TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES.
Antonio J. BarberoC.A. AlbaceteFebrero 2017
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (FILAMENTO).
PROBLEMA 2. CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)
PROBLEMA 2b. CAMPO H EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES
PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA
BIBLIOGRAFÍA
APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EJE ESPIRA CIRCULAR
2
Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico tambiénindefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético linealde permeabilidad relativa r. Determine:
a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.b) Las corrientes de imanación en el tubo.
u
rIH
11 2
r1
a b
I
a) Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento
Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1
IldH
1
u
Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario u
IrH 11 2
urIHB
1
0101 2
01 M
Región 2. a r2 br2
1. r1 < a2. a r2 b
3. r3 > b
Dentro del material magnético
IldH
2 IrH 22 2
u
rIHB r
r
2
0202 2
u
rIH
22 2
20
22 MBH
ur
IM r
22 2
1
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN.
C4
3
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa).
a b
r1r2
r3
I
Región 3. r3 > b
u
IldH
3
IrH 33 2 u
rIH
33 2
u
rIHB
3
0303 2 03 M
b) Corrientes de imanación MJm
nm uMK
(A/m2)(A/m)
rz
zrzr
Mr
rMr
ur
Mz
Muz
MMr
uM 11
2
22 21)(r
IrfM r
En la región 2 la forma de M es (resultado apartado anterior) 02 rM 02 zM
Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tienecomponentes r ni z.
El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nuloporque la derivada de M2 respecto a z es cero.El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nuloporque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero.
Véase que 0 MJm
No hay corrientes volumétricas de imanación
a) Región 3 (exterior).
C4
4
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa 2).
Densidades de corrientes superficiales de imanación nm uMK
a b
I
En r2 = a rn uu
rr
narm uua
IuarMK
21)( 22
2
z
r ua
I 21
ruu
zu
Sobre la cara interna r2 = a
ruu
zu
Sobre la cara externa r2 = b
En r2 = brn uu
r
rnbrm uu
bIubrMK
21)( 22
2
zr u
bI
21
Corrientes de imanación
Superficie interna Ia
IaaI rr
m 1 21 2)(
Superficie externa Ia
IbaI rr
m 1 2
1 2)(
C3
5
CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN
Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM
0
PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B
6
Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM
0
'z
zuMM 0
L
R
(0,0,z)
'dz
X
Y
Z
ruzu u
ruzu
u
rs uMJ
rz uuM 0 uM 0El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica
por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)
sJ
Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.
22)'( Rzz
El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es
Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es
2.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO
L
z
Rzz
udzMRBdB0
2/3 220
20
)'(2
' zu
RLzLz
RzzM
222200
)(2
22222
0
2/3 22
1
)'(
'RLz
LzRz
zRRzz
dzL
2/3 220
20
)'(2 '
RzzudzMRBd z
zuRz
IRB 2/3 22
20
2
Véase, por ejemplo http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/C5
7Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L cuando R << L (imán largo y estrecho)
222200
)(2 RLzLz
RzzMB
2222
00
1
1
2
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
MB
El origen z/L = 0es el polo sur. Elimán es la zonagris 0 < z/L < 1.
En el exterior del imánpueden realizarse medidasdel campo B y verificar quelas mismas se ajustan a laecuación anterior.
05.0LR
01.0LR
Imán (R, L)
LR
(discontinua)
(continua)
B
200M
00M
PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B
C2
8
1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2
0
20
40
60
80
100
B (m
T)
z/L
DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
C1
9
Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente.
zuMM 0
zuRLz
LzRz
zMB
222200
)(2
zu
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
M
1
1
2 222200
MHB
0
MBH
0
1
1
1
21
22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
uM z
Dentro del imán 0 z/L 1
Fuera del imán
0BH
1
1
2
22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
uM z
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50
H
B
Lz /
25.0/ LR
Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.
0 unidades M
PROBLEMA 2b. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO H
2
1
1
2
22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
uMH z
C2
10
PROBLEMA 2. Gráficas B y H
z
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
MB
1
1
2 222200
2
1
1
2 22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
MH
05.0LR
05.0LR
B
H
1
1
2 22220
LR
Lz
Lz
LR
Lz
Lz
MH0
Lz1 2
Dentro
Fuera
HM ,0
BA·m-1
T
LR
Gráficas de B y Hen función de z/L
200M
00M
0 1 2
20M
20M
0M
Unidades S.I.
C1
11
Dos cilindros indefinidos coaxiales, cuyos radios están indicados en la figura, son de un materialconductor, siendo sus respectivas permeabilidades 1 y 2. Por los cilindros circulan corrientes delmismo valor (I) pero sentidos contrarios. Se suponen uniformes las densidades de corriente.Calcular el campo magnético en función de la distancia al eje.
Si las intensidades de corriente I son delmismo valor, y las densidades de corrienteson uniformes, el valor absoluto del flujodel vector J1 a través de la superficie delconductor interno es igual a:
21 aIJ
y el valor absoluto del flujodel vector J2 a través de lasuperficie del conductorexterno es igual a:
222 abIJ
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES
Y
Z
X
b
a
2
1
ZuJJ 11
ZuJJ 22
C3
Una vez calculadas las densidades de corriente J1, J2 estamos en condiciones de calcular el campo magnético.
12
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
Y
Z
X
b
a Y
X
1r1H
a
Vista desde arriba, eje Z salienteConductor interno
ZuJJ 11 Densidad de corriente
u
El campo sólo tiene componente
1HH
u ya que 1J
sólo tiene componente Z.
1C
ZuJJ 11
Ley de Ampère: enc
C
IldH 1
·
enc
CC
IrHdlHudluH 1111 2····11
C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e Iences la corriente encerrada por C1.
urJH 111
21
211 rJ
arr 1
Válido en
Campo B
111 HB
urJB 1111
21
21 aIJ
arr 1
u
arI
21
21
uarI
21
1 21
1r
1C
1H
u
C4
13
bra 2
Y
Z
X
b
aY
X
2r2Hb
Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entranteConductor externo
ZuJJ 22Densidad de corriente
u2Cradio a
2C
2r u2H
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
ZuJJ 22
El campo sólo tiene componente
2HH
u ya que 21 , JJ
sólo tienen componente Z.
Ley de Ampère: enc
C
IldH 2
· C2 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r2 e Iences la corriente encerrada por C2.
enc
CC
IrHdlHudluH 2222 2····22
u
rabrbIH
222
22
2
21
2
2222
21 arJaJ
Válido en
21 aIJ
222 ab
IJ
22
222
abarII
bra 2
22
22
2
abrbI
Campo 222 HB
u
rabrbIB
222
22
2
221
2
C4
140,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50
u
rabrbIH
222
22
2
21
2
u
arIH
21
1 21
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
21 aIJ
222 ab
IJ
aI 2
Unidades
4abEjemplo: parámetro
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente conviene adimensionalizar en función de r/a
ar
ar br
uarab
araba
IH
/1
1///
2 22
22
2
2
u
ar
aIH
1
1 2
10
ar
ab
ar
1
H
1H
2H
Zona interna r < a
Zona externa r > a
C3
Recordatorio unidades S.I.
J A·m-2
H A·m-1
T T (Wb·m-2 , kg·A-1·s-2)
m H·m-1, N·A-2 , kg·m·s-2·A-2)
15
PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA
Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de laesfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades decorriente de imanación.
A/m 10·2 4M
Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca
Z
2r
1r
m 05.0 m 10.0 21 rr
M
1
2
ru
ru
MJm
Nm uMK
Volumétrica
Superficial
Corrientes de imanación: Imanación uniforme 0 M
0mJ
Tendremos dos corrientes superficiales,una exterior (1) y otra interior (2).
ruMK 1
ruMK 2
ZYXrN uuuuu cos sinsin cossin
ZYXZ uuuuM cos sinsin cossin
ZYXZ uuuuM cos sinsin cossin
YZXZ uuuuMK sinsin cossin 1
XY uuMK sinsin cossin 1 YX uuM cossin sinsin
uMK sin 1
1K
1K
Z
YX uuu cos sin
Corriente superficial exterior
(1)
(2) ZYXrN uuuuu cos sinsin cossin
YZXZ uuuuMK sinsin cossin 2
XY uuMK sinsin cossin 2 YX uuM cossin sinsin
urMK sin 22
Solución numérica:es función delángulo azimutal
141 A·m sin 10 · 2 uK
142 A·m sin 10 · 2 uK
C3
16
BIBLIOGRAFÍA
LIBROS1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED)
LIBROS DE PROBLEMAS1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill.2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial.
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm
RECURSOS EN LA RED
http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos
https://www.youtube.com/watch?v=9Tm2c6NJH4Y
Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws.Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cualpuede seguirse sin problemas aunque se tenga algunadificultad con la comprensión oral. Muy recomendable.
https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky
Canal de física de Eugene Khutoryansky. Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.
VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES
RECOMENDADOS
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=71d6396411f7f536ea668cf0de28846c
2013
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashData=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8
2014
2015 http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashData=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashData=3db7d3a5903588242624b9800346db0e
2016
C3
17
푋
푌
푍
푅
푢
퐼푑푙⃗ = 퐼푑푙푢
푑휑
dRIdlI
휑
1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas
APÉNDICE CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 퐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA NORMAL AL PLANO DE LA ESPIRA
2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente.
3.- Este elemento de corriente 퐼푑푙⃗ genera un campo magnético 푑퐵 en el punto (0,0,z)
푧 푢푟⃗
푑퐵
푢
푢
4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart
30
4 rrldIBd
5.- Véanse los ángulos
90− 휃
휃
휃
푌
푋
푍
휃
90− 휃
푢
푢
푢
휑
푑퐵
6.- La dirección del campo 푑퐵 enel punto (0,0,z) es normal al planoque determinan los vectores 퐼푑푙⃗ y푢 . El vector unitario en esadirección es 푢 .7.- El campo magnético 푑퐵 en el punto (0,0,z) tiene una
componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY.
푑퐵
푑퐵
El vector unitario 푢 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente퐼푑푙⃗ tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.
(0,0,z)
rN uuu
18
APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 퐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA…. (Cont.)
푋
푌
푍
푅
푢
퐼푑푙⃗ = 퐼푑푙푢
푑휑
dRIdlI
휑
푧 푢푟⃗
푑퐵
푢
푢
30
4 rrldIBd
90− 휃
휃
휃
푌
푋
푍
휃
90− 휃
푢
푢
푢
휑
푑퐵
푑퐵
푑퐵
30
4 rrldIBd
ruur
dRI
20
4 Nur
dRI 2
0 4
ZZ ur
dRIBd cos
4 20
2
0
20 cos
4 ZZ ur
dRIBdB
2
0
20
4 ZurR
rdRIB
2
0
3
20
4du
rRI
Z
ZuzR
RIB
2 2/322
20
rR
cos
8.- Expresamos 푑퐵 en función del vector unitario 푢
9.- Para obtener el campo 퐵debemos integrar 푑퐵 véase quela componente 푑퐵 es igual a
10.- Observando la figura debemos notar que el campomagnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en direcciónparalela al plano XY, porque cada componente 푑퐵 se verácancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta(la que corresponde al ángulo 휑 + 휋). Por tanto el campo 퐵será igual a
ZBdB
Integramos:
22 zRr
ZZ ur
dRIBd cos
4 20
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