Tensiones en tubos de pared delgada

Supongamos:

Tubo de longitud indefinida

: radio interior

: espesor de la pared;

: presión interior

Por suponer la longitud grande, podemos admitirque la deformación específica longitudinal esnula o constante.

: Tensión radial : varía a lo largo del espesor

de la pared. En el borde interno y en elborde externo .

ire

ip

l

r

ire

ir p0r

e

e

: Tensión circunferencial: También varía entre

ambos bordes. Por ser sus valores extremos varían poco y puede admitirse para esta tensión una distribución uniforme en el espesor de la pared.

El valor de es grande con relación a y por ende, también es mayor a . Ésta última podrá despreciarse entonces sin mayor error y el problema se desarrollará suponiendo sólo las tensiones circunferenciales uniformemente distribuidas en el espesor.

tire

t ip

r

Determinación de las tensiones circunferencialesVamos a considerar dos secciones normales al tubo, separadas por

una distancia unitaria. Supongamos ahora la misma cortada por el plano diametral 1-2. Sobre cada una de las secciones 1-2, de espesor y profundidad 1, actuarán fuerzas resultantes Y. e

1)

Las fuerzas Y deberán equilibrar a la resultante R de los efectos de la presión sobre la superficie interior del conducto.

Si es una longitud elemental de la superficie interior, sobre el área actuará una fuerza elemental:

Las componentes según los ejes coordenados z,y serán:

Y si tengo en cuenta que reemplazando resulta:

eY t

ip

ds1ds

dspdP i

dssenpdPsendP iz

dspdPdP iy coscos

drds i

dsenrpdP iiz

drpdP iiy cos

El equilibrio del semiconducto exige que la suma de las proyecciones sobre ambos ejes de las fuerzas actuantes sean nulas, o sea:

La primera de las ecuaciones se satisface, por cuanto la integral es nula.

En cuanto a la segunda, como y son constantes, puede escribirse:

O también, integrando y simplificando:

02

2

dsenrp ii

0cos22

2

drpY ii

ipir

2

02cos2

Ydrp ii

iiii rpsenrpY 2

0

Finalmente, reemplazando Y por su valor en la ecuación 1) y despejando :

2)

Esta última expresión confirma la hipótesis de partida, es decir, el poder prescindir de las tensiones radiales , despreciándolas por su reducido valor frente a . En efecto, recordemos que el máximo valor de es y que, de acuerdo con 2) el valor de

resulta de afectar al de con un coeficiente, muy grande, por ser mucho mayor que por hipótesis.

La fórmula 2) es de verificación por cuanto permite, conocidas las dimensiones del conducto y la presión que lo solicita, calcular la tensión circunferencial y establecer si su valor es inferior a la tensión admisible para el material del conducto, es decir, si:

t

e

rp iit

rt

r ip

tip eri

ir e

t

admii

te

rp

Dicha expresión nos permite también proyectar el conducto, es decir, dado el radio y la presión interiores, determinar el espesor de su pared. La fórmula del cálculo es, en este caso, la siguiente:

Las tensiones son siempre positivas (tracción) cuando las origina una presión interior, y negativas (compresión) cuando la presión es exterior.

e

adm

iirpe

t

Deformaciones radial y circunferencial en un conducto de pared delgada

De acuerdo con la Ley de Hooke, la deformación específica circunferencial será:

Y el aumento de longitud del desarrollo de la sección del conducto:

Para este aumento de longitud, corresponde también un incremento del radio:

Y la correspondiente deformación específica radial será:

Ee

rp

E

iitt

tirs 2

tii rs

r

2

t

i

ir

r

r

Así, las deformaciones radial y tangencial en un tubo de pared delgada son entonces iguales en valor y signo, que será positivo cuando las mismas estén originadas por una presión interior , y negativo cuando la presión actúe sobre la superficie exterior del conducto, comprimiéndolo.

Tensiones en conductos cerradosCuando tenemos un cilindro cerrado en sus extremos y sujeto a una

presión interior , las fórmulas deducidas para los conductos abiertos son aplicables para secciones alejadas de los extremos, para las cuales, de acuerdo con el Principio de Saint Venant, desaparece el efecto de la perturbación de borde originada por los cierres extremos. Para las secciones cercanas a los extremos, es necesario tener en cuenta momentos flexores que originan tensiones de flexión, pero cuya determinación escapa de nuestro alcance. Por otra parte, la perturbación de borde impide la libre deformación radial del cilindro en las secciones extremas lo que hace inaplicables las fórmulas anteriores.

Para las secciones alejadas de los extremos teníamos que son aplicables las fórmulas que dan los valores de y . Pero la existencia de los cierres extremos sobre los que actúa también la presión , origina tensiones longitudinales uniformemente distribuidas sobre el área de la sección transversal del conducto.

ip

trt

ip l

La fuerza resultante q actúa sobre los cierres extremos es:

Y el área de la sección transversal del conducto sobre la que se reparte uniformemente la fuerza R es aproximadamente:

Entonces la tensión longitudinal valdrá:

Observemos que :

o sea que, para el dimensionado, es siempre determinante la tensión circunferencial.

2

ii rpR

erF i2

er

rp

i

iil

2

2

e

rp i

il2

tl 21