Teoría de exponentes

CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellas, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.

REPRESENTACIÓN: An = (AxAxAxAx...xA) “n” veces

Producto de bases iguales El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes

A m x A n = A m + n

Ejemplo:

92 x 93 = 92+3 = 95

Exponente cero Origen:

El exponente cero “0” proviene de dividir potencias iguales de la misma base. Asi,

a2 ÷ a2 = a2-2 = a0 x5 ÷ x5 = x5-5 = x0

INTERPRETACION DEL EXPONENTE “0”Toda cantidad elevada a cero “0” vale 1.Decimos que:

a0 = 1

En efecto: Según las leyes de la división, [an ÷ an = an-n = a0], y otra parte, como toda cantidad dividida por si misma es igual a 1, se tiene [an ÷ an = 1].

Entonces: dos cosas (a0 y 1). Iguales a una tercera (an ÷ an) son iguales entre si.

Exponente fraccionario Origen:

El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división y se origina el exponente fraccionario.

Así:

INTERPRETACION DEL EXPONENTE FRACCIONARIOToda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente.Decimos que:

Exponente negativo Origen:

El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor. Asi,

INTERPRETACION DEL EXPONENTE NEGATIVOToda cantidad elevada a, un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador, la misma cantidad con el exponente positivo.Decimos que,

PASAR LOS FACTORES DEL NUMERADOR DE UNA EXPRESION AL DENOMINADOR O VICEVERSA

Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo al exponente.

En la igualdad (1) vemos que los factores a-2 y b-3 están en el numerador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al denominador del segundo miembro con exponentes positivos y los factores x-4 e y-5 que están en el denominador del primer miembro con exponentes negativos, pasan al numerador del segundo con exponentes positivos.En la igualdad (2) vemos que los factores x4 e y5 están en el numerador del primer miembro con exponentes positivos, pasan al denominador del segundo miembro, con exponentes negativos y los factores a2 y b3 que están en el denominador del primer miembro con exponentes positivos, pasan al numerador del segundo con exponentes negativos.

Cocientes de bases igualesLa división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes

VI. PRODUCTO DE BASES DIFERENTES E IGUALES POTENCIAS Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente.

VII. COCIENTES DE BASES DIFERENTES E IGUAL POTENCIA Un cociente elevado a un exponente; cada término se eleva a ese exponente.

Potencia de potenciaLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. así se obtiene esta potencia

VIII. EXPONENTE NEGATIVO DE UN COCIENTE Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.

IX. PRODUCTO DE RADICALES HOMOGÉNEOS

X. COCIENTE DE RADICALES HOMOGÉNEOS

XI. POTENCIA DE UN RADICAL

XII. RADICAL DE RADICAL