7/17/2019 Tema 1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/tema-1pdf-568c1ff2dcacf 1/4

22/1/2015 Universidad TecMilenio || Profesional

data:text/html;charset=utf-8,%3Ch3%20class%3D%22page-header%22%20style%3D%22box-sizi ng%3A%20border-box%3B%20font-family%3A%20'Op… 1/4

Tema 1 y 2

Tema 1. Introducción a vectores

Introducción

Los vectores son una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la ingeniería. Son utilizados entodos los ámbitos en donde existan fuerzas, movimientos, aceleraciones o tensiones.

Si sólo tiene un tamaño se llama escalar, magnitud o valor absoluto, pero no es un vector. Siúnicamente se tiene la dirección, sin magnitud, se le llama vector unitario o sentido, pero no es unvector.

Para identificar a los vectores puedes realizar dos preguntas:

¿Sé hacia dónde apunta?

¿Sé qué tanto apunta hacia allá?

Explicación

1.1 Representación de vectores

Los vectores tienen dos características: tamaño y dirección. A continuación te presentamos algunosejemplos y contra ejemplos.

Piensa en la siguiente situación:

Yo me muevo 6 unidades a la derecha, luego 3 unidades a la izquierda, después 1 metro a la derecha yfinalmente 2 unidades a la izquierda.

Explicación Ejercicio 1

Se le llama vectores a todo aquello que tenga un tamaño (magnitud) y una dirección.

Información Tamaño Dirección Es vector

Caminé 20 metros 20 metros ¿? No

La fuerza va a laderecha

¿? Derecha No

Voy a 100 Km/hr aMonclova

100 Km/hr A Monclova Si

Hago 20N de fuerzapara arriba

20N Para arriba Si

Caminé hacia elnorte

¿? El norte No

El campo

magnético va haciael oeste

¿? El oeste No

3 metros 3 metros ¿? No

5 metros a 40° 5 metros 40° Si

7/17/2019 Tema 1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/tema-1pdf-568c1ff2dcacf 2/4

22/1/2015 Universidad TecMilenio || Profesional

data:text/html;charset=utf-8,%3Ch3%20class%3D%22page-header%22%20style%3D%22box-sizi ng%3A%20border-box%3B%20font-family%3A%20'Op… 2/4

Eso da un total de 2 unidades hacia la derecha. Alguien puede pensar que los valores se sumandirectamente, sin embargo los movimientos a la izquierda son contrarios a los de la derecha, por lo tantoéstos deben restarse. No es necesario poner el signo negativo pues ya sabemos que izquierda es locontrario a la derecha.

1.2 Representación, suma y resta de vectores

Para los matemáticos es confuso usar izquierda o derecha y recordar que una es positiva y otranegativa, por lo que prefieren llamarle a todo con un sólo nombre. De este modo, la derecha seguirásiendo derecha:

Y la izquierda se llamará “derecha negativa”:

Por lo que la suma original quedaría así:

Lo cual se entiende mucho más fácil, pero lo puedes simplificar todavía más. Estar escribiendo“derecha” y “-derecha” puede ser muy cansado, así que los matemáticos le llaman î, que es una “i” conun “gorrito”. Ese “gorrito” significa que la “i” está indicando una dirección. Los matemáticos utilizan la “i”para referirse a izquierda-derecha, la “j” para referirse a arriba-abajo y la “k” para referirse a “adelante yatrás”. A cada uno de esas partes se le llama componente.

Por lo tanto, la ecuación quedará:

Por lo tanto, 2 î es un vector. El tamaño es “2” y la dirección es “î”. Y con esto se llega a la primera regla

que aprendemos de los vectores:

Quiere decir que si me muevo a la derecha y luego a la derecha tengo que sumar. Si me muevo a laderecha y luego a la izquierda, tengo que restar.

Ahora, supón que empiezas desde cero y que me muevo 5 unidades a la derecha, por lo que la posiciónserá:

Ahora, me muevo 3 unidades hacia arriba. Como no me he movido nada hacia la derecha o izquierda laparte de “5i” se mantiene igual y se le agrega el movimiento hacia arriba, quedando:

Si ahora me muevo una unidad hacia abajo el vector se modificará, quedando:

Debe notarse que el componente “5 ” se mantiene igual. Por lo que, puedes deducir la siguiente regla

de los vectores:

El vector:

A los vectores les importa la dirección

A la “ ” no le importa lo que pase en “ ” ni en “ ” y viceversa

7/17/2019 Tema 1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/tema-1pdf-568c1ff2dcacf 3/4

22/1/2015 Universidad TecMilenio || Profesional

data:text/html;charset=utf-8,%3Ch3%20class%3D%22page-header%22%20style%3D%22box-sizi ng%3A%20border-box%3B%20font-family%3A%20'Op… 3/4

Indica que se tiene una magnitud de 2 en dirección “ ”, 4 en dirección “ ” y 7 en dirección “ ”. Si le

súmanos el vector:

La operación se hará de forma muy sencilla:

Simplemente se suman los componentes “ ” con los “ ”, los “ ”, con los “ ” y los “ ” con los “ ”. Lo

mismo se puede decir de la resta. Ahora verás cuando utilizar cada uno de los siguientes casos:

Suma de vectores: cuando los dos vectores tengan el mismo efecto sobre el sistema. Por ejemplo, dos fuerzas jalando una caja, tres movimientos que hizo un barco en el mar. El vector que resulta es el vector total que siente el sistema.Resta de vectores: es cuando vas de un punto a otro o de un vector a otro. Siempre se resta elvector final, menos el vector inicial. Por ejemplo, calcular el vector entre dos ciudades, ver cuál esel vector necesario para cambiar de una velocidad a otra.

1.3 Conversión de vectores

Hasta ahora solo has visto cómo se representan los vectores en “ ”, “ ” y “ ”, es decir, utilizando el

plano cartesiano como referencia. Pero los vectores también se pueden representar en coordenadasesféricas, cilíndricas, coloidales, etc. En este curso verás únicamente coordenadas cartesianas,cilíndricas y esféricas.

En las coordenadas cartesianas ya viste que las tres direcciones son “x”, “y” y “z”. En coordenadascilíndricas se tienen r, θ y z. Mientras que en coordenadas esféricas se tiene: ρ, θ y φ.

Las conversiones se realizan, entre estas coordenadas, utilizando las siguientes operacionesmatemáticas.

Haz clic en cada concepto para ver a detalle.

Cartesianas a cilíndricas

Cilíndricas a cartesianas

Cartesianas a esféricas

Cilíndricas a esféricas

Esféricas a cilíndricas

7/17/2019 Tema 1.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/tema-1pdf-568c1ff2dcacf 4/4

22/1/2015 Universidad TecMilenio || Profesional

data:text/html;charset=utf-8,%3Ch3%20class%3D%22page-header%22%20style%3D%22box-sizi ng%3A%20border-box%3B%20font-family%3A%20'Op… 4/4

Ojo: ciertos libros utilizan distinto orden de las letras aquípresentadas, por lo que debes de tener cuidado de revisar muy bienla equivalencia de las variables.

Cierre

El entender a fondo la representación y las operaciones básicas delos vectores, es el fundamento para poder trabajar todo esesemestre y para poder aplicar vectores durante la escuela y en lavida profesional.

Al momento de estar trabajando con vectores siempre trabajar con coordenadas cartesianas será lomás sencillo.