TEMA 2: Modelado de Sistemas en tiempo...

Dinámica de Sistemas

- 2.1 -

TEMA 2: Modelado de Sistemas en

tiempo continuo

2.1.- Modelado Matemático.

2.2.- Descripción interna / externa.

2.3.- Modelado de Sistemas.

2.4.- No linealidades, linealización.

2.5.- Problemas

2.1 MODELADO MATEMÁTICO

2.1.1 Introducción

Para el estudio del comportamiento de sistemas resulta conveniente el análisis del

mismo en distintas condiciones. Por otra parte, cualquier tentativa de diseño parte de una

predicción del funcionamiento del sistema antes de que pueda construirse físicamente. La

existencia de un modelo permite la ejecución de ambas tareas.

Por tanto, modelar cualquier sistema permitirá caracterizar las relaciones existentes

entre los atributos con el fin de estudiar su comportamiento (análisis), o reproducir su

evolución temporal bajo ciertas condiciones (simulación).

Un modelo matemático es un conjunto de expresiones que caracterizan la evolución de

las variables de estado o bien de las salidas del sistema para distintas situaciones. Cuando

este estudio se realiza en sistemas en tiempo continuo, esta caracterización se realiza

mediante ecuaciones diferenciales.

Si se trata de modelar un sistema físico, hay que buscar las Leyes Físicas que definen

las relaciones entre las magnitudes fundamentales. Posteriormente dichas relaciones se

representan mediante ecuaciones diferenciales.


- 2.2 -

Ejemplos:

• La Segunda Ley de Newton

aMF ⋅= 2

2

dt

xdM

dt

dvMF =⋅=→

(F = Fuerza, M = Masa , a = aceleración, v= velocidad, x = espacio recorrido).

• La Ley de Ohm

RiV =dt

dqRV =→

(V = Diferencia de potencial aplicada, R = Resistencia i = Intensidad de

corriente, q = carga ).

Si el sistema a modelar presenta interacciones de naturaleza distinta a la física

(relaciones económicas, sociales etc...) habrá que estudiar que relaciones establecen los

flujos de cambio de los atributos del sistema; esta caracterización se estudiará con detalle

a lo largo del tema.

2.1.2 Parámetros concentrados y Distribuidos

Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o sistemas reales con

frecuencia se utilizan entidades ideales: (masa puntual, carga concentrada en un punto

del espacio etc... es decir, consideramos que los valores que determinan las características

físicas de los objetos se encuentran concentrados en un punto. Estas entidades que no

tienen existencia real reciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.

Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Ejemplo:

)2sin(22

2

txdt

dx

dt

xd⋅=−⋅+

En el mundo real las masas no son puntuales, las resistencias eléctricas presentan un

efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del componente etc... Los modelos que


- 2.3 -

tienen en cuenta este tipo de características se denominan modelos de parámetros

distribuidos. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales.

Ejemplo:

02 =∂∂

⋅+∂∂

y

x

t

x

Los modelos matemáticos para representar elementos de parámetros distribuidos son

complejos, Además, la aparición de este tipo de elementos implica que la transmisión de

señales entre sistemas no se hace de forma instantánea, hay que considerar un tiempo de

transmisión. Sin embargo, existen numerosas circunstancias en las que el tiempo de

propagación es menor que el tiempo de respuesta del sistema, además, en muchas

situaciones se puede considerar, sin cometer mucho error, que el valor de los parámetros

está concentrado en un punto determinado. Por tanto, son numerosos los casos en los que

pueden utilizarse modelos de parámetros concentrados que aproximen con exactitud el

comportamiento del sistemas real.

2.1.3 Modelos determistas y no deterministas

Se dice que un modelo es determinista cuando el comportamiento del sistema queda

determinado por la especificación de las condiciones iniciales y la evolución de las

magnitudes de entrada.

Se dice que un modelo es no determinista cuando intervienen fenómenos aleatorios,

imposibles de modelar y predecir. Para unas mismas condiciones iniciales e igual

evolución de las magnitudes de entrada, el sistema evolucionará cada vez de una forma

distinta. En estos casos el comportamiento del sistema suele modelarse mediante las

evoluciones estadísticas de las magnitudes fundamentales del mismo.

En este tema se abordará el estudio de modelos deterministas.


- 2.4 -

2.1.4 Ecuaciones variantes e invariantes en el tiempo.

Normalmente, la variable independiente que usaremos en el análisis de la dinámica

de los sistemas será el tiempo, designado como t, excepto en las Ecuaciones en

Diferencias en las que se usará k para designar el orden de la muestra.

• Una ecuación diferencial es variable en el tiempo, si alguno de los

coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas es

función del tiempo.

o La ecuación: )(232

tuxdt

xdt ⋅=⋅+⋅ es variable en el tiempo.

• Una ecuación diferencial es invariante en el tiempo si todos los

coeficientes que multiplican a la variable dependiente o a sus derivadas son

constantes.

o La ecuación: tttuxdt

dx

dt

xd+⋅⋅=+⋅+ 2

2

)(24 es invariante en

el tiempo.

2.1.5 Linealidad y no linealidad

La linealidad o no linealidad de un sistema está determinada por la naturaleza lineal o

no lineal de la ecuación diferencial que lo modela. Una ecuación diferencial lineal es

aquella que consiste en una suma de términos lineales, o sea, términos de primer grado en

la variables dependientes y en sus derivadas.

Ejemplo:

)()()()(

3 tutytydt

tdy=++ describe un sistema no es lineal

32

)(2 tuydt

dy

dt

yd=++ describe un sistema lineal.


- 2.5 -

En realidad la mayor parte de los sistemas son No Lineales, sin embargo en muchas

situaciones pueden describirse por modelos lineales que dan buena información del

comportamiento dinámico del sistema. A lo largo de este tema se expondrán técnicas para

el modelado de sistemas dinámicos mediante ecuaciones Lineal Invariante en el

Tiempo, son los llamados sistemas LTI

Los sistemas LTI pueden escribirse de una manera general en la forma:

i

ik

iii

ik

ii dt

tudb

dt

yda

)(

00

⋅=⋅ ∑∑==

donde u(t) representa una función que depende implícitamente del tiempo que suele

modelar la interacción con el exterior. Como se ha referido anteriormente, suele

denominarse función o señal de entrada.

Todo lo dicho con anterioridad respecto a la invariabilidad en el tiempo y a la

linealidad puede extenderse a las ecuaciones en diferencias, con la excepción de que en

éstas, en lugar de aparecer una combinación lineal de las derivadas de la variable

dependiente, aparece una combinación lineal de una secuencia ordenada de valores de la

variable dependiente espaciados regularmente. Sistema Discreto. LTI:

)()(00

jkubikxam

ji

n

ii +⋅=+⋅ ∑∑

==

2.2 DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

Existen distintas formas de expresar el modelado matemático de un sistema dinámico.

En este texto se hace referencia a dos formas fundamentales: descripción interna y

descripción externa.

Las representaciones que consideran ecuaciones diferenciales que modelan la

evolución de las variables de estado se denominan descripciones internas. Las


- 2.6 -

ecuaciones diferenciales que componen una representación interna suelen llamarse

modelos de estado

Las representaciones que únicamente consideran las ecuaciones diferenciales que

relacionan las variables de entrada y salida se denominan descripciones externas. Las

ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminando las variables de estado

de las ecuaciones diferenciales del sistema.

2.2.1 Representación externa

La descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto del tipo:

i

ik

iii

ik

ii dt

tudb

dt

yda

)(

00

⋅=⋅ ∑∑==

donde la variable dependiente x coincide con la variable de salida que se desea estudiar y

u(t) representa las señales de entrada. Es decir nos referimos a una representación externa

cuando se pretende encontrar la evolución de la magnitud de salida respecto a la entrada,

sin que sea necesario saber como varían el resto de magnitudes.

Este tipo de descripciones suelen estar vinculadas a una representación gráfica, en

forma de bloques, que vincula de forma causal la entrada con la salida, Figura.-2.1:

Figura.-2.1 Diagrama de bloques

Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas la ecuación suele

tener el aspecto:

)(0

tudt

yda

i

ik

ii =⋅∑

=


- 2.7 -

En los epígrafes que restan del presente tema se considerarán, sin perder generalidad,

los sistemas que no presentan derivadas en la señal de entrada. En el tema siguiente se

detallará cómo extender los métodos aquí presentados en el caso de que las derivadas

también afecten a la señal de entrada.

Ejemplo: Encontrar un modelo de representación externa que modele el

comportamiento de S2 en función de S0 sin que aparezca para nada ni h1 ni h2.

Figura.-2.2 Sistema de llenado de dos depósitos

Las ecuaciones diferenciales que relacionan las principales magnitudes son:

→⋅=dt

dhC

dt

dV

1

10

11 R

hS

dt

dhC −=⋅ ;

2

2

1

122 R

h

R

h

dt

dhC −=⋅ ;

2

22 R

hS = .

Si se manipulan un poco estas ecuaciones (derivando la tercera ecuación, y

sustituyendo: el valor de dt

dh1 que se obtiene de despejar en la segunda ecuación;

el valor de h1 obtenido de despejar en la tercera ecuación; y el valor de h2 por S2

) se alcanza una expresión de segundo orden donde solo aparece la salida S2 y la

entrada S0 (t).

( ) 022

1122

2

1221 )( SSdt

dSCRCR

dt

SdCCRR =+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅


- 2.8 -

2.2.2 Representación interna: modelo de estado

En el análisis mediante variables de estado, el sistema se caracteriza por una

ecuación diferencial de primer orden que engloba el conjunto de ecuaciones que

describen la dinámica del sistema.

De esta forma, el análisis se lleva a cabo resolviendo una ecuación diferencial

vectorial o matricial de primer orden en lugar de ecuaciones diferenciales de orden

superior, ya que, en numerosos casos, es mayor la manejabilidad que se obtiene al

describir un sistema mediante una ecuación de primer orden que mediante una

representación externa que involucre una o más ecuaciones de orden superior. Además,

este método simplifica el problema y es muy ventajoso cuando se utiliza el ordenador

para obtener la solución en base a técnicas numéricas de integración.

Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:

o Interesa conocer la evolución global del sistema.

o Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.

o En general para trabajar con sistema de múltiples entradas y

múltiples salidas (MIMO).

Ejemplo: Encontrar un modelo de estado que represente al sistema del ejemplo

anterior considerando que la entrada del sistema es S0.

Se consideran como variables de estado las magnitudes h1 y h2, ya que, cualquier

otro atributo (volumen de líquido en los depósitos, flujo de líquido de salida

etc.) puede ser escrito en función de estas magnitudes. Por tanto, las ecuaciones

anteriores pueden escribirse en la forma:

1

10

11 R

hS

dt

dhC −=⋅ ;

2

2

1

122 R

h

R

h

dt

dhC −=⋅ ;

012

1

2212

11

2

1

0

1

11

01

SCh

h

RCRC

RC

dt

dhdt

dh

⋅

+

⋅

⋅−

⋅

⋅−

=


- 2.9 -

Como puede comprobarse esta expresión representa una ecuación diferencial

matricial de primer orden. Si ahora se quisiera saber el valor de S2 bastaría con

multiplicar la variable de estado h2 por 2

1

R.

2.2.2.1 Expresión General de un modelo de estado lineal

Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:

( ))()( tuBtxA

dt

txd rrr

⋅+⋅=

Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión:

uDtxCty rrv +⋅= )()(

donde:

o )(txr se denomina vector de Estado.

o )(tyr es conocido como vector de salida.

o )(tur es llamado vector de entrada.

o A se denomina Matriz de Estado.

o B se conoce cómo Matriz de Entrada.

o C es llamada Matriz de Salida.

o D es conocida cómo Matriz de Transmisión Directa.

Un ejemplo de modelo de estado es el siguiente:

⋅

+

⋅

=

2

1

2

1

2

1

10

01

)(

)(

00

10

u

u

tx

tx

dt

dxdt

dx

un ejemplo de ecuación de salida es:

⋅

+

⋅

=

2

1

2

1

2

1

00

11

01

10

u

u

x

x

y

y


- 2.10 -

2.2.2.2 Conversión de representación externa a modelo de estado

Una ecuación diferencial de orden n siempre puede reemplazarse por un modelo de

estado formado por una ecuación de primer orden cuyo vector de estado es de dimensión

n.

Ejemplo:

Sea el sistema descrito por: )()(

2

2

tudt

tyd=

Puede hacerse la siguiente elección de variables de estado )(1 tx y )(2 tx :

)()(1 tytx = ; )(21 tx

dt

dx=

es posible escribir:

)()( 2

2

2

tudt

dx

dt

tyd==

Por lo que se definen dos matrices A y B:

=

00

01A ;

=

1

0B

Si la salida es [ ]0,1)()( 1 =→= Ctxty ; [ ]0=D .

De manera que el sistema queda representado por

)(1

0

)(

)(

00

10

2

1

2

1

tutx

tx

dt

dxdt

dx

+

⋅

=

[ ] [ ] )(0012

1

2

1 tux

x

y

y⋅+

⋅=

De forma general, considerando la ecuación:

)()(

0

tybdt

tyda

u

ii

i

i ⋅=∑=


- 2.11 -

pueden definirse un vector de estado en la forma:

[ ])(),.....,(),()( 21 txtxtxtx u=r

tal que :

ga

bxa

adt

dx

dt

yd

xdt

dx

dt

ydx

dt

dx

dt

dyxy

n

n

iii

n

nn

+

−==

=====

∑−

=

1

0

32

2

21

1

1

;.....;;;

Por tanto la ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:

x·[ ]

0 1 0 …0 0 1 …0 0 … 1

a0–

an--------

a1–

an-------- …

a1n 1––

an-------------------

x[ ]⋅

0

00

ban-----

u⋅+= y 1 0 0 … 0, , , ,[ ] x[ ] 0[ ] u⋅+⋅=

Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como: forma

canónica de control.

2.2.2.3 Transformación del modelo de estado

La representación por modelo de estado no es única, de hecho existen infinitos

modelos de estado que representan el mismo sistema. Si el vector estado es de dimensión

n, siempre se pueden encontrar n nuevas variables en la forma:

Z[ ] P x[ ]⋅=

donde P es una matriz cuadrada de términos constantes. La nueva ecuación de estado

queda:

x·[ ] A[ ] x[ ]⋅ B[ ] u[ ]⋅+=

x·[ ] A[ ] P1–

Z[ ]⋅ ⋅ B[ ] u[ ]⋅+=

P 1– x·[ ]⋅ P 1– A[ ] P 1– Z[ ]⋅ ⋅ B[ ] u[ ]⋅+ ⋅=

Z·

[ ] P A[ ] P1–

Z[ ]⋅ ⋅ ⋅ P B[ ] u[ ]⋅ ⋅+=


- 2.12 -

La nueva ecuación para la salida queda:

Y[ ] C[ ] P1–

Z[ ]⋅ ⋅ D[ ] u[ ]⋅+=

2.3 MODELADO DE SISTEMAS

2.3.1 Generalidades

Siempre que se trata de modelar cualquier sistema hay que realizar un clasificación

previa de las magnitudes que estarán presentes en el modelo. Así se denominan variables

de acumulación a aquéllas cuyo valor actual es la suma de un valor anterior más los

incrementos debido a ciertas variables llamadas de flujo.

Ejemplos:

Capital (dinero), n.º de habitantes, productos almacenados, habitantes infectados etc.

Se denominan variables de flujo a aquellas que representan el incremento de una

variable de acumulación por unidad de tiempo.

Ejemplos:

Ingresos, gastos, nacimientos, muertes, pedidos, ventas.

Por último, las variables auxiliares son variables que determinan la forma en que los

flujos influyen en las variables de acumulación.

Ejemplos:

Tasa de nacimientos, intereses bancarios, discrepancias etc.

Las variables de acumulación representan magnitudes que acumulan los resultados de

acciones aplicadas en el pasado. Pueden asemejarse al nivel alcanzado por un líquido en

un depósito, de ahí que también se denominen variables de nivel. Las variables de flujo

caracterizan las interacciones que determinan la evolución del sistema, es decir

representan las acciones internas o externas ejercidas sobre el sistema. Finalmente, las

variables auxiliares pueden considerarse como los parámetros que determinan los valores

de los flujos.


- 2.13 -

De lo dicho anteriormente es posible expresar que la relación fundamental que liga las

variables de un sistema es:

Ecuación General

),...,,( 1 ni ppxFdt

xd ∑=

x.- variable de acumulación

Fi.- variables de flujo

p1...pn.- variable auxiliares

2.3.2 Evolución de una Población

El estudio de la evolución de poblaciones representa un problema complejo que puede

ser abordado mediante ecuaciones en tiempo continuo o ecuaciones en tiempo discreto

(Fulfor y otros, 1997).

Cuando se trata de modelar una población, donde los individuos solo se aparean en

periodos del año espaciados regularmente (este es el caso de muchas especies de

mamíferos), se emplean aproximaciones en tiempo discreto.

Por el contrario, cuando se trata de modelar poblaciones con gran número de

individuos, que se pueden aparear o morir en cualquier momento, puede realizarse una

aproximación y considerar que la reproducción o la muerte de individuos tiene lugar de

forma continua. Esta última situación es la que se estudia en este apartado, dejando el

caso del problema discreto para abordarlo en el último tema.

Por tanto, el problema consiste en encontrar una función N(t) que represente el

número de habitantes que componen la población en el instante de tiempo t. N puede

tomar cualquier valor real; esto no supone ningún inconveniente ya que la población se

considera tan grande que la diferencia entre uno o dos individuos no trae ningún tipo de

consecuencias.

Como es lógico, las ecuaciones que se presentan aquí representan situaciones ideales,

aunque son la base de modelos más realistas que han tenido mucho éxito a la hora de

estudiar diversos tipos de poblaciones animales (Romero y García, 1998).


- 2.14 -

Las hipótesis de trabajo son las siguiente (Fulfor y otros, 1997).:

§ Como el número de pobladores es muy alto, la población se considera como

un todo, sin distinguir entre individuos, se entiende que el crecimiento de la

población se modela mediante un comportamiento que representa la media de

los componentes de la población.

§ Cada individuo tendrá la misma probabilidad de procrear y de morir.

§ Para asegurar la anterior hipótesis, la relación entre machos y hembras ha de

mantenerse constante y han de ser igual en número.

§ No es tenida en cuenta la diferencia de edad entre los miembros de la

población.

§ La población está aislada.

Existen distintos modelos que no consideran esta última hipótesis y abordan el

problema de la evolución de dos especies que compiten entre sí. Es el llamado modelo de

presa-depredador cuyo ejemplo más conocido es la ecuación de Lotka-Volterra.

En el caso que se trata en este apartado se definen las siguientes magnitudes:

N = Número de habitantes: Variable de acumulación

F1 = Número de nacimientos por unidad de tiempo: Variable de Flujo

F2= Número de muertes por unidad de tiempo: Variable de Flujo

µ= Tasa de nacimiento (nacimiento por habitante y u. tiempo): Variable Auxiliar

β = Tasa de mortandad (muerte por habitante y u. de tiempo): Variable Auxiliar

La ecuación de flujo será pues:

21 FFdt

Nd−=

El planteamiento de esta ecuación puede verse, gracias a un diagrama causal, como

una estructura donde compiten dos bucles de realimentación (Aracil y Gordillo, 1997).


- 2.15 -

Figura.-2.3 Diagrama causal para el modelo de una población

En efecto, el bucle que afecta a los nacimientos presenta dos influencias positivas por

lo que representa un bucle de realimentación positiva. En cambio, el bucle que afecta a

las muertes presenta un numero impar de influencias negativas por lo que se trata de un

bucle de realimentación negativa.

La ecuación de flujo puede desarrollarse más según se consideren distintas

situaciones:

a) Recursos ilimitados. Se supone que se dispone de recursos ilimitados y que la

tasa de mortalidad y natalidad se mantienen constantes, en cuyo caso:

números de nacimientos por unidad de tiempo = µ · N

números de muertes por unidad de tiempo = β · N.

Por tanto:

Ndt

Nd⋅−= )( βµ

b) Recursos limitados. Hay diversas situaciones en las que, debido a la limitación

de recursos (o incluso a razones de índole cultural ), cuando aumenta la

población disminuye la tasa de natalidad. Uno de los modelos que más

aproximan esta situación es:

)()( 10 tNN ⋅−= µµµ

por tanto:

NNdt

Nd⋅−⋅−= )( 10 βµµ


- 2.16 -

[ ] )()( 1 tNtNmdt

Nd⋅⋅−= µ

donde 1

0

µβµ −

=m

Esta última expresión es la llamada ecuación logística que ha sido utilizada para

modelar distintos tipos de poblaciones animales, como es el caso de la mosca de la fruta

en un recipiente cerrado (Edwards y Penney, 1993).

También suele utilizarse este tipo de modelos para caracterizar situaciones tales

como la difusión de una innovación tecnológica o un rumor en un determinado medio

social (Aracil y Gordillo, 1997).

Uno de los argumentos utilizados para criticar la aplicación del modelo logístico,

consiste en la suposición de que el aumento de población afecta inmediatamente a la

variación de nacimientos, sin considerar el tiempo que necesitan las crías para crecer y

poder reproducirse. Una solución a este problema ha sido tratada en Hutchinson (1948) y

por Wangersky y Cunningham (1957), introduciendo un retardo en la parte del modelo

que afecta a la tasa de nacimiento:

[ ] )()( 1 tNTtNmdt

Nd ⋅⋅−−= µ

donde T representa el periodo de maduración de los individuos.

Finalmente, comentar que existen otro tipo de opciones para escoger la función µ(N), es

el caso del uso de funciones exponenciales ( Greenwell y Ng, 1984):

[ ] µµ ⋅−−⋅= )()()( TtNmetNN

2.3.3 Gestión de un Almacén

La gestión de un almacén, donde se realizan ventas y pedidos de un producto, es

también susceptible de ser modelada matemáticamente ( Aracil y Gordillo, 1997). De

forma similar a lo que ocurría con la evolución de una población, puede ser modelada

tanto con ecuaciones en tiempo discreto como mediante ecuaciones en tiempo continuo.

Para utilizar ecuaciones en tiempo continuo realizaremos las siguientes suposiciones:


- 2.17 -

§ Se considera que el número de unidades almacenadas, pedidas y vendidas es

lo suficientemente grande como para que la diferencia entre una o dos

unidades no suponga ningún tipo de consecuencias. Por tanto, pueden

utilizarse números reales para representar estas magnitudes.

§ Las ventas no dependen de las unidades almacenadas, el material se recibe sin

retraso, es decir, inmediatamente que se pide se recibe.

§ Las ventas y pedidos se realizan en cualquier momento, y a lo largo de un

tiempo suficientemente amplio como para que puedan ser consideradas

magnitudes que varían de forma continua en el tiempo. Por tanto, de forma

ideal, puede interpretarse que se están comprando y recibiendo unidades de

forma continua.

§ El interés del responsable de la gestión consiste en mantener un stock de

productos almacenados igual a un valor determinado.

Las variables que definen el sistema son:

x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulación

F1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de Flujo

F2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujo

xd= valor deseado para x: Variable Auxiliar

D = xd - x: Variable Auxiliar

A partir de la definición de estas variables y las hipótesis anteriores la ecuación de

flujo para modelar el sistema es:

)()( 21 tFtFdt

xd−=

Esta ecuación puede evolucionar de distinta forma según la política de pedido que

siga el responsable de la gestión del almacén, así hay distintas posibilidades:

a) Los pedidos al distribuidor son igual a un número constante.


- 2.18 -

→= cteF1 )(21 tFFdt

xd−=

b) Los pedidos son proporcionales a la discrepancia entre la cantidad almacenada

x(t) y la cantidad que se desea tener de stock xd: D(t) = xd - x(t)

→⋅= )(1 tDkF )(2 tFxkxkdt

xdd −⋅=⋅+

c) Los pedidos son proporcionales a la discrepancia entre la cantidad almacenada

y la cantidad que se desea tener de stock y a un número que se calcula

realizando la integración de dicha discrepancia respecto del tiempo.

∫ ⋅+⋅= )()()(1 tdtDtDkF -> dt

dFxkxk

dt

dxk

dt

xdd

22212

2

−⋅=⋅+⋅+

El planteamiento de las dos últimas políticas de pedido puede interpretarse, gracias a

un diagrama causal, como una estructura de realimentación negativa, ver Figura.-2.4

(Aracil y Gordillo, 1997)

x

+F2

D_ +_

F1

xd

-

+

Figura.-2.4 Diagrama causal para el modelo de gestión de un almacén

Donde la acción de los pedidos trata de mantener constante el numero de unidades

almacenadas.

2.3.4 Sistemas eléctricos

Los sistemas eléctricos están caracterizados por la interconexión de una serie de

elementos (resistencias, condensadores etc..) por los que circula una carga eléctrica q.

Existe una analogía entre los sistemas eléctricos y los hidráulicos. Así, el líquido circula


- 2.19 -

en éstos últimos debido a la diferencia de presión mientras que en los circuitos eléctricos

la circulación de la carga es debida a la diferencia de potencial.

La cantidad de carga que atraviesa una superficie por unidad de tiempo se denomina

intensidad. Por tanto, la ecuación de flujo que determina la dinámica en este tipo de

sistemas es:

dt

dqI =

q = Carga: Variable de acumulación; I = Intensidad: Variable de Flujo

Cada uno de los elementos que pueden verse involucrados en un sistema eléctrico

presenta unas características especificas que determinan el aspecto final que tomará la

ecuación de flujo y por tanto el modelo del sistema. A lo largo de este punto se describen

los elementos que aparecen con más frecuencia. Finalmente, resaltar que el modelo del

sistema está fuertemente determinado por la forma en que se interconectan estos

elementos ( serie , paralelo...), dichas ecuaciones se obtienen mediante la aplicación de

las Leyes de Kirchoff que pueden ser consultadas en cualquier manual básico de Física .

2.3.4.1 Resistencia:

Se trata de un elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a la

diferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuencia de ello disipa

energía calorífica.

Figura.-2.5 Resistencias eléctricas

La expresión que determina la ecuación de flujo en estos elementos es la conocida

Ley de Ohm:

RtV

dt

dqI

)(== 21)( VVtV −=


- 2.20 -

Donde V(t) es la diferencia de potencial a que se somete al elemento y R es la

resistencia del elemento. Una resistencia en un circuito eléctrico cumple una función

similar a la realizada por una tubería en un sistema hidráulico.

2.3.4.2 Condensador:

Es un elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional a la

diferencia de potencial existente en sus extremos.

Cv2v1

Figura.-2.6 Condensador

La ecuación del modelo de este elemento es:

dttdV

Cdt

dqI

)(⋅==

El condensador hace las veces de depósito en un sistema hidráulico.

2.3.4.3 Bobina:

Se trata de un elemento que al ser sometido a una variación de la intensidad de

corriente que lo recorre, genera una caída de tensión proporcional a dicha variación.

Figura.-2.7 Bobinas

Las bobinas almacenan energía en forma de energía magnética. La ecuación que

modela el sistema es:

2

2

)(dt

qdL

dt

dILtV ⋅=⋅=


- 2.21 -

2.3.4.4 Fuente

Este elemento crea una diferencia de potencial. Se conecta a los elementos de un

circuito con el fin de generar una circulación de cargas. Las fuentes que se utilizarán aquí

generan una diferencia de potencial continua en el tiempo; suelen denominarse fuentes de

corriente continua

Figura.-2.8 Circuito con fuente de corriente continua

Ejemplo: Encontrar el modelo que caracterice la evolución de la intensidad en el

circuito de la figura Figura.-2.8

La entrada del sistema es Vi y la salida I.

La ecuación de la malla: IRVVi ⋅=− 0

La tensión en el condensador : C

qV =0 ;

derivando en las dos ecuaciones :

dt

dIR

dt

dV

dt

dVi ⋅=− 0

dt

dq

Cdt

dV 10 = ; -> ICdt

dV 10 = .

Combinando ambas ecuaciones queda:

dt

dVI

Cdt

dIR i=+⋅

1

2.3.5 Sistemas mecánicos translacionales

Un sistema mecánico es aquel formado por cuerpos cuya posición y orientación varían

ante la acción de una o más fuerzas y sus momentos.


- 2.22 -

Se llama grado de libertad a cada movimiento independiente que puede tener un

sólido. Cualquier movimiento de un cuerpo rígido en el espacio puede ser descompuesto

en tres traslaciones y tres rotaciones independientes entre sí. Por tanto un sólido sin

ligaduras tendrá seis grados de libertad. La aparición de elementos que ligan al cuerpo

(superficies, ataduras o articulaciones que restringen las direcciones de movimiento etc..)

determinan la disminución del número de grados de libertad.

En este apartado se estudian los sistemas mecánicos translacionales, es decir, aquellos

en los que se considera el estudio de los desplazamientos sin tener en cuenta el cambio

de orientación.

La ecuación de flujo que caracteriza a estos sistemas es la Ley de Newton:

Fdt

xdM

dt

dvM ∑=⋅=⋅

2

2

donde M representa la masa del cuerpo.

Con frecuencia estos sistemas son representados mediante un diagrama de bloques,

como el de la figura siguiente, que refleja la relación causa efecto existente entre la fuerza

y el cambio en las magnitudes de naturaleza cinemática.

Mx (posición)v (velocidad)a (aceleración)

F

Figura.-2.9 Masa impulsada por una fuerza

Los principales elementos que se pueden encontrar formando parte de un sistema

mecánico de esta naturaleza se detallan a continuación.


- 2.23 -

Ejemplo: modelo de un cohete que se mueve en dos dimensiones.

Figura.-2.10 Modelo de un cohete

• Las entradas del sistema son: la fuerza ( )tF , la gravedad m·g y la fuerza

de rozamiento del aire

• Las salidas son la coordenada x y la coordenada y.

• Las ecuaciones del sistema son:

( ) ( ) →⋅−⋅=⋅•••

µθ xtFtxm cos Horizontal

( ) ( ) →⋅−⋅−⋅=⋅•••

gmytFtym µθsin Vertical

Si se desea expresar estas ecuaciones como un modelo de estado hay que

considerar cuatro variables de estado ya que hay dos ecuaciones de segundo

orden se toman. Por tanto se consideran las siguientes variables:

( ) ( )txtx =1 ; ( ) ( )txtx•

=2 ; ( ) ( )tytx =3 ; ( ) ( )tytx•

=4 ; ( ) ( )tFtu =1 ; ( ) gmtu ·2 =

Entonces:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) mxgmtutx

txtx

mxtutx

txtx

/)·sin(

/)cos(

314

43

212

21

µθ

µθ

⋅−−=

=

⋅−=

=

••

•

••

•


- 2.24 -

tomando la Forma Canónica:

( )

( )

( )

( )

⋅

−+

⋅

−

−=

=

•

•

•

•

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

10

0

0

sin0

cos0

000

1000

000

0010

u

u

mm

m

x

x

x

x

m

m

tx

tx

tx

tx

x

θ

θ

µ

µ

( )( )

⋅

=

4

3

2

1

0100

0001

x

x

x

x

ty

tx

2.3.5.1 Muelle o resorte

Es un elemento elástico que se deforma si sobre sus extremos se aplica una fuerza. El

muelle ejerce en cada uno de sus extremos una fuerza de la misma dirección y de sentido

contrario a la fuerza aplicada. Por tanto es importante diferenciar entre las fuerzas

ejercidas sobre el muelle ( son iguales en ambos lados) y las fuerzas que el muelle ejerce

sobre los objetos que se encuentren en ambos lados.

Figura.-2.11 Modelo de un muelle

Los resortes que se considerarán en adelante son resortes lineales, en los que la

relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del extremo del resorte es lineal.

Esta linealidad está gobernada por una relación que establece que la fuerza que el muelle

realiza sobre los cuerpos es directamente proporcional y de sentido contrario al

desplazamiento debido a la deformación:

)( 122 lxxkF −−−= )( 211 lxxkF +−−=


- 2.25 -

donde k se conoce como constante de elasticidad, y l representa la longitud en reposo del

resorte (es decir, la longitud cuando no hay fuerza aplicada). En el caso de considerar un

muelle donde solo se mueve uno de sus extremos, se puede realizar un cambio de

coordenadas de forma que el origen se sitúe en el extremo en el que se desea estudiar el

movimiento. En este caso, las expresiones anteriores adoptan una forma más sencilla:

kxF −=

Figura.-2.12 Resorte con extremo fijo

2.3.5.2 Rozamiento viscoso y amortiguador :

F x·

Figura.-2.13 Masa deslizándose sobre superficie con rozamiento

Las fuerzas de rozamiento aparecen siempre que se produce el deslizamiento de un

cuerpo sobre otro. Dichas fuerzas se oponen a dicho deslizamiento. En numerosas

ocasiones tales fuerzas no adquiere un valor constante sino que su valor es proporcional a

la velocidad con la que se deslizan los dos cuerpos. Es lo que habitualmente de denomina

rozamiento viscoso.

Según lo dicho, en el caso de un cuerpo que se desliza sobre una superficie estática en la

que aparece este tipo de rozamiento, la ecuación que determina la fuerza de rozamiento

es:


- 2.26 -

dt

dxF ⋅−= µ

donde µ recibe el nombre de coeficiente de fricción viscosa.

Por otra parte, un amortiguador consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite,

cualquier movimiento entre el pistón y el cilindro encuentra resistencia debido a la

viscosidad del aceite, ya que éste debe fluir por orificios realizados sobre el pistón. En

este caso aparece una fuerza de rozamiento viscoso que es proporcional al movimiento

relativo entre ambos extremos del amortiguador. El modelo que en este caso determina

la fuerza de rozamiento es:

)( 122 xxF && −⋅−= µ )( 211 xxF && −⋅−= µ

Figura.-2.14 Sistema de amortiguadores

Ejemplo: Considere el sistema representado en la Figura.-2.15:

)(tf es la Fuerza que excita al sistema es decir la entrada.

( )ty es el desplazamiento que se produce en el sistema desde la posición de

equilibrio, es la salida.

Figura.-2.15 Sistema de masa con resorte y amortiguador


- 2.27 -

La fuerzas aplicadas a la masa son: la fuerza externa f; la fuerza de rozamiento

dt

dyFr ⋅−= µ (observe que un de los extremos del amortiguador se encuentra

estático); y la fuerza del muelle kyFm −= . Por lo que La ecuación diferencial

que describe el sistema es: ykytfym ⋅−⋅−=•••

µ)( . Por tanto, la representación

externa del sistema es:

)(tfykyym =⋅+⋅+•••

µ

Si se pretende obtener un modelo de estado hay que elegir dos variables de

estado por ser una ecuación de 2º orden:

)()(

)()(

2

1

tytx

tytx•

=

=

así

)(1

)(1

2

21

tfm

ybkym

x

xx

++−

=

=••

•

o bien

)(1

212

21

tfm

xm

bx

m

kx

xx

+−−=

=•

•

La salida será:

( ) ( )txty 1=

Escribiendo la ecuación en forma matricial:

)(1

010

2

1

2

1tf

mx

x

m

b

m

k

x

x

BA

⋅

+

⋅

−−=

•

•

[ ] [ ] )(00;12

1 tfx

xy

DC⋅+

⋅=


- 2.28 -

2.3.6 Sistemas mecánicos rotacionales

En este epígrafe se considerará la mecánica que describe los giros realizados por los

sólidos rígidos alrededor de un eje

Figura.-2.16 Sistema mecánico rotacional

El estudio de este tipo de sistemas guarda un gran paralelismo con el realizado para los

sistemas translacionales. Así, la ecuación de flujo que caracteriza a estos sistemas es

similar a la Ley de Newton solo que, en lugar de fuerzas, la magnitud involucrada es

involucra el momento de las mismas τ, y en lugar de la masa, el parámetro involucrado es

el momento de inercia del sólido I :

∑=⋅=⋅ τ2

2

dt

xdI

dt

dvI

Igualmente, estos sistemas pueden ser representados por un diagrama de bloques que

refleja una relación causa efecto similar a la que se describió en los sistemas

translacionales :

Figura.-2.17 Diagrama de bloques de un par de fuerzas aplicado a un sistema rotacional

Los principales elementos que se pueden encontrar formando parte de un sistema

mecánico de esta naturaleza se detallan a continuación.


- 2.29 -

2.3.6.1 Muelle con torsión

Es un mecanismo que se opone a ser girado, desarrollando un par proporcional al

ángulo de giro.

Figura.-2.18 Muelle con torsión

Es este apartado, se consideran los resortes con torsión lineal donde el valor del

momento producido por el muelle es directamente proporcional y de sentido contrario al

aplicado en sus extremos:

)( 122 θθτ −−= k )( 211 θθτ −−= k

2.3.6.2 Rozamiento viscoso

Cuando el deslizamiento entre dos cuerpos es debido a movimientos rotacionales, las

fuerzas de rozamiento generan pares de rozamiento. Si el rozamiento es de naturaleza

viscosa el par de rozamiento es proporcional a la velocidad angular y de dirección

contraria a la misma.

Figura.-2.19 Amortiguador rotacional

La expresión que modela dicho rozamiento es:

ωµθ

µτ ⋅−=⋅−=dt

d


- 2.30 -

2.3.6.3 Engranajes y cajas de reducción

Se trata de mecanismos que transmiten el movimiento giratorio. Existen también otros

dispositivos similares: Correas de transmisión, etc. Son utilizados con frecuencia para

reducir la velocidad de giro, amplificar el par o para obtener una transferencia de

potencia más eficiente.

Teniendo en cuenta que, al no haber deslizamiento, los desplazamiento y las

velocidades lineales en el punto de contacto de los dos engranajes han de ser iguales:

2211 rr ⋅=⋅ ωω ; ⇒⋅=⋅ 2211 rr θθ 1

2

2

1

2

1

r

r==

θθ

ωω

Si se desprecian las pérdidas por fricción la potencia de entrada al sistema es igual a la

potencia de salida, por tanto:

⇒⋅=⋅ 2211 ωτωτ2

1

1

2

1

2

2

1

r

r===

θθ

ωω

ττ

En consecuencia, un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es

igual a la proporción entre los radios de los engranajes.

Figura.-2.20 Sistemas de engranajes: par de acción

Además, a la hora de encontrar el modelo completo del sistema hay que tener en

cuenta que a cada par de acción sobre los engranajes corresponde un par de reacción ( ver

la figura):

Figura.-2.21 Sistemas de engranajes: par de reacción


- 2.31 -

2.3.7 Sistemas electromecánicos

Por elementos electromecánicos se entiende aquellos que transforman energía eléctrica

en energía mecánica. Bajo este epígrafe pueden incluirse muchos tipos de actuadores,

pero en el presente tema solo se abordará la descripción de motores de corriente continua.

de imán permanente controlado por inducido. Básicamente este tipo de motores consiste

en unas bobinas (inducido) por las que se hace circular una corriente. Debido a esta

circulación se genera un campo magnético, que interacciona con el campo magnético de

un imán, lo que produce el giro del inducido.

Para modelar este sistema hay que considerar tanto el aspecto mecánico como el

eléctrico. Son varias la representaciones y modelos que se pueden obtener de este tipo de

motores. No obstante, teniendo en cuenta que fundamentalmente un motor se utiliza para

conseguir una rotación a partir de una señal eléctrica de entrada, en este punto se

encontrará un modelo que presenta la velocidad de giro ω como salida y la tensión de

entrada ∆V como señal de entrada.

Figura.-2.22 Diagrama de bloques de un motor

Considerando la parte eléctrica, la tensión eléctrica de entrada V1-V2 se aplica a un

circuito que tiene una resistencia R, una autoinducción L y una caída de tensión (o fuerza

contraelectromotriz) Vce que es proporcional a la velocidad angular ω con la que gira el

motor ( ver figura 2.23). Por tanto estas relaciones pueden expresarse en la forma:

ceVdt

diLiRVV ++⋅=− 21 ; )(tkV cce ω⋅=

donde i es la intensidad que recorre el circuito (denominada intensidad de armadura) y kc

recibe el nombre de constante electromotriz.


- 2.32 -

Figura.-2.23 Esquema de un motor

Considerando la parte mecánica, la interacción entre los campos magnéticos genera

un par que al ser aplicado a un sistema de momento de inercia J y rozamiento viscoso de

constante µ (ver figura) permite escribir las ecuaciones:

dt

dJ

ωµωτ ⋅=−

Por otra parte, el par debido a la interacción entre los campos magnéticos es proporcional

a la intensidad que recorre el circuito:

ik p ⋅=τ

A partir de estas ecuaciones es posible escribir la siguiente ecuación diferencial L.T.I.

que permite modelar el comportamiento de la velocidad de giro ω respecto de la tensión

de entrada.

Vkk

R

dt

d

k

RJL

dt

d

k

JLc

ppp

∆=

++

++⋅ ωµωµω2

2

Obsérvese, que resulta una ecuación de segundo orden, si bien en aplicaciones prácticas

es habitual considerar el valor de L como despreciable, con lo cual la expresión se reduce

a una ecuación de primer orden.

2.3.8 Sistemas Hidráulicos

En este tipo de sistemas se trata de modelar la circulación de líquidos debido a la

diferencia de presión. Anteriormente se han introducido como ejemplos modelos

simplificados de sistemas hidráulicos. Los modelos introducidos en este apartado no son


- 2.33 -

tan sencillos como en aquellos ejemplos, ya que contemplan la aparición de fenómenos

no lineales. No obstante, en la última parte de este tema se introducen las técnicas de

linealización que permiten convertir estas ecuaciones no lineales en otras lineales como

las expuestas en los ejemplos.

La ecuación de flujo que se aplica en estos sistemas surge de la ley de conservación de

masas, es decir, la variación de masa en el sistema es igual a la cantidad de masa que

entra menos la que sale.

A continuación se detallan los elementos más frecuentes en estos sistema.

2.3.8.1 Tuberías, válvulas y grifos

Son elementos por los que circula líquido debido a una diferencia de presión. La

tubería ejerce una resistencia natural al paso del líquido, aunque ésta puede ser

aumentada gracias a la conexión de válvulas o con grifos.

Figura.-2.24 Tubería con una válvula o grifo

Existen distintos tipos de comportamientos y modelos de circulación de los líquidos,

el más común es el llamado de circulación en régimen turbulento. En este régimen el

caudal o flujo de líquido por unidad de tiempo q(t) ( es decir, el volumen de líquido que

atraviesa la sección de la tubería por unidad de tiempo) es proporcional a la raíz cuadrada

de las diferencias de presiones:

21)( ppktq p −⋅=

donde p1 y p2 representan respectivamente las presiones al principio y al final de la

tubería y kp es un parámetro que depende del diámetro de la tubería, del material del que

está hecha o puede depender de la geometría de una válvula que tenga instalada la tubería

o de lo más o menos apretado que estuviera un grifo que pudiese tener la tubería.


- 2.34 -

2.3.8.2 Depósito

Se trata de un elemento que es capaz de acumular líquido. Normalmente cuenta con un

canal de alimentación en el que hay un caudal de entrada y un canal de salida por el que

se suministra un caudal de salida. Debido al efecto de la presión hidrostática la presión de

que impulsa el caudal de salida es proporcional a la altura del líquido acumulado.

Dada la incompresibilidad de los líquidos, la ley de conservación de masas puede ser

convertida en una relación entre volúmenes que determina la ecuación de flujo:

0qqdt

dVi −=

donde V es el volumen de líquido, qi es el caudal entrante y qo es el caudal de salida.

Si se considera la presión hidrostática y que el líquido circula en régimen turbulento,

la anterior relación entre volumen y caudal puede convertirse en una relación entre caudal

de entrada y alturas. Por ejemplo, para el caso el caso de la siguiente figura donde dos

depósitos están enlazados por una tubería, considerando la presión hidrostática y la

relación entre volumen y altura:

11 )( hgdtp ⋅⋅= ; 00 )( hgdtp ⋅⋅= ; hCV ⋅=

Figura.-2.25 Depósitos conectados

el caudal intermedio q1 y el de salida qo pueden escribirse como:

011 )( ppktq p −⋅= ; →⋅= 020 )( pktq

0121 )( hhktq p −⋅= ; 020 )( hktq p ⋅=

Por tanto, las ecuaciones que modelan el sistema quedan:

para el primer depósito:


- 2.35 -

ip qhhkdt

dhC =−⋅+⋅ 012

1

y para el segundo:

0)( 01020 =−−⋅+⋅ hhhk

dt

dhC p .

Si se considera el modelo de un solo depósito como el representado en la figura,

Figura.-2.26 Sistema de llenado de un depósito

el modelo queda en la forma:

ip qhkdt

dhC =⋅+⋅

Como puede observarse, las expresiones obtenidas son ecuaciones no lineales, pues

involucran el término raíz cuadrada de la función incógnita. A continuación, se abordará

el problema de su linealización.

2.4 No linealidades, Linealización

La mayoría de los fenómenos del mundo real presentan características no lineales.

Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en su tratamiento y análisis.

Las ecuaciones con no linealidades son de difícil manejo. Gracias a la linealización de

ecuaciones no lineales es posible aplicar numerosos métodos de análisis lineal que

producirán información acerca del comportamiento del sistema no lineal.

Por otra parte, los sistemas suelen evolucionar en torno a un punto de trabajo. Se

denomina punto de trabajo al valor que toman las variables de estado, en las condiciones

en las que el sistema se encuentra normalmente.


- 2.36 -

Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rango por una función no

lineal. A este procedimiento se le llama linealización. Es posible aproximar el modelo no

lineal de un sistema por un modelo lineal en torno al punto de trabajo del sistema. El

proceso de linealización que aquí se presenta se basa en la aproximar la función no lineal

mediante una serie de Taylor en la vecindad del punto de operación, despreciando los

términos de más alto orden y reteniendo sólo el término lineal.

El modelo linealizado tiene una serie de propiedades:

§ Mantiene las características del sistema en el entorno del punto de trabajo.

§ Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.

§ Tiene asociado un error que será mayor cuanto más se aleje el sistema del

punto de trabajo.

Supóngase que se dispone de una función que depende de dos variables f(x1, x2),

mediante el Polinomio de Taylor dicha función puede aproximarse en un intervalo del

punto x0 (x10, x20) en la forma:

)()(),(),( 202

02101

01201021 xx

x

fxx

x

fxxfxxf

xx

−∂∂

+−∂∂

+= +términos de orden superior

Si se desprecian los términos de orden superior, esta ecuación puede escribirse:

)()( 202

02101

010

xxx

fxx

x

ff

xxx

−∂∂

+−∂∂

=∆

Hay que señalar que los términos 01 x

x

f

∂∂

y 02 x

x

f

∂∂

son dos números constantes que se

obtienen al evaluar las derivadas parciales de f respecto a las variables en el punto x0.

Por tanto, está claro que el incremento de la función 0x

f∆ en el entorno del punto x0 se

puede expresar como una relación lineal e invariable en el tiempo.

Para aplicar estos razonamientos a la Linealización de un sistema no lineal, se supone

que se dispone de una representación externa donde hay una señal de entrada U(t) y una

función de salida x(t), expresada mediante una ecuación diferencial no lineal en la forma:


- 2.37 -

),,...,(),,...,()( 1 xxxfxdt

dx

dt

xdftU n

n

n

==

observe que por comodidad se ha cambiado la notación y la enésima derivada n

n

dt

xd se

escribe xn .

La idea es encontrar una ecuación diferencial que aproxime la ecuación no lineal en el

punto de trabajo: t = 0, U(0), X0 (x0, 1x0, ....,

nx0 ) y que además sea lineal. Para ello se

desarrolla la función mediante el polinomio de Taylor, considerando como variables cada

una de las derivadas de x, es decir:

)()(...)( 00

011

010

00

xxx

fxx

x

fxx

x

fU

xx

nn

Xnx

−∂∂

+−∂∂

++−∂∂

=∆

Llamando 0

)(x

Utu ∆= , 0X

nnx

fa

∂∂

=0

11xx

fa

∂∂

=K0

0xx

fa

∂∂= , )( 0xxy −= , esta

última expresión puede escribirse en la forma:

yadt

dya

dt

ydatu

n

n

n 01...)( +++= .

La cual representa una ecuación lineal donde la función de entrada u(t) representa el

incremento del valor de U respecto al punto de trabajo y la variable de salida y es el

incremento de x respecto del valor que toma en el punto de trabajo.

Ejemplo: Linealizar la ecuación que modela el llenado de un depósito como el

descrito en los puntos anteriores, cuya ecuación es:

)(tQHkdt

dHC p =⋅+⋅

En este caso HkHCf p ⋅+⋅= 1 y se considera que el punto de trabajo es

H0 , 1H0 y Q0 . Se tiene que:

CH

f

H

=∂∂

01

1

;00 2 H

k

H

f

H

=∂∂

; h = H(t)-H0; q(t)= Q(t)-Q0.


- 2.38 -

Aplicando lo dicho con anterioridad el desarrollo queda:

))(())(()( 00

011

010 HtH

H

fHtH

H

fQtQ

HH

−∂∂

+−∂∂

=−

y por lo tanto:

)(tqR

h

dt

dhC =+⋅

donde 02

1

H

k

R= .

Lo que representa una ecuación lineal e invariante en el tiempo tal y como se ha

introducido en los primeros ejemplos del tema.


-2.39-

2.5 PROBLEMAS

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1

En una empresa con P(t) empleados se producen unidades del producto A, cada uno de los

empleados produce 5 unidades por día. Se pretende que el número de unidades almacenadas,

N(t), sea igual a Ad; para ello diariamente se contratan o despiden a C empleados. Se supone que

V representa el número de unidades vendidas diariamente y que el período en que se estudia el

proceso es suficientemente grande como para considerar que las magnitudes evolucionan de

forma continua en el tiempo. Encuentre ecuaciones diferenciales que modelen la aplicación de

las siguientes políticas de contratación:

a) Se contratan o despiden un número de empleados igual a la diferencia Ad - N(t).

b) Se contratan o despiden un número de empleados igual a Ad - N(t)-(dN(t)/dt)

Dibuje un diagrama causal que permita interpretar el comportamiento del sistema.

Solución:

N

C

V+

tdd 2

N 5td

d Ptd

dV–⋅

= 5 Ad N–( )td

dV–⋅=

tdd 2

N 5N+ 5Adtd

dV–=

tdd

P C Ad N t( )–td

dN t( )–= =

tdd 2

N 5 Ad N t( )–td

d N t( )–

tddV

–=

tdd

P C Ad N t( )–= =

tddN

5 P V–⋅=

derivando en (1)

tdd 2

N 5td

d N 5N++ 5Adtd

dV–=

(1)a)

b)

P+

Diagrama causal:

Ad+


-2.40-

PROBLEMA 2

Obtenga los modelos de representación externa y modelo de estado de los sistemas mostrados en

las figuras.

i) Sistema Mecánico:

Solución:

ii) Sistemas eléctrico

Solución:

mk1

x1(t)

µ

x2(t)V. Salida V. Entrada

k2

mx1·· ΣF k1 x1⋅– µ x1

·⋅– k2 x1 x2–( )⋅– mx1·· µx1

·x1 k1 k2+( )⋅+ + k2x2= = = =

Modelo de estado:

y1 x1=

y2 x1·

=

y1·

y2=

y2·

x1·· k2x2

m------------ µ

m----x1

·–

k1 k2+( )

m-----------------------x1–= =

y1·

y2·

0 1

k1 k2+( )

m-----------------------–

µm----–

y1

y2

0

k2m-----

x2⋅+⋅=

vi(t)

V. Entrada vo(t)V. Salida

R

L

IVi V0–

R------------------ V0 0–; L

tddI= = Vi RI V0+=

td

dViR

tdd I

td

dV0+ R

L---V0 td

dV0+= =

td

dVi

tdd V0

RL---V0+=

;


-2.41-

iii) Sistema hidráulico

Solución:

H0+h(t)

Fi+fi(t)

Fo+fo(t)

V. Entrada

V. SalidaRC

-href

+

fi t( ) k1 href h t( )–( ) k2 href h t( )–( ) td∫+=

El modelo linealizado quedaría: Ctd

dh⋅ fi1R---h–=

fi k1 href h–( ) k2 href h–( ) td∫+ Ctd

dh⋅⇒ k1 href h–( ) k2 href h–( ) 1R---h–∫+= =

Derivando, ordenando y reagrupando:

Ct

2

dd h k1

1R---+

+td

dh k2h+ k2href=


-2.42-

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

PROBLEMA 3

Obtenga los modelos de representación externa y modelo de estado de los sistemas mostrados en

las figuras.

i) Sistemas Mecánicos:

Solución:

m

kµ

x(t)

x0(t)m

k1f(t)

x1(t)

m

k2

µ

x2(t)

V. Entrada

V. Salida

V. Entrada

V. Salida V. Salida

a) b)

mx·· t( ) ΣF k x t( ) x0–( )– µ x· t( ) x·0–( )– mx·· t( ) µx· t( ) x t( )+ + kx0 µx·0+= = = =

Como hay 2 masas hay 2 ecuaciones:

mx··1 ΣF k1x1– µx·1– k2 x1 x2–( )–= =

mx··2 ΣF µx·2– k2 x2 x1–( )– F t( )+= =

mx1·· µx1

·k1 k2+( )x1+ + k2x2=

mx2·· µx2

·k2x2+ + k2x1 f t )( )+=

a)

b)

y1·

y2·

y3·

y4·

0 1 0 0

k1 k2+( )

m-----------------------–

µm----–

k2

m---- 0

0 0 0 1

k2

m---- 0

k2

m----–

µm----–

y1

y2

y3

y4

00

0

1m----

f t( )⋅+⋅=

y1 x1=

y2 x1·

=

y1·

y2=

y2·

x1·· k2

m---- x2

µm----x1

·–

k1 k2+( )m

---------------------x1–⋅= =

y3 x2=

y4 x2·

=

y3·

y4=

y4·

x2·· k2

m---- x1

µm----x2

·–

k2m-----x2 f t( )+–⋅= =

Modelo de estado:


-2.43-

ii) Sistemas eléctricos

Soluciones:

vi(t)V. Entrada

V. Salidavo(t)

R1 R2

C1 C2

+

-vi(t)V. Entrada

V. Salidavo(t)

C

R1

R2

R3

a)

b)

I1 I2 I3+=

Vi V1–

R1------------------ I1=

td

dV1 I2C1-------=

C1 td

dV1 I2=

V1 V0–

R2------------------- I3= V1 R2I3 V0+ R2C2 td

d V0 V0+= =

td

dV1R2C2 t

2

dd V0 td

dV0+=

Vi R1I1 V1+= Vi R1 I2 I3+( ) V1+⋅=

Vi R1 C1 tdd V1 C2 td

dV0+

V1+⋅=

Vi R1C1R2C2 t

2

dd V0 R1C1 td

d V0 R1C2 tdd V0 R2C2 td

d V0 V0++++=

Vi R1C1R2C2 t

2

dd V0 R1C1 R1C2 R2C2+ +( )

tdd V0 V0++=

Vi

R2

I2 I1

V0

I3V1

R1

C2C1

a) El circuito puede dibujarse:;

(2)

td

dV1De (1) y (2) puede sustituirse en (3) el valor de V1 y de

(3)

tddq

I=

V1q

C1

------=C2 td

dV0 I3=

(1)


-2.44-

PROBLEMA 4

El sistema de tracción de un robot puede ser modelado de acuerdo al esquema de la figura; es

decir, la rueda se mueve por acción de un par aplicado a través de un sistema de engranajes que

presentan un coeficiente de rozamiento viscoso µ. Encontrar una ecuación diferencial que

modele el desplazamiento longitudinal del sistema, considerando como entrada, τ(t), el par

aplicado a los engranajes.

Solución:

b)

V0Vi

V1

I1 I2

C

R1

R2

R3

El circuito puede dibujarse:

Vi V1–qC----= V1 R1 I1⋅=

V0 V– 1 R2 I2⋅= V1 R3 I2⋅=

;

;

tddq

I1= ;

V1

R3

R2 R3+------------------ V0⋅=

td

dVi

td

dV1 V1

C R1⋅--------------+=

td

dVi R3

R2 R3+------------------

td

dV0 R3

R2 R3+( ) C R1⋅ ⋅------------------------------------------

V0+=

Ι,Μ

R

τ(t)

x(t)

θ

V. Salida

e)

n1

n2

µ

FR

τ2Sobre la rueda actúan:

-El par τ2, aplicado por los engranajes

- El rozamiento viscoso de los engranajes

-La fuerza de rozamiento Fr aplicada por el suelo


-2.45-

It

2

dd θ⋅ τ2 µ

tddθ⋅– Fr R⋅–=

mt

2

dd x Fr=

θ R⋅ x= Rt

2

dd θ

t

2

dd x

=

IR---

t

2

dd x⋅ τ2

µR---

tddx m

t

2

dd x R⋅ ⋅–⋅–=

I mR2

+R

-------------------

t

2

dd x µ

R---

tddx+ τ2=

Como τ1τ2-----

N1N2------- τ2→

N2N1-------τ1= =

I mR2

+R

-------------------

t

2

dd x µ

R---

tddx+

N2N1-------τ1=


-2.46-

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 5

2) Obtenga los modelos de representación externa de los sistemas mostrados en las figuras.

PROBLEMA 6

En una población de bacterias x(t) representa el numero de bacterias en cada instante de tiempo.

La población presenta un índice de reproducción de N reproducciones por bacteria y segundo, y

un índice de mortandad de M muertes por bacteria y segundo. Se incorporan o eliminan bacterias

de una forma continua, a un ritmo de R bacterias segundo Encuentre las ecuaciones diferenciales

que modelan las siguientes situaciones:

a) N = 0.02, M =0.05, R =1.

b) N = 0.03, M =0.01, R =-1.

b) El índice de mortandad presenta una relación lineal en la forma M = M0+ k x(t)

con N = 3, M0 =1, k= 0.1, R =-5.

m

µ1

f(t) x(t)

k1

k2µ2

Ι

R

f(t)

θ

x(t)

V. Entrada V. Salida

V. Salida

V. Entrada

a) b)v0(t)

V. Entradai(t)

V. Salida

R L C

c)

TEMA 2: Modelado de Sistemas en tiempo...

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