Tema5b ud3
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Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: origen de f(x)
Histograma para 20 clases
-5 -3 -1 1 3 5 70
100
200
300
400
Histograma para 50 clases
-5 -3 -1 1 3 5 70
40
80
120
160
200
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO
X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]
f(x) =42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1
0 en otro caso
x0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
∫=<<3.0
2.0
5 dx x)-(1 x 42 0.3) X P(0.2
Probabilidades y Estadística I
Variable aleatoria continua
3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13)
b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua)
PROPIEDADES
Probabilidades y Estadística I
Variable aleatoria continua
3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13)
b) Representación integral: función de distribución, F(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)
PROPIEDADES
Probabilidades y Estadística I
Variable aleatoria continua
3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13)
b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
∫ ∞−=<
2.0 5 dx x)-(1 x 42 0.2) P(X
=
)2(F 0.2) P(X =≤
x0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 10 x <0
1 x ≥1
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a. (1/4)
1'
k
i ii
X f x=
=∑
Esperanza matemática (definición)
[ ] ( )x
E X xp x µ= =∑(caso discreto)
[ ] ( )E X xf x dx µ= =∫(caso discreto)
RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
PROPIEDAD [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +
Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a. (2/4)
Varianza (definición)
[ ] 2 2( ) ( )x
Var X x p xµ σ= − =∑(caso discreto)
[ ] 2 2( ) ( )Var X x f x dxµ σ= − =∫(caso discreto)
PROPIEDAD [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =
Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a. (3/4)
Mediana F(x) = ½
Moda Max f (x)
Percentiles F(x) = i/100
Cuartiles F(x) = i/4
GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Probabilidades y Estadística I
4. Medidas características de una v.a. (4/4)
rr E Xα =
Momento centrado en el origen
[ ]1 E Xα µ= =
Caso especial
Momento centrado en la media
( )rr E Xµ µ = − [ ]2 2
2 ( )E X Var Xµ µ σ = − = =
Caso especial
22 2 1µ α α= −
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I
5. Relaciones entre media y varianza
Desigualdad de Tchebychev
( ) ( )2 2
1 11P X k P X kk k
µ σ µ σ− > ≤ ⇔ − ≤ > −
( ) 2
11P k X kk
µ σ µ σ− ≤ ≤ + > −
Normalización de una v.a
X µσ−