Tema 1: Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos La...

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática La cinemática:es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerposes la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos

Movimiento: Se dice que un cuerpo está en movimiento si su posición -respecto de un Se dice que un cuerpo está en movimiento si su posición -respecto de un observador- cambia en el tiempo. Si la posición no cambia decimos que el cuerpo está en observador- cambia en el tiempo. Si la posición no cambia decimos que el cuerpo está en reposo.reposo.

El movimiento es un concepto relativo, depende del observador. El movimiento es un concepto relativo, depende del observador. Para describir y estudiar un movimiento, es imprescindible establecer un Para describir y estudiar un movimiento, es imprescindible establecer un sistema de sistema de

referenciareferencia (observador) respecto al cual expresar las diferentes magnitudes físicas del (observador) respecto al cual expresar las diferentes magnitudes físicas del movimiento.movimiento.

Un sistema de referencia (SR): Se compone de un punto de referencia (“punto O” u Se compone de un punto de referencia (“punto O” u origen del sistema de referencia) y unos ejes de coordenadas (x e y) (diagrama cartesiano) origen del sistema de referencia) y unos ejes de coordenadas (x e y) (diagrama cartesiano) respecto de los cuales se expresa la posición del objetorespecto de los cuales se expresa la posición del objeto

O

Y

X

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática Vocabulario:

Móvil: Cualquier objeto que se mueve.: Cualquier objeto que se mueve.

Trayectoria: El conjunto de puntos por los que pasa el móvil.: El conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Magnitudes cinemáticas: Ojo!! muchas son vectoriales!! Ojo!! muchas son vectoriales!!

Vector de posición ( ): Es el vector que describe la posición del móvil, va desde el origen Es el vector que describe la posición del móvil, va desde el origen

del SR hasta el punto donde está el móvil. Depende del tiempo.del SR hasta el punto donde está el móvil. Depende del tiempo.

Vector desplazamiento ( ): Es un vector que marca la diferencia entre las posiciones Es un vector que marca la diferencia entre las posiciones

de un móvil en dos momentos de tiempo diferentes. El vector va desde la posición inicial hasta la final.de un móvil en dos momentos de tiempo diferentes. El vector va desde la posición inicial hasta la final.

Distancia recorrida (s): Es la distancia recorrida por el móvil, medida a lo largo de la Es la distancia recorrida por el móvil, medida a lo largo de la

trayectoría. Es escalar!!!!!trayectoría. Es escalar!!!!!

Y

X

1r

r

O

t1

2r

t2

r

12r

1212 rrr

12s

Eje Y (km)

Eje X (km)

1 2 3 4

1

2

3

Potravini

A

B C

D

E

F

G

Ejemplo1: Estudia el movimiento (vectores de posición, desplazamiento, distancia recorrida…) de Mat Estudia el movimiento (vectores de posición, desplazamiento, distancia recorrida…) de Mat

Cinemática Ejemplo I:Cinemática Ejemplo I:

A=(1;3)Km , tA=0min

B=(1;1)Km, tB=20min

C=(2;1)Km, tC=35min

D=(2;2)Km, tD=40min

E=(3;3)Km, tE=60min

F=(4;3)Km , tF=80min

G=(4;0)Km , tE=90min


km(1;3)rA Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Vectores de posición

km(1;1)rB

km(2;1)rC

km(2;2)rD

km(3;3)rE

km(4;3)rF

A

B C

D

E F

G

Ar

Br

km(4;0)rG


Cr

Fr

Gr


km(0;-2)3)-1 1;-(1r-rr ABAB Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Vectores desplazamiento

km(1;0)1)-1;1-(2r-rr BCBC

km(2;1)rDF

km(0;-3)rFG

A

B C

D

E F

G

ABr

BCr

km(3;-3)rAG


DFr

FGr

AGr


2KmrΔ km(-2;0)r ABAB Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Módulos de los Vectores desplazamiento

1Kmr km(1;0)r BCBC

km12r

km(2;1)r

22DF

DF

24,25

3Kmr km(-3;0)r FGFG

A

B C

D

E F

G

ABr

BCr

4,24Km183)(3r

km(3;-3)r

22AG

AG


DFr

FGr

AGr


2KmrΔ AB

Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Distancias

1Kmr BC

kmrDF 24,2

3Kmr FG

A

B C

D

E F

G

ABr

BCr

4,24KmrAG


DFr

AGr

FGr

2KmΔsAB

1KmsBC

kmsDF 41,212

3KmsFG

41Kms

312112s

AG

AG

,9

Como veis en general no coincide conr

s(sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea o movimientos en 1D)

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática Magnitudes cinemáticas II: La velocidadLa velocidad

La velocidad es la variación de la posición del móvil por unidad de tiempo

Mide como de “rápido” o “lento” cambia su posición en el tiempo, un móvil.

Es una magnitud VECTORIAL!!!

Vector velocidad media( ): Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de tiempo Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de tiempo

entre estos.entre estos.

Celeridad media ( ): La distancia recorrida entre dos instantes de tiempo dividida el intervalo de tiempo transcurrido. (distancia recorrida por unidad de tiempo) La distancia recorrida entre dos instantes de tiempo dividida el intervalo de tiempo transcurrido. (distancia recorrida por unidad de tiempo)

Es un escalar!!Es un escalar!!

mv

Y

XO

t1

2r

t2

Δt

rΔv m

12r

1212 rrr

mv

1212 ttt 12

1212m Δt

rΔv

Δt

Δsv m

1r

12s

12

1212m Δt

Δsv

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática

Y

X

1r

O

t1

2r

t2

12r

!!!!!!srrr 121212

12s

Magnitudes cinemáticas II: La velocidadLa velocidad

Vector velocidad media( ):

Celeridad media ( ):

mv

Δt

rΔv m

mvΔt

Δsv m

No siempre coinciden

ymv

mv

Δt

rΔv m

Δt

Δsv m

(sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea o movimientos en 1D)

Δt

rΔv m

Δt

Δsv m


La velocidad media no es un buena medida de lo que esta pasando

en cada instante de tiempo. Necesitamos una magnitud más

precisa.

Vector velocidad instantánea( ): Es la velocidad del móvil en cada instante Es la velocidad del móvil en cada instante

de tiempo. de tiempo.

Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el

intervalo de tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinita-intervalo de tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinita-

mente pequeño. mente pequeño.

(t)v

Y

XO

t1

pequeño) muy hace (se Δt cuando Δt

rΔ(t)v 0


La velocidad media no es un buena medida de lo que esta pasando

en cada instante de tiempo. Necesitamos una magnitud más

precisa.

Vector velocidad instantánea( ): Es la velocidad del móvil en cada instante Es la velocidad del móvil en cada instante

de tiempo. de tiempo.

Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el Se define como el vector desplazamiento entre dos instantes de tiempo, dividido por el

intervalo de tiempo transcurrido entre ellos, cuando este intervalo de tiempo se hace intervalo de tiempo transcurrido entre ellos, cuando este intervalo de tiempo se hace

infinitamente pequeño. infinitamente pequeño.

(t)v

Y

XO


rΔ(t)v 0

Δt

rΔ(t)v Δt

1

111

2Δt

1Δt

Δt

rΔ(t)v Δt

3

333

Δt

rΔ(t)v Δt

2

222

ea)(instantán )(tv 0 Δt 0

t0

3Δt

1r

2r

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática Observaciones sobre la velocidad instantánea ( ):

Señala en cada instante la dirección y el sentido del movimientoSeñala en cada instante la dirección y el sentido del movimiento

Es un vector con Es un vector con dirección tangentedirección tangente (Tečny směr,tečna) a la trayectoria. (Tečny směr,tečna) a la trayectoria.

Y

XO

v

v

v

v

v

Y

XO

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática Celeridad instantánea ( ): La distancia recorrida (medida sobre la trayectoria) por unidad La distancia recorrida (medida sobre la trayectoria) por unidad

de tiempo.de tiempo.

Se mide como la distancia recorrida entre dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de Se mide como la distancia recorrida entre dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de

tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño. tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño.

v


Δsv(t) 0

!!!!!0!t cuandos r

y si coinciden !!!

v

v

t

r

v Δt

Δsv

1r

2r12r

12s


60, Δt

rΔv km(0;-2)r AB

ABAB km/h

Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Vectores Velocidad media ???

hkm /0;72,0 Δt

rΔv km(1;0)r BC

BCBC

hkm /12;24 DFDF v km(2;1)r

km(0;-3)rFG

A

B C

D

E F

G

ABr

BCr

km(3;-3)rAG


DFr

FGr

AGr

A=(1;3)Km, tA=0min

B=(1;1)Km, tB=20min=1/3h

C=(2;1)Km, tC=35min=12/7h

D=(2;2)Km, tD=40min=2/3h

E=(3;3)Km, tE=60min=1h

F=(4;3)Km, tF=80min=1,2h

G=(4;0)Km, tE=105min=7/4h


60, Δt

rΔv km(0;-2)r AB

ABAB km/h

Eje Y

Eje X1 2 3 4

1

2

3

Potravini

Celeridad y módulo de la velocidad

hkm /0;72,0 Δt

rΔv km(1;0)r BC

BCBC

hkm /12;24 DFDF v km(2;1)r

km(0;-3)rFG

A

B C

D

E F

G

ABr

BCr

km(3;-3)rAG


DFr

FGr

AGr

A=(1;3)Km, tA=0min

B=(1;1)Km, tB=20min=1/3h

C=(2;1)Km, tC=35min=12/7h

D=(2;2)Km, tD=40min=2/3h

E=(3;3)Km, tE=60min=1h

F=(4;3)Km, tF=80min=1,2h

G=(4;0)Km, tE=105min=7/4h

Tema 1: CinemáticaTema 1: Cinemática Magnitudes cinemáticas II: La aceleraciónLa aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del móvil por unidad de

tiempo

Mide como de “rápido” o “lento” cambia la velocidad de un móvil en el

tiempo.

Es una magnitud VECTORIAL!!!

Vector aceleración media( ): Se define como el incremento del vector velocidad entre Se define como el incremento del vector velocidad entre

dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de tiempo entre estos.dos instantes de tiempo, dividido por el intervalo de tiempo entre estos.

Vector aceleración instantánea( ): Es la aceleración del móvil en cada instante de Es la aceleración del móvil en cada instante de

tiempo. tiempo.

Se define como el incremento del vector velocidad entre dos instantes de tiempo, dividido por el Se define como el incremento del vector velocidad entre dos instantes de tiempo, dividido por el

intervalo de tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinitamente intervalo de tiempo entre esos instantes, cuando el intervalo de tiempo se hace infinitamente

pequeño.pequeño.

ma

Δt

vΔam

a


vΔ(t)a 0

Cinemática Ejemplo:Cinemática Ejemplo: Ejemplo2: (ejercicio3 del boletin) . Un móvil parte del origen y se mueve según un vector de posición y una velocidad . Un móvil parte del origen y se mueve según un vector de posición y una velocidad

donde las componentes de cada vector vienen dadas por las expresiones: donde las componentes de cada vector vienen dadas por las expresiones:

(t)v(t),v(t)v yx y(t)x(t),(t)r

0y(t)

0,5ttx(t)(t)r

2

0(t)v

1·t1(t)v(t)v

y

x

Responde a las siguientes preguntas.a) Calcula y dibuja los vectores de posición en los instantes de tiempo t1=1s, t2=2s, t3=3s b) Dibuja la trayectoriac) Calcula las distancias recorridas entre los instantes t1 y t2 ; t2 y t3 y t1 y t3

Eje X (m)

m00,0s)(trr 00

m01,5;1s)(trr 11

m04;2s)(trr 22

Eje Y (m)

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

m5,2 1212 x-xs

m07,5;3s)(trr 23

m5,3 2323 x-xs

m5,1x-xs 0101




0y(t)

0,5ttx(t)(t)r

2

Responde a las siguientes preguntas.d) Calcula los vectores velocidad instantánea en los instantes de tiempo t1=1s, t2=2s, t3=3s e) Calcula los vectores velocidad media entre los instantes t1 y t2 ; t2 y t3 y t1 y t3

m00,0s)(trr 00

m01,5;1s)(trr 11

m04;2s)(trr 22

Eje Y (m)

Eje X (m)0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

m07,5;3s)(trr 23

sm /01,0s)(tvv 000

sm /02,1s)(tvv 111

sm /03,2s)(tvv 222

sm /04,3s)(tvv 333

smst

r/

112 02,5;

02,5;vmedia

12

smst

r/

123 03,5;

03,5;vmedia

23

smst

r/

213 03;

06;vmedia

13

0(t)v

1·t1(t)v(t)v

y

x




0y(t)

0,5ttx(t)(t)r

2

0y(t)

1·t1x(t)(t)v

Responde a las siguientes preguntas.f) Calcula la celeridad instantánea en los instantes de tiempo t1=1s, t2=2s, t3=3s g) Calcula la celeridad media entre los instantes t1 y t2 ; t2 y t3 y t1 y t3

Eje Y (m)

Eje X (m)0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

sm /1 01vv 200

sm /202vv 211

sm /3 03vv 222

sm /404vv 233

smst

s/

112 2,5

2,5vmedia

12

smst

r/

123 3,5

3,5vmedia

23

sms

m

t

s/3

2

613

media13v




0y(t)

0,5ttx(t)(t)r

2

0y(t)

1·t1x(t)(t)v

Responde a las siguientes preguntas.h) Calcula la aceleración media entre los instantes t1 y t2 ; t2 y t3 y t1 y t3

i) Realiza una gráfica de la posición en el eje x frente al tiempo (x(t)-t) y otra de la componente x de la velocidad frente al tiempo

Repaso Matemáticas I: Triángulos y Repaso Matemáticas I: Triángulos y trigonometríatrigonometría

Triángulos rectángulos:Triángulos rectángulos:

α 90º

Cc

Co

hCo=Cateto opuesto

Cc=Cateto contiguo

h=Hipotenusa

Teorema de Pitágoras:

222OC CCh

ó 22OC CCh

C

O

C

O

C

Ctg

h

CCos

h

CSen

Razones trigonométric

as:

¿Que es un vector?¿Que es un vector?

Un vector es una herramienta matemática (muy útil en física).

Un matemático lo definiría como “un segmento orientado en el espacio”,

Es decir; un “trocito de recta con un sentido (de los dos posibles), una flechita que ponemos en el espacio”.

Un vector tiene tres características fundamentales:

Repaso Matemáticas II: Magnitudes Repaso Matemáticas II: Magnitudes VectorialesVectoriales

Modul

oSentido

Dirección

Módulo (Módulo (velikostvelikost): ): longitud del segmento, siempre es positivo!!

Dirección (Dirección (směrsměr): ): la recta que contiene al vector

Sentido (Sentido (orientaceorientace): ): la orientación que indica la flecha (en una recta hay 2 posibles sentidos)

VectorPunto de aplicación

Los vectores se representan (“escriben”) mediante una letra con una “flechita encima” o en negrita: ó

El módulo del vector (que es un número) se representa así: ó

Dos vectores son iguales o equivalentes, cuando tengan el mismo módulo, dirección y sentido,


v

vv

Pero…¿Cómo se representa “matemáticamente” un vector para hacer cálculos?

Un vector no es numerito (no es un escalar)!!!!

Se necesitan 2 “números” para dar toda la información necesaria para “reconstruir” un vector en 2D.

Existen 2 posibilidades

v

v

Opción 1: Mediante las componentes (coordenadas) del vector:

Representación de vectores:


),v(vv yx

Opción 2: Mediante el modulo y el ángulo que forma el vector con el ejeX: v,

vy

vx

α

Eje Y

Eje X

v

v·senv

v·cosv

y

x

0 2

y2x vvv v

x

y

x

y

v

varctg

v

vtg

El modulo de un vector, en cambio, solo puede ser positivo (ó 0)!!!!

Ojo!!! Las componentes de un vector son escalares (números normales) y por lo tanto pueden ser positivos y negativos.

Ejemplo1: Da la expresión matemática (componentes) de los siguientes vectores y sus módulos:

Representación de Vectores


),v(vv yx

v·senv

v·cosv

y

x

0 2y

2x vvv v

x

y

x

y

v

varctg

v

vtg

Eje Y

Eje X

2v

1v

3v

4v

5v

6v 7v

8v

Ejemplo2: Dibuja los siguientes vectores y calcula sus módulos y el ángulo que forman con el ejeX.



),v(vv yx

v·senv

v·cosv

y

x

0 2y

2x vvv v

x

y

x

y

v

varctg

v

vtg Eje Y

Eje X

)3;3(2v

)2;1(1v

)2,0(3v

)0,2(4v

)0;2(5v

)1;1(6v

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ejemplo3: Dibuja los siguientes vectores y calcula sus componentes



),v(vv yx

v·senv

v·cosv

y

x

0 2y

2x vvv v

x

y

x

y

v

varctg

v

vtg

Eje Y

Eje X

º30

12

1

1

vv

a)

b)

c)

º45

10

2

2

vv

º60

6

3

3

vv

Producto de un vector por un escalar:

Operaciones con Vectores:


)·v,·v(v· yx

v,

Al multiplicar un número por un vector obtenemos otro vector:

• De módulo el producto del número por el módulo del vector.

• Dirección, la del vector.• Sentido, el mismo del vector si el número

es positivo y contrario si es negativo.

v

3·v

v

0,5·

v

2·-

Suma de Vectores:

Operaciones con Vectores:


21 FFFTotal

1F

2F

);(

),(),(),(

2121

2121221121

yyxxTotal

yyxxyxyxTotal

FFFFF

FFFFFFFFFFF

2212

21 yyxxTotal FFFFF Nota:

Suma analítica:

Suma gráfica:

Resta de Vectores:

Operaciones de Vectores:


2121 FFFFR

1F

2F

);(

),(),(),(

2121

2121221121

yyxx

yyxxyxyx

FFFFR

FFFFFFFFFFR

2212

21 yyxx FFFFR

Nota:

2F

Resta analítica:

Resta gráfica:

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