TERCER AVANCE DE EXPOSICIN.27 DE SEPTIEMBRE DE 2013.

INTRODUCCIN:

El tomo de hidrogeno ha sido el ms investigado y estudiado experimental y tericamente puesto que es el ms simple de los elementos que ha servido como gua en el tratamiento de otros tomos con ms electrones y resuelve de manera exacta la ecuacin de Schrdinger.Para analizar el tomo de hidrogeno se considera como un sistema de dos partculas, un ncleo (constituido por un protn) y un electrn en rbita que gira en torno a este, separados una distancia r y suponiendo cargas puntuales. Respecto a lo dicho anteriormente es necesario un anlisis para ambas partculas lo que conlleva a dos trminos de energa cintica, adems se debe tener en cuenta la energa potencial de atraccin elctrica entre estas.El operador de energa cintica ser: Para el protn= con el laplaciano igual a .Para el electrn= con el laplaciano igual a Mientras que la energa potencial ser la misma planteada por el modelo de Bohr, es decir Por tanto la energa total que acta en el tomo de hidrogeno ser ET= ECe + ECp +EP, por tanto introduciendo lo anterior a la ecuacin de Schrdinger tenemos el hamiltoniano modelo:

De acuerdo a esta ecuacin, segn el mismo Schrdinger es ms sencillo utilizar un sistema de coordenadas polares esfricas pues permite dar una solucin ms simple y conforma la funcin de onda electrnica que es de gran inters para la qumica debido a que los mayores responsables de la naturaleza y razn del enlace qumico son los electrones y es til para comprender el comportamiento de estos en los tomos y su influencia en el enlace qumico. Que expresada en coordenadas esfricas se obtiene:

Donde es la masa reducida del sistema electrn-ncleo, E es la energa electrnica (Que contiene la energa cintica y potencial del tomo) y 2 como el laplaciano que se expresa en funcin de coordenadas esfricas polares cuya solucin no es sencilla ya que se presenta como una ecuacin diferencial en varias variables re expresando la ecuacin como:

Por tanto en forma general, la funcin de onda electrnica se representa como el producto de tres funciones, cada una dependiente de una sola de las coordenadas esfricas polares, de la siguiente forma:

Parte radialParte angular

Como interpretacin general de la parte angular de la funcin de onda, la ecuacin tiene soluciones de la forma donde , A es una constante de integracin cuyo valor se escoge al normalizar y m es una constate introducida al separar la ecuacin diferencial cuyo valor debe ser entero ya que al demostrar que se cumple se da la condicin de que la funcin de onda tiene solucin nica. A diferencia, la ecuacin es ms difcil de visualizar y resolver debido a que tiene una solucin complicada de , cabe resaltar que en dicha solucin se genera una constante l de separacin y el entero m de la solucin . La parte radial R(r) va a depender de los nmeros cunticos n y l es decir Rnl(r) la cual se va analizar con ms detalle a continuacin.PARTE RADIAL DE LA FUNCIN DE ONDA DEL TOMO DE HIDRGENO:Como su propio nombre lo indica es la parte de la funcin de onda que depende solo del radio, es decir la parte del orbital que depende de la distancia del electrn al ncleo. Por tanto resulta posible extraer detalles del comportamiento del electrn, tales como la densidad de probabilidad y valores precisos o promedios de variables, como la distancia al ncleo de este mismo.Para darle una solucin a la ecuacin electrnica, se determinan condiciones de frontera de acuerdo a las posibles suposiciones que conducen a la cuantizacin de la energa y la aparicin de nmeros cunticos, en el caso de la parte radial R(r) la condicin de frontera se refiere a que la probabilidad de encontrar un electrn muy lejos del ncleo debe ser cero , y que al aplicarla en la ecuacin introduce el nmero cuntico n y (Rn,(r)) teniendo en cuenta que n1 y =0,1,2...n-1

Al establecer las anteriores condiciones de frontera los niveles de energa permitidos resultan ser: La cual solo va a depender del numero cuntico n; As como tambin estn permitidos todos los niveles de energa positivos cuyo anlisis se describe en la siguiente grfica.

Al reconocer que la energa para un tomo de hidrogeno viene dada por la expresin anterior podemos observar que dicho resultado es idntico al que se obtuvo con el mtodo de Bohr ya que representa de manera exacta la distancia ms probable que tendra un electrn en la primera orbita n=1 cuya energa es mnima. As mismo vemos que la energa es independiente de los nmeros cunticos y m. Esta expresin de Schrdinger coincide con la de Borh e indica que la mecnica cuntica hace las mismas predicciones acertadas sobre el espectro electrnico del tomo de hidrogeno, por tanto si la masa reducida de la cantidad a definida en la expresin anterior es remplazada por la masa del electrn se obtiene el radio de Bohr ao.

En vista de dificultad de caracterizar las funciones de la ecuacin, se presenta continuacin una tabla en donde podemos observar las primeras funciones de onda especificadas por el valor de los nmeros cunticos n y l teniendo en cuenta nRn, (r)

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Al analizar la parte radial es posible extraer informacin importante acerca de la probabilidad para el electrn, como los valores precisos o promedio de variables como la distancia al ncleo, la energa cintica, etc. En primer orden, se estudia la densidad de probabilidad como el cuadrado de la funcin de onda de la siguiente forma:

Que de igual forma es imposible analizar la funcin para las tres coordenadas puesto que no resulta simple y al graficarla serian necesarios cuatro ejes (tres para las coordenadas y uno para los valores que tome la funcin) por tanto al estudiar la parte radial de la misma lo hacemos desde un enfoque ms bsico.Detallar la funcin de onda para n=1 y l=0 que es aquella que tiene el menor valor de energa electrnica y por tanto corresponde al estado basal del tomo de hidrogeno. Para determinar la densidad de probabilidad en este estado, se toma el cuadrado de dicha funcin siendo esto:

La cual establece que la densidad de probabilidad es la misma, independientemente de y , para cada valor de r. Por tanto es posible realizar una grfica representativa de la variacin entre la densidad de probabilidad para la posicin del electrn en el orbital 1s como funcin de la variable r.

De acuerdo a la cual podemos analizar que la densidad de probabilidad disminuye conforme aumenta la distancia al ncleo, expresndola de la siguiente manera:

Es decir Debido a su naturaleza, el electrn no tiene una posicin precisa en cada momento. Por lo tanto, lo que podemos conocer de l es la densidad de probabilidad de hallarlo en cada punto del espacio en una forma ms sencilla si consideramos un pequeo volumen, es posible suponer que (r,,) es prcticamente constante e igual para todos los puntos en este volumen. Concluyendo que la densidad de probabilidad tiene una relacin inversamente proporcional respecto a la distancia al ncleo r, ya que esta disminuye conforme aumenta el radio.Una descripcin mejor de la distribucin radial de los orbitales electrnicos es la que se consigue mediante la funcin de distribucin radial o densidad radial de probabilidad al representar las probabilidades de encontrar el electrn en un elemento diferencial de capa esfrica es decir, a distancia electrn ncleo est comprendida entre r y r + dr por tanto, la probabilidad buscada se encuentra multiplicando por el volumen de la capa delgada V. Donde (dr)2 y (dr)3 son despreciables. Por consiguiente:

Por tanto, siendo 1s (r) la funcin de distribucin radial

La cual puede interpretarse como la probabilidad de que el electrn de encuentre en una capa esfrica por unidad de intervalo de distancia al ncleo. Al igual que la densidad de probabilidad, la densidad radial de probabilidad tambin podemos representarla mediante una grfica en funcin de r (en Angstroms) dada por la siguiente expresin:

En la cual se determina la probabilidad de que el electrn se encuentre en una capa delgada; al aumentar r, el volumen de la capa delgada aumenta y unido a este una disminucin de da un mximo en P(r r + dr) para un valor de r {0, }, ntese que la funcin de distribucin radial es cero en el ncleo por que el volumen de la capa delgada es cero aqu.Segn el modelo de Bohr, el electrn giraba en torno al ncleo a una distancia fija de 0.529 A, el modelo de la mecnica cuntica indica que este valor es solo donde se maximiza la densidad radial de probabilidad. Con el fin de no confundir la densidad de probabilidad (total) con la densidad radial de probabilidad es necesario generar un cuadro comparativo donde se mencionen brevemente sus diferencias:

Densidad de probabilidadDensidad radial de probabilidad

Se refiere a la probabilidad por unidad de volumen Se refiere a la probabilidad por unidad de distancia al ncleo.

Es la probabilidad de que el electrn se encuentre en un pequeo cubito colocado en el punto de coordenadas (r,,) con volumen V.Es la probabilidad de que un electrn se encuentre en una capa esfrica de radio r y espesor muy pequeo r.

Tiene su mximo para r=0Es igual a 0 para r=0

Por ltimo podemos interpretar la funcin de radial, teniendo en cuenta que la densidad de probabilidad solo es esfricamente simtrica para los orbitales tipo s, y lo tratado anteriormente, presentamos las grficas de Rn,l (r) y la densidad de probabilidad es decir su cuadrado de la siguiente forma.

Esta grfica nos ayuda a dar una mejor percepcin del cambio y comportamiento de las ecuaciones ya expresadas, en este caso se muestran las graficas en la izquierda para Rn,0 (r) y continua el cuadrado de la misma que especifican el nmero cuntico n variable, mientras que l es constate y cero es decir igual a s; en las que podemos ver que todas las funciones s tienen valores diferentes a 0 en el ncleo (r=0), lo cual las caracteriza y que el valor que toman sobre el ncleo decrece conforme n crece. Adems observamos que para el orbital 1s no se dan nodos mientras que para el 2s y 3s se dan uno y dos nodos respectivamente eso permite generalizar que el nmero de nodos de una funcin radial tipo s resulta ser n-1. Recordando que los nodos indican que en estos puntos a cierta distancia del ncleo la densidad de probabilidad es nula. Para una mayor claridad y generalizacin, es posible realizar el mimo caso anterior pero variando tambin el nmero cuntico l para p y d, como:En las que observamos una caracterstica conjunta de que todas estas funciones la densidad de probabilidad es nula sobre el ncleo y que de igual forma que las funciones s tienen un comportamiento similar respecto a los nodos, por tanto es posible concluir que en general el numero de nodos de cualquier funcin Rn,l (r) resulta ser n-l-1, tambin se considera posible afirmar que el valor mximo de la densidad de probabilidad ocurre en el origen para las funciones s, mientras que para las p y d se tiene cierta distancia al ncleo, ello debe dar caractersticas diferentes a los tomos de hidrogeno donde el electrn ocupe uno u otro tipo de orbitales. Y adems que conforme crece el nmero cuntico n, la parte radial se extiende dando una interpretacin de que se debe a que su energa es mayor, lo que concierne al punto de retorno clsico tratado en la anterior exposicin.