Controlabilidad de sistemas dinmicos no lineales acoplados

por

Diego Alejandro Muoz Durango

Trabajo presentado como requisito parcialpara optar al Ttulo de

Magister en Matemticas

Directora: Margarita Toro VillegasCo-director: Hernn lvarez Zapata

Universidad Nacional de ColombiaSede Medelln

Facultad de Ciencias

Posgrado de Matemticas

Marzo 2007

Este trabajo ha sido apoyado parcialmente por la Fundacin MAZDA para el Arte y la

Ciencia y por el proyecto COLCIENCIAS No 1118-05-13631.

ii

Resumen

En este trabajo se aborda el estudio de la propiedad de controlabilidad y la descomposicinen estados controlables/no controlables de los sistemas dinmicos de control anes con la en-trada, con el n de aproximarnos al anlisis de los sistemas acoplados en lo que concierne a estapropiedad. En el caso de los sistemas lineales se presentan los resultados ms relevantes conrespecto a la controlabilidad. En el caso no lineal se dene una versin local de esta propiedadque se llama accesibilidad local. Se muestra adems que esta versin local coincide con lo desa-rrollado en los sistemas lineales cuando es aplicada a estos sistemas. En el trabajo con sistemasde control anes con la entrada, se tiene un algoritmo que proporciona la manera de vericarla accesibilidad local. Basados en estos resultados se propone una metodologa que permitevericar la accesibilidad de los sistemas dinmicos acoplados. Finalmente dicha metodologaes aplicada a un proceso qumico en particular, para el cual se realiza un modelo matemticobasado en leyes de conservacin, que permite vericar la accesibilidad local de cada uno de losequipos involucrados y se analiza de manera global el sistema acoplado.

iii

Contenido

Introduccin VIII

1. Conceptos bsicos 11.1. Campos Vectoriales y Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Sistemas de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. lgebras de Lie de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Distribuciones y Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Deniciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2. Co-distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3. Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Controlabilidad de sistemas de control anes con la entrada 182.1. Controlabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1. Propiedades y criterio de controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2. Descomposicin de sistemas de control lineales . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Controlabilidad de los sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Propiedades y criterio de controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2. Descomposicin de sistemas de control no lineales . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3. Algoritmo para generar la distribucin de accesibilidad local . . . . . . . 34

2.2.4. Ejemplo: Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Aproximacin a la vericacin de la controlabilidad de los sistemas dinmicosacoplados 363.1. Metodologa para vericar la controlabilidad de los sistemas dinmicos acoplados 37

3.2. Aplicacin de la metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Modelamiento matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1.1. Sistema I: Intercambiador de calor (IC) . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1.2. Sistema II: Separador Flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2. Vericacin de la controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

iv

3.2.2.1. Sistema I: Intercambiador de calor (IC) . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2.2. Sistema II: Separador Flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.3. Anlisis completo: sistemas acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ApndiceA. Desarrollo del modelo matemtico para el proceso de separacin de amonaco-agua 50

Sistema I: Intercambiador de calor (IC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Sistema II: Separador Flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Bibliografa 56

v

Lista de Figuras

1-1. a) Espacio Tangente TpM: b) Campo vectorial en M . . . . . . . . . . . . . . 2

1-2. Flujo de un campo vectorial f: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2-1. Subconjunto alcanzable con u = 0 y efecto de la entrada u . . . . . . . . . . . . . 25

2-2. Conjunto alcanzable desde x0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2-3. Supercies suaves ddimensionales y los estados alcanzables en el tiempo T: . . . 33

3-1. Diagrama de ujo del proceso de separacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3-2. Sistemas a analizar del proceso de separacin de Amonaco-Agua. . . . . . . . . . 39

3-3. Subvariedad de puntos alcanzables para el reactor con condiciones iniciales F (0) =

2gl ; S(0) = 0;5gl ; V (0) = 0;5l: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vi

Agradecimientos

Este trabajo ha sido posible gracias a la colaboracin, algunas veces implcita, de muchaspersonas. Quiero agradecer a:

Mi directora, la profesora Margarita Toro V., por su trabajo continuo, por su inters, porsu apoyo y por ser una gua para lograr el objetivo planteado.

A mi co-director, el profesor Hernn lvarez Z., quien siempre estuvo atento a nuestroavance y me motivo para mantener el rigor matemtico sin perder la mirada ingenieril.

A los profesores que de alguna u otra forma han aportado enormemente en mi formacinacadmica y personal, entre ellos: Profesor Carlos Meja, Profesor Jorge Cossio, Profesor JorgeMeja, Profesor Pedro Isaza.

A la Fundacin MAZDA para el Arte y la Ciencia quien me brind el apoyo econmico pararealizar mis estudios en el posgrado de Matemticas.

vii

Introduccin

Los sistemas dinmicos toman lugar en muchas disciplinas tales como la robtica, aeronu-tica, economa, biologa e ingeniera. Para los sistemas dinmicos, en el contexto de la teora decontrol, desde 1960 R.E. Kalman en su trabajo On the General Theory of Control Systems, [7]deni el concepto de controlabilidad para un sistema lineal invariante en el tiempo. Un estudiosistemtico de la controlabilidad para sistemas no lineales fue comenzado desde los aos 70s.Los trabajos desarrollados en [14], [4] y [2] plantearon un anlogo no lineal del criterio de lacondicin de rango para la controlabilidad propuesta por Kalman. El anlogo permite vericarla propiedad de accesibilidad, la cual es una forma local de controlabilidad, i.e. la capacidad dealcanzar desde un estado inicial un conjunto de dimensin completa (no necesariamente todoel espacio). La Teora involucrada en este campo, trata temas clsicos de geometra diferen-cial como son el estudio de los campos vectoriales, los teoremas de existencia y unicidad de lasolucin de ecuaciones diferenciales, los grupos y lgebras de Lie.

Desde un punto de vista prctico, en el caso de los procesos qumicos, la mayora de ellosestn conformados por dos o ms sistemas dinmicos, integrados mediante intercambios demasa, energa y cantidad de movimiento a travs de tuberas y separaciones fsicas. Todos losintercambios generan alta interaccin entre las dinmicas propias de cada equipo. La interaccinsiempre se ha visto como un inconveniente para el control eciente del proceso pero es posibleaprovecharla para hacer ms fcil el control de aquellas variables asociadas directamente con lacalidad del producto.

La idea de este trabajo es explorar la manera de vericar la controlabilidad de los sistemasdinmicos acoplados cuando se ha demostrado controlabilidad a cada uno de los sistemas inde-pendientes para una regin de su espacio de operacin. Para lograr este objetivo, el trabajo sedivide como se describe a continuacin.

En el Captulo 1 se dene la estructura de los sistemas dinmicos de control con los cuales seva a hacer el estudio. Estos sistemas generan un conjunto de campos vectoriales al cual se le daestructura de lgebra de Lie. Adems se denen los conceptos de distribucin y co-distribucinque sern de gran importancia para vericar la propiedad de inters a los sistemas de control.

En el Captulo 2 se dene la propiedad de controlabilidad para un sistema de control linealinvariante en el tiempo y la descomposicin en estados controlables/no controlables. Se obtieneadems la condicin de rango de controlabilidad de Kalman, que permite vericar dichapropiedad. Luego se presentan las condiciones para denir una versin local de controlabilidadpara los sistemas no lineales que se llama accesibilidad local y se obtiene la condicin de rangode accesibilidad, que es anloga a la mencionada para los sistemas lineales. Finalmente sepresenta un algoritmo para el clculo de la distribucin de accesibilidad a la cual se le vericala condicin de rango de accesibilidad.

viii

En el Captulo 3 se propone una metodologa que permite vericar la controlabilidad para lossistemas acoplados basada en el clculo de la distribucin de accesibilidad y la descomposicinen estados controlables/no controlables. Esta metodologa es aplicada a un proceso qumico,el cual es modelado mediante leyes de conservacin para el cual se tienen resultados a lo queconcierne con la accesibilidad local del sistema acoplado.

Finalmente en el apndice se desarrolla detalladamente el modelamiento matemtico basdoen leyes de conservacin del proceso de separacin de amonaco-agua.

ix

Captulo 1

Conceptos bsicos

Para abordar el estudio de la propiedad de controlabilidad y la descomposicin en estados

controlables/no controlables de los sistemas dinmicos de control, es necesario introducir ciertos

resultados y deniciones. En la primera parte de este captulo, Secciones 1.1 y 1.2, se denen

los campos vectoriales, ujos y espacio tangente en una variedad suave M , con el n de denir

la estructura de los sistemas dinmicos de control con los cuales se va a hacer el anlisis. La

palabra "suave"(variedad, mapeo, campo vectorial, etc) signica C1: En la Seccin 1.3 se le daestructura de lgebra de Lie al conjunto de campos vectoriales suaves que denen los sistemas

dinmicos de control. Posteriormente se introducen los conceptos y resultados de distribucin

y co-distribucin con el n de caracterizarlas, Seccin 1.4. En la Seccin 1.4.3 (Teorema de

Frobenius) se enuncian las condiciones necesarias para que las distribuciones generadas por

campos vectoriales suaves sean integrables.

1.1. Campos Vectoriales y Flujos

Sea M un subconjunto abierto de Rn (o una variedad diferenciable de dimensin n); sedenota por TpM al espacio de vectores tangentes a M en el punto p. El espacio tangente de

una variedad diferenciable en el punto p es una aproximacin lineal de la variedad en una

vecindad de dicho punto [1]. En un sentido abstracto, el espacio tangente de una variedad en un

punto es el conjunto de vectores velocidad de todas las curvas suaves de la variedad que pasan

por ese punto. Se denota por C1(p) el conjunto de funciones suaves de valor real denidas enuna vecindad de p. Formalmente el espacio tangente se dene de la siguiente forma:

Denicin 1.1.1 a) El espacio tangente TpM de una variedad suave M en un punto p 2 Mse dene como

TpM =

d

dt

t=0

j : (; )!M suave, (0) = p

i.e. es el conjunto de todos los vectores tangentes de todas las curvas suaves en M que pasan

por p en t = 0 (Figura 1-1a).

Equivalentemente TpM se puede denir como el espacio lineal de los mapeos Xp : C1(p)!R que satisfacen para toda ; ' 2 C1(p)

i) Xp (a+ b') = aXp () + bXp (') ; a; b 2 R (linealidad)

1

ii) Xp (') = Xp ()'(p) + (p)Xp (') (regla del producto)b) Un campo vectorial suave f en una variedad suave M est denido como un mapeo

f : M ! [p2M

TpM

p 7! f(p)

el cual asigna a cualquier punto p 2M un vector tangente en p (Figura 1-1b).

El signicado geomtrico de Xp () es que la funcin es derivada en p 2M a lo largo dela curva : (; )!M con (0) = p y 0(0) = Xp; i.e. Xp() = ( )0 (0):

pM( )tg

(0)g&

TpMM

a) b)

Figura 1-1: a) Espacio Tangente TpM: b) Campo vectorial en M .

En un sistema de coordenadas dado, f puede ser expresado como un vector columna f =

col(f1; : : : ; fn); donde fi : M ! R es una funcin suave. En la prctica se considera af(p) 2 Rn:

Denicin 1.1.2 Un sistema dinmico suave, o una ecuacin diferencial ordinaria (ODE), enuna variedad suave M , es una ecuacin de la forma

dx

dt=

x(t) = f(x); x 2M (1.1)

donde f(x) es un campo vectorial suave:

De los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

se tiene que, si f es de clase Ck; con k 1, entonces para cualquier punto inicial p en el dominiode f existe un intervalo abierto I que contiene a t = 0 y existe una curva diferenciable

p : I ! Mt 7! p(t) = x(t)

2

la cual satisface la ecuacin diferencial (1.1) y x(0) = p(0) = p: A partir de las funciones p;

p 2 M se puede denir la accin : I M ! M mediante (t;p) = p(t); que se llama ujolocal o simplemente el ujo del campo vectorial f: Dado el ujo se tiene para cada t 2 I;la funcin (t) : M ! M denida por (t)(p) = p(t): La familia f(t) : t 2 Ig cumple lassiguientes propiedades

(t1) (t2) = (t1 + t2) ; (t) = ((t))1; (0) = id: (1.2)

p11( )tg P

p2

p3

2( )tg P

3( )tg P

Figura 1-2: Flujo de un campo vectorial f:

Si la solucin p(t) est bien denida para todo t 2 R y p 2 M; entonces el campo vec-torial f es llamado completo y su ujo forma un grupo de 1parmetro. Cualquier familia de1parmetro que satisface (1.2) dene un nico campo vectorial mediante la frmula

f(p) =@

@t

t=0

p(t)

y el ujo de este campo vectorial coincide con p(t): A las curvas p(t) se les llama a veces

curvas integrales. En el caso en que se tenga un conjunto de campos vectoriales f1; f2; : : : ; fk;

el ujo de cada uno de ellos se denota por 1; 2; : : : ; k con el n de diferenciarlos.

El siguiente teorema muestra que bajo la caracterstica de que un campo vectorial no se

anule en algn punto p, ste puede estar dado en una forma simple. La prueba de este teorema

se encuentra en [9, pag. 48].

Teorema 1.1.1 (Flow-box) Sea X un campo vectorial en M con X(p) 6= 0. Entonces existeuna carta coordenada (U; x1; :::; xn) alrededor de p tal que

X =@

@x1:

3

geomtricamente esto signica que alrededor de p las curvas integrales de X son de la forma

xi(p) = constante; i = 2; :::; n

1.2. Sistemas de Control

Para los sistemas dinmicos, el futuro x(t) = p(t), t > 0, est completamente determinado

por el estado inicial x(0) = p(0); y por un slo campo vectorial f:

Para modicar la dinmica del sistema con nes de realizar control, se considera la siguiente

familia de sistemas dinmicos

:x(t) = f (x(t);u(t)) (1.3)

donde x es llamado el estado de ; el cual toma valores en un subconjunto abierto M de Rn (oen una variedad suave M de dimensin n) y u; llamado control, toma valores en un conjunto

arbitrario U (con al menos dos elementos). Un sistema de la forma (1.3) es llamado sistema

de control no lineal general. Al conjunto M se le llama el espacio de estados del sistema y

U el conjunto de control. Se supone que los campos vectoriales fu = f(;u); denidos por(1.3), son suaves. En teora de control los cambios dinmicos se hacen en cualquier instante

de tiempo realizando cambios en la variable de control u 2 U: Para cualquier cambio en u; elcorrespondiente campo vectorial f(;u) genera un ujo p(t):

En este trabajo, se estudia la representacin de los sistemas de control no lineales anes con

la entrada, la cual es un caso particular de (1.3). En este caso, la familia de sistemas dinmicos

con m entradas de control u1(t); : : : ; um(t)

af :x(t) = f(x) +

mXi=1

ui(t)gi(x) (1.4)

es llamada un sistema de control afn con la entrada, donde x(t) 2 M Rn (o una variedadsuave de dimensin n) y u(t) = col (u1(t); : : : ; um(t)) 2 U Rm (o una variedad suave dedimensin m): Por conveniencia, los campos vectoriales f; g1; : : : ; gm : M Rn ! Rn puedenser representados en forma de funciones vectoriales suaves n-dimensionales de valor real en las

variables x1; : : : ; xn

f(x) =

266664f1(x1; : : : ; xn)

f2(x1; : : : ; xn)...

fn(x1; : : : ; xn)

377775 ; gi(x) =266664g1i(x1; : : : ; xn)

g2i(x1; : : : ; xn)...

gni(x1; : : : ; xn)

377775 : (1.5)

En el caso en que los campos vectoriales sean de la forma f(x) = Ax y gi(x) = bi; para

una matriz A 2Mn(R) y vectores bi 2 Rn; el sistema (1.4) se convierte en:

4

x(t) = Ax(t) +

mXi=1

ui(t)bi = Ax(t) +Bu(t) (1.6)

donde B = [b1j b2j jbm] 2 Mnm(R). Al sistema dinmico (1.6) se le llama, sistema decontrol lineal afn con la entrada.

Muchos de los resultados que se presentan en las secciones siguientes, se encuentran genera-

lizados para los sistemas no lineales (1.3) en [4], [13], sin embargo una de las razones por las

cuales se trabaja con los sistemas de control afn con la entrada (1.4, 1.6), es que en el momento

de realizar clculos concretos, se tienen metodologas y algoritmos que lo permiten, [6].

1.3. lgebras de Lie de los sistemas de control

En esta seccin se presentan varias deniciones y conceptos que permiten denir el lgebra

de Lie de campos vectoriales, que en el caso de los sistemas de control, son los campos dados

por (1.5). La nomenclatura y deniciones fueron tomadas de [13] y [6].

Sea f = col(f1; f2; :::; fn) un mapeo continuamente diferenciable denido en un subconjunto

abierto M Rn: Para cada x0 2 M; @f@x(x0) 2 Mn(R) es la matriz Jacobiana de f evaluada

en x0: Para el subconjunto abierto M se denen los siguientes conjuntos

F(M) = ff :M ! Rn j f es un campo vectorial suaveg(M) = f :M ! R j es diferenciableg

los cuales resultan ser espacios vectoriales. De esta manera se dene la siguiente operacin:

Denicin 1.3.1 El corchete de Lie de f; g 2 F(M) se dene como

[f; g] :=@g

@xf(x) @f

@xg(x) (1.7)

Para cada f 2 F(M) y cada 2 (M); la derivada de Lie de a lo largo de f se denecomo:

Lf(x) :=@

@xf(x) =

nXi=1

@

@xifi(x) (1.8)

Note que Lf : (M)! (M) puede ser visto como un operador diferencial de primer orden.Repitiendo esta operacin se obtiene el operador diferencial compuesto

5

LfLg(x) =@(Lg(x))

@xf(x)

=Pifi(x)

@

@xi

Pjgj(x)

@

@xj(x)

!=Pi;jfi(x)gj(x)

@

@xi

@

@xj(x) +

Pi;jfi(x)

@gj(x)

@xi

@(x)

@xj

= gT (x)Hf(x) +@(x)

@x

@g(x)

@xf(x)

donde H es la matriz Hessiana

@2

@xi@xj

: Como en ste caso H es simtrica,

LfLg LgLf = L[f;g] (1.9)

Para los campos vectoriales del espacio vectorial F(M) se tiene la siguiente proposicin quelo provee de estructura de lgebra de Lie.

Proposicin 1.3.1 El corchete de Lie de campos vectoriales tiene las siguientes propiedades:(i) Para todo f; g 2 F(M) se tiene que [f; g] 2 F(M):(ii) Es bilineal sobre R; i.e. si f1; f2; g1; g2 son campos vectoriales y r1; r2 son nmeros

reales, entonces

[r1f1 + r2f2; g1] = r1 [f1; g1] + r2 [f2; g1]

[f1; r1g1 + r2g2] = r1 [f1; g1] + r2 [f1; g2] :

(iii) Es anti simtrico, i.e

[f; g] = [g; f ] :

(iv) Satisface la identidad de Jacobi, i.e. si f; g; h son campos vectoriales, entonces

[f; [g; h]] + [h; [f; g]] + [g; [h; f ]] = 0 (1.10)

por tanto F(M) es una lgebra de Lie bajo este corchete.

Prueba. (i) Sea p 2 M; veamos que [f; g] (p) 2 TpM: Para esto se deben vericar lascondiciones (i) y (ii) de la Denicin 1.1.1. Sean ; ' 2 C1(p) y a; b 2 R; luego

([f; g] (p)) (a+ b') ="

Por (1.9)

(LfLg(a+ b')) (p) (LgLf (a+ b')) (p) (1.11)

6

donde

(LfLg(a+ b')) (p) =Pi;jfi(p)gj(p)

@2(a+ b')(p)

@xi@xj+Pi;jfi(x)

@gj(p)

@xi

@(a+ b')(p)

@xj

= aPi;jfi(p)gj(p)

@2(p)

@xi@xj+ b

Pi;jfi(p)gj(p)

@2'(p)

@xi@xj

+aPi;jfi(x)

@gj(p)

@xi

@(p)

@xj+ b

Pi;jfi(x)

@gj(p)

@xi

@'(p)

@xj

= a (LfLg) (p) + b (LfLg') (p)

y de forma anloga

(LgLf (a+ b')) (p) = a (LgLf) (p) + b (LgLf') (p):

Luego reemplazando en (1.11) se tiene

([f; g] (p)) (a+ b') = a (LfLg) (p) + b (LfLg') (p) a (LgLf) (p) + b (LgLf') (p)= a [(LfLg) (p) (LgLf) (p)] + b [(LfLg') (p) (LgLf') (p)]= a ([f; g] (p)) () + b ([f; g] (p)) (')

La condicin (ii) se verica de igual forma y por tanto [f; g] 2 F(M):Las pruebas de (ii) y (iii) son inmediatas de la denicin.

(iv) Usando (1.7) se tiene que

[f; [g; h]] =@ [g; h]

@xf(x) @f

@x[g; h] (x) =

@h@h@xg(x) @g@xh(x)

i@x

f(x) @f@x

@h

@xg(x) @g

@xh(x)

=@

@x

@h

@xg(x)

f(x) @

@x

@g

@xh(x)

f(x) @f

@x

@h

@xg(x)

+@f

@x

@g

@xh(x)

=@2h

@x2g(x)f(x) +

@h

@x

@g

@xf(x) @

2g

@x2h(x)f(x) @g

@x

@h

@xf(x) @f

@x

@h

@xg(x) +

@f

@x

@g

@xh(x)

=@2h

@x2g(x)f(x) @

2g

@x2h(x)f(x) @f

@x

@h

@xg(x) +

@f

@x

@g

@xh(x) (1.12)

de forma anloga se calcula

[h; [f; g]] =@2g

@x2f(x)h(x) @

2f

@x2g(x)h(x) @h

@x

@g

@xf(x) +

@h

@x

@f

@xg(x) (1.13)

[g; [h; f ]] =@2f

@x2h(x)g(x) @

2h

@x2f(x)g(x) @g

@x

@f

@xh(x) +

@g

@x

@h

@xf(x) (1.14)

7

Luego, sumando se tiene

[f; [g; h]] + [h; [f; g]] + [g; [h; f ]] =@2h

@x2g(x)f(x) @

2g

@x2h(x)f(x) @f

@x

@h

@xg(x) +

@f

@x

@g

@xh(x) +

@2g

@x2f(x)h(x) @

2f

@x2g(x)h(x) @h

@x

@g

@xf(x) +

@h

@x

@f

@xg(x) +

@2f

@x2h(x)g(x) @

2h

@x2f(x)g(x) @g

@x

@f

@xh(x) +

@g

@x

@h

@xf(x)

= 0

Usando el operador diferencial Lf y la ecuacin (1.9), tambin se puede probar la Proposicin

1.3.1, realizando los siguientes clculos:

L[f;[g;h]] = LfL[g;h] L[g;h]Lf = Lf (LgLh LhLg) (LgLh LhLg)Lf= LfLgLh LfLhLg LgLhLf + LhLgLf (1.15)

de igual forma se tiene

L[h;[f;g]] = LhLfLg LhLgLf LfLgLh + LgLfLh (1.16)L[g;[h;f ]] = LgLhLf LgLfLh LhLfLg + LfLhLg (1.17)

sumando (1.15), (1.16) y (1.17) se concluye el resultado.

Algunas propiedades y relaciones entre los operadores introducidos anteriormente se mues-

tran en la siguiente proposicin, cuya prueba se encuentra en [6].

Proposicin 1.3.2 Sean f; g campos vectoriales, ; ; funciones de valor real. Entonces:

Lf(x) = (Lf(x))(x) (1.18)

[f; g] (x) = (x)(x) [f; g] (x) + (Lf(x))(x)g(x) (Lga(x))(x)f(x) (1.19)L[f;g](x) = LfLg(x) LgLf(x) (1.20)

1.4. Distribuciones y Teorema de Frobenius

Las distribuciones y co-distribuciones son conceptos importantes para el anlisis de las

propiedades dinmicas de los sistemas no lineales, tales como la controlabilidad. A continuacin

se presentan las deniciones y resultados ms relevantes para el estudio de dichas propiedades,

[8].

8

1.4.1. Deniciones y propiedades

Denicin 1.4.1 Sean f1; f2; : : : ; fd campos vectoriales suaves denidos en M , subconjuntoabierto de Rn o una variedad suave de dimensin n. Una distribucin suave en M es un mapeoque asigna a cada punto x de M un subespacio vectorial generado por los campos vectoriales

f1; f2; : : : ; fd; i.e.

(x) = gen ff1(x); :::; fd(x)g :

La dimensin de la distribucin en x es la dimensin del subespacio vectorial (x).

Basados en las propiedades de los espacios vectoriales, es posible extender ciertas ideas para

introducir los siguientes conceptos:

Si 1 y 2 son distribuciones, se dene:

(1 +2) (x) = 1 (x) + 2 (x)

(1 \2) (x) = 1 (x) \2 (x) :

Una distribucin 1 contiene a la distribucin 2; que se denota por 1 2; si 1(x) 2(x) para todo x 2M:

Un campo vectorial f pertenece a una distribucin ; que se denota por f 2 ; sif(x) 2 (x) para todo x 2M:

Una distribucin ; denida en M , es no singular si existe un entero d tal que

dim(x) = d; para todo x 2M:

Un punto x0 2 M se dice que es un punto regular de una distribucin ; si existe unavecindad M0 de x0 tal que es no singular en M0. Cada punto de M que no sea regular,

se dice que es un punto de singularidad.

Una distribucin es involutiva si el corchete de Lie [f1; f2] es un campo vectorial que

pertenece a ; para todo f1; f2 2 .

Una subvariedad N de M es una variedad integral de una distribucin en M si

TpN = (p); para todo p 2 N

Se tienen los siguientes resultados, que se prueban en [9].

9

Proposicin 1.4.1 Sea una distribucin en M tal que a travs de cada punto de M pasauna variedad integral de : Entonces es involutiva.

Proposicin 1.4.2 Sea F : M1 ! M2 una inmersin y sea p1 2 M1: Entonces existen unacarta coordenada (U; x1; :::; xn1) de p1 y (V; z1; :::; zn2) de p2 = F (p1) tal que F en estas coor-

denadas locales

(a1; : : : ; an1) 7! (a1; : : : ; an1 ; 0; : : : ; 0)

Se sigue de esta proposicin que si F es una inmersin, entonces para cualquier p1 2 M1existe una vecindad U de p1 tal que F (M1 \ U) es una subvariedad de M2:

Lema 1.4.3 Sea una distribucin suave y x0 un punto regular de : Suponga que dimx0=

d: Entonces, existe una vecindad abierta M0 de x0 y un conjunto ff1; : : : ; fdg de campos vec-toriales suaves denidos en M0 tales que:

(i) los vectores f1(x); : : : ; fd(x) son linealmente independientes para cada x 2M0:(ii) (x) = gen ff1(x); : : : ; fd(x)g para cada x 2M0:Por tanto, todo campo vectorial suave 2 puede ser expresado en M0 como

(x) =dPi=1ci(x)fi(x) (1.21)

donde c1(x); : : : ; cd(x) son funciones suaves de valor real denidas en M0.

Prueba. La existencia de exactamente d campos vectoriales suaves que generan alrededorde x0 es una consecuencia trivial de las suposiciones. Ahora, si es un campo vectorial suave

en ; se tiene que para cada x cercano a x0 la matriz n (d+ 1)

[f1(x)j f2(x)j j fd(x)j (x)]

tiene rango d: Entonces de los resultados de lgebra lineal se deduce la representacin (1.21) y

la suavidad de las entradas de dicha matriz implica las caractersticas de las funciones ci(x):

Una forma de vericar si una distribucin no singular es o no involutiva la proporciona

el siguiente lema.

Lema 1.4.4 Sea una distribucin no singular; con f1; : : : ; fd campos vectoriales suaves quelocalmente generan a : Se cumple que es involutiva si y slo si

[fi; fj ] 2 para todo 1 i; j d:

Prueba. ()) Por la denicin de distribucin involutiva [fi; fj ] 2 , para todo 1 i; j d;ya que f1; : : : ; fd son campos vectoriales de :

10

(() Sean 1; 2 2 ; por el Lema 1.4.3 se tiene que

1(x) =dPi=1ci(x)fi(x) 2(x) =

dPj=1

aj(x)fj(x)

donde c1(x); : : : ; cd(x) y a1(x); : : : ; ad(x) son funciones suaves de valor real denidas en M0:

Considere la expansin dada por (1.19)

[1; 2] (x) =

"dPi=1ci(x)fi(x);

dPj=1

aj(x)fj(x)

#(1.22)

=dPi=1

dPj=1

ci(x)aj(x) [fi; fj ] (x) +dPi=1

dPj=1

ci(x) (Lfiaj(x)) fj(x)

dPi=1

dPj=1

aj(x)Lfjci(x)

fi(x)

note que todos los campos vectoriales en el lado derecho de (1.22) son campos vectoriales de

:

Corolario 1.4.5 Sea una distribucin no singular. es involutiva si

rango [f1(x)j j fd(x)] = rango [f1(x)j j fd(x)j [fi; fj ] (x)]

para todo x y todo 1 i; j d:

Es fcil probar que la interseccin de dos distribuciones involutivas es de nuevo una dis-

tribucin involutiva, sin embargo, la suma de dos distribuciones involutivas en general no lo

es.

1.4.2. Co-distribuciones

En varios resultados que se muestran ms adelante, se hace necesario consideran los objetos

duales de los campos vectoriales y las distribuciones, llamados co-vectores y co-distribuciones

respectivamente. En esta seccin se introducen las deniciones y notaciones de estos conceptos.

Denicin 1.4.2 El espacio dual V de un espacio vectorial V Rn es el conjunto de todaslas funciones lineales de valor real denidas en V . Formalmente denidas como

h(x) = h(x1; : : : ; xn) = a1x1 + a2x2 + + anxn; ai 2 R; i = 1; :::; n

i.e. h(x) = ax donde a = [a1 a2 an] ; x =col(x1; x2; : : : ; xn):

Note que h esta dado por el vector la a:

11

Denicin 1.4.3 Un mapeo ! : M Rn ! (Rn) es llamado un campo co-vectorial, i.e. !asigna a cada punto x de M un elemento del espacio dual (Rn) : Los campos co-vectoriales seidentican con funciones vector la

!(x) = !(x1; : : : ; xn) = [!1(x) !2(x) !n(x)]

Un campo co-vectorial de gran importancia es el llamado diferencial o gradiente de una

funcin de valor real ; denida en un subconjunto abierto M de Rn: Este campo co-vectoriales denotado por d

@

@xy se representa por

d(x) =@

@x=

@

@x1

@

@x2: : :

@

@xn

: (1.23)

Cualquier campo co-vectorial que tenga la forma (1.23) es llamado diferencial exacta.

Denicin 1.4.4 Sean !1; : : : ; !d campos co-vectoriales suaves denidos en el mismo subcon-junto M de Rn. Entonces

(x) = gen f!1(x); : : : ; !d(x)g

es una co-distribucin. Para cada punto x 2M; las co-distribuciones son subespacios de (Rn) :

Las operaciones de adicin, interseccin, inclusin son denidas de manera anloga a las

operaciones con distribuciones. Similarmente, se denen la dimensin de una co-distribucin en

cada punto x 2M , los puntos regulares y los puntos de singularidad. Adems se introducen lossiguientes conceptos:

El conjunto de todos los funcionales que anulan todos los vectores en (x)

?(x) = f! 2 (Rn) : h!; vi = 0 para todo v 2 g

es llamado el anulador (ortogonal) de la distribucin:Note que? es una co-distribucin.

Dada una co-distribucin ; el conjunto

?(x) = fv 2 Rn : h!; vi = 0 para todo ! 2 (x)g

es llamado el anulador (ortogonal) de la co-distribucin ; el cual resulta ser una distribu-

cin.

Se tienen las siguientes propiedades para distribuciones de Rn :

dim() + dim(?) = n

12

Si una distribucin es generada por las columnas de una matriz F, cuyas entradas son

funciones suaves de x, su anulador es identicado, para cada x deM; mediante el conjunto

de vectores la ! que satisfacen la condicin !F (x) = 0:

El anulador de una distribucin suave no necesariamente es suave [6, Ejemplo 1.3.11, pag.

20].

1.4.3. Teorema de Frobenius

En esta seccin se estudia la relacin fundamental entre la nocin de distribucin involu-

tiva y la existencia de una particin local de Rn en subvariedades de menor dimensin. Talrelacin permite extender a los sistemas no lineales el concepto de descomposicin del sistema

en controlable/no controlable.

Dada una distribucin no singular d-dimensional ; denida en un subconjunto abierto M

de Rn, por el Lema 1.4.3 existe una vecindad M0 para cada punto x0 de M y un conjuntof1; : : : ; fd de campos vectoriales suaves denidos en M0, los cuales generan a : El Lema 1.4.3,

puede extenderse para el concepto de co-distribucin y por tanto ? ser tambin no singulary suave de dimensin n d; (ya que dim() + dim(?) = n) y localmente alrededor de cadapunto x0, es generada por n d campos co-vectoriales !1; : : : ; !nd: Por construccin, loscampos co-vectoriales !j son tales que

h!j (x) ; fi (x)i = 0 para todo 1 i d; 1 j n d y x 2M0

es decir solucionan la ecuacin

!j(x)F(x) = 0 (1.24)

donde F(x) es la matriz F(x) = [f1(x)j f2(x)j j fd(x)] 2Mnd(R):De las suposiciones realizadas se tiene que el rango de la matriz F(x) es d y el espacio de

soluciones es generado por los n d vectores la linealmente independientes, los cuales formanuna base para dicho espacio. Suponga ahora que en lugar de buscar cualquier solucin de (1.24),

se buscan soluciones de la forma !j(x) =@j@x; donde 1; : : : ; nd son funciones suaves de valor

real adecuadas.

La idea es resolver la ecuacin diferencial parcial

@j@x

[f1(x)j f2(x)j j fd(x)] = @j@xF(x) = 0 (1.25)

y encontrar n d soluciones independientes @1@x

; : : : ;@nd@x

, para cada x. Note que estos vec-

tores la tienen la forma de diferenciales exactos, ver (1.23). Los resultados siguientes muestran

las condiciones que la distribucin debe tener para que el anulador ? sea generado por

13

diferenciales exactos.

Denicin 1.4.5 Una distribucin no singular de dimensin d; denida en un conjuntoabierto M de Rn se dice que es completamente integrable, si para cada x0 de M existe unavecindad M0 de x0 y n d funciones suaves de valor real 1; : : : ; nd; todas denidas en M0,tales que

? = gen fd1; : : : ; dndg en M0 (1.26)

La integrabilidad completa de una distribucin generada por las columnas de una matriz

F(x) es esencialmente un sinnimo de la existencia de n d soluciones independientes dela ecuacin diferencial (1.25). El Teorema de Frobenius muestra las condiciones necesarias y

sucientes para la integrabilidad completa de una distribucin.

Teorema 1.4.6 (Frobenius) Una distribucin no singular es completamente integrable si y slosi es involutiva

Prueba. ()) Suponga que la distribucin es completamente integrable, entonces existenfunciones suaves de valor real 1; : : : ; nd denidas enM0 tales que? = gen fd1; : : : ; dndgen M0, es decir, satisfacen (1.25). Ahora, observe que (1.25) puede escribirse como

@j@xfi(x) = hdj(x); fi(x)i = 0; para todo 1 i d; para todo x en M0 (1.27)

y usando la notacin de (1.8)

hdj(x); fi(x)i = Lfij(x) = 0; para todo 1 i d; para todo x en M0 (1.28)

Diferenciando la funcin j a lo largo del campo vectorial [fi; fk], y usando (1.28) y (1.20) se

obtiene

L[fi;fk]j = LfiLfkj LfkLfij = 0

Repitiendo las mismas operaciones para todas las funciones 1; : : : ; nd; se concluye que2664L[fi;fk]1(x)

...

L[fi;fk]nd(x)

3775 =2664

d1(x)...

dnd(x)

3775 [fi; fk] (x) = 0; para todo x 2M0

De la suposicin, los diferenciales fd1; : : : ; dndg generan la distribucin ?; se deduce deesto que el campo vectorial [fi; fk] es un campo vectorial de : Entonces por la condicin

establecida por el Lema 1.4.4 se concluye que la distribucin es involutiva.

(() Suponga ahora que la distribucin es involutiva. Esta prueba se realiza de maneraconstructiva, i.e. permite encontrar las n d funciones que satisfacen (1.26). Como es no

14

singular de dimensin d, por el Lema 1.4.3 existe una vecindad abierta M0 de x0 y un conjunto

ff1; : : : ; fdg de campos vectoriales suaves denidos en M0, los cuales generan a :Sean fd+1; : : : ; fn campos vectoriales complementarios, tambin denidos en M0 tales que

gen ff1(x); : : : ; fd(x); fd+1(x); : : : ; fn(x)g = Rn

para cada x en M0.

Ahora se muestra que la solucin de la ecuacin diferencial parcial (1.25) puede ser cons-

truida tomando la composicin adecuada de los ujos asociados con los campos vectoriales

f1; :::; fn; o sea de 1(t1); : : : ; n(tn):Considere el mapeo

: U ! Rn(z1; : : : ; zn) !

1(z1) n(zn)

x0 (1.29)

donde U = fz 2 Rn : jzij < g. Si es lo sucientemente pequeo, este mapeo tiene las si-guientes propiedades, que se prueban en [6, pags. 26-27]

(i) est denido para todo z = (z1; : : : ; zn) 2 U y es un difeomorsmo sobre su imagen.(ii) es tal que, para todo z 2 U; las primeras d columnas de la matriz Jacobiana

@

@z

son

linealmente independientes en ( (x)):

A partir de las propiedades (i) y (ii) ; se puede construir una solucin de la ecuacin diferen-

cial parcial (1.25). SeaM0 la imagen del mapeo y observe queM0 es realmente una vecindad

abierta de x0, ya que x0 es exactamente el valor de en el punto z = 0. Por la propiedad (i)

la inversa 1 existe y es un mapeo suave denido en M0. Sea

1(x) =

26641(x)...

n(x)

3775donde 1; :::; n son funciones de valor real denidas para todo x enM

0. Veamos que las ltimas

n d funciones son soluciones independientes de la ecuacin (1.25). Por denicin@1

@x

x=(z)

@

@z

= I para todo z 2 U (1.30)

Por la propiedad (ii); las primeras d columnas del segundo factor del lado izquierdo de (1.30)

forman una base de para cualquier punto x = (z) de M0. Por tanto los diferenciales

dd+1(x) =@d+1@x

; : : : ; dn(x) =@n@x

15

son anulados por los vectores de para cada x en M0. Estos diferenciales (los cuales son

independientes por construccin) son por consiguiente una solucin de (1.25).

En la prueba de este teorema es importante notar que la solucin de la ecuacin diferencial

parcial (1.25) puede ser reducida a la solucin de n ecuaciones diferenciales ordinarias de la

formax = fi(x); 1 i n

donde f1; : : : ; fn son campos vectoriales linealmente independientes, con f1; : : : ; fd generadores

de la distribucin . De hecho, si las soluciones de estas ecuaciones se componen de manera que

se dena el mapeo (1.29), una solucin de (1.25) puede ser encontrada tomando las ltimas

n d componentes del mapeo inverso 1:Otra consecuencia de la nocin de integrabilidad completa de una distribucin est relaciona

con la posibilidad de usar las funciones 1; : : : ; nd que solucionan la ecuacin diferencialparcial (1.25) para denir una transformacin de coordenadas (localmente alrededor de x0) que

proporcione una representacin particularmente simple para los campos vectoriales de : Por

construccin, los n d diferenciales d1; : : : ; dnd; son linealmente independientes en el puntox0. Luego, es siempre posible escoger, del conjunto de funciones

x1(x) = x1; x2(x) = x2; : : : ; xn(x) = xn

un conjunto de d funciones cuyos diferenciales en x0; junto con d1; : : : ; dnd, formen unconjunto de n vectores la linealmente independientes. Sean 1; :::; d las funciones escogidas y

sean

d+1 (x) = 1 (x) ; : : : ; n (x) = nd (x) :

Por construccin, la matriz Jacobiana del mapeo

(x) = col1(x); : : : ; d(x); d+1 (x) ; : : : ; n (x)

= z

tiene rango n en x0, adems el mapeo resulta ser un difeomorsmo local, i.e. una transfor-

macin de coordenadas suave alrededor del punto x0: Por otra parte, sea un campo vectorial

de ; en las nuevas coordenadas, este campo vectorial est representado en la forma

(z) =

@

@x(x)

x=1(z)

: (1.31)

Por construccin, las n d las de la matriz Jacobiana de generan ?; luego las n dentradas de son nulas para todo x en el conjunto donde la transformacin de coordenadas est

denida. De esto se concluye que cualquier campo vectorial de ; en las nuevas coordenadas,

16

tienen una representacin de la forma

(z) = col (1(z); 2(z); : : : ; d(z); 0; : : : ; 0) : (1.32)

Para los sistemas no lineales (1.4), el efecto de la transformacin de coordenadas no lineales

es el siguiente.

Sea z(t) = (x(t)), derivando en ambos lados con respecto al tiempo, se obtiene:

z(t) =

dz

dt=@

@x

dx

dt=@

@x

"f(x) +

mXi=1

uigi(x)

#

luego, expresando x(t) = 1(z(t)); se obtiene:

z(t)=f(z(t)) +

mXi=1

ui(t)gi(z(t))

donde f(z) =@

@xf(x)

x(t)=1(z)

y gi(z) =@

@xgi(x)

x(t)=1(z)

:

17

Captulo 2

Controlabilidad de sistemas de controlanes con la entrada

Una de las propiedades ms importantes para estudiar el comportamiento de los sistemas

de control es la propiedad de controlabilidad. Esta propiedad est relacionada con las siguientes

preguntas: puede el sistema ser llevado desde un estado inicial a un estado nal en tiempo

nito?, puede esto hacerse para cualquier par de estados inicial y nal?, cules trayectorias

del sistema son realizables y cmo encontrar las acciones de control que llevan al sistema por

dicha trayectoria?, puede modicarse sustancialmente el comportamiento de las soluciones del

sistema variando las acciones de control? El principal propsito de este captulo es mostrar un

anlogo no lineal para vericar la propiedad de controlabilidad y encontrar una descomposicin

en estados controlables/no controlables para los sistemas de control no lineales anes con la

entrada. En la Seccin 2.1.se muestran los resultados ms relevantes para obtener la condicinde rango de controlabilidad de Kalman, que permite vericar dicha propiedad para lossistemas lineales. Luego, en la Seccin 2.2, se presentan las condiciones para denir una versin

local de controlabilidad para los sistemas no lineales que se llama accesibilidad local y obtener

la condicin de rango de accesibilidad. Al trabajar con sistemas de control anes conla entrada, en la Seccin 2.2.3 se presenta un algoritmo que proporciona la distribucin de

accesibilidad a la cual se le verica la condicin de rango de accesibilidad. Finalmente en la

Seccin 2.2.4 se evidencia que la versin local desarrollada coincide con los resultados obtenidos

para los sistemas de control lineales cuando se le aplica a un sistema lineal.

2.1. Controlabilidad de sistemas lineales

Antes de analizar la controlabilidad de los sistemas no lineales, se revisan los resultados

ms relevantes relacionados con la controlabilidad y la correspondiente descomposicin de los

sistemas lineales. Considere el sistema lineal denido por

x(t) = Ax(t) +

mXi=1

ui(t)bi = Ax(t) +Bu(t) (2.1)

18

en el cual x 2 Rn es el vector de estados, u 2 Rm es el vector de entradas, con A 2Mn(R) yB 2Mnm(R): En la siguiente seccin se dene la controlabilidad de estos sistemas y se danciertas propiedades que proporcionan un criterio para vericarla.

2.1.1. Propiedades y criterio de controlabilidad

Para los sistemas lineales (2.1), se dene la controlabilidad de la siguiente manera.

Denicin 2.1.1 El sistema lineal (2.1) es controlable si para todo x1, x2 2 Rn existe unaentrada u que conduce el sistema desde el estado inicial x1 hacia el estado nal x2 en tiempo

nito, i.e. x2 puede ser alcanzado desde x1.

Esta nocin de controlabilidad fue identicada por Kalman [7] como una de las propiedades

centrales que determinan el comportamiento de los sistemas de control. Para vericar la propiedad

de la Denicin 2.1.1, en la literatura se encuentran diferentes resultados, algunos con pruebas

no constructivas y otros con pruebas que no son fcilmente motivadas. Los resultados que se

presentan en esta seccin fueron tomados de [15], los cuales usan la caracterizacin de la matriz

exponencial para obtener de manera constructiva y directa un criterio que permita vericar la

controlabilidad de los sistemas lineales (2.1).

Dada una matriz A 2 Mn(R); la matriz exponencial exp(At) puede ser expresada como[10]

exp(At) =n1Pi=0

i(t)Ai (2.2)

donde i(t) son funciones diferenciables de valor real. Diferenciando en ambos lados de (2.2),

se obtiene

A exp(At) =n1Pi=0

di(t)

dtAi =

n1Pi=0

0i(t)Ai: (2.3)

Luego de (2.2)

A exp(At) =n1Pi=0

i(t)Ai+1: (2.4)

Por otra parte, si n+cn1n1+ +c1+c0 = 0 es la ecuacin caracterstica de A; entoncescomo A satisface su propia ecuacin caracterstica

An = n1Pi=0

ciAi (2.5)

19

igualando (2.3) y (2.4) y reemplazando (2.5) en (2.4), se obtiene

n1Pi=0

0i(t)Ai =

n2Pi=0

i(t)Ai+1 + n1(t)An =

n2Pi=0

i(t)Ai+1

n1Pi=0

n1(t)ciAi (2.6)

= n1(t)c0I+n1Pi=1

[i1(t) n1(t)ci]Ai: (2.7)

Una condicin suciente para que (2.6) se cumpla, se obtiene igualando los coecientes de cada

potencia de A, y as:

00(t) = n1(t)c00i(t) = i1(t) n1(t)ci; i = 1; :::; n 1:

(2.8)

Las ecuaciones (2.8) representan un sistema de n-ecuaciones diferenciales de primer orden en

las n funciones i(t); i = 1; :::; n 1: Un conjunto de condiciones iniciales para estas ecuacionesse obtiene haciendo t = 0 en (2.2)

0(0) = 1; i(0) = 0; i = 1; :::; n 1: (2.9)

Sea (t) = col (0(t); 1(t); : : : ; n1(t)) ; entonces (2.8) puede ser expresada en forma matricialcomo

0i(t) = C(t) (2.10)

C =

266666664

0 0 0 c01 0 0 c10 1 0 c2...

.... . .

......

0 0 1 cn1

377777775(2.11)

Es interesante notar que C es la matriz compaera del polinomio n+cn1n1+ +c1+c0;[5].

Otra propiedad interesante de las funciones fi(t)g ; se presenta en el siguiente Lema, cuyaprueba se realiza de manera clsica y se encuentra en [15].

Lema 2.1.1 El conjunto de funciones fig ; que consiste de la solucin del sistema dinmico(2.8) con condicin inicial (2.9) es linealmente independiente sobre todo intervalo [0; T ] ; T > 0:

Por otra parte, la solucin del sistema dinmico lineal (2.1) para t0 = 0; puede escribirse

como [10]

x(T ) = exp(AT )x(0) +

Z T0exp(A(T ))Bu()d (2.12)

20

usando (2.2), para el caso particular en que x(0) = 0; se tiene

x(T ) =

Z T0

n1Pi=0

i(T )AiBu()d =n1Pi=0

mPj=1

Aibj

Z T0i(T )uj()d

=n1Pi=0

mPj=1

Aibjfij ; donde fij =Z T0i(T )uj()d (2.13)

Usando los resultados anteriores se formula un criterio para vericar la controlabilidad de

los sistemas lineales invariantes en el tiempo (2.1), que es conocido como la condicin derango de controlabilidad de Kalman [2].

Teorema 2.1.2 Considere el sistema (2.1) con x(0) = 0 y sea z 2 Rn: Entonces existe T > 0tal que x(T ) = z si y slo si la matriz

P =Bj ABj jAn1B

nnm (2.14)

es de rango n.

Prueba. ()) Supongamos que existe T > 0 tal que x(T ) = z: Veamos que el rango(P) = n.Por (2.13), x(T ) est en el generado por el conjunto de vectores

Aibj

y puede ser igual a

cualquier vector especicado arbitrariamente slo si el conjunto de vectoresAibj

generan a

Rn; es decir, si P tiene rango n.(() Supongamos que rango(P) = n: Veamos que x(T ) puede ser asignado arbitrariamente

para cualquier T > 0:Dado cualquier z; existen constantes fij , 0 i n1; 1 j m tales quePn1i=0

Pmj=1A

ibjfij = z; luego por el Lema 2.1.1 el conjunto de funciones fi(t)g es linealmenteindependiente y por tanto el conjunto fi(T )g tambin es linealmente independiente y aslo que se quiere es encontrar funciones uj tales que

R T0 i(T )uj()d = fij : Veamos un

mtodo explcito para construir funciones que satisfagan esta propiedad [15]. Por supuesto, la

solucin para las uj no es nica. Como P es de rango n; PPT es no singular. Dado un vector

z, sea r el vector nm 1r = PT

PPT

1z

Para p = 1; :::;m; sea rp el vector n1 que consiste de las componentes p, (p+m), (p+ 2m) ; : : : ;(p+ (n 1)m) del vector r. Ahora se dene la matriz M tal que las entradas sean:

mij =

Z T0i1(T )j1(T )d; i; j = 1; :::; n: (2.15)

21

Como fi(T )g es linealmente independiente, M es no singular para cualquier T > 0 (ver[15]): Luego si la funcin de control u se escoge de acuerdo a la regla

uj(t) = [0(T t) 1(T t) n1(T t)]M1rj ; j = 1; :::;m:

entonces x(T ) = z:

El anlisis de las interacciones entre los estados x y las entradas u del sistema ha sido de gran

importancia para resolver diferentes problemas en teora de control. Basados en los conceptos

de controlabilidad introducidos por Kalman en 1960 y la correspondiente descomposicin de los

sistemas de control en controlable/no-controlable, es posible analizar dichas interacciones.

2.1.2. Descomposicin de sistemas de control lineales

Considere el sistema lineal (2.1) y suponga que existe un subespacio d-dimensional V 2 Rncon las siguientes propiedades:

(i) V es invariante bajo A; i.e. para todo x 2 V se cumple que Ax 2 V:(ii) Para toda u 2 Rm; Bu 2 V :Luego, despus de un cambio de base apropiado Q en el espacio de estados, el sistema (2.1)

se puede descomponer en la forma

x1 = A11x1 +A12x2 +B1u (2.16)x2 = A22x2 (2.17)

donde

x = Qx =

"x1

x2

#; A = QAQ1 =

"A11 A12

0 A22

#; B = QB =

"B1

0

#

y x1 2 Rd; x2 2 Rnd:Note que n d puede ser igual a cero. La representacin (2.16), (2.17) es particularmente

interesante cuando se estudia el comportamiento del sistema bajo la accin de control u. Solu-

cionando primero (2.17) usando (2.12) se obtiene, para un tiempo dado T > 0

x2(T ) = exp(A22T )x2(0) (2.18)

22

y reemplazando (2.18) en (2.16), se tiene:

x1(T ) = A11x1(T ) +A12 exp(A22T )x2(0) +B1u(T )

expA11T x1(T )A11x1(T ) = exp A11T A12 exp(A22T )x2(0) +B1u(T )

d

dt

exp

A11T x1(T ) = exp A11T A12 exp(A22T )x2(0)+ exp

A11T B1u(T )exp

A11T x1(T ) x1(0) = Z T0exp

A11A12 exp(A22)x2(0)d+

Z T0exp

A11B1u()dx1(T ) = exp

A11T

x1(0) +

Z T0exp

A11 (T )

B1u()d

+

Z T0exp

A11 (T )

A12 exp(A22)x2(0)d

y as, el sistema (2.16), (2.17) puede escribirse como:

x1(T ) = exp(A11T )x1(0) +

Z T0exp(A11(T ))A12 exp(A22)d

x2(0)

+

Z T0exp(A11(T ))B1u()d (2.19)

x2(T ) = exp(A22T )x2(0) (2.20)

Se puede observar que el conjunto de coordenadas (2.20) no dependen de la entrada u. En

particular, si se denota por ex(T ) el punto de Rn alcanzado en el tiempo t = T cuando u(t) = 0para todo t 2 [0; T ] ; i.e. el punto

ex(T ) = exp(AT )x(0)se observa que cualquier estado que pueda ser alcanzado en el tiempo T , comenzando desde

x(0) tiene necesariamente la forma ex(T ) + v; donde v es un elemento de V .Este argumento identica slo una condicin necesaria para que el estado x sea alcanzable

en el tiempo T . Sin embargo, sobre la suposicin adicional: (iii) V es el subespacio ms pequeo

el cual satisface (i) y (ii) ; entonces esta condicin es tambin suciente y (iii) ocurre si y slo

si se cumple la condicin de rango de controlabilidad de Kalman (2.14).

Por otra parte, como se demostr en el Teorema 2.1.2, el sistema (2.1) es controlable si y

slo si

rangoB AB ... An1B

= n; i.e d = n: (2.21)

23

En caso contrario d 6= n, la pareja (A11;B1) es una pareja alcanzable, i.e satisface lacondicin

rangohB1 A11B1 ... A

d111 B1

i= d

o dicho de otra manera, tiene la propiedad de que para cada x1 2 Rd existe una entrada u,denida en [0; T ] que satisface

x1 =

Z T0exp(A11(t ))B1u()d :

Entonces, si V es tal que la condicin (iii) se satisface, desde x(0) es posible alcanzar en el

tiempo T cualquier estado de la forma ex(T ) + v; con v 2 V:Este anlisis sugiere las siguientes consideraciones. Dado un sistema lineal de la forma (2.1),

sea V el subespacio ms pequeo de Rn que satisface (i) y (ii). Asociado con V se tiene unaparticin de Rn en subespacios de la forma

Sp = fx 2 Rn : x = p+ v; v 2 V g

caracterizados por la siguiente propiedad: el conjunto de puntos alcanzables en el tiempo T

comenzando desde x(0) coincide exactamente con el subespacio que contiene el punto ex(T ) =exp(AT )x(0); i.e. el punto alcanzable mediante la evolucin libre del sistema (u = 0); y los

puntos alcanzados desde ex(T ) por efectos de la entrada de control u que se logran por el aportede un vector v 2 V . Por tanto los puntos alcanzables siempre estarn en el subespacio paraleloa V

Sexp(AT )x(0) = fx 2 Rn : x = exp(AT )x(0) + v; v 2 V g

donde las ltimas nd componentes de cualquier vector permanecen constantes. Los elementosde esta particin son espacios paralelos d-dimensionales a V (Figura 2-1).

2.2. Controlabilidad de los sistemas no lineales

Un estudio sistemtico de la controlabilidad para sistemas no lineales fue comenzado desde

los aos 70s. Los trabajos desarrollados por [14], [4] y [2] plantearon un anlogo no lineal del

criterio de la condicin de rango para la controlabilidad propuesta por Kalman. Para presentar

dicho estudio, se considera el sistema no lineal afn con la entrada, denido por

af :x(t) = f(x) +

mXi=1

ui(t)gi(x) (2.22)

24

Trayectoria libre,sin accin de

control

x(0)

x(T)

Efecto de laentrada u

V

% ( )Txexp( ) (0)TS A x

v

Figura 2-1: Subconjunto alcanzable con u = 0 y efecto de la entrada u .

donde x(t) 2 M (subconjunto abierto de Rn o en una variedad suave M de dimensin n)y u(t) = col (u1(t); : : : ; um(t)) 2 U Rm (o una variedad suave de dimensin m): En staseccin se muestran los resultados ms importantes que permiten vericar de manera local la

controlabilidad de sistemas no lineales.

2.2.1. Propiedades y criterio de controlabilidad

Anlogo a la denicin de controlabilidad de los sistemas lineales, se presenta para los

sistemas no lineales la siguiente denicin:

Denicin 2.2.1 El sistema no lineal (2.22) es controlable si para todo x1, x2 2M existe unaentrada u que conduce el sistema desde el estado inicial x1 hacia el estado nal x2 en tiempo

nito.

Una primera aproximacin para estudiar los sistemas no lineales (2.22) es considerar su

linealizacin. Sin embargo, la linealizacin de estos sistemas a menudo ocasiona la prdida de

la estructura del sistema, existiendo sistemas no lineales que pueden ser controlables mientras

que su linealizacin no lo es [9, Ejemplo 3.5 pag. 76].

Retomando de nuevo el sistema no lineal (2.22), la pregunta que surge es: dado un x0 2M;en cules direcciones puede el sistema ser conducido mediante una entrada adecuada u?, i.e.cules puntos del espacio de estados pueden ser alcanzados desde x0 en tiempo nito? Primero

considere el caso en que el campo vectorial f 0 y por simplicidad slo se tiene dos entradas

25

u1, u2, i.e.

af :x(t) =

2Xi=1

ui(t)gi(x) = u1(t)g1(x) + u2(t)g2(x): (2.23)

Claramente para cualquier punto x0 2M; el sistema puede ser conducido directamente en todadireccin que est contenida en el subespacio generado por

G(x0) = geng1x0; g2x0

usando entradas u = (u1; u2) constantes. Estos no son los nicos puntos alcanzables desde x0;

ya que si se considera u(t) = (u1(t); u2(t)) dada por

u(t) =

8>>>>>>>:(1; 0);

(0; 1);

(1; 0);(0;1);

t 2 [0; h)t 2 [h; 2h)t 2 [2h; 3h)t 2 [3h; 4h)

; h > 0

y usando la expansin en series de Taylor se prueba en [9, Proposicin 3.6, pag. 77] que la

solucin del sistema (2.23) satisface

x(4h) = x0 + h2 [g1; g2] (x0) +O(h3)

con lo cual se evidencia que al menos aproximadamente, se puede conducir el sistema (2.23) des-

de x0 en la direccin dada por el corchete de Lie [g1; g2] (x0); en particular si [g1; g2] (x0) =2 G(x0)el sistema puede alcanzar puntos en direcciones por fuera de G(x0): Adems, escogiendo en-

tradas con conmutaciones ms elaboradas es posible conducir al sistema en direcciones dadas por

los corchetes de Lie de orden superior de g1 y g2; tales como [g2; [g1; g2]] ; [[g1; g2] ; [g2; [g1; g2]]] ;

etc.

En el caso en que el campo vectorial f est presente, por lo anterior se motivan las siguientes

deniciones y resultados.

Denicin 2.2.2 Considere el sistema no lineal (2.22). El lgebra de accesibilidad L es lasublgebra ms pequea de F(M), el lgebra de Lie de campos vectoriales en M; que contienea los campos vectoriales f; g1; : : : ; gm.

Note que L est bien denida, ya que la interseccin de dos sublgebras es de nuevo unasublgebra. Para los sistemas de la forma (2.22) en que se est enmarcado nuestro estudio, se

tiene una caracterizacin muy til del lgebra de accesibilidad L:

Proposicin 2.2.1 Todo elemento de L es una combinacin lineal de repetidos corchetes de

26

Lie de la forma

[Xk; [Xk1; [ ; [X2; X1] ]]] ; k = 1; 2; ::: (2.24)

donde Xi 2 ff; g1; : : : ; gmg y k se llama longitud de (2.24), que corresponde al nmero decorchetes de Lie iterados, ms 1:

Prueba. Sea % el subespacio lineal generado por (2.24). Por denicin de L se tiene que% L: Para probar que % = L, basta mostrar que % es una sublgebra. Considere dos expresionesarbitrarias de la forma (2.24) de longitudes j y l respectivamente

Z = [Zj ; [Zj1; [ ; [Z2; Z1] ]]]Y = [Yl; [Yl1; [ ; [Y2; Y1] ]]]

Por induccin sobre k, la longitud de Z, se tiene que:

i) Para k = 1; es claro que [Z; Y ] 2 %ii) Se supone que [Z; Y ] 2 % para todo Y , l arbitrario y para todo Z con j k. Ahora se

muestra que se cumple para todo Z de longitud k+1: Para esto sea j = k+1; por la identidad

de Jacobi (1.10) se tiene que si Z =Zj ; Z

1; donde Z1 = [Zj1; [ ; [Z2; Z1] ]]

Y;Zj ; Z

1+Z1; [Y; Zj ]

+Zj ;Z1; Y

= 0

Z1; [Zj ; Y ]+ Zj ; Z1; Y = [Z; Y ] : (2.25)Como Z1 tiene longitud j 1 = k, se sigue de la hiptesis inductiva que el primer trmino dellado izquierdo de (2.25) est en %, adems

Z1; Y

2 %; luego el segundo trmino tambin esten %.

Ahora se dene la distribucin de accesibilidad C como la distribucin generada por el

lgebra de accesibilidad L

C(x) = gen fX(x) : X es campo vectorial en Lg :

Como L es una sublgebra, se sigue que C es involutiva. Por otra parte, sea RM0(x0; T )el conjunto alcanzable desde x0 en el tiempo T > 0 siguiendo trayectorias que permanecen en

una vecindad M0 de x0 para t T y se denota RM0T (x0) = [T

RM0(x0; ):

Basados en esto se tiene el siguiente Teorema.

Teorema 2.2.2 Considere el sistema no lineal (2.22). Suponga que

dimC(x0) = n (2.26)

27

1( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )m

i ii

t f t u t g t V=

= + x x x x&M

M0

0x

x

0 0( , )MR Tx

U

u(t)

Tt0

Figura 2-2: Conjunto alcanzable desde x0:

Entonces para cualquier vecindad M0 de x0 y T > 0 el conjunto RM0

T (x0) contiene un subcon-

junto abierto no vaco de M:

Prueba. Por continuidad existe una vecindad W M0 de x0 tal que la dimC(x0) = npara todo x 2 W: Se construye una sucesin de subvariedades Nj en W de dimNj = j;j = 1; : : : ; n, de la siguiente manera. Para j = 1 se escoge X1 2 F(M) tal que X1(x0) 6= 0:Luego por el Teorema 1.1.1 para 1 > 0 sucientemente pequeo

N1 =

1(t1)(x

0) : 0 < t1 < 1

es una subvariedad de M de dimensin 1, contenida en W . Por induccin, se supone que se

construye una subvariedad Nj1 W de dimensin j 1 como

Nj1 =

j1(tj1) j2(tj2) 1(t1)

(x0) : 0 i < ti < i; i = 1; : : : ; j 1

donde

j1Pi=1i es arbitrariamente pequea. Si j 1 < n entonces se puede encontrar Xj 2 F(M)

y q 2 Nj1 tal queXj(q) =2 TqNj1 (2.27)

Si esto no fuera posible entonces X(q) 2 TqNj1 para cualquier X 2 F(M) y q 2 Nj1: Sinembargo por la Proposicin 1.4.1 esto podra signicar que se cumple para cualquier X 2 L;as la dimC(q) < n para todo q 2 Nj1 W; lo cual contradice la denicin de W . Ademsse puede tomar q en (2.27) arbitrariamente cerca de x0. Por tanto el mapeo

(tj ; : : : ; t1) 7!

j(tj) j1(tj1) 1(t1)

(x0)

28

tiene rango j en algn conjunto 0 i < ti < i; i = 1; : : : ; j: Luego por la Proposicin 1.4.2la imagen de este mapeo para i > 0; i = 1; : : : ; j sucientemente pequeo es una subvariedad

Nj W de dimensin j. Finalmente se concluye que Nn es el subconjunto abierto contenidoen RM

0

T (x0):

Del Teorema anterior se motiva la siguiente denicin anloga a la controlabilidad de los

sistemas lineales.

Denicin 2.2.3 El sistema no lineal (2.22) es localmente accesible desde x0 si RM0

T (x0) con-

tiene un subconjunto abierto no vaco de M; para toda vecindad M0 de x0 y para todo T > 0:

Si esto se cumple para cualquier x0 2M entonces el sistema es llamado localmente accesible.

Basados en el Teorema 2.2.2 y la denicin anterior, se tiene el siguiente resultado que

permite vericar la accesibilidad local de un sistema de control no lineal de la forma (2.22)

evaluando la dimensin del algebra de accesibilidad.

Corolario 2.2.3 Si dimC(x) = n para todo x 2 M entonces el sistema es localmente acce-sible.

A la ecuacin (2.26) se le conoce como la condicin de rango de accesibilidad en x0.Si (2.26) se cumple para cualquier x 2M entonces se dice que el sistema satisface la condicinde rango de accesibilidad. La relacin con la condicin de rango de controlabilidad de Kalman

para sistemas lineales se muestra en la Seccin 2.2.4.

Normalmente la propiedad local de accesibilidad no coincide con la controlabilidad [9, Ejem-

plo 3.14, pag 82], sin embargo en el caso en que f 0 f 2 gen fg1(x); : : : ; gm(x)g para todox 2 M en (2.22) la condicin de rango de accesibilidad implica controlabilidad en el caso enque F(M) sea simtrico [9, Proposicin 3.15 y Observacin 3.16].

2.2.2. Descomposicin de sistemas de control no lineales

En esta seccin se generaliza la nocin de descomposicin de los sistemas lineales. Para esto

es necesario introducir el concepto de distribucin invariante bajo un campo vectorial, que juega

un papel similar al de subespacio invariante bajo un mapeo lineal en el caso de los sistemas

lineales.

Denicin 2.2.4 Una distribucin se dice que es invariante bajo un campo vectorial f si

2 =) [f; ] 2

i.e. si el corchete de Lie de f con todo campo vectorial 2 es de nuevo un campo vectorialde .

29

Sea [f;] la distribucin generada por todos los campos vectoriales de la forma [f; ] con

2 ; i.e.[f;] = gen f[f; ] ; 2 g

Usando esta notacin, se dice que una distribucin es invariante bajo un campo vectorial f si

[f;] Suponga ahora que es una distribucin no singular de dimensin d. Luego por el Lema

1.4.3 es posible expresar, al menos de manera local, todo campo vectorial 2 en la forma

(x) =dPi=1ci(x) i(x)

donde 1; : : : ; d son los campos vectoriales que generan localmente a : Anlogo a lo realizado

en el Lema 1.4.4, se tiene el siguiente resultado que proporciona una condicin de invarianza

de bajo un campo vectorial f .

Lema 2.2.4 Una distribucin = gen f1; : : : ; dg no singular de dimensin d es invariantebajo un campo vectorial f si y slo si [f; i] 2 ; para todo i = 1; : : : ; d:

Prueba. ()) Es trivial ya que 1; : : : ; d son campos vectoriales de :(() Considere la expansin dada por (1.19)

f;dPi=1ci i

=

dPi=1ci [f; i] +

dPi=1(Lfci) i (2.28)

note que todos los campos vectoriales en el lado derecho de (2.28) son campos vectoriales de

:

La expresin (2.28) en particular muestra que

[f;] gen f[f; 1] ; : : : ; [f; d]g : (2.29)

Luego adicionando en ambos lados de (2.29) se deduce de (2.28)

+ [f;] = + gen f[f; 1] ; : : : ; [f; d]g+ [f;] = gen f1; : : : ; d; [f; 1] ; : : : ; [f; d]g (2.30)

La nocin de invarianza bajo un campo vectorial f es particularmente til cuando se tra-

baja con distribuciones completamente integrables, ya que esto proporciona una manera de

simplicar la representacin local de un campo vectorial dado.

Lema 2.2.5 Sea una distribucin no singular involutiva de dimensin d y suponga que esinvariante bajo el campo vectorial f . Entonces para cada punto x0 existe una vecindad M0 de

30

x0 y una transformacin de coordenadas z = (x) denida en M0, en la cual el campo vectorial

f est representado por un vector de la forma

f(z) =

266666666664

f1(z1; : : : ; zd; zd+1; : : : ; zn)...

fd(z1; : : : ; zd; zd+1; : : : ; zn)

fd+1(zd+1; : : : ; zn)...

fn(zd+1; : : : ; zn)

377777777775(2.31)

Prueba. Como la distribucin es no singular e involutiva entonces por el Teorema deFrobenius (Teorema 1.4.6) es tambin integrable. Adems para cada punto x0 existe una vecin-

dad M0 y una transformacin de coordenadas z = (x) denida en M0 con la propiedad de

que

gendd+1; : : : ; dn

= ?:

Sea f(z) la representacin del campo vectorial f en las nuevas coordenadas. Ahora considere

un campo vectorial (z) = col(1(z); : : : ; n(z)); y suponga que para cada i = 1; : : : ; n

k(z) =

(0; si k 6= i1; si k = i

:

Entonces f;

(z) = @f(z)

@z(z) = @f(z)

@zi:

Luego por (1.32), en las coordenadas escogidas, todo campo vectorial de se caracteriza por

la propiedad de que las ltimas n d componentes son nulas. Por tanto, si 1 i d; elcampo vectorial 2 : Como es invariante bajo f , entonces [f; ] 2 ; i.e. sus ltimas n dcomponentes deben ser nulas. Esto implica que

@fk@zi

= 0; para todo d+1 k n; 1 i d:Para los sistemas de control no lineales de la forma (2.22), la nocin de invarianza y el Lema

2.2.5 son usados para obtener una descomposicin similar a la descrita para los sistemas lineales

(Seccin 2.1.2).

Proposicin 2.2.6 Sea una distribucin no singular involutiva de dimensin d y supongaque es invariante bajo los campos vectoriales f; g1; : : : ; gm: Adems, suponga que la distribu-

cin gen fg1; : : : ; gmg : Entonces, para cada punto x0 es posible encontrar una vecindad M0de x0 y una transformacin de coordenadas z = (x) denida en M0 tal que, en las nuevas

31

coordenadas, el sistema de control (2.22) est representado por el sistema

1 = f1(1; 2) +

mXi=1

g1i(1; 2)ui (2.32)

2 = f2(2) (2.33)

donde 1 = (z1; : : : ; zd) y 2 = (zd+1; : : : ; zn)

Prueba. Por el Lema 2.2.5 existe, alrededor de cada x0, una transformacin de coorde-nadas locales que produce una representacin para los campos vectoriales f; g1; : : : ; gm de la

forma (2.31). En las nuevas coordenadas los campos vectoriales g1; : : : ; gm que por suposicin

pertenecen a ; son representados por campos vectoriales cuyas ltimas n d entradas sonnulas, ver (1.32).

La descomposicin local que se obtuvo es til para entender el comportamiento entrada-

estado de los sistemas de control no lineales (2.22). Suponga que las hiptesis de la Proposicin

2.2.6 se cumplen y sea x(0) = x0: Para pequeos valores de t el estado permanece en la vecindad

M0 de x0 y el sistema (2.32), (2.33) puede ser usado para interpretar el comportamiento del sis-

tema. De esto, se observa que las 2 coordenadas no son afectadas por la entrada u. Si se denota

por x0(T ) el punto de M0 alcanzado en el tiempo t = T cuando u(t) = 0 para todo t 2 [0; T ] sededuce de la estructura de (2.32), (2.33) que el conjunto de puntos que pueden ser alcanzados

en el tiempo T , comenzando desde x0, es el conjunto de puntos cuyas 2 coordenadas son nece-

sariamente iguales a las 2 coordenadas de x0(T ); [6] (Figura 2-3). Rigurosamente hablando, si

se puede encontrar una apropiada distribucin y la transformacin de coordenadas locales

z = (x) entonces se puede claramente identicar los estados del sistema que se comportan

independientemente de la entrada u en una vecindad de x0: Es importante notar que si la di-

mensin de es n; entonces la dimensin del vector 2 es cero, lo cual signica que la entrada

u afecta todas las variables de estado en una vecindad de x0; y as el sistema es localmente

accesible desde x0; [8].

La descomposicin local de los sistemas no lineales dada por la Proposicin 2.2.6 muestra

un comportamiento anlogo al descrito en la Seccin 2.1.2 para los sistemas lineales. El espacio

de estado puede ser particionado en subvariedades suaves ddimensionales (las rebanadas deM0) y los estados alcanzables en el tiempo T , a lo largo de trayectorias que estn en M0 para

todo t 2 [0; T ] ; quedan dentro de la rebanada que pasa a travs del punto x0(T ) alcanzado bajoentradas u nulas.

Con base en lo anterior, el primer paso para llevar a cabo el anlisis de la accesibilidad local

de los sistemas de control no lineales (2.22) es encontrar una distribucin C con las siguientes

propiedades:

32

x(0)

xo(T) x(T)

Trayectoria libre,sin accin de

control

Efecto de laentrada u

Figura 2-3: Supercies suaves ddimensionales y los estados alcanzables en el tiempo T:

1. C es involutiva.

2. C contiene la distribucin gen fg1; : : : ; gmg :3. C es invariante bajo los campos vectoriales f; g1; : : : ; gm:

Adems es necesario saber cul es el tamaoreal del subconjunto de puntos de la subva-

riedad suave ddimensional que pueden ser alcanzados en el tiempo T , por lo cual se considerala distribucin minimalque satisfaga las propiedades 1-3. Para esto es necesario el siguienteresultado, que se prueba en [6].

Lema 2.2.7 Sean una distribucin suave y 1; :::; q un conjunto de campos vectoriales da-dos. La familia de todas las distribuciones que son invariantes bajo 1; :::; q y contiene a

tiene un elemento minimal, el cual es una distribucin suave.

La distribucin ms pequea que contiene a y es invariante bajo los campos vectoriales

1; : : : ; q se denota por

gen f1; : : : ; q;g (2.34)

Por otra parte, dada una distribucin y un conjunto de campos vectoriales 1; : : : ; q; se

dene la siguiente sucesin no decreciente de distribuciones

0 =

k = k1 +qXi=1

[ i;k1](2.35)

33

La sucesin de distribuciones (2.35) tiene las siguientes propiedades:

i) k gen f1; : : : ; q;g ; para todo k:ii) Si existe un entero k tal que k = k+1; entonces k = gen f1; : : : ; q;g :Como se puede apreciar de los resultados anteriores, la distribucin (2.34) puede ser cons-

truida algortmicamente. A continuacin se presenta dicho algoritmo para el clculo de la dis-

tribucin de accesibilidad local de los sistemas de control no lineales (2.22).

2.2.3. Algoritmo para generar la distribucin de accesibilidad local

1. Condicin de partida0 = gen fg1; : : : ; gmg

2. Desarrollo de la distribucin de accesibilidad

k = k1 +mXi=0

[gi;k1] ; donde g0 = f:

3. Condicin de parada

Si existe un entero k tal que k = k+1; entonces

C = k = gen f1; : : : ; q;g

2.2.4. Ejemplo: Sistemas lineales

La construccin algortmica indicada en la Seccin 2.2.3 puede ser interpretada como el

anlogo no lineal de lo que corresponde a la construccin del subespacio minimal d-dimensional

V 2 Rn que cumple con las propiedades (i) y (ii) de la Seccin 2.1.2 para los sistemas lineales.Para ver esto, considere el sistema lineal (2.1) en el cual f(x) = Ax es un campo vectorial lineal

y g1 = b1; : : : ; gm = bm campos vectoriales constantes. Usando el algoritmo 2.2.3 se tiene

1. Condicin de partida0 = gen fb1; : : : ; bmg = ImB

2. Desarrollo de la distribucin de accesibilidad

Por el Lema 1.4.3 cualquier campo vectorial de 0 puede ser expresado como

(x) =

mXi=1

ci(x)bi

34

Claramente el corchete de Lie entre campos vectoriales constantes es cero, i.e. [bi; bj ] = 0;

i; j = 1; : : : ;m: Luego los nicos corchetes de Lie no nulos son

[f; bi] = [Ax;bi] = Abi; i; j = 1; : : : ;m

Por tanto

1 = 0 +

mXi=0

[gi;0] ="Por 2.30

gen fb1; : : : ; bm; [f; b1] ; : : : ; [f; bm]g

= gen fb1; : : : ; bm;Ab1; : : : ;Abmg = Im [Bj AB]

Similarmente, para k 1 los nicos corchetes de Lie no nulos son

[Ax; [Ax;bi]] = [Ax;Abi] = A2bi; : : : ; [Ax; [ ; [Ax;bi] ; ]] = (1)kAkbi (2.36)

y as,

k = ImhBj ABj j AkB

i3. Condicin de parada

Como k+1 k; un argumento de dimensionalidad prueba que existe un entero k < ncon la propiedad de que k = k+1: Luego n1; que es la distribucin ms grande dela sucesin, por las propiedades de (2.35), es la distribucin ms pequea invariante bajo

el campo vectorial f(x) = Ax y que contiene la distribucin gen fb1; : : : ; bmg : Por tanto,para cada x 2 Rn

C = k = n1 = ImBj ABj j An1B

Note que la condicin de rango de accesibilidad (2.26) coincide con la condicin de rango de

controlabilidad de Kalman (2.14). Luego si no se tuviera ningn conocimiento especial de los

sistemas lineales, al menos del Teorema 2.2.2 se sigue que los sistemas lineales que satisfagan

la condicin de rango (2.26) son localmente accesibles. Por supuesto, es sabido de la Teora de

los sistemas lineales que la condicin (2.26) es equivalente a la controlabilidad.

35

Captulo 3

Aproximacin a la vericacin de lacontrolabilidad de los sistemas dinmicosacoplados

Desde un punto de vista prctico, en el caso de los procesos qumicos, la mayora de ellos

estn conformados por dos o ms equipos integrados mediante intercambios de masa, energa

y cantidad de movimiento a travs de tuberas y separaciones fsicas. A estos sistemas se les

llama sistemas dinmicos acoplados. Todos los intercambios generan alta interaccin entre las

dinmicas propias de cada equipo. La interaccin siempre se ha visto como un inconveniente

para el control eciente del proceso, pero es posible aprovecharla para hacer ms fcil el control

de aquellas variables asociadas directamente con la calidad del producto. Cada equipo que

conforma un proceso es posible representarlo mediante un modelo matemtico compuesto por

un conjunto de relaciones matemticas que reejan las relaciones reales existentes entre las

variables del proceso. Debido a la complejidad de los procesos reales, cualquier modelo es una

imitacin de la realidad ya que tiende a ser idealizado por las suposiciones hechas durante su

desarrollo y generalmente proporciona una representacin el de slo algunas caractersticas del

proceso, denidas segn el problema presentado. Por lo anterior cualquier anlisis del sistema

real a travs de su modelo es limitado y se pueden esperar diferencias entre la operacin real

del proceso y la predicha por el modelo.

Para analizar estos modelos desde el punto de vista del control y en particular en lo que

concierne con la vericacin de la controlabilidad, muchos de los modelos obtenidos para repre-

sentar cada equipo de proceso, tienen la forma (1.4). Para estos modelos es posible vericar la

controlabilidad en el caso de los sistemas lineales mediante el Teorema 2.1.2 y la accesibilidad

local en el caso de los sistemas no lineales mediante el Corolario 2.2.3. La idea de este trabajo es

explorar la manera de vericar la controlabilidad de los sistemas dinmicos acoplados cuando

se ha demostrado controlabilidad a cada uno de los sistemas independientes para una regin

de su espacio de operacin. Por tal razn se propone la siguiente metodologa para vericar la

propiedad de inters de estos sistemas.

36

3.1. Metodologa para vericar la controlabilidad de los sis-

temas dinmicos acoplados

1. Desarrollar los modelos matemticos que representen adecuadamente cada uno de los sis-temas dinmicos. Los modelos deben tener la forma (1.6 1.4).

2. Vericar la controlabilidad (lineal) la accesibilidad local (no lineal) de cada modelo porseparado.

3. Usando los resultados obtenidos, analizar de manera completa el sistema dinmico acopladoconsiderando:

Las restricciones fsicas de los sistemas dinmicos que afecten la controlabilidad.

La descomposicin en estados controlables/no controlables.

3.2. Aplicacin de la metodologa

En sta seccin se trabaja con un modelamiento matemtico basado en leyes de conservacin

para un proceso de separacin de dos sustancias A (Amonaco) y B (Agua). Este modelo

presenta la estructura de un sistema dinmico no lineal afn con la entrada, por lo que los

resultados obtenidos en los captulos anteriores pueden ser utilizados para cada equipo por

separado. Luego se usa la metodologa planteada en el Seccin 3.1 para analizar el proceso

completo.

3.2.1. Modelamiento matemtico

En la Figura (3-1) se muestra un proceso de separacin de dos sustancias A (Amonaco) y

B (Agua). La mezcla lquida con una concentracin de amonaco de 0;312 fraccin molar, es

bombeada a 88;2 psig de presin y a 25oC de temperatura (punto 1).

Al pasar por el Intercambiador de Calor (IC) se aumenta la temperatura hasta 80oC median-

te el intercambio de energa con un uido trmico que entra caliente en contracorriente por 3.

A travs del intercambiador se considera una cada de presin de P = 5 psig. La solucin

pasa luego por una vlvula de choque en la que se reduce bruscamente la presin desde 83;2

psig (presin en el punto 2) hasta 14 psig (presin en el punto 5), producindose la vaporizacin

de parte del lquido. La mezcla lquido-vapor entra al tanque Flash en el que nalmente se

separa en las dos fases: vapor que va a la parte superior y se extrae por 6 travs de una vlvula

manejada por un control de regulacin de presin en el tanque y el lquido que va a la parte

inferior y se retira por 7 a travs de una vlvula que se acciona desde un sistema de control que

37

LC

TC

LTITT

Tsp

Lsp

PC

PT

Psp

1 2

4

3

5

PCPsp

PT

7

AT6

Figura 3-1: Diagrama de ujo del proceso de separacin

regula el nivel en el tanque. La variable de inters es la concentracin de A (Amonaco) en los

vapores, pues dicha corriente se retorna al proceso como reactivo til en un reactor.

El proceso que se desea modelar consta de dos sistemas: el primero es el intercambiador

de calor (I) y el segundo es el evaporador FLASH adiabtico con la vlvula de estrangulacin

(II). Para el sistema (I) se tiene la dinmica de energa del uido de proceso (uido fro) y

la dinmica de energa del uido de servicio (uido caliente), las cuales interactan mediante

la transferencia de calor que se da entre los uidos (ver Figura 3-2). Para el sistema (II) se

considera la dinmica de concentracin de amonaco en las dos fases y la dinmica de energa

(ver Figura 3-2).

Aplicando los principios de conservacin a cada uno de los sistemas y basados en ciertas

suposiciones se tiene el siguiente modelo matemtico que representa el comportamiento dinmi-

co del proceso de separacin de amonaco-agua. En la Seccin A. del apndice se muestra la

deduccin detallada del modelo. Las propiedades termodinmicas y relaciones de equilibrio son

tomadas de [11].

3.2.1.1. Sistema I: Intercambiador de calor (IC)

El sistema de ecuaciones diferenciales que modelan el sistema I es:

38

62

b) Sistema II

5

7

a) Sistema I

1

3

2

4

Figura 3-2: Sistemas a analizar del proceso de separacin de Amonaco-Agua.

dT2dt

=

v2Vf(T1 T2) +

U A (T3T2)(T4T1)lnT3T2T4T1

Vf2Cp;2

(3.1)

dT4dt

=

v3Vc(T3 T4)

U A (T3T2)(T4T1)lnT3T2T4T1

Vc4Cp;4

(3.2)

A = dfLIC , Vf =

4d2fLIC , Vc =

4(d2c (df + 2e)2)LIC

Las variables del modelo y sus unidades son

T2 temperatura de uido de proceso a la salida (estado) [K]

T4 temperatura de uido de servicio a la salida (estado) [K]

u1 =v3 ujo volumtrico del uido de servicio a la entrada (control)

hm3

s

i

39

Los parmetros constantes y sus valores para este proceso son

v2 = 3;3e 4 ujo volumtrico del uido de proceso

hm3

s

i2 = 892 densidad del uido de proceso

hkgm3

i4 = 1000 densidad del uido de servicio

hkgm3

iCP;2 = 4313 capacidad calorca a presin constante

hJkgK

iCP;4 = 4184 capacidad calorca a presin constante

hJkgK

idc = 0;0980 dimetro externo del tubo del uido caliente (tubo externo) [m]

df = 0;0735 dimetro interno del tubo del uido fro (tubo interno) [m]

e = 0;002 espesor del tubo interior [m]

LIC = 7 longitud del IC [m]

U = 1400 coeciente global de transferencia de calor

Jm2sk

Luego los campos vectoriales que dene el sistema (3.1, 3.2) son

f1(x1) =

2666666664

v2Vf(T1 T2) +

U A (T3T2)(T4T1)lnT3T2T4T1

Vf2Cp;2

U A (T3T2)(T4T1)

lnT3T2T4T1

Vc4Cp;4

3777777775; g1(x

1) =

266640

(T3 T4)Vc

37775x1 = col(T4; T2)

3.2.1.2. Sistema II: Separador Flash

El sistema de ecuaciones diferenciales que modelan el sistema II es:

dxAdt

=

2v2

MAxA;2+MB(1xA;2)xA;2

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2

PvvRT yA

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2

lvl

MAxA+MB(1xA)xA

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2(3.3)

dT

dt=

v2T2Vl

(MAyA +MB (1 yA))PVllCp;lR

vvCV;v

vlVlT (3.4)

Vl = r2L;

yA = 1;361xA + 0;5816 (3.5)

40

donde (3.5) es la ecuacin de equilibrio entre A y B en la fase lquida y gaseosa en el tanque

Flash. Las variables del modelo y sus unidades son

xA fraccin molar del amonaco en el lquido a la salida del ash (estado)

kmolAkmolesTotales

T temperatura de las fases en el ash (estado) [K]

u2 = T2 temperatura del uido a la entrada del ash (control) [K]

Los parmetros constantes y sus valores para este proceso son

xA;2 = 0;312 fraccin molar de amonaco

kmolAkmolesTotales

vl = 2;3e 4 ujo volumtrico del lquido a la salida

hm3

s

ivv = 0;0732 ujo volumtrico del vapor a la salida

hm3

s

il = 892 densidad del lquido a la salida del ash

hkgm3

iCP;l = 4313 capacidad calorca a presin constante del lquido

hJkgK

iCV;v = 4103;6 capacidad calorca a volumen constante del vapor

hJkgK

iMA = 17;03 peso molecular del amonaco

hkgAkmolA

iMB = 18;016 peso molecular del agua

hkgBkmolB

iP = 2 presin en el ash [atm]

r = 0;3 radio del ash [m]

L = 0;55 nivel del lquido en el ash [m]

R = 0;0821 constante de los gases idealeshm3atmkmolk

iLuego los campos vectoriales que dene el sistema (3.3, 3.4) son

f2(x2) =

266666664

2v2

MAxA;2+MB(1xA;2)xA;2

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2

PvvRT yA

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2

lvl

MAxA+MB(1xA)xA

VllMB

(MAxA+MB(1xA))2

(MAyA +MB (1 yA))PVllCp;lR

vvCV;v

vlVlT

377777775;

g2(x2) =

26640

v2Vl

3775 ; x2 = col(xA; T )3.2.2. Vericacin de la controlabilidad

Se construye la distribucin de accesibilidad usando el algoritmo descrito en la Seccin 2.2.3.

41

3.2.2.1. Sistema I: Intercambiador de calor (IC)

1. Condicin de partida

0 = gen fg1g = genf24 0(T3 T4)

Vc

35g2. Desarrollo de la distribucin de accesibilidad

1 = 0 + [f1;0] = gen fg1; [f1; g1]g2 = 1 + [f1;1] + [g1;1] = gen fg1; [f1; g1] ; [f1; [f1; g1]] ; [g1; [f1; g1]]g

Usando (1.7), el clculo del corchetes de Lie [f1; g1] es

@f1x1

@x1=

2666666666666666664

v1Vf UA

lnT3T2T4T1

2VfCp;2

+ UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

22VfCp;2(T3T2)

UAlnT3T2T4T1

2VfCp;2

+

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

22VfCp;2(T4T1)

UA

lnT3T2T4T1

4VcCp;4

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

24VcCp;4(T3T2)

UA

lnT3T2T4T1

4VcCp;4

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

24VcCp;4(T4T1)

377777777777777777522

@g1x1

@x1=

"0 0

0 1Vc

#22

Luego

[f1; g1]x1=

26666666666666664

UAlnT3T2T4T1

2VfCp;2

+ UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

22VfCp;2(T4T1)

! 1Vc (T3 T4)

1V 2c Cp;44

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

UA

lnT3T2T4T1

4VcCp;4

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

24VcCp;4(T4T1)

!

1Vc(T3 T4)

3777777777777777521

42

y as

1x1= genf

24 0(T3 T4)Vc

35 ;

26666666666666664

UAlnT3T2T4T1

2VfCp;2

+ UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

22VfCp;2(T4T1)

! 1Vc (T3 T4)

1V 2c Cp;44

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

UA

lnT3T2T4T1

4VcCp;4

UA(T3T2T4+T1)lnT3T2T4T1

24VcCp;4(T4T1)

!

1Vc(T3 T4)

37777777777777775g

3. Condicin de parada

La dimensin de 1x1es 2 para cualquier punto del espacio de estados y como no es

posible incrementar la dimensin de la distribucin de accesibilidad el algoritmo se detiene en

el paso 1. Luego dimCx1= dim1

x1= 2 y por el Corolario 2.2.3 el sistema (I) es

localmente accesible.

3.2.2.2. Sistema II: Separador Flash

1. Condicin de partida

0 = gen fg2g = genf

264 0v2Vl

375g2. Desarrollo de la distribucin de accesibilidad

De manera anloga se calcula la distribucin de accesibilidad para este sistema, donde

[f2; g2]x2=

2666664PvvyA(MAxA +MB(1 xA))2v2

VlMBRT 2

vlv2Vl

377777521

y as

43

1x2= genf

264 0v2Vl

375 ;2666664PvvyA(MAxA +MB(1 xA))2v2

VlMBRT 2

vlv2Vl

3777775g

3. Condicin de parada

La dimensin de 1x1es 2 para cualquier punto del espacio de estados y como no

es posible incrementar la dimensin de la distribucin de accesibilidad, el algoritmo se

detiene en el paso 1. Luego dimCx2= dim1

x2= 2 y por el Corolario 2.2.3 el

sistema (I) es localmente accesible.

3.2.3. Anlisis completo: sistemas acoplados

De acuerdo con los resultados obtenidos, los sistemas I y II son localmente accesibles, es

decir para cada sistema, dado un estado inicial x0 para cualquier vecindadM0 de x0 y T > 0 el

conjunto RM0

T (x0) contiene un subconjunto abierto no vaco que contiene los puntos alcanzables

desde x0 mediante acciones de control adecuadas. Ahora, con respecto al acoplamiento de

los sistemas, el estado T2 del sistema I se convierte en una entrada del sistema II y as la

accesibilidad local del sistema acoplado slo estar afectada por las restricciones fsicas que

el sistema I imponga, tales como la temperatura mxima y temperatura mnima que podra

alcanzar el estado T2.

Una situacin interesante se presenta cuando se considera un equipo adicional, al cual le

ingresan la corriente de vapor rica en amonaco que sale del ash. Este equipo es un reactor

cuyo modelo consiste de tres balances de masa. El desarrollo detallado del modelo se encuentra

en [8]. El sistema de ecuaciones diferenciales que modelan el reactor (sistema III) es:

dF

dt= (S)F F

vrVr

(3.6)

dS

dt= (S)F

+(Sf S)vr

Vr(3.7)

dVrdt

=vr (3.8)

(S) =maxS

K1 + S +K2S2

44

Las variables del modelo y sus unidades son

F concentracin de biomasa (estado)gl

S concentracin de sustrato (estado)

gl

Vr volumen del reactor (estado) [l]

u3 =vr ujo volumtrico a la entrada del reactor (control)

lh

Los parmetros constantes y sus valores para este proceso son

= 0;5 coeciente de rendimiento

max = 1 mxima velocidad de crecimientoh1

K1 = 0;03 parmetro cintico

gl

K2 = 0;5 parmetro cintico

hlg

iSf = 10 inuencia de la concentracin del sustrato

gl

Luego los campos vectoriales