Tema N° 1 INTRODUCCION A LA SIMULACION DE...

Universidad Salesiana de Bolivia Carrera “Ingeniería de Sistemas”

Tema N° 1

INTRODUCCION A LA SIMULACION DE MODELOS

Definiciones

Simulación es la descripción de un sistema a través de modelos que se pueden aplicar a varias

disciplinas.

La simulación esencialmente es una técnica que enseña a construir el modelo de una situación

real, a la realización de experimentos del modelo.

La simulación es una técnica numérica que se utiliza para realizar experimentos en una

computadora para modelos lógicos, matemáticos que describen el comportamiento de los

sistemas.

Propiedades de los modelos para simulación

Un modelo matemático de un sistema consta de 4 elementos:

1. Los componentes, variables, parámetros y relaciones funcionales.

1) Componentes.- son los elementos que son necesarios para poder simular un

sistema y las relaciones que deben existir entre componentes.

2) Variables.- describen el estado del sistema o algunos componentes en un periodo

determinado de tiempo.

NOTA: en algunos momentos las entradas llegan a ser partes de las salidas a este proceso se llama retroalimentación.

3) Variables endógenas.- llamadas también variables dependientes o salidas del

modelo son el resultado final de la simulación de algún sistema.

4) Parámetros.- las variables exógenas pueden ser utilizadas en dos formas

diferentes. Determinadas ya sea por medio ambiente o por las que se toman

decisiones.

Relaciones funcionales

Existen dos relaciones fundamentales con los modelos.

1. Las identidades que son formulaciones tautológicas.

2. Característica de operaciones que generalmente son expresiones matemáticas o puede

ser que interviene el medio ambiente.

Generación de números aleatorios

Se denomina un número aleatorio a la secuencia de números que cumplen las siguientes

propiedades.

1. Encontrarse uniformemente distribuidos.


2. Ser aleatorio en su secuencia o aparición.

Existen algunos algoritmos que generan esta clase de número, pero que al hacer uso de esta

relación matemática se los denomina generadores de números seudo-aleatorios entre ellos se

tiene:

1. El cuadro de control de Von Newman

2. Los congruenciales, etc.

El método del cuadro central

Generan números aleatorios de , desde el cuadro del entero y la extracción de los

del nuevo número.

Ejemplo:

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

Una aplicación puede ser para calcular AREAS con INTEGRALES en ese caso utilizaremos el método

de MONTECARLO que consiste en:

∫

∑ [ ]

Utilice también el generador para la distribución uniforme.

Ejemplo:

Hallar el área estimada de:

∫

1 985

2 702

3 928

4 611

5 733

6 372

7 383

8 466

9 171

10 924


Donde el

Generador congruencial

A. Congruencial mixto.- los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de

números Pseudoaleatorios en la cual al próximo número Pseudoaleatorio es determinado

a partir del último número generador y en este caso la relación de recurrencia es:

Esta relación indica que es el residuo de dividir [ ]. Lo anterior

significa que los valores posibles de son es decir representa el número

posible de valores diferentes que pueden ser generados.

NOTA 1: si el periodo de un generador es igual a entonces el generador tiene periodo completo.

Ejemplo:

NOTA 2: el periodo de un generador depende de los parámetros.


Periodo =5=m

Residuo

Ejemplo:

Periodo =10=m

1. Selección del modulo

a) Seleccionar de modo que sea el número primo más grande posible y sea menor que

donde es la base del sistema (binario, decimal, hexadecimal, etc.) que se está

utilizando y es el número de bits que tiene una palabra en la computadora del

sistema.

b) Seleccionar , cuando toma este valor se facilita el cálculo del número

posterior ya que solo se recorre el punto binario o decimal a la izquierda del número.

2. Selección de

El valor seleccionado de debe ser entero impar y además no debe ser divisible por 3 ni 5.

Sin embargo también se sugiere el siguiente criterio para seleccionar el valor de .

También se puede utilizar el valor de como:

Cuando se trabaja en el sistema binario y cuando se trabaja en el sistema

decimal. En ambos casos el valor de debe ser mayor o igual a .

3. Selección de


El valor para este parámetro puede ser cualquier constante para asegurar buenos

resultados, el valor de debe ser un entero impar y relativamente primo a .

4. Selección de

Para el congruencial mixto el valor de este parámetro resulta tener poca o ninguna

influencia sobre las propiedades estadísticas de la asociación de números.

Pruebas estadísticas para los números Pseudoaleatorios

Puesto que cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc.). Es

obtenido a partir de números uniformes [ ] se debe tener cuidado en las pruebas

estadísticas con respecto al generador de números pseudoaleatorios “ya que cualquier deficiencia

estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme se deberá exclusivamente a la

utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios por consiguiente indicaremos

algunas pruebas para probar la aleatoriedad de los números Pseudoaleatorios”.

1. Prueba de frecuencias

Probablemente una de las más importantes pruebas sobre aleatoriedad de los números

pseudoaleatorios es la prueba de frecuencias. Esta prueba consiste: en dividir el intervalo [ ] en

sub-intervalos para luego comparar para cada sub-intervalo la frecuencia

observada con la frecuencia esperada. Si las frecuencias son parecidas entonces la muestra

proviene de una distribución uniforme el estadístico que se utiliza en esta prueba es chi-cuadrado.

∑

El estadístico se compara con:

Si

Se acepta la hipótesis de que la muestra proviene de una distribución uniforme.

Ejemplo:

Considere los números Pseudoaleatorios y la muestra .

⁄ ⁄

⁄ ⁄

⁄


0 1

0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0

17 17 16 27 23

Comparando:

∑

Proviene de una distribución uniforme y se acepta la hipótesis.

Prueba de series


Se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre números sucesivos. Usualmente esta

prueba consiste en formar parejas de números. Las cuales son consideradas como coordenadas en

un cuadrado unitario dividido en:

En seguida se determina la celda a la que pertenece cada pareja ordenada con la cual se determina la frecuencia observada en

cada celda .

La frecuencia esperada de cada celda se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas

por el total de celdas finalmente conocida la frecuencia observada y esperada, de cada celda

se obtiene el estadístico.

∑∑( (

))

Si:

Si se verifica se acepta la hipótesis que los números aleatorios proviene de un a distribución

uniforme.

0 1/n’ 2/n’ n’-1/n’ 1.0…...

1/n’

2/n’

1.0...

1.0

0,80

0,60

0,40

0,20

0 0,20 0,40 0,60 0,80 1.0

6 1 6 5 5

5 3 6 6 5

1 3 1 5 7

3 3 4 2 4

2 2 25 6


∑∑(

)

∑∑( )

Prueba del poker

Examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorio en forma general. La forma

como esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a la vez y clasificándolos como par, 2 pares,

tercia, poker, quintilla, full y todos diferentes.

Lo anterior significa que los números pseudoaleatorios generados son: de 5 dígitos cada uno o

bien en caso de que el número tenga más de 5 dígitos solamente reconocerá los primeros 5.

Las probabilidades para cada una de las manos de poker posibles son:

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

Con las probabilidades anteriores y con los números aleatorios generados se puede calcular la

frecuencia esperada de cada frecuencia esperada de cada posible resultado. La cual al compararse

con la frecuencia observada produce el estadístico.


∑

Si

Ejemplo:

n=100 (para todos los ejemplos)

9 8,56

=> k=4

∑

Entonces:

Prueba de la distancia

Puede ser realizada de 2 maneras considerando los números pseudoaleatorios como dígitos o

considerando como números reales.

A) Como dígitos

Consiste en contar el número de dígitos que aparece entre las ocurrencias sucesivas de un

mismo digito por ejemplo: 0,58245 este tiene un hueco de tamaño 3 entre los cinco

dígitos.

Las probabilidades de cada uno de los tamaños del hueco está dado por:

NOTA: sin embargo como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de a un determinado valor de

tal sumatoria es:


∑

∑

∑

∑

∑

B) Considerando como números reales

Para realizar esta prueba es necesario seleccionar un intervalo A-B que sea subconjunto

(0,1) enseguida para cada número pseudoaleatorio generado se pregunta si pertenece al

intervalo (A-B).

Si

Ejemplo:

Hueco tamaño 3.

La distribución de probabilidad del hueco es:

∑

∑


Si

∑

∑

∑

1.00 ∑

Ejemplo:

0 0,3 5 32*0,3=9,6

1 1 32*0.21=6,72

2 7 32*0,147=4,704

3 4 32*0,1029=3,2928

4 3 32*0,07203=2,30496

5 3 32*0,05042=1,61344

6 0 32*0,03529=1,12928

7 0 32*0,02471=0,79072

8 0 32*0,01729=0,55328

9=n 9 ∑

32*0,01211=0,38752

0 0,3 5 9,6 2,20417

1 1 6,72 4,86881

2,3 11 7,9968 1,12785

15 6,7792 9,96896 ∑


Tema N°2

Generación de variables aleatorias

Son métodos que permiten obtener una relación entre los números Pseudoaleatorios y la

variable aleatoria .

1. Metodología de la transformada inversa

De acuerdo a Montecarlo utiliza la probabilidad acumulada de esta variable de la

siguiente manera.

1.0

r

X=?

F(x)

x

Probabilidad Acumulada

Ejemplo: para v.a. continua (distribución uniforme)

X

F(x)

xa b

H F(x)

Área =1

Entonces:

{

∫

∫

Luego:


Ejemplo:

F(x)

xa=2 b=4 v.a. Ejemplo: Aclaración: v.a. continúa distribución exponencial.

{

F(x)

xx0

λ

∫

∫

∫

[ ]

( )

∫

[ ]

0,19142 2,3828

0,62409 3,24818


Ejemplo: para el anterior ejemplo similar, valores de la v.a. x con

Ejemplo: v.a. discreta (distribución de Poisson)

0

0,0067

1

0,3369

2

0,0842

3

0,1404

4

0,1755

5

0,1755

6

0,1462

7

0,1044

Entonces:

Ejemplo: v.a. continua (distribución normal )


Area=r

Z

F(x)

Z

Ejemplo: generar valores de la v.a. con distribución normal y

Ejemplo: v.a. discreta

3 12

0,13

5 30

0,46

7 40

0,90

8 90

0,98

Ejemplo:

Ejemplo: v.a. continúa

t

r

3

1.0

0,9

r

0,6

8 t

r

13 z 18

t

3-8 0,6 0,6

8-13 0,3 0,9

13-18 0,1 1,0


2. Método del rechazo

Consiste en generar un valor de la variable aleatoria y enseguida probar que dicho valor simulado

proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando.

Para comprender la lógica de este método suponga que es una distribución de probabilidad

acotado y con rango finito es decir: de acuerdo a esta función de probabilidad la

aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

Paso 1. Generar dos números uniformes .

Paso 2. Determinar el valor de la v.a. de acuerdo a la siguiente relación lineal.

Paso 3. Evaluar la función de probabilidad en

Paso 4. Determinar si la siguiente desigualdad, se cumple:

Si la respuesta es afirmativa se utiliza a como un valor simulado de la variable

aleatoria de lo contrario es necesario pasar al Paso 1 tantas veces como se desee.

NOTA: por otra parte conviene señalar que si todas las fueran aceptadas entonces estaría uniformemente distribuida entre .

NOTA: finalmente es necesario mencionar que algunos autores han demostrado que el numero esperado de intentos para sea aceptada como una v.a. que sigue una distribución .


(Esto significa que este método podría ser un tanto ineficiente si la moda M es grande).

Ejemplo 1.

Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad.

{

Solución:

Paso 1.

Paso 2.

Paso 3.

Paso 4.

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