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Conceptos básicos de la probabilidad

Eber Lenes Puello

Universidad del Sinú, Elías Bechara Zainúm

[email protected]

Eber Lenes (UCN) LXXXI ENCUENTRO SOMACHI Olmuhï¿½, 2012 1 / 16

EjemploSuponga que seis de cada 10 pacientes víctimas de una enfermedadse curan después de recibir cierto tratamiento. Es probable quehubiera ocurrida este porcentaje de cura sin que los pacienteshubieran recibido el tratamiento?

Probabilidad esquema


Definición

Probabilidad clásica: Si un evento puede ocurrir de N formas, lacuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m deestos eventos poseen una característica E , la probabilidad deocurrencia de E es igual a

P(E) =mn

DefiniciónProbabilidad de frecuencia relativa: Si algún proceso es repetido ungran número de veces, n, y si algún evento resultante con lacaracterística E ocurre m veces, la frecuencia relativa de ocurrenciade E , m

n , es aproximadamente igual a la probabilidad de E

P(E) =mn


DefiniciónProbabilidad clásica: Si un evento puede ocurrir de N formas, lacuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m deestos eventos poseen una característica E , la probabilidad deocurrencia de E es igual a

P(E) =mn

Definición

Probabilidad de frecuencia relativa: Si algún proceso es repetido ungran número de veces, n, y si algún evento resultante con lacaracterística E ocurre m veces, la frecuencia relativa de ocurrenciade E , m


P(E) =mn


DefiniciónProbabilidad clásica: Si un evento puede ocurrir de N formas, lacuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m deestos eventos poseen una característica E , la probabilidad deocurrencia de E es igual a

P(E) =mn

DefiniciónProbabilidad de frecuencia relativa: Si algún proceso es repetido ungran número de veces, n, y si algún evento resultante con lacaracterística E ocurre m veces, la frecuencia relativa de ocurrenciade E , m


P(E) =mn


Ejemplo (1)

Considere el experimento de lanzar un dado. Cuál es la probabilidadde obtener un número par en el lanzamiento del dado?

SoluciónResultados posibles e igualmente probables: {1,2,3,4,5,6}, n = 6

Característica: número par: {2,4,6}, m = 3, P(E) =36= 0.5

Ejemplo (2)Un jugador de beisbol consigue 30 hits en 100 turnos al bate. Cuál esla probabilidad de que alcance un hit en el siguiente turno al bate?

SoluciónResultados posible NO igualmente probables en el experimento: Hits,no Hits, el experimento admite repetición, n = 100, m = 30,P(E) = 30

100 = 0.3


Ejemplo (1)Considere el experimento de lanzar un dado. Cuál es la probabilidadde obtener un número par en el lanzamiento del dado?

Solución

Resultados posibles e igualmente probables: {1,2,3,4,5,6}, n = 6




100 = 0.3







100 = 0.3





Ejemplo (2)

Un jugador de beisbol consigue 30 hits en 100 turnos al bate. Cuál esla probabilidad de que alcance un hit en el siguiente turno al bate?


100 = 0.3






Solución

Resultados posible NO igualmente probables en el experimento: Hits,no Hits, el experimento admite repetición, n = 100, m = 30,P(E) = 30

100 = 0.3






SoluciónResultados posible NO igualmente probables en el experimento: Hits,no Hits,

el experimento admite repetición, n = 100, m = 30,P(E) = 30

100 = 0.3







100 = 0.3


Definición (3)

Probabilidad subjetiva: Este enfoque sotiene que la probabilidad midela confianza que un individuo tiene en la certeza de una proposicióndeterminada

La probabilidad es de un evento es un número entre cero y uno.

EjemploEn un articulo de revista Americans Journal of Drugs and AlcoholAbuse, Erikson y Murray afirman que las mujeres están consideradascomo un grupo con riesgo especial de adicción a la cocaína, y que sehabía sugerido que sus problemas con la cocaína son mayores que enlos hombres. Con base en esta revisión de textos especializados y enel análisis de los resultados de un estudio original, estosinvestigadores argumentan que no hay evidencia de que el uso decocaína en las mujeres exceda al de los hombres, o que el índice deuso crezca más rápido en comparación con el de los hombres, o queexperimenten más problemas.

Los sujetos de estudio de Erickson y Murray comprenden una muestrade 75 hombre y 36 mujeres. Los autores afirman que los individuosson una muestra bastante representativa de adictos típicos adultos sintratamentos ni encarcelados. La siguiente tabla muestra la frecuenciade uso de la cocaína en el tiempo de vida y el sexo de los individuos.Suponga que se escoge a uno de ellos aleatoriamente de entre lasmuestras. Qué probabilidad existe de que sea hombre?


Definición (3)Probabilidad subjetiva: Este enfoque sotiene que la probabilidad midela confianza que un individuo tiene en la certeza de una proposicióndeterminada

La probabilidad es de un evento es un número entre cero y uno.

EjemploEn un articulo de revista Americans Journal of Drugs and AlcoholAbuse, Erikson y Murray afirman que las mujeres están consideradascomo un grupo con riesgo especial de adicción a la cocaína, y que sehabía sugerido que sus problemas con la cocaína son mayores que enlos hombres. Con base en esta revisión de textos especializados y enel análisis de los resultados de un estudio original, estosinvestigadores argumentan que no hay evidencia de que el uso decocaína en las mujeres exceda al de los hombres, o que el índice deuso crezca más rápido en comparación con el de los hombres, o queexperimenten más problemas.

Los sujetos de estudio de Erickson y Murray comprenden una muestrade 75 hombre y 36 mujeres. Los autores afirman que los individuosson una muestra bastante representativa de adictos típicos adultos sintratamentos ni encarcelados. La siguiente tabla muestra la frecuenciade uso de la cocaína en el tiempo de vida y el sexo de los individuos.Suponga que se escoge a uno de ellos aleatoriamente de entre lasmuestras. Qué probabilidad existe de que sea hombre?


Ejemplo (1)Los sujetos de estudio de Erickson y Murray comprenden una muestrade 75 hombre y 36 mujeres. Los autores afirman que los individuosson una muestra bastante representativa de adictos típicos adultos sintratamentos ni encarcelados. La siguiente tabla muestra la frecuenciade uso de la cocaína en el tiempo de vida y el sexo de los individuos.Suponga que se escoge a uno de ellos aleatoriamente de entre lasmuestras. Qué probabilidad existe de que sea hombre?


Definición (4)

La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad deA ∩ B dividida entre la probabilidad de B siempre que la probabilidadde B sea diferente de cero.

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B),P(B) 6= 0

Ejemplo (5)Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los111 y se encuentra que es un individuo del sexo masculino (M). Cuáles la probabilidad de que este individuo haya consumido cocaína 100veces más durante su vida (C)? Cuál es la probabilidad de que esteindividuo haya consumido cocaína entre 1 y 19 veces?


Definición (4)La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad deA ∩ B dividida entre la probabilidad de B siempre que la probabilidadde B sea diferente de cero.

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B),P(B) 6= 0




P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B),P(B) 6= 0

Ejemplo (5)

Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los111 y se encuentra que es un individuo del sexo masculino (M). Cuáles la probabilidad de que este individuo haya consumido cocaína 100veces más durante su vida (C)? Cuál es la probabilidad de que esteindividuo haya consumido cocaína entre 1 y 19 veces?



P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B),P(B) 6= 0



Definición (3)

Probabilidad conjunta: Algunas veces la probabilidad de un individuoseleccionado aleatoriamente a partir de un grupo de individuos poseados características.

EjemploCuál es la probabilidad de que una persona seleccionadaaletoriamente de entre los 111 individuos sea del sexo masculino (M)y que sea una persona que consumió cocaína 100 veces o másdurante su tiempo de vida? Qué sea femenino y que haya consumidococaína 100 veces o más?


Definición (3)Probabilidad conjunta: Algunas veces la probabilidad de un individuoseleccionado aleatoriamente a partir de un grupo de individuos poseados características.




Ejemplo

Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionadaaletoriamente de entre los 111 individuos sea del sexo masculino (M)y que sea una persona que consumió cocaína 100 veces o másdurante su tiempo de vida? Qué sea femenino y que haya consumidococaína 100 veces o más?


Definición

Dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra el evento A, elevento A o ambos a la vez es igual a la probabilidad del evento A másla probabilidad del evento B, menos la probabilidad de que ocurransimultáneamente.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Ejemplo (4)Si se escoge aleatoriamente a una persona de los 111 individuosrepresentados en el ejemplo anterior. Cúal es la probabilidad de queesa persona sea del sexo masculino (M) o de que haya consumidococaína 100 veces o más durante su tiempo de vida (C)?


DefiniciónDados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra el evento A, elevento A o ambos a la vez es igual a la probabilidad del evento A másla probabilidad del evento B, menos la probabilidad de que ocurransimultáneamente.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)




P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Ejemplo (4)

Si se escoge aleatoriamente a una persona de los 111 individuosrepresentados en el ejemplo anterior. Cúal es la probabilidad de queesa persona sea del sexo masculino (M) o de que haya consumidococaína 100 veces o más durante su tiempo de vida (C)?



P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)



Definición (5.1)

Eventos complentarios: La probabilidad del evento A es igual a 1menos la probabilidad de su complemento, que se escribe como Ac , y

P(Ac) = 1− P(A)

SoluciónSuponga que de 1200 admisiones al hospital general durate ciertoperiodo, 750 son admisiones privadas. Si se designa a éste comoconjunto A, entonces Ac es igual a 450. P(A) = 750/1200 = 0.625,P(Ac) = 450/1200 = 0.375, P(Ac) = 1− P(A)


Definición (5.1)Eventos complentarios: La probabilidad del evento A es igual a 1menos la probabilidad de su complemento, que se escribe como Ac , y

P(Ac) = 1− P(A)

SoluciónSuponga que de 1200 admisiones al hospital general durate ciertoperiodo, 750 son admisiones privadas. Si se designa a éste comoconjunto A, entonces Ac es igual a 450. P(A) = 750/1200 = 0.625,P(Ac) = 450/1200 = 0.375, P(Ac) = 1− P(A)


Definición (5.2)

La sensibilidad de una prueba (o sintoma) es la probabilidad de unresultado positivo de la prueba (presencia o ausencia del sintoma)dada la presencia de la enfermedad

DefiniciónLa especifidad de una prueba (o sintoma) es la probabilidad de unresultado negativo de la prueba (o ausencia del sintoma) dada laausencia de la enfermedad

DefiniciónEl valor que predice la positivividad de una prueba de detección (osintoma) es la probabilidad de que un individuo tenga enfermedad,dado que el individuo presenta un resultado positivo en la prueba dedetección (presenta sintoma)


Definición (5.2)La sensibilidad de una prueba (o sintoma) es la probabilidad de unresultado positivo de la prueba (presencia o ausencia del sintoma)dada la presencia de la enfermedad





Definición

La especifidad de una prueba (o sintoma) es la probabilidad de unresultado negativo de la prueba (o ausencia del sintoma) dada laausencia de la enfermedad





Definición

El valor que predice la positivividad de una prueba de detección (osintoma) es la probabilidad de que un individuo tenga enfermedad,dado que el individuo presenta un resultado positivo en la prueba dedetección (presenta sintoma)


Definición

El valor que predice la negatividad de la prueba de detección (osintoma) es la probabilidad de que el individuo no tenga laenfermedad, dado que el resultado de la prueba de detección esnegativo (es decir no presenta sintoma).

Teorema(Teorema de Bayes) Para obtener la estimación de los valores depredicción se utiliza el teorema de Bayes,

P(D/T ) =P(T/D)P(D)

P(T/D)P(D) + P(T/Dc)P(Dc)


DefiniciónEl valor que predice la negatividad de la prueba de detección (osintoma) es la probabilidad de que el individuo no tenga laenfermedad, dado que el resultado de la prueba de detección esnegativo (es decir no presenta sintoma).


P(D/T ) =P(T/D)P(D)




Teorema

(Teorema de Bayes) Para obtener la estimación de los valores depredicción se utiliza el teorema de Bayes,

P(D/T ) =P(T/D)P(D)





P(D/T ) =P(T/D)P(D)



Ejemplo

Un equipo de investigación médica pretende evaluar una prueba dedetección propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba sebasa en una muestra aleatoria de 450 enfermos y en otra muestraaleatoria independiente de 500 pacientes que no presentan sintomasde la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una poblaciónde individuos con edades 65 años o más. Con esos datos estime: Lasensibilidad, la especificidad, el valor que precide la positividad, elvalor que precide la negatividad.


EjemploUn equipo de investigación médica pretende evaluar una prueba dedetección propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba sebasa en una muestra aleatoria de 450 enfermos y en otra muestraaleatoria independiente de 500 pacientes que no presentan sintomasde la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una poblaciónde individuos con edades 65 años o más. Con esos datos estime: Lasensibilidad, la especificidad, el valor que precide la positividad, elvalor que precide la negatividad.


EjemploSupongamos que f : N→ N, toma los siguientes valores:

1 7→ 2, 2 7→ 1, 3 7→ 4, 4 7→ 5, 5 7→ 2, . . .

con

p1 = 3i , p2 = 1, p3 = −4, p4 = 1 + i , p5 = 1− 2i , . . .

es decir, su matriz ponderada es:

A =

0 1 0 0 03i 0 0 0 1− 2i0 0 0 0 00 0 −4 0 00 0 0 1 + i 0


Ejemplo

Q =

1−i√

6−1+i√

6i3 0 1

9

−1 −1 0 i3 0

0 0 0 0 −3−i40

0 0 0 3+i10 0

0 0 1+2i5 0 0

,

J(A) = Q−1AQ =

−√

62 (1 + i) 0 0 0 0

0√

62 (1 + i) 0 0 0

0 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0

.


Bibliografï¿½a

H. Nina, R. L. Soto, D. S. Carfdoso, The Jordan canonical form fora class of matrices weighted graphs, (Por aparecer en LinearAlgebra and its Applications)(2012)

D.A. Cardon, B Tuckfield, The Jordan canonical form for a class ofzero-one matrices, Linear Algebra and its Applications 435 (2011)2942-2954

Gracias...


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