Tema 5: Ecuaciones polinómicas no lineales. Inecuaciones ... Alumnos/Dpto... · Juan decide...

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Tema 5: Ecuaciones polinómicas no lineales.Inecuaciones de una variable

Juan decide regalar a su novia un juego de Damas Chinas que ha fabricado él mismo. Ha

dado forma a un tablero de madera y para las damas ha comprado unas piezas de

diversos colores. Ha comprobado que éstas ocupan un volumen total de 616 cm3.

Para que su novia aprecie mejor sus habilidades, decide fabricar la caja que contenga las

damas con una chapa rectangular de metal, muy bonita, de medidas 22 y 19 cm. Su idea

consiste en recortar cuatro cuadrados del mismo tamaño, uno en cada esquina, para

luego doblar las lengüetas que se hayan formado y así obtener la caja que contenga

exactamente las piezas.

Dado que sólo tiene una chapa de metal y no hay forma de encontrar otra que pueda

servir de recambio, debe calcular el lado del cuadrado muy bien para no equivocarse. Una

vez dobladas y formadas las caras laterales de la caja, soldará las junturas para que

quede perfecta.

En este tema aprenderemos el procedimiento que tiene que emplear Juan para calcular

dicho lado.

Damas chinas Mzelle Laure GNU Free Documentation License

1. Factorización de polinomios

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En el primer apartado descompondremos polinomios de los que conozcamos sus raíces.

También determinaremos las raíces enteras y racionales (cuando las tenga) de un

polinomio con coeficientes enteros.

La idea es poder trabajar con los polinomios de una manera parecida a como lo hacemos

con los números enteros, que los descomponemos en producto de factores primos para

manejarlos más cómodamente.

Definiciones

Un polinomio es una "suma de monomios", o sea, toda expresión algebraica de la forma:

P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, siendo ai números reales llamados

coeficientes, y a0 0, n recibe el nombre de grado del polinomio, y an es el término

independiente.

Ejemplos: 3x2-5x+2 (grado 2), 5x-3x4+3 = -3x4+5x+3 (grado 4), 7 (polinomio de

grado 0). Pero 5x2+x-2+4x-2 no es un polinomio (hay una potencia de x con exponente

negativo).

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos del

mismo grado son iguales. Ejemplo: Si P(x) = 2x3-5x+4 es igual a Q(x) = ax3+bx2+cx+d

entonces a=2, b=0, c=-5 y d=4.

El valor de un polinomio para un determinado número real es el número que se obtiene

sustituyendo x por dicho número real. Si P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, el

valor de P(x) en x=a es P(a) = a0·an+a1·an-1+...+an-2·a2+an-1·a+an . Ejemplo: si P(x)

= 2x3-5x+4 , P(2) = 2·23-5·2+4 = 2·8-10+4 = 10.

El número real a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0.

Dado un polinomio P(x), se llama ecuación polinómica asociada a la ecuación P(x) = 0. Raíz

de un polinomio es toda solución de su ecuación asociada, o sea, todo número real que

anule el polinomio: P(a) = 0.

Ejemplos:

1. (x+1)·(x-2) = 0 tiene por raíces -1 y 2.

2. x2-2x+1 = 0 tiene por única raíz x = 1, pues x2-2x+1 = (x-1)2 (en este caso se dice

que la raíz es doble).

3. x2+1 = 0 no tiene ninguna raíz real, pues el cuadrado de todo número real es positivo

(así x2+1>0).

Solución de ecuaciones polinómicas productos

Vamos a necesitar hallar las raíces de un polinomio, con lo que tendremos que resolver su

ecuación asociada. Veamos que si el polinomio está factorizado, es muy fácil obtener sus

raíces.

El producto de dos números es 0 si, y sólo si, uno al menos de los dos es 0. O sea:

A·B=0 implica que A=0 o B=0, y sólo en este caso.

De esta forma, si la ecuación es de grado n pero está descompuesta en producto de

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factores simples de grados 1 o 2, podremos resolver varias ecuaciones mucho más

sencillas para resolver aquélla.

Ejemplo: La solución de la ecuación (x+1)·(x-2)·(x-5)=0 es la de las ecuaciones: x+1=0

, x-2=0 y x-5=0 cuyas soluciones son -1, 2 y 5.

Podemos preguntarnos si será posible que los polinomios se puedan descomponer en

productos de esta forma, la respuesta es que sí como veremos en el siguiente apartado.

1.1. Descomposición de polinomios. Regla de Ruffini

En este apartado resolveremos las siguientes preguntas:

¿Qué condiciones deben cumplir las raíces enteras y las racionales de un polinomio

Dado el polinomio P(x)= 2x5-3x4-x-1+2, su grado es:

54

Ninguna de las anteriores.

Si P(x)=-2x3+5x2+x-4:

Su grado es 3.

El término independiente es -4.

El coeficiente del término de grado 2 es 5.

El coeficiente del término de mayor grado es -2.

El valor del polinomio en x=2 es: P(2)=4.

Las raíces de la ecuación (x-3)·(x+1)·(x+2)=0 son:

-3, 1 y 2.

3, -1 y -2.

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con coeficientes enteros para poder descomponerlo en producto de factores?

¿Cómo podemos hallar dichas raíces?

Nota: Si dividimos un número entero D (dividendo) por otro d (divisor) obtenemos

siempre un cociente q y un resto r tal que : r<d, verificándose la relación: D=d·q+r.

Ejemplos:

1. 77=9·8+5 (8 es el cociente y 5 el resto).

2. Si el dividendo es menor que el divisor la relación es trivial: 3=8·0+3 (el cociente es

0 y el resto: 3<8).

Con los polinomios pasa exactamente lo mismo, al dividir un polinomio A(x) por otro B(x)

se obtiene un cociente Q(x) y un resto r(x) tal que: A(x)=B(x)·Q(x)+r(x). En este caso

se tienen las siguientes relaciones entre los grados de los polinomios: gr(Q(x))=gr(A(x)-

gr(B(x)) y gr(r(x))<gr(Q(x)).

Ejemplo: Si dividimos x3-x2-4x+5 entre x2+x-5 obtenemos x-2 de cociente (grado=3-

2=1) y 3x-5 de resto (con grado 1<2, grado del divisor). En caso necesario, se

recomienda revisar la división de polinomios.

Regla de Ruffini

Para dividir P(x) por (x-a) se suele utilizar la regla de Ruffini que ya debemos conocer. No

obstante, la recordaremos con unos ejemplos. Dividiremos P(x)=x3-2x2-5x+6 por (x-1),

por (x+2) y por (x-3):

Efectúa la división de los polinomios anteriores.

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En este caso vemos que 1, -2 y 3 son raíces de P(x).

La aplicación reiterada de este teorema nos va a permitir descomponer un polinomio en el

producto de sus factores. Para ello, nos hace falta saber calcular sus raíces que, en

algunos casos, será un proceso relativamente sencillo. Veámoslo.

Teorema: El resto de la división de P(x) por (x-a) es P(a),

valor de P(x) en x=a.

Si dividimos el polinomio P(x) por (x-a) obtendremos un

cociente y un resto de grado 0 (el divisor es de grado 1),

entonces:

P(x) = (x-a)·Q(x) + r, luego: P(a)=(a-a)·Q(a) + r = 0·Q(a) + r

= r

Corolario: a es raíz de P(x) si y sólo si existe un polinomio

Q(x) de grado una unidad menor que P(x), tal que P(x)=(x-

a)·Q(x).

Consecuencia inmediata del teorema (si a es raíz, el resto de la

división será 0).

Teorema: Si el número entero b es raíz del polinomio de

coeficientes enteros P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-

1x+an, entonces b es un divisor de an.

Si b es raíz de P(x): P(b) = a0bn+a1bn-1+...+an-2b2+an-

1b+an = 0, de donde:

an = -(a0bn+a1bn-1+...+an-2b2+an-1b) = b·(-a0bn-1-a1bn-

2-...-an-2b-an-1)

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Por lo tanto , en los polinomios con coeficientes enteros, sólo buscaremos las raíces

enteras entre los divisores del término independiente, aplicando la regla de Ruffini para

determinarlas y descomponer el polinomio.

Dado el polinomio P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, con a0 0, si conocemos

sus n raíces: r1, r2,..., rn, el polinomio se puede descomponer de la forma: P(x) = a0·(x-

r1)·(x-r2)·...·(x-rn) .

Si alguna raíz se repite, se dirá que es múltiple, y que su orden de multiplicidad es 2

(doble), 3 (triple), ... En este caso se agrupan los factores iguales en una potencia, de la

forma: P(x) = 5·(x+1)·(x-1)3·(x-4)2 .

por lo que an es múltiplo de b (en el paréntesis sólo aparecen

operaciones con números enteros, luego es un entero).

1. Hallar las raíces enteras del polinomio P(x)=x3+4x2-4x-16, y

descomponerlo en producto de factores.

Dado que los coeficientes

son enteros, debemos

probar con los divisores

del término independiente

(-16), que son: 1, -1, 2,

-2, 4, -4, 8, -8 , 16 y -16.

Probando con la regla de

Ruffini se obtienen como

soluciones 2, -2 y -4.

Para la descomposición del

polinomio es conveniente

seguir por orden la

división por Ruffini con

cada polinomio cociente, a fin de simplificar los cálculos.

Se entenderá mejor viendo el ejemplo adjunto, en el que, para

simplificar, se han colocado sólo los casos con resultado positivo.

Normalmente, se deben ir probando todos los divisores en el

orden en que los hemos dado, y repitiendo aquellos que ya son

soluciones por si acaso fueran raíces dobles o triples, como

veremos en el siguiente ejemplo.

2. Idem anterior con: P(x)=x4-3x3-3x2+7x+6.

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Los divisores de 6

son: 1, -1, 2, -2, 3,

-3, 6 y -6. Al ser

pocos los divisores,

en este ejemplo

pondremos todos los

detalles.

En primer lugar

probamos con 1, que

no resulta ser raíz.

Debemos empezar de

nuevo con el

polinomio original,

pero aprovechamos la

estructura de Ruffini,

tachando lo que no

queremos y

remarcando el

polinomio que

continuamos

considerando.

-1 ha resultado ser

raíz, pero podría ser

raíz múltiple, por lo

que hay que volver a probar, pero en este caso será suficiente

con intentarlo con el polinomio cociente. Remarcamos este nuevo

para no equivocarnos en los cálculos.

También ha resultado ser solución. Señalamos el nuevo polinomio

y volvemos a probar con -1 (podría ser raíz cúbica).

No es raíz triple. Tachamos lo que sobra y seguimos con el

polinomio anterior.

Seguimos con los otros divisores. El siguiente es 2, que sí es

raíz. Hemos llegado al final, queda un polinomio de grado 1 (x-3)

que nos da directamente la última raíz:

x-3=0 ---> x=3

Las raíces de P(x) son, pues, -1 doble, y 2 y 3 simples. La

descomposición de P(x) es: P(x)=(x+1)2·(x-2)·(x-3)

3. Lo mismo con: P(x)=2x4-3x3-3x2+2x.

En P(x) se puede sacar factor común x, por lo que una raíz es 0,

y: P(x)=x·(2x3-3x2-3x+2).

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En el apartado 2 resolveremos ejemplos y ejercicios de aplicación de todo lo que hemos

visto.

Los divisores de 2 son: -1,

1, -2 y 2. Probamos con el

primero de ellos:

Resulta ser raíz, y el

polinomio cociente es de

grado 2. En general, dado

que conocemos muy bien la

resolución de la ecuación de

2º grado, no conviene seguir trabajando con Ruffini, pues no

todas las raíces pueden ser enteras, por lo que resolveremos la

ecuación directamente:

2x2-5x+2=0 ---> las soluciones son: y 2.

Así, las raíces de P(x) son 0, -1, y 2 (todas simples) y el

coeficiente del término de mayor grado 2, por lo tanto:

P(x) = 2·x·(x+1)·(x- )·(x-2)

El cálculo de raíces racionales de polinomios con

coeficientes enteros se obtiene probando todas las

posibles soluciones a/b (positivas y negativas) obtenidas

con todos los divisores de los coeficientes del término de

mayor grado (para el denominador) y del término

independiente (para el numerador). Luego habría que

probar con Ruffini todas las posibles soluciones. Para

tranquilizar al alumno, debemos decir que los casos que

se suelen considerar a título de ejemplo suelen ser muy

sencillos.

Si el polinomio tuviera coeficientes racionales,

pasaríamos a considerar el polinomio que resulta de

multiplicar P(x) por el m.c.m. de todos los

denominadores de los coeficientes, de esta forma ya

sería entero y se puede aplicar el caso anterior.

Hasta ahora sólo hemos visto los casos más sencillos,

polinomios de grados pequeños y con coeficientes

enteros. En la realidad, los problemas que nos ofrece la

vida no suelen ser tan sencillos: las soluciones no tienen

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por qué ser enteras ni racionales, ni tan siquiera reales

(estudiaremos los números complejos más adelante). En

los casos generales se suele recurrir a programas

informáticos muy potentes que no sólo obtienen las

raíces del polinomio, sino que también lo descomponen y

permiten hacer cálculos de una manera muy sencilla. A

pesar de todo, y al igual que ocurre con la calculadora,

es muy conveniente entender perfectamente los

conceptos y hacer una estimación antes de realizar

cálculos electrónicos (no es que la calculadora se

equivoque, sino que los errores más comunes tienen

que ver, frecuentemente, con una pulsación errónea de

las teclas o con una comprensión superficial del

problema).

Aunque estudiaremos los números complejos

(generalización de los números reales) más adelante,

enunciamos un teorema que aclara el problema de las

raíces de un polinomio:

Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio de

grado n con coeficientes complejos, tiene exactamente n

raíces (contando sus grados de multiplicidades) en el campo

de los números complejos.

Este teorema, que Gauss demostró cuando tenía 18 años,

nos dice que un polinomio no puede tener más (ni menos)

soluciones que las que nos indica su grado, aunque éstas no

sean reales. Por ejemplo, el polinomio P(x)=x2+1 tiene dos

soluciones que son i y -i, donde i es la raíz cuadrada de -1 (o

unidad imaginaria). De momento seguiremos trabajando con

ejemplos reales.

Dado el polinomio p(x)=x4+5x3+4x2-10x-12:

-2 y -3 son dos de sus raíces.

-2 y 5 son raíces de p(x).

x2-2 es un divisor de p(x).

es raíz de p(x).

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1.2. Fracciones algebraicas

Operaciones con fracciones algebraicas

Nos vamos a encontrar bastantes veces con ecuaciones en las que aparecerán fracciones

algebraicas, es decir, que contienen letras además de números. Vamos a dedicar este

pequeño apartado para recordar y ampliar ligeramente los conocimientos que tenemos

acerca de dichas fracciones.

La forma de operar es prácticamente la misma que con las fracciones numéricas. La

diferencia estriba en que con los números se puede simplificar la expresión o resultado

parcial que se obtiene, mientras que con los polinomios la cosa es bastante menos

sencilla, al menos en cuanto a la apariencia y a las expresiones que se tienen que

"arrastrar" hasta el final.

Ejemplo: Efectúa y simplifica: .

En bastantes ocasiones nos encontraremos con expresiones que se pueden simplificar

factorizando (sacando factor común) y aplicando las conocidas identidades notables que

hemos visto en el capítulo 4. Recordémoslas brevemente:

1.

2.

3.

Señalemos, una vez más, que el cuadrado de una suma (diferencia) no es la suma

(diferencia) de los cuadrados. Y la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la

diferencia.

Ejemplos: Veamos dos ejemplos para comprender cómo operar con fracciones

algebraicas:

1.

Dados dos polinomios p(x) y q(x), discutir si las siguientes afirmaciones

son ciertas o no y, en caso negativo, dar un contraejemplo.

gr(p(x)+q(x))=gr(p(x))+gr(q(x)).

En algún caso, puede ocurrir que gr(p(x)+q(x))<gr(p(x)).

gr(p(x)·q(x))=gr(p(x))+gr(q(x))

gr(p(x)) gr(p(x)+q(x))

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2.

Descompón el numerador y el denominador y simplifica:

.

El numerador se puede factorizar:

y resolviendo la ecuación de

segundo grado obtenemos las raíces: -1 y 2.

Para el denominador probaremos con

. Aplicando la regla de Ruffini

resulta que 1 no es raíz pero sí -1 con cociente: , que

tiene por raíces: -3 y 2.

Así, pues:

La simplificación de la expresión es:

.

.

.

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Descomposición en fracciones simples

Acabamos de ver en el apartado anterior cómo descomponer

un polinomio en producto de factores, de una manera parecida

a la que se hacía con los números enteros. Con las fracciones

algebraicas se puede hacer algo similar, aunque menos sencillo

y más laborioso. La finalidad es poder trabajar de una forma

más cómoda con funciones cuya expresión como cociente de

polinomios es bastante complicada pero que, descompuesta

en suma de fracciones simples resultan bastante más

sencillas. Lo veremos en gráficas de funciones racionales y,

también, en el cálculo de la primitiva de una función racional el

curso que viene.

Para descomponer la función en suma de fracciones "simples"

aplicaremos el hecho de que dos polinomios son iguales si

tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos

respectivos son los mismos. El procedimiento es algo

complicado y lo veremos sólo con unos ejercicios muy sencillos

que nos facilitarán la comprensión posterior, el próximo curso

se verá de una forma más completa.

Ejemplos:

1. Obtén A y B para que se verifique la igualdad:

.

En primer lugar, sumamos las fracciones y simplificamos el

resultado, obteniendo los mismos denominadores:

de donde

identificando los coeficientes de los dos polinomios queda:

que resolvemos por reducción.

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando se obtiene:

y sustituyendo en la primera ecuación: .

Por lo tanto: .

2. Ídem con A, B, C tales que:

Operando, queda la igualdad:

Aquí se podría trabajar de igual forma que en el ejercicio

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2. Resolución de ecuaciones no lineales

En el tema 3 vimos cómo se resuelven las ecuaciones lineales y cuadráticas (grados 1 y

2). A continuación aplicaremos la descomposición de polinomios en producto de factores

para resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado.

ECUACIONES PRODUCTO

El producto de dos números es 0 si y sólo si al menos uno de los factores lo es, y esta

propiedad es cierta también para un número mayor de dos factores.

Este hecho tan sencillo nos permite resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado

siempre que el polinomio esté descompuesto en producto de factores y el segundo

miembro de la ecuación sea 0. Para resolver la ecuación bastará con igualar a cero cada

factor, de donde hallaremos fácilmente las raíces respectivas.

Bastarán dos ejemplos para entender perfectamente el procedimiento de resolución:

1. Resolver la ecuación (x-2)·(x+5)·(7x-3)=0.

Las soluciones de esta ecuación vienen determinadas por las siguientes: x-2=0 , x+5=0 ,

7x-3=0 , que dan como soluciones: 2, -5 y .

2. Idem de: (x+1)3·(x2-3)·(x2+1)=0.

anterior, pero también se puede seguir un método un poco

diferente. En este caso consideraremos la primera expresión:

Si los polinomios son iguales, los valores que tomarán para

diferentes valores de x serán los mismos. Elegiremos los que

veamos más sencillos de utilizar, en este caso 2 (obtendremos

directamente el tercer parámetro) 0 (deduciremos el valor del

segundo) y 1 para hallar el tercero.

Si x=2:

.

Si x=0:

Y, finalmente, si x=1:

Así:

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Primeramente descomponemos totalmente el polinomio:

(x+1)3·(x+ )·(x- )·(x2+1)=0.

Las soluciones son, respectivamente: -1 triple, , y las soluciones imaginarias

(aunque trabajaremos en la siguiente unidad los números complejos,

consideramos conveniente hacer esta breve referencia sin profundizar más).

Así, esta ecuación tiene cinco raíces reales y dos imaginarias (total siete, como el grado de

su polinomio asociado).

CASO GENERAL

Son las ecuaciones polinómicas en las que debemos proceder a su factorización, para lo

cual aplicaremos la regla de Ruffini a los divisores del término independiente del polinomio.

Los casos problemáticos se presentan cuando el polinomio no tiene raíces enteras o

racionales, en cuyo caso se deben aplicar procedimientos de cálculo numérico para

obtenerlas, aunque en la práctica basta con utilizar aplicaciones informáticas científicas.

Ejemplos: Resolver las ecuaciones:

1. 4x4+4x3-9x2-x+2 = 0.

Como el polinomio es de coeficientes enteros, si tiene raíces enteras éstas deben ser

divisores del término independiente, por lo que debemos buscarlas entre los números -1,

+1, -2 y +2. Se comprueba por Ruffini que 1 y -2 lo son (simples), y que el polinomio

cociente resultante es 4x2-1. Las soluciones de la ecuación 4x2-1=0 son -1/2 y 1/2.

Así, pues, las soluciones de la ecuación son: -2, -1/2, 1/2 y 1.

2. 6x4+23x3+12x2-11x-6 = 0.

Los coeficientes son todos enteros, y los divisores del término independiente son -1, 1,

-2, 2, -3, 3, -6 y 6. Aplicando la regla de Ruffini se ve que -1 y -3 son raíces, siendo 6x2-

x-2 el polinomio cociente. Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos las raíces -1/2 y

2/3.

Así, las raíces son -3, -1, -1/2 y 2/3. La descomposición del polinomio sería (aunque no

nos la piden):

6·(x-2/3)·(x+1/2)·(x+3)·(x+1) o bien: (3x+2)·(2x+1)·(x+3)·(x+1).

3. 12x3+4x2-3x-1 = 0.

Si tiene raíces enteras, sólo pueden ser -1 o 1 (divisores del término independiente). Se

comprueba inmediatamente que ninguna lo es.

Pasemos a determinar si tiene raíces racionales. En Para saber más del apartado 1.1 se ha

dicho (no se ha demostrado) que éstas deben ser de la forma a/b donde a es un entero

divisor del término independiente y b un entero divisor del coeficiente del término de

mayor grado. En nuestro caso debemos probar con -1/2, 1/2, -1/3, 1/3, -1/4, 1/4, -1/6,

1/6, -1/12 y 1/12. Si ninguna de éstas es raíz, podemos asegurar que el polinomio no

tendrá raíces enteras ni racionales. Aplicando Ruffini se comprueba que las raíces son

-1/2, 1/2 y -1/3, y la descomposición polinómica es:

12·(x+1/2) ·(x-1/2)·(x+1/3) = (2x+1)·(2x-1)·(3x+1)

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Resolver la ecuación: x·(x+3)2=x2·(x+5).

Aunque normalmente se simplifica una x (del primer miembro)

con el cuadrado de la x (del segundo miembro), esto implica la

pérdida de una raíz (x=0), por lo que no debe hacerse. Es

preferible operar y, cuando la expresión esté simplificada, sacar

factor común y resolver la ecuación.

Operando, tenemos: x·(x2+6x+9)=x3+5x -->

x3+6x2+9x=x3+5x2 --> x·(x+9)=0 --> x1=0 , x2=-9.

Verificar que a3+b3=(a+b)·(a2-a·b+b2). Utilizando esta identidad,

descompón el polinomio x3+64. Las raíces de su ecuación asociada

x3+64=0 son:

-2, 4 y -4.

-4 y dos raíces imaginarias.No tiene raíces reales.

Las raíces de la ecuación (x2+1)·(x2+x+1)=0 son:

No tiene raíces reales, son todas imaginarias.-1, 1 y dos raíces imaginarias.

-1, 1, y

Las raíces de la ecuación (x2-9)·(x2-x-1)=0 son:

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2.1. Ecuaciones racionales

Ecuación racional es la que tiene en su expresión cocientes de funciones polinómicas, con

alguna de ellas en, al menos, un denominador. Para resolverlas se operan las fracciones

algebraicas que figuran en los dos miembros para simplificar al máximo la expresión, ésta

tomará normalmente la forma (Si en la simplificación de los dos miembros de la

ecuación, el segundo no fuera 0, lo pasaríamos restando al primero).

En tal caso las raíces de la ecuación serán las del polinomio que no anulen los

denominadores de la ecuación original, ya que si comparte alguna raíz con algún

denominador, la fracción estaría indeterminada para ese valor (no se puede dividir por 0),

con lo que no existiría. Por lo tanto, deberemos eliminarla por no ser válida.

Los siguientes ejercicios nos aclararán mejor lo que decimos.

-3, 3, y

-3, 3 y dos raíces imaginarias.

, y dos raíces imaginarias.

Resolver las ecuaciones:

1. .

Las soluciones del numerador son 3 y -1 simples y 2 doble.

Como ninguna de éstas lo es del denominador, todas ellas serán

las raíces de la ecuación.

2. .

Aquí las raíces son 1 y -2, pero 1 también es raíz del

denominador, por lo que x=1 no es solución de la ecuación. La

única solución es, pues, -2.

3. .

En este ejemplo debemos averiguar las raíces del numerador y

del denominador. Descomponiendo el numerador se obtiene:

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CASO GENERAL

Lo que acabamos de ver no es más que un caso particular de ecuaciones racionales. Estas

son las ecuaciones en las que únicamente aparecen (en el primer o en el segundo

miembro) polinomios o cocientes de polinomios. Puede haber varias formas de

presentación y la forma de resolverlas puede ser variada, pero, en esencia, todas se

reducen a simplificar y operar hasta dejarlas reducidas al tipo anterior o similar. Bastará

con aplicar el sentido común para eliminar las sucesivas dificultades que se nos vayan

presentando.

Ejemplos:

1. cuyas raíces son

-3 y 1, ninguna de las dos anula el denominador de la ecuación original, luego las

dos son válidas.

2. . Conviene, en general, empezar señalando cuáles son las

restricciones del problema, o sea, qué valores anulan los diversos denominadores

de la ecuación, en este caso 3 y -3 para descartarlos posteriormente si fuera

necesario.

con raíces -3 y 4. La única solución válida es, pues, 4.

3.

que es la única solución .

cuyas raíces reales son -1 y 1 (junto con las imaginarias ).

Mientras que el denominador es:

cuyas raíces son 1 y 2.

Por lo tanto, 1 no es raíz de la ecuación y, en consecuencia, las

raíces de ésta son: -1 simple y las dos raíces imaginarias .

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2.2 Ecuaciones irracionales

Se entiende por ecuaciones irracionales aquellas en las que aparecen raíces de polinomios

en su expresión. Las raíces que trataremos serán cuadradas o, en algún caso particular,

cúbicas. Para resolverlas se intenta aislar una de ellas en un miembro y se elevan los dos

al cuadrado (o al cubo si fuera el caso) para simplificarla. Si hubiera más de una raíz se

repetiría el procedimiento.

Con esto lo que hacemos es sustituir unas ecuaciones por otras en las que,

gradualmente, van desapareciendo las raíces. En este proceso, sin darnos cuenta, se

añaden soluciones, las ecuaciones no siempre son totalmente equivalentes, como en este

ejemplo:

x=3 tiene por solución 3, pero x2=9 tiene por soluciones 3 y -3.

Por lo tanto, una vez resuelta la ecuación deberemos comprobar que las raíces son válidas

y que pertenecen al dominio de definición de la misma, o sea, que las raíces que se

obtienen al sustituir las x por los valores correspondientes existen en el conjunto de los

reales (recordemos que las raíces de índice par y radicando negativo no existen).

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación: .

Primero eliminamos la raíz elevando al cuadrado los dos miembros: .

Agrupamos términos en el primer miembro y los simplificamos, obteniendo:

que tiene como raíces 2 y -1/2. Debemos comprobar si son raíces

también de la ecuación original, en este caso 2 lo es, y -1/2 no lo es si consideramos la

raíz cuadrada como positiva (daría como resultado: 1/2 = -1/2).

2. Resolver la ecuación: .

Lo primero será aislar la raíz para, elevando al cuadrado, eliminarla. ,

haciendo operaciones obtenemos: cuyas raíces son 6 y -1. Debemos

comprobar, ahora, si estas raíces lo son también de la ecuación original. Ambas lo son.

3. Resolver: .

La solución de la ecuación: es:

0 y 2-2 y 0.-1 y 1.

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Cuando aparecen dos raíces, conviene no precipitarse y elevar inmediatamente al

cuadrado. Recordemos que el cuadrado de la suma no es la suma de los cuadrados, por

lo que, aunque simplificáramos una raíz, volvería a aparecer otra inmediatamente. Es

mejor, en estos casos, eliminar las raíces una a una, aislándola previamente en uo de los

dos miembros de la ecuación.

Empezaremos con:

2.3 Resolución geométrica de ecuaciones

Aunque hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones anteriores de forma algebraica, no

siempre se podrá obtener una solución por estos métodos. En ocasiones nos tendremos

que conformar con soluciones conseguidas a través de cálculos aproximados, que es uno

de los aspectos de los que se ocupa el Cálculo Numérico.

Pero en otras ocasiones, será muy conveniente poder ver el problema desde un punto de

vista geométrico, no sólo para obtener las soluciones, sino también poder interpretarlo

correctamente y discutir la validez de las mismas.

Las raíces de la ecuación son:

0 y 4/3.Su única raíz es 4/3.

No tiene raíces reales.

La solución de la ecuación es:

3.

0 y 3.No tiene raíces reales, la solución es el conjunto vacío .

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Veamos algunos ejemplos sencillos en los que la solución se obtiene más fácilmente de

manera algebraica, pero que nos van a permitir entender mejor la situación.

1. Resolver la ecuación: x2-x-6=0.

La resolución de la ecuación da las soluciones x1=-2,

x2=3. Como hemos dicho, geométricamente las

soluciones son las abscisas de los puntos de

intersección de la gráfica de f(x)=x2-x-6 con el eje

OX. Como se ve en:

2. Resolver geométricamente la ecuación: 3x-2=6-x.

Es inmediato que la solución es x=2. En este caso, las

dos funciones son dos rectas secantes con

ecuaciones: f(x)=3x-2 , y g(x)= 6-x. Sus gráficas se

cortan en el punto P(2,4), cuya abscisa (x=2) es la

solución de la ecuación.

Si la ecuación es de la forma f(x)=0, las raíces serán

las abscisas x para las que la función tiene ordenada

nula, o sea, las abscisas de los puntos de

intersección de su gráfica con el eje OX.

Si la ecuación es de la forma general f(x)=g(x), las

raíces serán los valores x en los que las dos funciones

tienen el mismo valor para sus ordenadas. Es decir, las

abscisas de los puntos de intersección de las curvas

correspondientes a las dos funciones.

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3. Idem con: x2-x+2=x+3.

Al igual que en el ejemplo anterior, se podía resolver

la ecuación de segundo grado resultante: x2-2x-

1=0 de una forma rápida y exacta. Desde un punto

de vista geométrico, tendríamos:

Las soluciones aproximadas son: x1=-0'41 y

x2=2'41 .

4. Idem: .

Hemos elegido este ejemplo porque tiene soluciones

sencillas y exactas, pero nos da idea de que, en el

caso general, la situación empieza a complicarse

seriamente. Si las soluciones fueran todas

irracionales nos sería difícil hallarlas con exactitud.

Pero si nos fijamos en las gráficas (aprenderemos a

esbozarlas más adelante) es relativamente sencillo

determinarlas de manera aproximada. Las gráficas

son:

Las soluciones son x1=-1'5, x2=2, x3=3.

3. Inecuaciones de una variable

Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Cuando la

relación que hay entre ellas es de desigualdad, nos encontramos con una inecuación, que

puede ser de uno de los cuatro tipos siguientes:

Aunque en ocasiones se pueden resolver inecuaciones directamente, lo normal es

reducirlas previamente a otra donde el segundo miembro sea 0, como .

Con las inecuaciones se opera de forma similar a como lo hacemos con las ecuaciones:

podemos sumar o restar una misma cantidad en los dos miembros sin que varíe la misma,

pero en el caso del producto o cociente por un número hay que cambiar el sentido de la

desigualdad si éste es negativo. Veámoslo con más detalle.

Sabemos que el producto de dos números positivos es otro positivo: ,

entonces si y tendremos .

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Por lo tanto, si : , o sea:

De forma parecida, si multiplicamos por un número negativo y

multiplicando por este último y simplificando se obtendrá:

, es decir, la desigualdad cambia de

signo.

3.1 Inecuaciones lineales

Las inecuaciones lineales son de la forma que se pueden reducir a

.

Para resolverlas se pasan las x al miembro en las que resulten positivas (izquierda o

derecha), los términos independientes al otro y después se divide toda la ecuación por el

coeficiente de las x.

La solución de una ecuación lineal es, en general, un semiintervalo infinito. En algún caso

concreto podemos encontrarnos con una inecuación sin solución (la inecuación se reduce

a por ejemplo), o bien otras en las que todo número real es solución.

Ejemplos: Resolver las inecuaciones siguientes:

1. , cuya solución es el conjunto .

2. , solución: .

3. , solución: .

4. , con solución:

5. , primero eliminamos los denominadores:

, solución:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

a. La solución de la inecuación es el conjunto de números reales para los

que la ordenada de la función (cuya gráfica es una recta) es menor o

Si los dos miembros de una inecuación los multiplicamos por

un número positivo, la desigualdad no cambia.

Pero si se multiplica por un número negativo la desigualdad

cambia de signo. Ejemplos:

1.

2.

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igual que 0, o sea, el intervalo infinito que queda a la izquierda (o derecha, según

los casos) del punto de corte con el eje X.

b. De la misma manera la solución de la inecuación sería el conjunto de los

valores del eje de abscisas tales que la ordenada de la función es menor o

igual que la de . O bien, las abscisas en las que la gráfica de la primera función

queda por debajo de la de la segunda. En general, lo más sencillo es reducirla a la

equivalente , que es el caso (a).

Veámoslo con ejemplos. Consideraremos las cuatro inecuaciones posibles de la función

lineal y=x+4

En el primer caso la solución son los valores de x en los que la función está por debajo

del eje de abscisas y, al ser la desigualdad estricta, la raíz de la ecuación no es solución

por lo que se excluye.

En el segundo la única diferencia con el anterior es que el extremo (la raíz) está incluida.

En el tercero la solución son los valores de la x para los que la gráfica de la función está

por encima del eje de abscisas, sin el extremo por ser desigualdad estricta.

Y en el último, puntos por encima del eje de abscisas, incluyendo el extremo.

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3.2 Inecuaciones cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas son las que se pueden reducir a una expresión de la forma:

o cualquiera de las otras tres desigualdades.

Si pensamos en el significado geométrico del anterior apartado, está claro que las

soluciones deben ser las abscisas de los puntos de la gráfica de la función

que están por debajo del eje de abscisas (en este caso).

Para hallar la solución deberemos determinar los puntos intersección de la curva con el eje

OX, o sea las raíces de la ecuación de segundo grado asociada. Si éstas son los números

, la solución será uno de los dos conjuntos: o bien . En

la práctica, dado que la gráfica de las funciones cuadráticas es una parábola vertical

dirigida hacia arriba si , o hacia abajo si , la resolución suele ser medianamente

sencilla.

Ejemplo: Resolver la inecuación

.

En primer lugar simplificamos la expresión y

pasamos todo al primer miembro:

. La ecuación asociada

tiene por raíces 2 y 4. La gráfica

de va hacia arriba, pues el

coeficiente de : , por lo tanto debe

ser de la forma:

por lo que la solución que buscamos será

.

La solución de la inecuación es:

Resolver la inecuación: .

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INECUACIONES PRODUCTO

De la misma forma que hemos resuelto la inecuación cuadrática, podemos resolver la

inecuación factorizada , en realidad se trata de la misma inecuación: se

podría desarrollar, obtener la gráfica (las raíces las conocemos ya) y escribir la solución

.

Como en el ejemplo,

lo primero es

simplificar la

inecuación, haciendo

operaciones

obtenemos

(o

bien: ),

siendo -3 y 2 las

raíces de la ecuación

asociada.

La gráfica es una parábola dirigida hacia abajo ( ), y, en

este caso, buscamos las abscisas de los puntos que estén por

debajo del eje OX, por lo que la solución será

.

Resolver:

Las operaciones se

desarrollan de la forma

usual. Pero en este

problema no se

obtienen raíces de la

ecuación asociada, en

este caso la solución

será el conjunto vacío

o todo . Dado que la

inecuación es

equivalente a :

resulta este segundo caso.

También se podría haber comprobado tomando un punto y

viendo si es solución o no.

Fijémonos que si la inecuación hubiera sido

todos los

números reales habrían sido solución de la inecuación.

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Pero si nos fijamos en el hecho de que la inecuación está factorizada, podemos

aprovechar que el producto de dos números reales es positivo si éstos son del mismo

signo y negativo en otro caso, para obtener la solución de una manera muy sencilla.

Como sólo nos interesa el signo del producto estudiaremos los signos de los factores por

separado, resumiendo el estudio en una tabla de signos.

tiene por gráfica una recta, tomando valores negativos a la izquierda de y

positivos a su derecha, lo mismo, respectivamente, que la función . Así, pues se

puede considerar la tabla de signos:

x a b x-a - 0+ │ + x-b - │ - 0 +

(x-a)·(x-b) + │ - │ +

de donde se deduce de una manera visual que la solución es .

Una vez entendido el procedimiento de resolución de una inecuación producto nada nos

impide resolver una inecuación producto de cualquier grado, si ésta está descompuesta

en factores. Veremos sólo un ejemplo que permite generalizar fácilmente.

Ejemplo: Resolver la inecuación .

Las raíces de la ecuación asociada son -3 doble, -1/5 simple y 4 triple. El signo de una

potencia par siempre es positivo (si la base no es 0) y el de una potencia impar es el

Resolver la inecuación: .

Al estar factorizado, sabemos que las raíces son -1/3 y 5. La

tabla de signos es:

x -1/3 5 x+1/3 - 0 + │ +

x-5 - │ - 0 + (x+1/3)·(x-5) + │ - │ +

por lo que la solución será .

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mismo que el de su base. Así será + para x distinto de -3, y el signo de

será el mismo que el de .

La tabla de signos será:

x -3 -1/5 4 (x+3)2 . + . 0 . + .│ . + . │ . + . (5x+1) - │ - 0 + │ +

(x-4)3 - │ - │ - 0 + (x+3)2·(5x+1)·(x-4)3 + │ + │ - │ +

por lo que la solución será . (Observemos que en x=-3 la

inecuación quedaría 0>0, por lo que -3 no es solución).

Sin explicar cómo se puede obtener, y sólo para entender mejor lo que estamos viendo,

la gráfica correspondiente a esta inecuación sería:

en donde el eje OY está representado a una escala 1:1000 para que se puedan apreciar

mejor los detalles de la curva (las funciones potenciales crecen enormemente).

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Inecuaciones cociente

La resolución por tabla de signos de las inecuaciones producto

se generaliza de forma muy sencilla a las inecuaciones

cociente, que son aquéllas en las que el primer miembro es un

cociente de polinomios que debemos factorizar, y el segundo

0. Como el signo de un producto de números es el mismo que

el de su cociente, el razonamiento empleado en el caso

anterior se aplica totalmente al presente, añadiendo la

consideración de que el denominador de la fracción no puede

ser nulo. Veamos dos ejemplos para entenderlo.

Ejemplos: Resolver las inecuaciones cociente:

1.

La raíz del numerador es -3, y 2 la del denominador.

Construiremos una tabla de signos parecida a las ya vistas

x -3 2 (x+3) - 0 + │ + (x-2) - │ - 0+

+ 0 - │ +

en donde se ve que la solución es , pues

la inecuación no está definida en x=2 y no admite el valor 0

para x=3.

2.

En primer lugar se factorizan numerador y denominador, las

raíces son 4, -4 y -1/2 luego: , la tabla de

signos será:

x -4 -1/2 4 (4+x) - 0 + │ + │+ (4-x) + │ + │ + 0 -

(x+1/2) - │ - 0 + │ +

+ │ - 0 + 0 -

por lo que la solución es , pues la función

no está definida en , pero sí en y en .

3.

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4. Resolución de problemas

En este apartado aplicaremos los conocimientos sobre ecuaciones e inecuaciones para

resolver dos problemas. En los temas anteriores hemos aprendido a plantear las

ecuaciones que reflejen una situación particular y a tener en cuenta las restricciones del

problema. A continuación veremos un problema en el que la ecuación resultante es de

grado mayor que 2 y otro en el que aparecen inecuaciones.

Pasamos el segundo miembro a la izquierda y operamos,

obteniendo: . Las raíces del numerador y

denominador son 5/2, 3 y 4. La tabla de signos es:

x 5/2 3 4 (4x-10) - 0 + │ + │+ (x-3) - │ - 0 + │ +

(x-4) - │ - │ - 0 +

- 0 + │ - │ +

por lo que la solución es .


..

.


.

.

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1. LAS DAMAS CHINAS

Resolvamos el problema que presentábamos al inicio

del tema. Juan ha decidido recortar 4 cuadrados

iguales en las esquinas de la chapa de dimensiones

22x19 cm para obtener una caja de volumen 616

cm3.

Una vez cortados los cuadrados y dobladas las

lengüetas, la caja será un paralelepípedo de volumen:

V = (22-2x)·(19-2x)·x = 616

de donde:

418x-44x2-38x2+4x3 = 616 o: 4x3-82x2+418x-616=0

Dividiendo por 2 queda: 2x3-41x2+209x-308=0 .

Para hallar las raíces enteras de esta ecuación debemos probar con los divisores de -308,

o sea: 1, 2, 4, ... y sus correspondientes opuestos.

Aplicando la regla de Ruffini se ve inmediatamente que 4 es solución, y que el cociente es:

2x2-33x+77 , cuyas raíces son, aproximadamente: 2,81 y 13,69. Esta última no puede

ser, pues que sobrepasa las dimensiones de la chapa.

Así, puede cortar cuadrados de 4 o de 2,81 cm de longitud y, para que la caja quede más

proporcionada, elige 4 cm.

Nota: Naturalmente, los datos del problema están elegidos para que una de las raíces sea

un número entero. En la realidad, raramente nos encontramos con que las raíces de las

ecuaciones que se plantean sean enteras (ni, en general, racionales). La forma de trabajar

suele ser por métodos de aproximación o utilizando programas de ordenador que nos

calculan las raíces con el número de decimales que necesitemos.

2. LA BANDERA

La bandera de cierto país consiste en una cruz blanca

constituida por dos tiras de la misma anchura sobre

fondo azul. Según las leyes del país las dimensiones

de las banderas pueden ser variables, pero siempre

en la relación 5:3 y la superficie de la cruz debe ser

de entre el 20 y el 30% del total de la bandera.

Para celebrar el día de la bandera, el gobierno encarga

a una tienda especializada la confección de una gran

bandera que mida 10 metros de largo. ¿Cuál puede

ser la anchura de las tiras de la cruz para que cumpla la norma que establecen las leyes?

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Las dimensiones de la bandera son 10x6 metros, por

lo que su área es de 60 m2. Si x es la anchura de las

tiras blancas, la superficie de la cruz será de 60-(10-

x)·(6-x), que es la total menos el fondo azul (para

calcularla podemos imaginar que las tiras están justo

en la parte inferior e izquierda del rectángulo, con lo

que resulta muy fácil el cálculo).

Las restricciones que impone la ley sobre el área de la

parte blanca son que debe estar entre el 20 y el 30%

del total, luego tendremos:

o sea:

La solución de las ecuaciones

asociadas a estas dos

inecuaciones son: 0,79 , 15,21 y

1,23 , 14,77 respectivamente.

Aunque la solución del problema

de la bandera sea muy intuitivo,

tal vez nos quede aún alguna

duda sobre qué debemos hacer

con las cuatro raíces que hemos

hallado. Si vemos el problema

geométricamente, la solución es

bastante más sencilla.

Volviendo a las inecuaciones

anteriores

( ) y

considerando la función: , las soluciones serán los conjuntos de abscisas

tales que la función está por debajo de la recta y=-12, y por encima de la y=-18.

Es evidente que las soluciones mayores son solución del sistema pero no del problema

que estamos considerando (si la bandera tiene 10 metros de largo, las tiras no pueden

ser de unos 15 metros de ancho). Así, las restricciones del problema nos impiden tomar

en consideración valores de x mayores que unos 3 metros (el área de la cruz es, como

máximo, el 30% de la superficie total), por lo que la solución está entre 0'79 y 1,23. Lo

normal es que utilizaran tiras de 1 metro.

Tema 5: Ecuaciones polinómicas no lineales. Inecuaciones ... Alumnos/Dpto... · Juan decide...

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