www.lanzarotecaliente.comTEORIA DE JUEGOS-APLICACIN EN UN MODELO MATEMTICO PARA LA PRODUCCIN REGIONALProf. Antonio Mahave-Prof. Carmen Rescala- Prof. Mafalda Parisi de VignauIntroduccinEl temaquetraemosaestasJornadasescontinuacindel iniciadoel ao pasado, sobre TEORIA DE JUEGOS, disciplina de la que hemos hecho una descripcin, y cuyos orgenes fueron comentados.Los conceptos ya tratados de teora de las decisiones, juegos con estrategias puras o mixtas,juegos que tienen punto de silla, criterio del maximin o mnimax,nos servirn de punto de partida, para desarrollar ahora el mtodo de solucin de un juego sin punto de silla. Comenzamos este curso con un breve repaso, preguntndonos QU ES UN JUEGO? La contestacin espontnea es la que nos dice que pueden identificarse varios tipos de juegos:los juegos de mesa, los juegos de cartas, los juegos deportivos y losvideojuegos. RoyGARDNERensulibroJUEGOSPARAEMPRESARIOSYECONOMISTAS afirma que todos los juegos tienen caractersticas comunes, lasque detalla as:1) todos los juegos tienen reglas,2) en todo juego la estrategia es importante,3) en todo juego existe un resultado,4) el resultado del juego depende de la interdependencia estratgica.Combinando las caractersticas dadas se puede definir un juego como cualquier situacin gobernada por reglas con un resultado bien definido caracterizado por una interdependencia estratgicaEn la realidad se dan situaciones que no son juegos, si tomamos el sentido estricto de la palabra, pero sin embargo presentan todas las caractersticas deun juegoPodemosconsiderar un juego la competencia entre empresas que luchan para ganar un sector de mercado, incrementar sus ventas, optimizar sus utilidades y minimizar sus costos. Las empresas actan sujetas a reglas que regulan lo que pueden o nohacer, (esas reglas sonel ordenamientodelas leyes ypolticas fiscales), susresultadosson observables, ( el incremento de sus utilidades se detalla en los estados contables, en la parte demercado que manejan), tienen sus propias estrategias, ( las estrategias o cursos de accin planificados por unaempresa alcanzana los precios, ala calidaddel producto, alas relaciones con los proveedores, a la poltica laboral, a la poltica de ventas, a la comercializacin, etc.) y lo que es ms importante, sus resultados dependen de las estrategias 2de sus adversarios y de quin juegue mejor el movimiento de las mismas. Este juego es el juego empresarial y forma parte de los que ms adelante tratamos.Sin necesidad de ser un juego entre empresas, existennegociacioneseconmicas que poseen las caractersticas de un juego, por ejemplo las que realizan el Poder Ejecutivo y las Centrales Obreras, o el Ministerio de Educacin y los Gremios Docentes, etc. Y los polticos, no juegan acaso?. Durante sus campaas, cules son sus reglas?. Ellos tambin juegan sus estrategias frente a una eleccin y el resultado depende de quien haya usado las mejoresy las haya jugado de la mejor manera.Es la TEORA DE JUEGOSla ciencia que estudia los juegos con el rigor necesario para resolverlos.La Teora de Juegos, al igual que otros conceptos matemticos,comenz por sermatemticaaplicada, yhoyes unaformade razonamiento tilpara quienes tienenla importante tarea de tomar decisiones. La Teora de Juegos nos sirve para trabajar de una manera mejor, porque nos da la posibilidad de reconocer las estrategias decisivas en la toma de decisiones, a la vez que nos permite analizar la forma en que juega sus estrategias nuestro competidor. Elconocer la Teora de Juegoscontribuye a que sepamos evaluar de manera ms crtica los cambios que se producen en la conduccin de nuestras organizaciones, lo que nos hace mejores economistas y directivos ms capaces.Teora de la UtilidadLos Juegos pueden ser jugados con informacin perfecta o con informacin imperfecta. Un juego tiene informacin perfecta si cada jugador tiene informacin perfecta, es decir si conoce exactamente lo que ocurre cada vez que tiene que tomar una decisin. Un juego en el que los jugadores no conocen exactamente lo que ocurre cada vez que van a tomar una decisines de informacin imperfecta y para tratarlos es necesario el concepto de utilidad.Hemos manifestado permanentemente que la Teora de Juegos colabora en la toma de decisiones de un jugador, pero para saber sobre qu vamos a decidir, tenemos que saber qu queremos. Y lo que queremos est en funcin de la utilidad que pueda tener. Por ejemplo, qu aceptamos?, un trabajo seguro de $1.000 o un negocio en el que tenemos la probabilidad del40 % deun xito de $ 5.000?. Los jugadores de mayores recursos estn dispuestos a arriesgar sumas altas en un juego que proporciona grandes ventajas econmicas, yestogeneralmentelosvuelvemsricos, lospobres, frentealamismaopcintal vez rechacen la posibilidad, aunque ambos tengan los mismos deseos. La riqueza de una persona afecta la actitud de sta frente al riesgo.Antes de tomar decisiones en un juego, se deben tener en cuenta los objetivos de los jugadores y la estructura del juego. Quien toma las decisiones lo hace luego de que el jugador haexpuestosus preferencias. Parael tericodejuegos el problema resideen encontrar unmedio, unaformaparainterpretar correctamentelas actitudes del jugador. Cmohacerparainterpretarloqueesde naturaleza subjetiva?.Ese es elobjetivo de la TeoradelaUtilidad, encontrarlamaneradeasignarunnmeroquereflejeel nivel de utilidad o de atractivo de un objeto.3MortonD. DAVIS, ensulibroINTRODUCCINALATEORIADE JUEGOS, establece que para encontrar una funcin de utilidad que refleje cuantitativamente las preferencias de un jugador, se tienen que cumplir seis condiciones: 1)todas las cosas son comparables, 2)laspreferenciaseindiferenciassontransitivas, 3)unjugadorpermanece indiferente cuando en una rifa se sustituyen los premios por otros equivalentes, 4) un jugador searriesgarsiemprequelas oportunidades queseleofrezcanseanlosuficientemente buenas, 5) cuanto mayor sea la probabilidad de conseguir el premio preferido, mejor ser la rifa,6) a los jugadores slo les importa en una rifa el premio final y las posibilidades de obtenerlo y no el mecanismo utilizado en el sorteo.Cmo se construye una funcin de utilidad R A U : ?Enunjuegoconinformacin imperfecta,el olos jugadores debenrealizar comparaciones dedistribuciones de probabilidad, comparando las distribuciones de probabilidaddedistintasacciones, paradeterminarcul eslaquelesproporcionamayor utilidad.Cuantomscercaestunadistribucindeprobabilidaddeser laptima, mayor ser la utilidad esperada. La utilidad esperada, es una utilidad medible, que se obtiene atravsdeunafuncin, llamadafuncindeutilidad, laqueparaciertadistribucinde probabilidades otorga como imagen un nmero real. Toda funcin de utilidad es indicativa de una relacin de preferencia.Lafuncindeutilidadesunacuantificacindelaspreferenciasdeunapersonacon relacin a ciertas cosas.VonNeumannyMorgenstern establecen quela utilidadasignadaauna distribucin de probabilidad en la Teora de Juegos recibe el nombre de utilidad esperada. Dados tres bienes,a , b, c,y siendo sus probabilidadesp(a), p(b)y p(c),llamaremospal vector de probabilidades p(p(a), p(b), p(c)).La utilidad establece una relacin de preferencia, por la cual decimos: ) ( ) ( ) ( c u b u a u > >, entonces la utilidad esperada es: UE(p) = u(a) p(a) + u(b) p(b) + u(c) p(c)En un ejemplo observamos cmo se determina la utilidad esperada: Antonio concurreaunainmobiliariaporquedesea comprar unacasa, le ofrecen tres viviendas diferentes, A, B y C,cuyosprecios son: $100.000, $90.000 y $80.000 , en cualquier caso la compra se realizar con un prstamo hipotecario por el valor total de la casa. En la plaza bancaria existen las siguientes probabilidades de que le otorguenun prstamo, p($100.000) = 51,p($90.000) = 103, p($80.000) = 21.El vector,_

21,103,51p cuyas componentes son no negativas y sumadas dan 1, es una distribucin de probabilidad.Antonio asigna utilidades a las posibles compras y opina que la utilidad que le dar la compra de la casa tipo A es superior a la del tipo B y ambas superiores a la del tipo C. 4Estolopodemosexpresarcomo: ( ) ( ) ( ) 000 . 80 000 . 90 000 . 100 u u u > > yquelautilidades igual al valor de la casa. La utilidad esperada de la distribucin de probabilidad p es : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )000 . 87 000 . 40 000 . 27 000 . 20 000 . 8021000 . 90103000 . 10051000 . 80 000 . 80 $ 000 . 90 000 . 90 $ 000 . 100 000 . 100 $ + + + + + + ppUEUE u p u p u pResulta que por ser 90.000 el valor ms prximo a la utilidad esperada, su mejor opcin es comprar la casa de este valor.Conseguir el crdito?Un jugador juega con informacin imperfecta si, en el momento de tomar una decisin, noconoceexactamentedndeseencuentraenel juego. Debidoafuerzasque escapan a su control, fuerzas a las que llamamos AZAR, el jugador juega a ciegas.En el siguiente ejemplo presentamos un juego de informacin imperfecta en el que uno de los jugadores es el azar.JUEGOSEMBRAR O NO SEMBRARJuego SEMBRAR O NO SEMBRAR , es un juego cuyos jugadores son el azar (Jugador I), y Alberto, un agricultor que tiene 100 hectreas para cultivo,(Jugador II). Sirepresentamosgrficamente, alprincipiodel juego, enel nodoaencontramosalazar, (Jugador I), las ramas que parten de a representan las dos direcciones que puede tomar el azar, llamadas probabilidades buenas, p(b) yprobabilidades malas, p(m), referidas a las condiciones buenas o malas que pueden darse ante una cosecha. Elazarjuegaprimero, porlotantolainformacinquetieneel JugadorII cuando toca su turno es imperfecta, l no sabe qu hizo el azar. As lo refleja el grfico, ya que existen dos nodos b ym en el sitio que le corresponde al Jugador II, y l no sabe en cul est, slo conoce las probabilidades con las que se llegan a esos nodos. No obstante tiene que tomar una decisin, la de si sembrar o no, representada por las ramas sembrar y no sembrar que partendelosnodosby m. Sembrar es siempre un riesgo,si las condiciones le son favorables, esdecirsisedap(b)entonces la cosecha ser prspera,la pregunta es cun buenas fueron las condiciones? Esa medida viene dada por p(b). Si las condiciones para la 5siembra fueron malas, es decir si se da p(m), entonces la siembra fracasar, la pregunta es cun malas fueron las condiciones? Esa medida viene dada por p(m).Alberto(Jugador II) tiene $ 6.000 para invertir enla cosecha, si no siembra conserva su capital, si siembra y las circunstancias son buenas, gana $ 15.000, si las circunstancias le son adversas la cosecha fracasar, y su ganancia sernula. sembrar(15.000) bno sembrar p(b)(6.000) I a II p(m)sembrar (0)mno sembrar

(6.000) En el grfico la rama llamada sembrar que sale del nodo b conduce a la mejor de las ganancias, la que sale del nodo m, conduce a la peor ganancia. Las dos ramas llamadas no sembrar llevan a conservar el capital de Alberto, ya que decide no invertirlo en la siembra.Si p(b) = 0,4y p(m) = 0,6Alberto se pregunta Qu es preferible? Tener con certeza $6.000 o$15.000 con una probabilidad de 0,4 o $0 con una probabilidad de 0,6 ?. Surge as la comparacin entre una cifra cierta y una distribucin de probabilidad, comparacin que se resuelve con la utilidad esperada. Sembrar o no sembrar? Todo depende de las utilidades que el jugador II le asigne a las cantidades ciertas6.000,15.000 y0 pesos. ( ) d d u es la funcin de utilidad de AlbertoPara Alberto la utilidad del dinero es el dinero, entonces,( ) 000 . 6 000 . 6 u( sta es la utilidad de no sembrar)y la utilidad esperada de sembrar para la distribucin de probabilidaddada es:( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )000 . 60 6 , 0 000 . 15 4 , 00 000 . 6+ + SEMBRARSEMBRARSEMBRARUEUEUE u m p u b pEn este caso a Alberto le es indiferente sembrar o no sembrar. 6Sin embargo, todo depende de la actitud que el jugador II tenga ante el riesgo. El jugador puede ser averso al riesgo, neutral al riesgo o amante del riesgo.Estas tres actitudes frenteal riesgoseidentificanconlacurvaturadela funcinutilidaddel dineroseguroqueposeeel jugador,u(d) =d.Slolos jugadores neutrales ante el riesgo tienen funciones de utilidad lineales, y presentan sus ganancias en pesoscomoutilidades. Losjugadoresqueseubicanenlasotrasdosactitudesfrenteal riesgo,transforman los pesos a medidas diferentes con transformaciones no lineales. El jugadoraversoalriesgotieneunafuncinde utilidadcncavay un jugador amante del riesgo tiene una funcin de utilidad convexa.Si la funcin utilidad es:( )'0 log0 n si dn sindunCuando1 n , el jugador II es neutral al riesgo y le da igual sembrar o no sembrar. Si ddd u es n n 221) (, 5 , 0 ejemplo por, 121 n , por ejemplo 2) (, 22dd u es n , la funcin es convexa y representa la actitud de un jugador amante del riesgo.El parmetro es n, a mayor valor del parmetro, menos averso al riesgo es el jugador II. Si transformamos las ganancias de pesos a utilidad, y nuestro jugador II, Alberto, es averso al riesgo, entonces ser :( ) 21) 000 . 15 .( 2 000 . 15 u 244,95 la utilidad esperada de sembrar para la distribucin de probabilidad dada es:( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )97,980 6 , 0 95 , 244 4 , 00 000 . 15+ + SEMBRARSEMBRARSEMBRARUEUEUE u m p u b pla utilidad esperada de no sembrar para la distribucin de probabilidad dada es:( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )154,9292 , 154 6 , 0 92 , 154 4 , 0000 . 6 000 . 6+ + SEMBRAR noSEMBRAR noSEMBRAR noUEUEUE u m p u b pEn este caso al Jugador II le es ms conveniente no sembrar.Pero sucede que Alberto es amante del riesgo y decide sembrar, si tomamos2 ny transformamos las ganancias de pesos a utilidades, 7( )( )0 112.500.002000 . 15000 . 152 ula utilidad esperada de sembrar para la distribucin de probabilidad dada es:( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )000 . 000 . 450 6 , 0 0 112.500.00 4 , 00 000 . 15+ + SEMBRARSEMBRARSEMBRARUEUEUE u m p u b pla utilidad esperada de no sembrar para la distribucin de probabilidad dada es:( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )18.000.000000 . 000 . 18 6 , 0 000 . 000 . 18 4 , 0000 . 6 000 . 6+ + SEMBRAR noSEMBRAR noSEMBRAR noUEUEUE u m p u b pPara este Jugador, amante del riesgo es mucho ms ventajoso sembrar que no sembrar, ya que al sembrar obtiene gran cantidad del tan deseado riesgo.Sea cual fuere la manera de ordenar las preferencias para una distribucin de probabilidades, siempresecumpleconel criteriodelas dominancias yaexpuestocon anterioridad.Estrategias MixtasUna estrategia que noinvolucra al azar se llamaestrategia purayes completamentedeterminista, estohacequelaconductadel jugador seapredecible. Una estrategia mixta incluye el azar, las usa el jugador que no quiere ser predecible. Matemticamente, una estrategia mixta es una distribucin de probabilidadsobreestrategiaspuras.En el cuadernillo editado para las XIVJornadas se desarroll el temaJuegos con Estrategias Mixtas y se resolvi analtica y grficamente un ejercicio. Recuperemos aqu la teora que vamos a necesitar:Si el juego no tiene punto de silla, la Teora de Juegos aconseja a cada jugador asignaruna distribucin de probabilidad sobre el conjunto de sus estrategias, las que dejan de llamarse estrategias puras para llamarse estrategias mixtas.Al no existir punto de silla, las estrategias puras maximin y minimax dejan de ser ptimas y el juego es inestable. Los jugadores buscarn otras estrategias que puedan mejorar sus pagos. Los valores que representan las probabilidades son no negativos y sumados dan uno. En el caso de las dominancias las filas y columnas eliminadas se juegan con probabilidad cero.Sean las estrategias mixtas: ,...m , coni giai,la estrate rIuseel jugado dad de que probabili i x2 1

,...n , conj egiaj, la estrat rIIuse el jugado dad de que probabili j y2 1 m y n son el nmero de estrategias disponibles de los JUGADORES I y II respectivamente.Entonces: i, j y x ,y xnjjmii j i 1 11 08En el siguiente cuadro matricial se representa en forma terica la matriz de pago para un juego con estrategias mixtas.JUGADOR IIJUGADOR Iy1 y2 ... yj ... ynx1 a11 a12 ... a1j ... a1nx2 a21 a22 ... a2j ... a2n. . . . .. . . . .. . . . .xi ai1 ai2 ... aij ... ain. . . . .. . . . .. . . . .xm am1 am2 ... amj ... amn;'

,_

mimimiixina ... ,ixia , ixia mnixmx1 1 1

2 1= maximin =v .;'

,_

njnjnjjymja ,..jyja , jyjajymin1 1 12 1mx = minimax= v.Se llega a la solucin ptima cuandov v .Cuando lasj,yixcorresponden a la solucin ptima,los dos valores se igualan y son iguales al valor esperado del juego. Usaremos la siguiente simbologa para los ptimos: * * *, , v y xj i, entonces el valor esperado es: minjj i ijy x a v1 1* ** Con programacin lineal, consideramos las estrategias mixtas ptimas del JUGADOR I : ;'

,_

mimimiixina ... ,ixia , ixia1 1 1

2 1mn mxsujeto a las restriccionesm i xx x xim, ... , 2 , 1 01 ...2 1 + + +v, el valor del juego es:v= ,_

mimimiixina ... ,ixia , ixia1 1 1

2 1mnLuego el modelo es: maximizarz = v(funcin objetivo)sujeto a n j con v x amii ij,..., 2 , 11 (restricciones) 11miix 0 ixpara todai9 Las restricciones son:1 x . . . . . ........... .......... .......... .......... .......... . . . . . .m 2 12 2 1 12 2 22 1 121 2 21 1 11 + + + + + + + + + + + +x xv x a x a x av x a x a x av x a x a x am mn n nm mm mSiv 0dividimos todaslasrestricciones porv, siv