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Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

Tema 2: Modelado deTema 2: Modelado desistemas físicos.sistemas físicos.


2

Indice

1. Procedimiento de modelado2. Principios de conservación3. Ecuaciones constitutivas

3.1 Transporte3.2 Reacción3.3 Propiedades físicas3.4 Otras relaciones/restricciones

4. Ejercicios y aplicaciones


3

1. Procedimiento de modelado


4

Definición del problema

Describir el proceso a modelar y el objetivo.Especificar entradas y salidasEspecificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de aplicaciónEspecificar las características temporalesEspecificar la distribución espacial.


5

Identificar los factores y mecanismoscontrolantes

Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:Reacción químicaDifusión de masaConducción de calorTransferencia de calor por conveccionEvaporaciónMezcla turbulentaTransferencia de masa o energíaFlujo de fluidos


6Ejemplo

Identificar los mecanismos controlantes en el siguiente sistema.

Flujo de líquido entrante y salienteFlujo de aceite entrante y saliente a la camisaTransferencia de calor entre la camisa y el tanqueTrabajo del agitadorPérdidas de calor a través de la camisaPérdidas de calor a través de la superficie del líquidoEvaporación de líquido


7

Evaluarlos datos

Construir el modelo

Evaluar los datos empíricos de que disponemos y su exactitud.Evaluar los parámetros de que disponemos y su exactitud.Si faltan datos o parámetros puede ser que el problema haya que redefinirlo.

Desarrollar las ecuaciones del modelo.Procedentes de principios de conservación (serán ecuaciones algebraicas/diferenciales)Procedentes de ecuaciones constitutivas (serán en general ecuaciones algebraicas).Verificar que el modelo está correctamente especificado: Análisis de los grados de libertad.Verificar la consistencia del modelo: chequeo de unidades y dimensiones.


8

Subprocedimiento para construir el modelo

Establecer los volúmenes donde se van a realizar los balances de materia, energía y momento.

Establecer las leyes termodinámicas, como ecuaciones de estado...

Relación entre diferentes volúmenes donde se aplican las ecuaciones, por ejemplo entre diferentes fases.

Determinar qué variables (total, componentes, molar o másica,...) van a caracterizar el sistema: entradas, salidas y estados internos

Definir las restricciones del proceso, bien sean por operación o por control

Plantear los balances de conservación: materia, energía y momento.

Plantear las ecuaciones de transporte de calor, masa y momento entre los diferente volúmenes.

Definir y aplicar las suposiciones del modelo.


9

Grados de libertad (DOF)

Los grados de libertad se definen como:

DOF= Número de variables(incógnitas) – Número de ecuaciones

Indican el número de variables que se deben fijar para que el problema estébien formulado o completamente determinado. (DOF=0)

Si tras un análisis de DOF tenemos:

DOF>0 Sistema indeterminado, hay que especificar menos variables o bien añadir nuevasEcuaciones independientes que las contengan.

DOF<0 Sistema sobredeterminado. Las ecuaciones que sobran pueden ser:Redundantes: No añaden información al sistema (no son independientes)Inconsistentes: Son ecuaciones independientes que hacen el sistema irresoluble.

Es importante hacer un análisis de los grados de libertad antes de resolver el modelo.


10

Verificar laSolución del modelo

Resolver el modelo

Identificar la forma matemática del modelo.(generalmente AEs/ODEs/DAEs)Escoger un procedimiento (método numérico) de resolución.Intentar evitar problemas matemáticos (como “alto índice”) que dificultan el uso de métodos estándar de resolución.

Verificar si el modelo se comporta correctamente.Verificar la correcta implementación (código del programa) del modelo.


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Validar el modelo

Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad modelada.Posibilidades de validar el modelo:

Verificar las suposiciones de forma experimental.Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.Comparar el modelo con datos del proceso.

Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias, distribuciones, varianzas,...Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud especificada al formular la definición del modelo.


12

Resumen: Elementos de un modelo.

Suposiciones.Características espaciales y temporalesCondiciones de flujoPropiedades a ignorar: dinámicas, términos de flujo,...Etc...

Ecuaciones y variables características.Ecuaciones de balance (diferenciales) y constitutivas (algebraicas)Variables: flujos, temperaturas, presiones, concentraciones, entalpías y acumulaciones de masa, energía y momento.

Condiciones iniciales.Condiciones iniciales para la resolución numérica (modelos dinámicos)

Condiciones de contorno (en el caso de modelos distribuidos).Parámetros.

Procedencia, valor, unidades, validez y precisión de los parámetros empleados.


13

1.Definición:

-Agrupado/distribuido

-¿Dinámico?

Objetivo del modelo:

-Control/diseño/...

2.Mecanismos controlantes:

•Reacción química

•Transferencia de masa

•Transferencia de calor

•Transferencia de Momento

MODELADO DE UN REACTOR CSTR

Suposiciones:

1. Mezcla perfecta

2. Adiabático

ProblemDefinition

IdentifyControllingfactors

Evaluate the problemdata

Constructthe model

Solvethe model

Verify the modelsolution

Validatethe model

ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

EJEMPLO


14ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

3. Datos:

•Datos fisicoquímicos

•Datos de cinética química

•Parámetros del equipo

•Datos fisicoquímicos: Cp, entalpías, densidades,...

•Datos de cinética química: k0,Ea,Hreac

•Parámetros del equipo: V


15ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

4. Construcción del modelo:Suposiciones.Ecuaciones y variables características.

Ecuaciones de balance y constitutivas Variables.

Condiciones iniciales.Parámetros.

Suposiciones:

1. Mezcla perfecta

2. Reacción de primer orden

3. Adiabático

4. Propiedades constantes (densidad,...)

5. ...


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Condiciones iniciales:Ecuaciones:

CA(0)=CAiT(0)=Ti

Ecuaciones de balance

•Balances de masa

•Global

•A componentes

•Balance de energía

Parámetros y entradas:

•V,k0,EA,Cp,....•CAi,Ti,Fi

•Ecuación de Arrhenius

•Ecuación de la entalpía

•Relación concentración-masa

•...

0

aERT

Ar k e C−

=H Cp T= ∆

A Am C V=

Ecuaciones constitutivas


17ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

5. Resolución del modelo:

•Modelo dinámico: Ecuaciones algebraido diferenciales (DAEs)

6. Verificación del modelo7. Validación del modelo


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2. Principios de conservación

Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo transformados.

Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y una superficie asociada). Esta región se suele denominar volumen de control.

Los volumenes de control muchas veces se establecen:

•Los volúmenes físicos de los equipos.•Las diferentes fases presentes en un equipo.


19

Ejemplos de volúmenes de control


20

El balance dinámico sobre el sistema:

Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumoen el tiempo la frontera la frontera neta neto

Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.

Agrupados DinámicosDistribuidos Estáticos

Modelos macroscópicos (ODEs)Modelos microscópicos (PDEs)


21

2.1 Sistemas agrupados dinámicos

No hay descripción espacial.

Balance de masa global

∫∫∫∫∫ ⋅−=Av

dAnvdVdtd )(ρρ

Suposición: Volumen bien mezclado: densidad independiente del espacio

Suposición:Flujo de densidad homogéneo: densidad independiente de la superficie

∫∫ ⋅−==A

dAnvdtdm

dtVd )()( ρρ

v = velocidad

F= flujo másico

V = volumen

A = superficie

= densidad

m = masa

outoutoutinininm

i Ai ii AvAvdAvdtdm

dtVd ρρρρ −=== ∑ ∫∫=1

)(

outinoutoutoutininin FFAvAvdtdm −=−= ρρAcumula = Entra - Sale


22

Balance de masa a componentes

Balance a cada especie (componente) presente en el sistema (volumen de control)

∫∫∫∫∫∫∫∫ +⋅−=v iA iv i dVrdAnvdV

dtd )(ρρ

VrFFVrAvAvdt

dmioutiiniioutioutioutiiniiniini

i +−=+−= ,,,,,,,, ρρ

Acumula = Entra – Sale + Genera - Consume

Expresado en masa

Expresado en moles

Vrnndtdn

ioutiinii +−= ,,


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Consideraciones finales

Los balances de materia se pueden establecer en masa o en moles.El principio de conservación sólo se aplica a la masa global, por tanto si se expresa el balance de materia global en moles hay que tener en cuenta el término de generación/consumo por reacción.En los balances a componentes, sean en masa o en moles siempre hay que tener en cuenta el término generación/consumo por reacción.El balance a componente se puede reescribir a balance a la concentración del componente:

)(1dt

dMxdt

dMxMdt

dxdtdxM

dtdMx

dtdMx

iiii

ii −=⇒+=

EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO


24

Balance de energía

PVHUgzvK

+===

φ2/2

φ++= KUEEnergía cinética

Energía potencialEnergía interna

Por los flujos másicos (convección)Por conducción y radiación de calorTérminos de trabajo

La transmisión de energía puede ser:


25

( ) ( ) ( ) : :

( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) )

( ) ( )( ) ( ) ( ) :

c r s E F s Fv A

c r s Ev A A

c r s E Ev A

d EdV E v n dA Q Q W W W W trabajo eje W trabajo flujodtd U K dV U K v n dA Q Q W W PV v n dAdtd U K dV H K v n dA Q Q W W W trabajdt

ρ ρ

ρ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ

= ⋅ + + + + +

+ + = + + ⋅ + + + + + ⋅

+ + = + + ⋅ + + + +

∫∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫ expo ansion

Suposiciones:•La independencia de la densidad tanto del volumen como de la superficie•Energía cinética y potencial despreciables (baja velocidad y poca dif. de altura)

( ) ( )in in in out out out c r s EdU v A h v A h Q Q W Wdt

ρ ρ= − + + + +

Balance de energía II

Acumula = transmite por flujo + transmite por calor + término de trabajo

Fsrcoutoutinin WWQQhFhFdtdH ++++−=

)( RFsrcoutoutinin HrVWWQQhFhFdtdH ∆−+++++−=

Tiene el calor de reacción de forma implícita en el cálculo de las entalpías.

Suposición: PV constante



26

Balance de momento ( o balance de fuerzas)

Acumula = momento entra – momento sale + generación de momento

Las fuerzas que generan momento son:•Fuerzas gravitatorias•Fuerzas de fricción•Fuerzas de presión•Fuerzas de cizalla

cfpgoi ffffdtMvd ++++Μ−Μ=)(

El balance a momento es un problema tri-dimensional dado que las magnitudes involucradas son vectores. (muchas veces se simplifica y se considera únicamente una dimensión)



27

Balances a un sistema

Las ecuaciones resultantes de establecer los balances a un sistema son:

Balances de masa

Global---------------------------1

Componentes-----------------NC-1

Balance de energía-----------------------1

Balances de momento--------------------3

(NC= número de componentes)

Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados dinámicos son ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs)


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2.2 Sistemas agrupados estacionariosNo hay descripción espacial.

No se considera la evolución temporal. El tiempo deja de ser una variable.

No hay acumulación de :•Materia•Energía•Momentoen el sistema, dado que estamos en el estado final de equilibrio.

Todos los términos de las variables de estado (términos de acumulación) que son las derivadas temporales se igualan a CERO.

outin FF −=0 Vrnn ioutiini +−= ,,0

)(0 RFsrcoutoutinin HrVWWQQHFHF ∆−+++++−=

cfpgoi ffff ++++Μ−Μ=0

B. Materia

B. Energía

B. Momento

Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados estacionarios son ecuaciones diferenciales algebraicas (AEs)


29

3. Ecuaciones constitutivasSon ecuaciones algebraicas que junto con las ecuaciones procedentes del balance conforman el modelo. Estas ecuaciones:

•Relacionan las cantidades conservadas (variables extensivas) convariables intensivas.

•Definen cantidades fisico-químicas como densidades, entalpías,...•Definen los ratios de transferencia (masa, energía,...)•Definen otras relaciones que permiten constituir el modelo.

Se pueden establecer 5 grupos que establecen ecuaciones constitutivas:

Fenómenos de transferencia: masa, calor/energía y momento.Expresiones de cinéticas de reacción. Equilibrio químico.Relaciones termodinámicas. Relaciones entre volúmenes de control.Restricciones de equipos, control,...


30

3.1. Fenómenos de transferencia

Transporte molecular (fenómenos microscópicos)Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA ZFuerza T/ z CA/ z vz/ zPropiedad Conductividad Difusividad Viscosidad

kT DA Ley Fourier Fick NewtonRelación q= kT T/ z NA= DA CA/ z Z= vz/ z

Transporte global (fenómenos macroscópicos)Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA ZFuerza T CA PPropiedad Trans. Calor Trans. Masa Fricción

hT kLRelación q= hT T NA= NA CA (factor fricción)


31

3.2. Descripción cinética (Reacción Química)

Reacción simple:

nAA---------->nBB

;CkrCCkfrdtnd

vV1=r

nABA

j

j

== ,...),,(

;

βα ek=k RTE-

0a

Las expresiones cinéticas dependen mucho del tipo de aplicacióny del sistema multi-fase de que se trate.La geometría, reacciones laterales, inhibiciones hacen que en la práctica se tengan expresiones complicadas.


32

Equilibrio Químicoqueda descrito:

Donde j son los coeficientes estequiométricos (reactantes <0) y j son lospotenciales químicos.

Para una reacción de equilibrio en fase gas:

naA nbB

La ecuación anterior queda:

nb B - na A = 0

y para gases el potencial químico se puede definir:

j = jo + RT ln Pj

jo : Potencial químico estándar

Pj : Presión parcial del componente j.

0=jj

NC

1=jµνΣ



33

3.3 Relaciones termodinámicas

Importancia de las propiedades físicas*Cualquier programa de simulación de procesos suele contener un servicio de propiedades físicas.

*La calidad del diseño, simulación o estudio de un proceso depende de la forma en que las leyes físicas y químicas son aplicadas al problema.

*Las tareas principales que debe proporcionar un servicio de propiedades fisicas son:

•Suministrar de forma reiterada estimaciones de un número de diferentespropiedades físicas durante la ejecución de la simulación

•Proveer al usuario de valores de las propiedades de interés durante el cálculo o bien al final de la simulación.

•Permitir al usuario introducir sus propios datos para nuevos componentes y emplearlos en el paquete de simulación

• Proporcionar al usuario una forma de estimar de forma media las propiedadesde compuestos de los que se sabe poco más que su estructura.


34

*El cálculo de las propiedades físicas se lleva gran parte del tiempo del cálculototal de las simulaciones.

*Dependiendo del problema y del programa empleado el tiempo dedicado a laspropiedades físicas puede ser del orden del 80%

*Cualquier preprocesamiento que se pueda hacer es por tanto muy necesario.

Un ingrediente esencial para el éxito es la elección deUN SISTEMA DE REFERENCIA ÓPTIMO.


35

3.3.1 Relaciones entre propiedades

Son relaciones no-lineales entre variables termodinámicas.

= f(P,T,x) Densidad

h = g(P,T,x) Entalpía

(T = Temperatura, P=Presión, x = fracción molar)

La entalpía se puede aproximar:

∫+=T

T p dTTcThTh0

)()()( 0


36

3.3.2. Descripción del equilibrio

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

p

p

pi i i i

T T TP P PG G G

= = ••• == = ••• == = ••• = ∀

iI = i

II

Equilibrio de fases

yP=px iiii

Liquido-Vapor

En el equilibrio se produce la igualdad de los potenciales químicos.

O con las fugacidades:fi

I=fiII

γ

C+TB-A=logp

i

iii



37

3.3.3. Ecuaciones de Estado.

Relacionan Presión, Volumen y Temperatura para sistemas de un componente y para mezclas multicomponente.

nRTPV =

Ecuación de los gases ideales:


38

Propiedades involucradas

Las propiedades involucradas en los diferentes modelos de unidades de operación se puedenresumir:

Propiedades termodinámicas:

-Coeficiente de fugacidad (o equivalente: potencial químico, K-value,...)

-Entalpía

-Entropía

-Energía de Gibbs

-Volumen (y magnitudes relacionadas)

Propiedades de transporte:

-Viscosidad

-Conductividad térmica

-Coeficiente de difusión

-Tensión superficial

Es fundamental elegir una opción correcta para que los resultados de la simulación puedanser válidos.


39

Existen muchos métodos desarrollados para diferentes aplicaciones, se eligeen función:

de los componentes que participan,

de la interacción entre estos componentes (qué tipo de mezclas forman: polar, no polar, ideal, con asociacion,...),

de las condiciones en que se desarrolla el proceso (rangos de temperatura, presión,...),

de la presencia de electrolitos,

de la presencia de sólidos,...

de la disponibilidad de parámetros


40

Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades termodinámicas:

Cálculo de Ecuaciones de estado:

Ideal Gas

Peng-Robinson

Redlich-Kwong

Hayden-O´Conell

Lee-Kessler

Cálculo de coeficientes de actividad:

NRTL (Non Random Two Liquids)

Redlich-Kister

Wilson

Van Laar

UNIFAC

UNIQUAC

Ideal Liquid

Volumen molar y densidad:

API Liquid Volume

Costal Liquid volume

Brelvi-O’Conell

Solids Volume Polynomial

Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades de transporte:

Cálculo de la difusividad:

Chapman-Enskog-Wilke-Lee Binaary

Nernst-Hartley Electrolytes

Dawson-Khoury-Kobayashi Mixture

...

Cálculo de la conductividadtérmica:

IAPS

Sato-Riedel

Stiel-Thodos

TRAPP

Cálculo de la viscosidad:

Andrade

Chung-Lee-Starling

Letsou-Stiel

Lucas


41

Ejemplo

A continuación se muestra el método de NRTL, este método calcula loscoeficientes de actividad de líquidos y está recomendado para sistemas químicosaltamente no ideales con aplicaciones para el equilibrio líquido-vapor y líquido-líquido.

]Gx

Gx-S[

GxGx+

Gx

Gx=

kjkk

mjmjmm

ijkjk

k

ijj

jkikk

jijijj

∑∑

∑∑∑∑ ττ

γln

273.15K)-(Td+c=

Tf+lnTe+Tb+a=

)(-=G

ijijij

ijijij

ijij

ijijij

α

τ

ταexpDonde:

Este método fue desarrollado por Renon y Prausnitz en 1968 y tiene

un fundamento teórico y una parte ajustada experimentalmente.


42

3.4 Relaciones entre volúmenes de control y restricciones

Las relaciones entre volúmenes de control se dan cuando existenvarias fases que están confinadas en un recipiente.Los sistemas de proceso siempre están sometidos a un control para garantizar que cumplen las especificaciones, esto implica que muchas veces es necesario modelar los elementos que componen el sistema de control: sensores, transmisores, controladores, actuadores,...Ciertas restricciones debidas a los equipos o modos de operaciónpueden tener que ser incluidas igualmente en los modelos.


43

4. Ejercicios y aplicaciones.


44

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. I Tanque agitado

outoutinin

outin

QQdt

dM

FFdt

dM

ρρ −=

−=

outoutpoutininpinp

outoutinin TcFTcFdt

TcVdhFhF

dtdH −=→−=

)( ρ

ghAFout 2ρ=

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,FoutEcuaciones------------------------------3

AhVM ρρ ==

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,FoutEcuaciones------------------------------4


45

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. II Evaporador (un componente)

),(),(

ln

TPfHTPfh

BTAP

RTMP

QHQhQdt

hVd

QQFFdt

Vd

V

outVinLLL

outVinLoutinLL

==

+=

=

+−=

−=−=

ρ

ρρρ

ρρρ

Datos Fin,Q, L

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL, V,Qout,T,PEcuaciones------------------------------4

Falta una ecuación de salida para Qout


46

rcontroladoVfFTPfH

TPfh

BTAP

RTMP

QHQhQdt

hVd

QQFFdt

Vd

Lin

V

outVinLLL

outVinLoutinLL

)(),(

),(

ln

==

=

+=

=

+−=

−=−=

ρ

ρρρ

ρρρ

Datos Fout ,Q, L

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL, V,Fin,T,PEcuaciones------------------------------5


47

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. III CSTR en serie

33,44,33,3

33,44,33,3

433

22,33,22,2

22,33,22,2

322

11,22,11,1

11,22,11,1

211

RRBBBR

RRAAAR

R

RRBBBR

RRAAAR

R

RRBBBR

RRAAAR

R

rVxnxndt

dNx

rVxnxndt

dNx

FFdtVd

rVxnxndt

dNx

rVxnxndt

dNx

FFdtVd

rVxnxndt

dNx

rVxnxndt

dNx

FFdtVd

+−=

−−=

−=

+−=

−−=

−=

+−=

−−=

−=

ρ

ρ

ρ

ARiRT

E

Ri cekr Ri

a

,0

−

=

Grados de libertad:Incógnitas-------F2, F3 , F4 , x2A, x3A , x4A, x2B, x3B , x4B , V1,V2 ,V3 , r1,r2 ,r3 , c2A, c3A , c4A,Ecuaciones------------------------------15

Ri

ARiARi V

nc ,

, =

Balance de materia


48

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. IV Depósitos comunicados

224

1212

2112

21

4232

211

2

)(2

)(2

ghAF

hhgAF

elsehhgAF

hhif

FFFdtVd

FFdtVd

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

=

−−=

−=

>

−+=

−=

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------V1, V2, F2, F4Ecuaciones------------------------------4


49

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. V Reactor batch

)()(

)(322221111

cHref

cHst

refstRppp

TTUAQTTUAQ

QQVrHTcQTcQdt

TcVd

−=−=

−+∆−−−= ρρρ

VrcQcQdt

dVc

VrcQcQdt

dVc

FFdtVd

BBB

AAA

+−=

−−=

−=

,22,11

,22,11

21ρ

ARTE

cekra−

= 0

)()(

tan)(

,,,,,

,,

cHoutcoutcpoutcincinccpcc

outcinccc

c

TTUATcWHFdt

TcVd

docalenWFdtVdV

c −+−=

−=

ρ

ρ

)()(

)(

,,,,,,

,,

cHoutcoutcpoutcincincpinccpcc

outcincccc

TTUATcFTcFdt

TcVd

enfriandoFFdt

cVd

c −+−=

−=

ρ

ρ

⎩⎨⎧

≥<

=

⎩⎨⎧

>≤

=

22

11

0

0

Fbtbt

F

atFat

F

⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤<≤

=

⎩⎨⎧

>≤

=

0

0

0

btQbta

atQ

atQat

Q

refref

stst


50

Grados de libertad:Incógnitas-------V, cA, cB , F2 , r,T,Qst ,Qref ,Vc,st, Tc,st , Vc,ref, Tc,refEcuaciones------------------------------11

222 2ghAF ρ=

y.................12


51

Fin tema 2


52

Ejemplo de balance de materia

Tanque. Tanque con camisa.

, ,

in out

cc in c out

dM F Fdt

dMF F

dt

= −

= −

outoutinin

outin

QQdt

dM

FFdt

dM

ρρ −=

−=

, ,0 0cc in c out

Mc VdM

F Fdt

ρ=

= ⇒ = −

c

c

Supongo cteDadoV cte

ρ ==

Tanque de mezcla perfecta sin reacción.

BBBB

AAAA

xFxFxFdt

dMx

xFxFxFdt

dMx

FFFdt

dM

,33,22,11

,33,22,11

321

−+=

−+=

−+= ∑ =1,3 ix

Incógnitas: BA xxMF ,3,33 ;;;

VOLVERVOLVERVOLVER


53

Ejemplo de balance de energía.

Tanque de mezcla perfecta sin reacción y con camisa.

outcoutcpoutcincincpinccpcc

outoutpoutininpinp

outoutinin

TcFTcFdt

TcVd

TcFTcFdt

TcVdhFhF

dtdH

c,,,,,,

)(

)(

−=

−=→−=

ρ

ρ)( cH TTUA −−

)( cH TTUA −+

Flash

houtoutininc

hVVLLinin

QhFhFdt

dH

QhFhFhFdtdH

−−=

+−−=

VOLVERVOLVERVOLVER


54

Ejemplo de balance de momento.

Válvula de control

psd FFFdt

dMvdt

d −−==Μ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−−=⇒=

−−=

kPAx

dtdx

kc

dtxd

kM

dtdxckxPA

dtxdM

dtdxv

cvkxPAdtdvM

2

2

2

2

VOLVERVOLVERVOLVER


55

Ejemplo de sistema con reacción.

Reactor continuo de tanque agitado.

CBA →+

)()(

)()(

,,,,,,

333322221111

cHoutcoutcpoutcincincpinccpcc

cHRpppp

TTUATcFTcFdt

TcVd

TTUAVrHTcQTcQTcQdt

TcVd

c −+−=

−−∆−−+=

ρ

ρρρρ

outcinc

CCCc

BBBB

AAAA

FFcamisa

VrcQcQcQdt

dVc

VrcQcQcQdt

dVc

VrcQcQcQdt

dVc

FFFdt

dMreactor

,,

,33,22,11

,33,22,11

,33,22,11

321

0 −=

+−+=

+−+=

−−+=

−+=

ARTE

cekra−

= 0

VOLVERVOLVERVOLVER


56

Ejemplo de sistema con equilibrio.Flash

VVLLinin hFhFhFdtdH −−=

AoutvAoutlAinA

outvoutlin

yFxFzFdt

dMx

FFFdt

dM

,,

,,

−−=

−−=

i

ii

BBB

AAA

xxy

óxkyxky

)1(1 −+=

==

αα

VOLVERVOLVERVOLVER

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