Prácticas Dirigidas 1

1

1

Operadores Matemáticos

Problema 1 Se define:

√𝑥 + 1 = 3𝑥 + 2

Calcular el valor de: 3

Problema 2

Se define: 𝑥 − 1 = 𝑥2 − 9; 𝑥 − 1 > 0

𝑎 ∗ 𝑏 = 9𝑏

Calcular: 225 ∗ 15

Problema 3

Se define: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∆ 𝑏

𝑎 ∆ 𝑏 =𝑎+𝑏

𝑎−𝑏; 𝑥 = 𝑥2 − 1

Calcular:

3 ∗ 2

Problema 4

Se define: 𝑥 = 𝑥2 + 1; 𝑥 > 0

𝑥 = 4𝑥2 + 1

Calcular: 𝐴 = 4 − 2 + 8

Problema 5

Se define: 𝑎𝑏 ∅ 𝑏𝑎 =𝑎−𝑏

2

Calcular: (√3 ∅ 1

8) + (81 ∅ 512)

Problema 6

Se define:

𝑥 − 2 = 3𝑥 + 2

2𝑥 − 1 = 6𝑥 + 2

Calcular: 𝐴 = 10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 … 𝑥 1

Problema 7

Se define: 𝑎 ⊗ 𝑏 =𝑎𝑏+𝑏𝑎

𝑎+𝑏; 𝑎 ≠ −𝑏

Halle el valor de:

𝐸 = (… (((1 ⊗ 1) ⊗ 2) ⊗ 3) … ⊗ 100)

Problema 8

Se define: 𝑛 = 𝑛2 − 1; 𝑛 > 0

Hallar “x” en:

𝑥−3

2 = 63

Problema 9

Se define: ∫ 𝑓(𝑥)𝑎

𝑏=

𝑥

2𝑎𝑏

Calcular:

∫ 𝒇(𝒏 + 𝟏)𝟏

𝟐+ ∫ 𝒇(𝒏 + 𝟏)

𝟐

𝟑+ ∫ 𝒇(𝒏 + 𝟏)

𝟑

𝟒+ ⋯ + ∫ 𝒇(𝒏 + 𝟏)

𝒏

𝒏+𝟏

Problema 10

Se definen las siguientes operaciones:

𝑎 ∅ 𝑏 = 𝑎𝑏𝑥𝑏𝑎

𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥

Si: 𝑥 ∅ 𝑦 = 256

Calcular: 𝑦 2 𝑥

Problema 11

Se define: 𝑓(𝑥2 + 1) = 𝑥 + 2

Calcule “x” en:

𝑓(… (𝑓(𝑓(𝑓(5) + 1) + 1) + 1) … ) = 𝑓(𝑓(𝑥))

Problema 12

Definimos los siguientes operadores:

𝑎 ⊛ 𝑏 = { 𝑎2√𝑏3, 𝑆𝑖 𝑎 ≠ 𝑏2𝑎 + 𝑏, 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏

𝑎 # 𝑏 = 𝑎2𝑏2

Cuál es el valor de:

𝑁 = [(1⊛1)⊛(√3⊛1)

4⊛4] #4

Prácticas Dirigidas 2

2

Problema 13

Si en la sucesión: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, …

Se tiene que: 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛

y además: 𝑎9 = 𝑎11 = 10

Hallar el valor de: 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6

Problema 14

Sabiendo que:

𝑛 = 𝑛2 − 1 ; 𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛

Calcular: 𝑥

Problema 15

De acuerdo a: 53 ∗ 24 = 26

12 ∗ 42 = 10

34 ∗ 62 = 30

Halle 𝑎 en: (𝑎5̅̅̅̅ ∗ 18) ∗ 59 = 73 ∗ 32

Problema 16

Se define:

(𝑎 ∗ 𝑏)2 = 𝑏 ∗ 𝑎; 𝑎 ∗ 𝑏 > 0

Calcule: 𝐴 = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ⋯ + 99 ∗ 100

Problema 17

Se define:

𝑥 ∗ 𝑦2 = 2(𝑦 ∗ 𝑥2) − 𝑥𝑦; ∀ 𝑥, 𝑦 > 0

Calcule: 2 ∗ 16

Problema 18

Si:

𝑛 = (5+3√5

10) (

1+√5

2)

𝑛

+ (5−3√5

10)(

1−√5

2)𝑛

Expresar:

𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 en función de 𝑛

Problema 19

Se define en ℕ la operación (∗)

𝑎 ∗𝑏

2= 2𝑎 + 𝑏 + 3

Marcar (V) o (F):

I. La operación es cerrada en ℕ

II. La operación es conmutativa

III. Su elemento neutro es 3

Problema 20 En el conjunto ℤ se define la operación (∗) con elemento neutro (identidad) 17. ¿Qué valor puede tomar n (entero) 17 ∗ [𝑛2 + 𝑛(𝑛 − 1)] = 153

Problema 21

Se define en 𝐴 = {1, 2, 3, 4} la operación (#)

# 1 2 3 4

2 1 2 3 4

1 4 1 2 3

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

Marcar verdadero (V) o falso (F):

I. Es cerrada en A

II. Su elemento neutro es 2

III. El inverso de 3 es 1.

IV. Es conmutativa

Problema 22

Sea 𝑥 un entero; 𝑥 > −2:

Si: 𝑥 = 𝑥3 + 1; 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥

Calcular el valor de 𝑎 + 5, si:

𝑎 = −7

Problema 23

Hallar el valor de: 6# ∆ (3# + 2#)

𝑥# = 𝑥2 − 𝑥 𝑦 𝑚 ∆ 𝑛 = 3𝑚 − 10𝑛 + 20

Problema 24

Si "∇"es un operador que transforma a y b según la

regla: 𝑎 ∇ 𝑏 = 𝑎! (𝑏 − 1)!

Calcular: 𝑎 ∇ 𝑏+𝑏 ∇ a

(𝑎−1) ∇ (𝑏−1)!

Problema 25

Si: 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑎 ⊕ 𝑏 = log2(𝑎 − 𝑏)

Hallar: (5 ⊗ 3)(3𝑎2⊕2𝑎2)

Problema 26

Se define: √𝑥 + 1 = 3𝑥 + 2

Calcula el valor de: 3

Prácticas Dirigidas 3

3

Problema 27

Se define la siguiente operación:

𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥; 𝑥 ∈ ℝ+

Determine el menor valor de n que satisface la ecuación:

𝑛2 + 𝑛 = 17290 Problema 28 Si:

2𝑥 = 𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥 − 1 = 2 𝑥 + 5 − 𝑥 + 3

Calcule: 12

Problema 29

Si: 𝑚𝑛 ∗ 𝑛𝑛 = 𝑛 ∆ 𝑚

𝑥𝑦 ∆ 𝑦𝑥 = 2𝑥 + 𝑦

Calcule: 𝐸 = (4 ∗ 1) + 318 ∗ 224

Problema 30

Se define:

𝑥 + 3 = 𝑥2(1 − 3𝑥) + (1 + 3𝑥2)𝑥; 𝑥 > 0

Calcular “n”:

𝑛 = 90

Problema 31

Si: 𝑛 𝑛 = 𝑛 + 2

𝑛 = 2

Hallar: 18

8!

Problema 32

Se define:

𝑎 ∗ 𝑏 = {(𝑎−𝑏)(−𝑏−𝑎); 𝑎 < 𝑏

(𝑎−𝑎)(−𝑏−𝑏); 𝑎 ≥ 𝑏

Hallar: (2 ∗ −2) − (−2 ∗ 2)

Problema 33

Si: 𝑝 ∗ 𝑞 = 4𝑝𝑝𝑝...

− 10𝑛

Siendo n el primer número compuesto impar. Halle:

1 ∆ [2 ∆ (3 ∆ (4 ∆ … ))]

Problema 34

Si: 𝑎 ∆ 𝑏 =𝑎2+𝑏2

𝑎−𝑏; 𝑎 > 𝑏

𝑎 ∆ 𝑏 =𝑎2+𝑏2

𝑎+𝑏; 𝑎 ≤ 𝑏

Además: 𝑚 ∆ 𝑛 =4

7 𝑦 𝑛 ∆ 𝑚 =

5

3

Halle: 𝑚

𝑛 sabiendo que 𝑚 < 𝑛

Problema 35

Se define la operación (∗) mediante la siguiente

tabla:

* 2 4 6 8

2 6 2 8 4

4 2 4 6 8

6 8 6 4 2

8 4 8 2 6

Calcule:

𝑀 =2∗6+8∗8+4∗2

8∗2+4∗4

Problema 36 Se define en 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} la operación ∗ mediante la

siguiente tabla:

* a b c d

a c d a b

b b c d a

c a b c d

d d a b c

Si: ((𝑏 ∗ 𝑐) ∗ 𝑥) ∗ 𝑎 = 𝑑

Calcule: 𝑀 = {(𝑎 ∗ 𝑥) ∗ (𝑐 ∗ 𝑑) ∗ 𝑥}

Problema 37 Dada la tabla adjunta definida por el operador

asterisco (∗)

* 2 5 8

2 8 5 2

5 5 2 8

8 3 8 5

Halle:

𝐸 =(2∗5)+(8∗2)

(8∗5)+(5∗2)

Prácticas Dirigidas 4

4

Problema 38 Se define ∗ en 𝐴 = {𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑟} mediante la siguiente

tabla:

* m n p q r

m p q m n r

n q p n r m

P m n p q r

q n r q p m

r r m r m p

¿Cuál o cuáles de los siguientes enunciados es

verdadero?

( ) [𝑚 ∗ (𝑥 ∗ 𝑞) ∗ 𝑝] = 𝑝; 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑚

( ) Se cumple la propiedad conmutativa

( ) Se cumple la propiedad de clausura

( ) El elemento neutro es m

Problema 39 Se define ∗ en el conjunto A = {a, b, c, d, e} mediante la

tabla siguiente:

* a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c d e a b c

d e a b c d

e d a b c e

Dadas las ecuaciones: 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑏 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑎 𝑥 ∗ 𝑧 = 𝑑 Halle: [(𝑥 ∗ 𝑑)(𝑦 ∗ 𝑒)(𝑧 ∗ 𝑐)]

Problema 40 Se define en 𝐴 = {1, 2, 3, 4}

* 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Calcular “x” en:

[(2−1 ∗ 3)−1 ∗ 𝑥−1] ∗ [(4−1 ∗ 2) ∗ 3]−1 ∗ 1

Problema 41 En el conjunto ℤ se define la operación (∗) con el

elemento identidad 7. ¿Qué valores puede tomar x?

7 ∗ (𝑥 − 6)(𝑥 − 2) = 21

Problema 42 Se define en ℕ

𝑎 ∗𝑏

2= 2𝑎 + 𝑏 + 3

Marcar verdadero o falso: I. La operación es cerrada II. La operación es conmutativa III. Su elemento neutro es -3

IV. El inverso de 2 es 1

2 en dicha operación

Problema 43 Se define en ℝ − {1}

𝑚 ∆ 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 + 𝑚𝑛

Marque verdadero o falso:

I. La operación es clausurativa

II. La operación no es cerrada

III. La operación es conmutativa

IV. La operación es asociativa

V. Su elemento neutro es 1

VI. 2−1 ∆ 3−1 =10

3 (𝑎−1 elemento inverso)

Problema 44 Se define en ℤ+ 𝑥 # 𝑦 = 2(𝑥 + 𝑦) + 2 I. La operación es cerrado II. No es asociativa

III. Su elemento neutro es 1

2

IV. No existe elemento inverso.

Problema 45 Se define en 𝐴 = {1, 2, 3, 4}

∆ 1 2 3 4

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

Hallar “x”

[(2−1 ∆ 3−1) ∆ 4] ∆ 1−1 = 𝑥−1 ∆ 2