CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

La descripción de los movimientos del cuerpo rígido es necesaria para: a)Determinar la geometría del diseño del mecanismo y las fuerzas que se desarrollan. b)Tener un conocimiento claro para generar, transmitir, gobernar y/o modificar ciertos movimientos, empleando levas, engranajes, transmisiones y mecanismos. .

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

En este nuevo capitulo utilizaremos como base los conocimientos del análisis del de movimiento de una partícula con respecto a otra y la teoría general sobre Polos de Velocidades (Centro Instantáneo de Rotación o Velocidad Nula) y sobre centro instantáneo de aceleración nula.

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO EN EL PLANO

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO EN EL PLANO

•TRASLACION PURA: Característica :

A.Traslación Pura Rectilínea: Característica:

B. Traslación Pura Curvilínea : Características:

• B.ROTACION PURA: Característica:

C. TRASLACION + ROTACION (Movimiento General)

En ese instante:

𝜔 ≠ 𝜔𝑇

𝛼 ≠ 𝛼𝑇

A

B

A. Tenemos cuatro métodos de calculo para determinar velocidades: 1.- Método vectorial 2.- Método grafico 3.- Método de equiproyectividad 4.- Método del Centro Instantáneo de Rotación B. Para el calculo de aceleraciones se tienen dos métodos: 1.- Método vectorial 2.- Método grafico

METODOS DE CALCULO EN CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

METODO I: Método Vectorial (Clásico) Características para un cuerpo rígido en 2D 1.Siempre el sistema móvil estaré solidario (soldado) al cuerpo rígido en A.

METODO PARA EL CALCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES

B

Conclusión: Para el cuerpo rígido:

Se cumple para cuerpos rígidos en 2D y 3 D Idénticamente para aceleraciones; de la ecuación

general:

(Se cumple para cuerpos rígidos en 2D y 3D)

En el plano:

Esta ultima ecuación solo se cumple para cuerpos rígidos en 2D

B/A B/A / /( ) 2B A CR CR CR CR relB A relB Aa a R R v a

PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: 1.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) 2.- La velocidad lineal del punto C.(m/s) 3.- la aceleración angular de la barra BC.(rad/s2) 4.- La aceleración lineal del punto C.(m/s2) 5.- Si la velocidad angular cambiara en 5 rad/s en el mismo sentido, cual seria la velocidad lineal del punto C.(m/s)

1.- 13,3333 rad/s 2.- 53,333 m/s 3.- -91,8518 rad/s2 4.- -2234,074 m/s2

Método II:

Método Gráfico Velocidades :

Aceleraciones:

Método III: Sólo calculo de velocidades (válido en 2D y 3D) Método de Equiproyectividad:

PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: La velocidad lineal del punto C.(m/s)

Método IV:

Sólo calculo de velocidades (valido en 2D)

Método del Centro Instantáneo de Rotación (CIR) o Polo de Velocidad Nula:

Cuando un cuerpo esta sujeto a un movimiento Plano General, en cualquier instante las velocidades de las partículas, tendrán el mismo valor, que las que tendrían si el cuerpo o placa estuviese girando con respecto a un eje perpendicular al plano de ellos. Este eje intercepta al plano en un punto C (que en ese instante carece de velocidad).

En cada instante existe por lo menos un punto que no esta en movimiento (Polo de velocidad cero).

Se debe conocer por lo menos dos direcciones de las velocidades y se trazan las respectivas perpendiculares, la intersección da o viene a ser el centro instantáneo C. Nota: El centro instantáneo de rotación puede estar dentro o fuera del cuerpo que gira.

En general durante el movimiento en cada instante, existirá un nuevo centro instantáneo; al lugar geométrico de estos nuevos centros a

través del tiempo se le denomina Centrodo.

DETERMINACION GEOMETRICA DEL CENTRO INSTANTANEO DE

ROTACION

PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular anti horaria de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 20 rad/s2. Determine: 1.- La velocidad lineal del punto C.(m/s) 2.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s)

PROBLEMA 2 En el mecanismo, la barra AB se mueve con 30 rad/s y 10 rad/s2 ambos en sentido horario, cuando = 60, determine: 1.- La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) 2.- La velocidad angular del disco.(rad/s) 3.- La aceleración angular de la barra BC.(rad/s2) 4.- La aceleración angular del disco.(rad/s2)

PROBLEMA 3 En el mecanismo, el eslabón C se mueve hacia abajo con la rapidez y la aceleración que se indica, para el instante mostrado, determine: 1.- La velocidad angular de la barra AB.(rad/s) 2.- La aceleración angular de la barra AB.(rad/s2) 3.- La aceleración angular de la barra CB.(rad/s2)

ANALISIS DE CUERPOS RODANTES

𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2

𝜌1 + 𝜌2𝑒 𝑛

ANALISIS DE CUERPOS RODANTES

𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2

𝜌1 + 𝜌2𝑒 𝑛

Cuando las superficies son cóncavo – convexo:

𝒆 𝒏

𝒂𝑷𝟐

𝑎 𝑃2 =𝜔22𝜌1𝜌2

𝜌1 − 𝜌2𝑒 𝑛

Los científicos estudian el mundo tal como es, los ingenieros crean el mundo que nunca ha existido. Theodore Von Karman

𝑎 𝑂 = 𝛼. 𝑟𝑖

𝑎 𝑂 = 𝛼. 𝑟𝑢

𝒖

𝒖

𝒖

O O

O

𝒂𝑶

𝒂𝑶

𝒂𝑶 Tomar consideración en cinética de Cuerpos rígidos.

PROBLEMA 1

El disco de la figura, rueda sobre la superficie curva fija a Tierra. La barra gira a 10 rad/s y 5 rad/s2 en dirección horaria. En el piñón, el punto C es periférico (el segmento CB es horizontal y forma un ángulo de 37º con la dirección de la barra AB). Determine:

1.- La magnitud de la velocidad del punto C.(m/s)

2.- La magnitud de la aceleración del punto C.(m/s2)

PROBLEMA 2

La rueda gira sin patinar sobre la superficie horizontal. En la posición mostrada,

la velocidad angular de la rueda es = 10K (rad/s) y una aceleración angular =

6K (rad/s2). Explique en forma breve y clara:

6.- La hipótesis que planteará para resolver el problema.

Determine:

7. La velocidad angular de la barra AB.(rad/s).

8. La velocidad del eslabón B.(m/s)

9. La aceleración angular de la barra AB.(rad/s2)

10. La aceleración del eslabón B.(m/s2)

PROBLEMA 3

La rueda dentada grande esta

fija. La barra AB tiene una

velocidad angular antihoraria de

2 rad/s y una aceleración angular

en el mismo sentido de 4 rad/s2.

Determine:

1.- La velocidad angular de la

barra CD.(rad/s)

2.- La velocidad angular de la

barra DE.(rad/s)

3.- La aceleración angular de la

barra CD.(rad/s2)

4.- La aceleración angular de la

barra DE.(cm/s2)

5.- La aceleración lineal del punto

D.(cm/s2)

1.- 3 rad/sd 2.- 2 rad/s 3.- 22,9642 rad/s2 4.- 31,1428 rad/s2

En el mecanismo, el engranaje 2 gira alrededor de O2 y se mueve con w =8 rad/s constante y el engranaje 3 rueda sobre 2 sin deslizar. Para el instante indicado, calcule:

1. La velocidad angular de la barra . 2. La velocidad angular del engranaje 3 3. La magnitud de la velocidad del punto B. 4. La aceleración angular de la barra . 5. La aceleración angular del engranaje 3. 6. La aceleración angular relativa del engranaje 3 respecto de 2.

Hallando ángulos correspondientes al triangulo

Por Vectores:

Igualando:

Por ley de cosenos en el Triángulo

CALCULO DE LAS VELOCIDADES:

• En

•En el Engranaje 2

+

• En el Engranaje 3

+

• En la barra

• Igualando I y II :

•Reemplazando en la ecuación II :

=

CALCULO DE LAS ACELERACIONES:

• En

•En el Engranaje 2

• En el Engranaje 3

+

• En la barra

• Igualando III y IV :

• ACELERACIONES

Ponemos mentalmente en reposo absoluto al engranaje 2:

Nº RESPUESTAS Unidades

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En el mecanismo mostrado la barra AB se mueve con ω1=10 rad/s y α1= 5 rad/s2 en sentido horario, calcule:

• La velocidad angular relativa de la barra CD respecto de la rueda. (rad/s)

• La velocidad del eslabón D. (cm/s) • La aceleración angular relativa de la barra CD respecto de

la rueda (rad/s) • La aceleración del eslabón D. (cm/s2)

•Primero con ayuda de los poderosos vectores hallamos la distancia QP que es también la distancia del radio de la rueda 2, así mismo calculamos el valor de h. •Luego hallamos fácilmente la velocidad de B, pues esta velocidad nos ayudará a hallar la rapidez angular de 2 tomando como sistema móvil en el punto Q, observando tenemos que Q es conocida y es cero. •Hallada la rapidez angular de 2, hallamos la velocidad de C. •Siguiendo ponemos un sistema móvil en C y hacemos la ecuación de velocidad para D respecto de C, así se tendrá 2 ecuaciones independientes con dos incógnitas estas son rapidez angular de 3 y la magnitud de velocidad de D pues su dirección es conocida. •Terminado el análisis de Velocidades pasamos al análisis de aceleraciones que es un procedimiento similar.

•Hallamos de forma rápida la aceleración de B usando la aceleración de la barra AB, esta aceleración va a ser la misma si la hallamos respecto a Q, así podemos igualar y hallar la aceleración angular de 2. Ojo que acá hay un detalle la aceleración de Q “NO ES CERO”, tiene un valor, esta es igual a la aceleración del punto Q respecto del punto P, pero no hay que preocuparse y sabemos que esta aceleración la hallamos con ayuda de los radios de curvatura y la velocidad angular de 2 respecto de 1, pero 1 es fijo. •Ahora si seguimos y con la aceleración angular de 2, hallamos la aceleración de C. •Por último ponemos nuestro sistema en el punto C, y hacemos la ecuación de aceleración de D respecto de este sistema C, tendremos nuevamente 2 ecuaciones y 2 incógnitas que son la aceleración angular de 3 y la magnitud de la aceleración del punto D pues nuevamente su dirección es conocida.

cmh

cmQB

hQBQB

CBZCAZAB

3893.20

.20

:oResolviend

966.1410355.45º45cos30º45cos30

jiji

ji

jijik

5533.3535533.353

5533.3535533.3533553.353553.3510

0

/1

/1

B

AB

A

ABAB

V

r

V

rVV

25

1421.141421.145533.3535533.353

:anterior resultado el con Igualando

1421.141421.141421.141421.14

0

2

22

222/2

/2

jiji

jijik

B

QB

pQ

QBQB

V

r

VV

rVV

ji

jijik

ji

5533.6036116.20

250165.3749666.141025

5533.3535533.353

/2

/2

C

BC

B

BCBC

V

r

V

rVV

8244.0

2872.628

tenemos Igualando

30252530

5533.6036116.20

3

333/3

/3

D

CD

C

DD

CDCD

V

r

V

VV

rVV

jijik

ji

j

ji

jiji

jijik

3106.37127572.3358

53.353553.35353553.353553.3510

7765.1767765.1763553.353553.355

0

2

/

2

1

/1

/

2

1/1

B

AB

AB

A

ABABAB

a

r

r

a

rraa

5.12

:tenemos Igualando

1421.145339.35351421.145339.3535

8347.88388347.8838

1421.141421.141421.141421.14

3008.53033008.5303

3008.53033008.5303

7071.07071.03020

302025

0

2

22

/

2

2

222/2

2

/

/

21

21

2

2/

/

/

2

2/2

ji

ji

jijik

ji

ji

ji

B

QB

QB

Q

AB

ABQrelP

P

QrelPPQ

QBQBQB

a

r

r

a

r

ra

a

aaa

rraa

ji

ji

jijik

ji

8327.551684.9795

1434.93546250

1250828.1879666.14105.12

3106.37127572.3358

/

2

2

/2

/

2

2/2

C

BC

BC

B

BCBCBC

a

r

r

a

rraa

5927.6279

6483.392

:resulta Igualando

9744.163692.20

30252530

8327.551684.9795

3

/

2

3

333/3

/

2

3/3

D

CD

CD

C

DD

CDCDCD

a

r

r

a

aa

rraa

ji

jijik

ji

j

2

2

2

2

Nº RESPUESTA UNIDADES

07. 24.1756 rad/s

08. 628.2872 cm/s

09. 392.6483 rad/s2

10. 6279.5928 cm/s2

“La mas larga caminata

comienza con un paso”