Teoría de Exponentes
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ejercicios resueltos de potenciacion
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am. an = am+n
am.bm = (a.b)m
TEORA DE EXPONENTES
Es un conjunto de frmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones algebraicas de un solo trmino, cuando entre estas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicacin, divisin, potenciacin
y radicacin en un nmero limitado de veces. Sus principales leyes sobre el campo de los nmeros reales son:
I. MULTIPLICACIN DE BASES IGUALES
; m, n
II. MULTIPLICACIN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL
EXPONENTE
; m
III. DIVISIN DE BASES IGUALES
nm
n
m
aa
a a 0 m
IV. DIVISIN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE
m
m
m
b
a
b
a
b 0 m
V. POTENCIA DE POTENCIA
n.mnm aa ; m, n
NOTA: n.mm aa
n
nmm )a(an
VI. EXPONENTE NEGATIVO
;a
b
b
amm
a 0 b 0
NOTA: a - m =
ma
1
VII. EXPONENTE CERO (a 0)
a0 = 1
NOTA.- 00 es indeterminado
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VIII. RAIZ DE UNA POTENCIA
;aa nm
n m m, n / n 0
i) nq
n
p
n
mn qpm cbacba
ii) nn
1
aa
IX. MULTIPLICACIN DE RADICALES HOMOGENEOS
nnn abba ; n / n 0
X. DIVISIN DE RADICALES HOMOGENEOS
nn
n
b
a
b
a n / n 0
XI. POTENCIACIN DE UN RADICAL
n mppn m aa ; m, n, p, /n 0
XII. RADICAL DE RADICAL
mnpm n p aa ; m, n, p,
XIII. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES
mk Knm n )a(a ;
m, n, k, /mk 0
EJERC.1. Simplificar:
E = 42
63212
)a(
)a()a(
Solucin:
Como, (a m) n = a mn
E = 8
1824
a
a.a
EJERCICIOS
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De las frmulas (I) y (II):
E = a24-18-(-8); con lo cual
E = a 14 (Rpta).
EJERC. 2: Efectuar:
S =
2
32
3
3223
abab
abba
Solucin:
Teniendo en cuenta la frmula
( ( ( am ) n ap ) q ar ) s = a ( ( mn+ p ) q+r)s
obtenemos:
S = 148
2121
2)13x2(2)13x1(
3)32x2(3)12x3(
ba
ba
ba
ba
S = a21-8 b21-14 S = a13 b7 (Rpta.)
EJERC. 3.- Dar el valor simplificado de
E = 3 3 1616 radicales........xx
Solucin:
Escribiendo un radical ms, se tendra
E =
E
3 3 1616 radicales........xx
E = 3 16 Ex
Elevando el cubo, los dos miembros de la igualdad:
E3 =
3
3 16 Ex E3 = x16 E
Simplificando
163
xE
E E2 = x16 E = x8 (Rpta)
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EJERC. 4.- Simplificar la expresin
1b b
bb
1b bb2 3
24
2 3
aK
Solucin: Transformando a un solo radical y a un solo exponente:
)1b(b)1b( )bb)(bb(232 243
aK
expresando convenientemente
)1b(b)1b( )1b(b)1b(b232222
aK
Siendo el exponente igual al ndice del radical K = a (Rpta)
6
7x2
3
1x5
4
2x3
Solucin:
Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:
3 ( 3x-2 ) 4 ( 5x1 ) = 2 ( 2x-7 ) 9x 6 - 20x + 4 = 4x - 14
Simplificando: -11x-2 = 4x-14
-15x = -12
de donde: 15
12x x =
5
4 (Rpta)
03. Resolver la ecuacin literal
b
a
b
b2x
a
a2xa
bx
b
ax
Solucin:
En las fracciones, siendo el mcm (b, a, a, b) = ab; se tendra
b
a
)b2x(a)a2x(b
)bx(b)ax(a
Operando y reduciendo:
b
a
ab2axab2bx
abxaax 22
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Obtenemos
b
a
x)ba(
)ba)(ba(x)ba(
b
a
x)ba(
)ba(x)ba( 22
Cancelando: (a-b)
axb)ba(bxb
a
x
)ba(x
(b-a)x=ab+b2 ab
babx
2
(Rpta)
04. Qu valor de x satisface a la ecuacin:
x5
2x1
43
25
3x
1x1
43
25
Solucin:
Debe tenerse en cuenta que los trminos que son iguales en los dos miembros de la ecuacin se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con 4 y 1 con 1; quedando:
x5
2x
3x
1x
o lo que es lo mismo:
5x
2x
3x
1x
Por proporciones X2 5x-x+5=x2-2x-3x+6
Simplificando:
-x+5=6 x = -1 (Rpta)
05. Resolver:
2
3
ax5ax5
ax5ax5
Solucin:
Haciendo el cambio de variable:
nax5
max5
la ecuacin se transforma en:
n3m3n2m22
3
nm
nm
5n = m
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Volviendo a la variable original
ax5ax55
Elevando al cuadrado; se obtiene 25(5x-a) = 5x+a
125x-25a = 5x+a
120 x = 26a
De donde: x=60
a13 (Rpta)
06. Calcular x en la ecuacin:
2
2
2
7x
3x
10x6x
50x14x
Solucin: Transformando el exponente negativo en positivo y desarrollando el
cuadrado del binomio obtenemos:
9x6x
49x14x
10x6x
50x14x2
2
2
2
haciendo el cambio de variable
x2-14x+49 = a x2+6x+9=b tendramos:
b
a
1b
1a ab+b=ab+a
de donde: b = a : x2+6x+9 = x2-14x+49
20x=40
X = 2 (Rpta)
