Tema 8 4to 3unidad
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Escuela de Talentos
1
Escuela de Talentos 2
TEMA 8: TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES
DEFINICION DE TRIÁNGULO
Es la figura geométrica formada al unir tres
puntos no colineales mediante segmentos.
Elementos : Notación : Vértices : A, B y C Triángulo :
Lados : ACyBC,AB
ABC ; ∆ABC
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
En la figura se indican las regiones que se han
determinado respecto al triángulo ABC.
ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
- Medida de los ángulos internos : , , .
- Medida de los ángulos externos : x, y, z.
- Perímetro de la región triangular ABC
(2p∆ABC)
- Semiperímetro de la región triangular
ABC(P∆ABC)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL
TRIÁNGULO.
TEOREMA 1
En todo triángulo la suma de las medidas de sus
ángulos interiores es igual a 180º.
En el ∆ABC, se cumple: + + = 180º
TEOREMA 2
En todo triángulo la medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las medidas de dos
ángulos interiores no adyacentes a él.
A
B
C
A C
B
Región Interior
Región exterior
relativa a BC
Región exterior
relativa a AC
B Y
C
c a
Región exterior
relativa a AB
2p∆ABC = a + b + c
(P∆ABC) = 2
cba
A C
C
A C
x º
º
B
b
3 Escuela de Talentos
En el ∆ABC, se cumple: x = +
TEOREMA 3
En todo triángulo la suma de las medidas de los
ángulos exteriores tomados uno por vértice es
igual a 360º.
En el ∆ABD, se cumple: x + y + z = 360º
TEOREMA 4
En todo triángulo de un lado es mayor que la
longitud se le opone al ángulo de mayor medida y
viceversa (propiedad correspondencia).
En el ∆ABC, si: a > b
Entonces: >
TEOREMA 5
En todo triángulo de un lado es mayor que la
diferencia de las longitudes de los otros dos y
menor que la suma de las mismas (propiedad de
existencia).
En el ∆ABC: a > b > c
Se cumple:
b – c < a < b + c
PROPIEDADES ADICIONALES
En la figura se cumple:
En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo
interior opuesto por el vértice.
Se cumple:
En la figura se cumple:
En la figura, P es el semiperimetro del ∆ABC.
B y
x
A z
C
B
A
C
c a
b
B
A C
c a
b
B
D
A
C
x
x
B C
A D
y
O
B
x C
A D
y
P
A
B
C
x = + +
+ = x + y
x + y = +
p < PA + PB + PC < 2p
Escuela de Talentos 4
Líneas Notables
BISECTRIZ
Se asocia dos tipos de bisectrices al triangulo.
ALTURA
Perpendicular que une un vértice y un punto del
lado opuesto o de su prolongación.
MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular a un lado en su punto
medio.
Siendo: L mediatriz
de AB se cumple:
PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
Altura
Mediana
Bisectriz
Segmento de
mediatriz
Propiedades asociadas a las líneas notables
1.- Angulo formado por una bisectriz interior y
otra exterior
3.- Angulo formado por las bisectrices exteriores.
2.- Angulo formado por las bisectrices interiores. 4.- Angulo formado por una bisectriz y una altura
que parten en de un mismo vértice.
EA = BE
BH
A M B
E L
C H A
B
º º
5 Escuela de Talentos
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
(Propiedades Básicas y Clasificación)
NIVEL 1
1. Calcular “x”, si : AD = BD
BE = EC
a) 30º
b) 10º
c) 18º
d) 72º
e) 36º
2. Calcular “x”
a) 110º
b) 130
c) 100
d) 120
e) 150
3. Calcular “x”
a) 15º
b) 20º
c) 30º
d) 45º
e) 60º
4. Calcular el menor valor entero de “x”
Si: el ∢ABC es agudo
Además:
21 LL
a) 46º
b) 47º
c) 44º
d) 98º
e) 89º
5. Determinar el menor ángulo interno de un
triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos
externos forman una progresión aritmética de
razón 30º.
a) 15º b) 30º c) 60º
d) 90º e) 120º
NIVEL 2
6. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra
(AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es
equilátero. Calcular “x”.
a) 50º
b) 55º
c) 60º
d) 65º
e) 70º
7. En la figura : 21 LL
Si: AB = BC, Calcular “”
a) 100º
b) 140º
c) 130º
d) 120º
e) 150º
2xº
xº
A D E C
B
120°
x +20º X°
xº
2º º
A
C B
xº
L2
L1
E
º º
º
º
50º
70º
R A C
P
Q
B 80º
º O
L1
L2
Q
P A C
B
xº
Escuela de Talentos 6
8. Calcular “x”
Si: AD = AR ; AP = DR
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 75º
e) 60º
9. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos
exteriores de un triángulo es igual al
complemento de la medida del ángulo interior
ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de
un ángulo interno del triángulo.
a) 30º b) 45º c) 60º
d) 75º e) 90º
10. De la figura, calcule “x + z”
a) 110º
b) 280º
c) 220º
d) 240º
e) 320º
NIVEL 3
11. Del gráfico, calcular ”x”
a) 40º
b) 70º
c) 60º
d) 50º
e) 55º
12. En la figura : AP = PS y BM = BN
Calcular “x”
a) 10º
b) 15º
c) 30º
d) 35º
e) 37º
13. Del gráfico, calcular “x”
a) 10º
b) 20º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en
la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.
Calcule la medida del ángulo que determinan
'AA
y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.
a) 45º + º b) 90º + º c) 90º + 2
º
d) 90º + 2º e) 90º + 2
º3
15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en
AC , desde el cual se traza MN perpendicular a
AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la
región exterior y relativa a BC , tal que : BCNP
= S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la m∢NPM:
D
P R
A
zº
xº º
º º
º 40º
40º º
º
º
º
º
º
xº
A P B N
M S
C
Q
xº
45º
60º 100º
º º
A C
A’ B
A’’
L’
º
º º º
xº
7 Escuela de Talentos
Líneas notables
NIVEL 1
1. En la figura; calcular “x”
a) 108º
b) 54º
c) 72º
d) 36º
e) 44º
2. Calcular “x”
a) 55º
b) 60º
c) 45º
d) 40º
e) 10º
3. Calcular “x”
a) 100º
b) 120º
c) 130º
d) 150º
e) 170º
4. Calcular “x”
a) 100º
b) 80º
c) 125º
d) 150º
e) 250º
5. Calcular “x”
a) 85º
b) 75º
c) 70º
d) 65º
e) 60º
NIVEL 2
6. En la figura, calcule “x”
a) 10º
b) 20º
c) 65º
d) 35º
e) 45º
7. En la figura, calcule “x”
a) 35º
b) 30º
c) 15º
d) 10º
e) 20º
8. En la figura CDAB ; Calcule “x”
a) 125º
b) 155º
c) 115º
d) 100º
e) 20º
9. Del gráfico, calcule “x” ;
a) 52º
b) 48º
c) 44º
d) 42º
e) 40º
10. Del gráfico, calcular “x”
a) 110º
b) 90º
c) 70º
d) 20º
e) 10º
xº º º
72º
º
º
xº
bº
bº
A C
80º
B
aº aº
º
º 60º
60º
xº
100º
170º
xº
100º
º º
º
º
º
º xº
º º
80º
60º xº
º
º
º º
2º
70º
º
º
º º º
º
30º
70º
º º
xº
A B
C
D
º
º+10º
40º º º
º
º
º
º º
º
º
º
º º
20º
º º xº
40º
º º
xº
º º º+º
º
º
xº
Escuela de Talentos 8
NIVEL 3
11. En el gráfico, AB = BC
Calcule “x”
a) 45º
b) 120º
c) 60º
d) 70º
e) 37º
12. Determine “x”, Si : 21 LL son mediatrices de
BCyAB .
a) 30º
b) 15º
c) 20º
d) 36º
e) 45º
13. Calcular “x”
a) 90º
b) 100º
c) 120º
d) 130º
e) N.A.
14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.
CPyBP son bisectrices exteriores de los
ángulos B y C; respectivamente.
a) 3
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
15. Según el gráfico, calcular el valor “x”
a) 110º
b) 120º
c) 130º
d) 150º
e) 95º
xº
º
º 2º
B
A C
º
º
2º
L1
B
L2 xº
75º
P A Q C
xº
º º º
º
xº
7
x 3
P
2º
150º
2
xº
º 2º
B
A C
9 Escuela de Talentos
¡RETO CON TALENTO!