z

C2

10

PROBLEMA 2. Gráficas B y H

z

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

MB

1

1

2 222200

2

1

1

2 22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

MH

05.0LR

05.0LR

B

H

1

1

2 22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

MH0

Lz1 2

Dentro

Fuera

HM ,0

BA·m-1

T

LR

Gráficas de B y Hen función de z/L

200M

00M

0 1 2

20M

20M

0M

Unidades S.I.

C1

11

Dos cilindros indefinidos coaxiales, cuyos radios están indicados en la figura, son de un materialconductor, siendo sus respectivas permeabilidades 1 y 2. Por los cilindros circulan corrientes delmismo valor (I) pero sentidos contrarios. Se suponen uniformes las densidades de corriente.Calcular el campo magnético en función de la distancia al eje.

Si las intensidades de corriente I son delmismo valor, y las densidades de corrienteson uniformes, el valor absoluto del flujodel vector J1 a través de la superficie delconductor interno es igual a:

21 aIJ

y el valor absoluto del flujodel vector J2 a través de lasuperficie del conductorexterno es igual a:

222 abIJ

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES

Y

Z

X

b

a

2

1

ZuJJ 11

ZuJJ 22

C3

Una vez calculadas las densidades de corriente J1, J2 estamos en condiciones de calcular el campo magnético.

12

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)

Y

Z

X

b

a Y

X

1r1H

a

Vista desde arriba, eje Z salienteConductor interno

ZuJJ 11 Densidad de corriente

u

El campo sólo tiene componente

1HH

u ya que 1J

sólo tiene componente Z.

1C

ZuJJ 11

Ley de Ampère: enc

C

IldH 1

·

enc

CC

IrHdlHudluH 1111 2····11

C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e Iences la corriente encerrada por C1.

urJH 111

21

211 rJ

arr 1

Válido en

Campo B

111 HB

urJB 1111

21

21 aIJ

arr 1

u

arI

21

21

uarI

21

1 21

1r

1C

1H

u

C4

13

bra 2

Y

Z

X

b

aY

X

2r2Hb

Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entranteConductor externo

ZuJJ 22Densidad de corriente

u2Cradio a

2C

2r u2H

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)

ZuJJ 22

El campo sólo tiene componente

2HH

u ya que 21 , JJ

sólo tienen componente Z.

Ley de Ampère: enc

C

IldH 2

· C2 es la circunferencia centrada

en el origen y de radio r2 e Iences la corriente encerrada por C2.

enc

CC

IrHdlHudluH 2222 2····22

u

rabrbIH

222

22

2

21

2

2222

21 arJaJ

Válido en

21 aIJ

222 ab

IJ

22

222

abarII

bra 2

22

22

2

abrbI

Campo 222 HB

u

rabrbIB

222

22

2

221

2

C4

140,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50

u

rabrbIH

222

22

2

21

2

u

arIH

21

1 21

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)

21 aIJ

222 ab

IJ

aI 2

Unidades

4abEjemplo: parámetro

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente conviene adimensionalizar en función de r/a

ar

ar br

uarab

araba

IH

/1

1///

2 22

22

2

2

u

ar

aIH

1

1 2

10

ar

ab

ar

1

H

1H

2H

Zona interna r < a

Zona externa r > a

C3

Recordatorio unidades S.I.

J A·m-2

H A·m-1

T T (Wb·m-2 , kg·A-1·s-2)

m H·m-1, N·A-2 , kg·m·s-2·A-2)

15

PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA

Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de laesfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades decorriente de imanación.

A/m 10·2 4M

Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca

Z

2r

1r

m 05.0 m 10.0 21 rr

M

1

2

ru

ru

MJm

Nm uMK

Volumétrica

Superficial

Corrientes de imanación: Imanación uniforme 0 M

0mJ

Tendremos dos corrientes superficiales,una exterior (1) y otra interior (2).

ruMK 1

ruMK 2

ZYXrN uuuuu cos sinsin cossin

ZYXZ uuuuM cos sinsin cossin

ZYXZ uuuuM cos sinsin cossin

YZXZ uuuuMK sinsin cossin 1

XY uuMK sinsin cossin 1 YX uuM cossin sinsin

uMK sin 1

1K

1K

Z

YX uuu cos sin

Corriente superficial exterior

(1)

(2) ZYXrN uuuuu cos sinsin cossin

YZXZ uuuuMK sinsin cossin 2

XY uuMK sinsin cossin 2 YX uuM cossin sinsin

urMK sin 22

Solución numérica:es función delángulo azimutal

141 A·m sin 10 · 2 uK

142 A·m sin 10 · 2 uK

C3

16

BIBLIOGRAFÍA

LIBROS1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED)

LIBROS DE PROBLEMAS1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill.2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial.

http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm

RECURSOS EN LA RED

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos

https://www.youtube.com/watch?v=9Tm2c6NJH4Y

Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws.Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cualpuede seguirse sin problemas aunque se tenga algunadificultad con la comprensión oral. Muy recomendable.

https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky

Canal de física de Eugene Khutoryansky. Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.

VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES

RECOMENDADOS

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=71d6396411f7f536ea668cf0de28846c

2013

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashData=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8

2014

2015 http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashData=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa

http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashData=3db7d3a5903588242624b9800346db0e

2016

C3

17

푋

푌

푍

푅

푢

퐼푑푙⃗ = 퐼푑푙푢

푑휑

dRIdlI

휑

1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas

APÉNDICE CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 퐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA NORMAL AL PLANO DE LA ESPIRA

2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente.

3.- Este elemento de corriente 퐼푑푙⃗ genera un campo magnético 푑퐵 en el punto (0,0,z)

푧 푢푟⃗

푑퐵

푢

푢

4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart

30

4 rrldIBd

5.- Véanse los ángulos

90− 휃

휃

휃

푌

푋

푍

휃

90− 휃

푢

푢

푢

휑

푑퐵

6.- La dirección del campo 푑퐵 enel punto (0,0,z) es normal al planoque determinan los vectores 퐼푑푙⃗ y푢 . El vector unitario en esadirección es 푢 .7.- El campo magnético 푑퐵 en el punto (0,0,z) tiene una

componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY.

푑퐵

푑퐵

El vector unitario 푢 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente퐼푑푙⃗ tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.

(0,0,z)

rN uuu

18

APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 퐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA…. (Cont.)

푋

푌

푍

푅

푢

퐼푑푙⃗ = 퐼푑푙푢

푑휑

dRIdlI

휑

푧 푢푟⃗

푑퐵

푢

푢

30

4 rrldIBd

90− 휃

휃

휃

푌

푋

푍

휃

90− 휃

푢

푢

푢

휑

푑퐵

푑퐵

푑퐵

30

4 rrldIBd

ruur

dRI

20

4 Nur

dRI 2

0 4

ZZ ur

dRIBd cos

4 20

2

0

20 cos

4 ZZ ur

dRIBdB

2

0

20

4 ZurR

rdRIB

2

0

3

20

4du

rRI

Z

ZuzR

RIB

2 2/322

20

rR

cos

8.- Expresamos 푑퐵 en función del vector unitario 푢

9.- Para obtener el campo 퐵debemos integrar 푑퐵 véase quela componente 푑퐵 es igual a

10.- Observando la figura debemos notar que el campomagnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en direcciónparalela al plano XY, porque cada componente 푑퐵 se verácancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta(la que corresponde al ángulo 휑 + 휋). Por tanto el campo 퐵será igual a

ZBdB

Integramos:

22 zRr

ZZ ur

dRIBd cos

4 20