Tesis Final JC

COLEGIO DE CIENCIA Y TECNOLOGA

LICENCIATURA EN INGENIERA EN SISTEMAS ELECTRNICOS

INDUSTRIALES

Evaluacin experimental de esquemas de control de velocidad del

motor de corriente directa de excitacin separada

TRABAJO RECEPCIONAL

PARA OBTENER EL TTULO DE LICENCIADO EN

INGENIERA EN SISTEMAS ELECTRNICOS INDUSTRIALES

PRESENTA

JUAN CARLOS FABIN PLIEGO

Director del trabajo recepcional

Dr. Cuauhtmoc Guerrero Tejada

Mxico, D.F. junio de 2015

Agradecimientos

Le agradezco a la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico (UACM) por haber

forjado mis estudios en la licenciatura de Ingeniera en Sistemas Electrnicos Industria-

les en el plantel San Lorenzo Tezonco, de igual manera el nanciamiento del proyecto

Control e Identicacin de Parmetros de Mquinas Elctricas por medio del con-

venio UACM/OAG/ADI/004/2011 as como la donacin de espacios para realizar el

equipamento de laboratorios.

Le doy gracias a mis padres Leonel y Blanca por apoyarme en todo momento e inculcar

en mi valores con gran esmero, darme la oportunidad de concluir mis estudios y contar

con su apoyo incondicional en el transcurso de mi formacin acadmica, y a lo largo

de mi vida.

A mis hermanos Christopher y Yulivani, por ser una gran parte importante en mi vida

y contar con su apoyo a lo largo de mi formacin tanto en lo acadmico y familiar,

demostrando los valores inculcados por nuestros padres, producto de su esfuerzo y la

educacin que en cada uno de nosotros han forjado.

A mi novia Magdalena por apoyarme en el transcurso de mi formacin en esta institu-

cin, aportndome con su comprensin y paciencia en los momentos necesarios, llenos

de desesperacin al realizar los trabajos encomendados para realizar la totalidad de

mis crditos requeridos para certicar cada una de las materias.

Les agradezco sobre todo a los profesores, por su conanza, comprensin, apoyo y

dedicacin durante su colaboraron en cada materia impartida a lo largo de mi estancia

en la institucin e impartir sus conocimientos aclarando dudas durante el desenlace

de mi formacin acadmica. Un especial agradecimiento a los profesores: M.I. Hoover

Mujica Ortega, UNAM, Facultad de Ingeniera, Divisin de Ingeniera Elctrica (DIE),

Dr. Daniel Noriega Pineda, UACM, plantel Casa Libertad, Dr. Marcos ngel Gonzlez

Olvera, UACM, Plantel SLT, Dr. Juan Mauricio ngeles Cervantes, UACM, Plantel

SLT, por formar parte en mi examen profesional y sobre todo al Dr. Cuauhtmoc

Guerrero Tejada,UACM, Plantel SLT, el cual acept tomar el puesto como director del

presente trabajo, por su paciencia, consejos y esmero.

A Roberto por demostrar un trabajo en equipo durante la implementacin, desarrollo de

los sistemas electrnicos e investigacin del funcionamiento del motor de CD estudiado

en el presente trabajo. De igual manera le expreso mi ms sincera gratitud a todos mis

compaeros, amigos con los que trabaj, conviv y compart cada experiencia a lo largo

de cada da.

A la la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico (UACM) por medio de la

Coordinacin de Servicios Estudiantiles (CSE) por el apoyo recibido para la impresin

y empastado de los ejemplares del presente trabajo recepcional.

iResumen

El presente trabajo se desarroll en la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico

(UACM), plantel San Lorenzo Tezonco, en el Laboratorio de Electrnica de Potencia

con apoyo del nanciamiento para el proyecto denominado Control e Identicacin

de Parmetros de Mquinas Elctricas con clave UACM/SS/12-13/079/INT bajo la

supervisin en un inicio del rea de Desarrollo e Investigacin (ADI) y posteriormente

por la Comisin de Investigacin de la Universidad. En este escrito, se aborda el tema

llamado Evaluacin Experimental de Esquemas de Control de Velocidad del Motor

de Corriente Directa de Excitacin Separada, el cual cuenta con valores nominales:

de 3=4 HP, corriente de armadura de 3:2 A, velocidad nominal de 1750 rpm, voltajede alimentacin de campo y armadura de 240 V de corriente continua. Este motor fuedonado a la UACM, y se encuentra disponible para su operacin con una etapa de

acondicionamiento de seales y electrnica de potencia.

La etapa de electrnica de potencia, cuenta con dos fuentes de voltaje de recticacin

trifsica de media onda no controladas, que entregan un voltaje mximo de 168 V.Para generar la seal de control se implement una fuente de voltaje variable mediante

el diseo de circuitos de electrnica digital para generar una seal PWM, una etapa

de aislamiento entre sta y el circuito de electrnica de potencia. Ambas fuentes de

voltaje y acondicionamiento se describen a detalle en el Apndice A. La evaluacin

se realiz en una plataforma experimental con una tarjeta de adquisicin de datos

dSPACE 1103, la cual se puede manipular a travs de una computadora personal con

un sistema operativo Windows y bloques de MATLAB/SIMULINK

R.

En el segundo captulo se presenta una descripcin de las fuerzas fsicas y mecni-

cas presentes en el funcionamiento del motor estudiado, dando una breve explicacin

de cada una y su interaccin en conjunto durante el trabajo de la mquina elctrica

estudiada. As mismo, se presentan los modelos que describen el funcionamiento del

motor.

Cada esquema de control, que fue analizado en el presente trabajo, se describe en el

tercer captulo, y los modelos presentados son evaluados por medio de simulacin, des-

cribiendo la sintonizacin empleada en cada uno. Para su implementacin se usaron los

parmetros de la mquina encontrados bajo pruebas experimentales, las cuales estiman

tanto la constante electrmotriz mediante el acoplamiento de un motor secundario al

eje del motor as como las constantes de origen elctricos realizando pruebas de corrien-

te directa y de corriente alterna. En ste mismo captulo, se describen las respuesta

de: velocidad, corriente de armadura y voltaje de control. Asmismo, haciendo uso de

la respuesta a escaln, se determinaron los parmetros mecnicos correspondientes al

coeciente de friccin viscosa y el momento de inercia. Dichas pruebas se explican en el

Apndice B, en el cual se menciona un mtodo alternativo para la obtencin del valor

de la inductancia de armadura, al lector interesado ver [Krishnan, 2001b].

De igual manera, en el cuarto captulo se describen los resultados de la evaluacin

experimental de los esquemas de control de velocidad evaluados, los cuales son: PID de

ii

dos grados de libertad, retroalimentacin de estados con observador de estados y accin

integral, y un tercer esquema el cual es retroalimentacin de estados por comando

de corriente. Por otro lado, se presenta un anlisis de las respuestas de: velocidad,

corriente de armadura, voltaje de control y error de velocidad. Las pruebas en forma

real se realizaron bajo el software proporcionado por los fabricantes (ControlDesk) de

la tarjeta de adquisicin de datos dSPACE 1103 y para ello se generaron los archivos

que se requeran por medio de MATLAB/SIMULINK

R.

Finalmente, se describen las caractersticas de desempeo, al aplicar una seal de re-

ferencia de velocidad tipo escaln, as como una comparativa entre los tres esquemas

presentados para el desempeo obtenido en velocidad, voltaje de control y corriente de

armadura.

ndice general

1. Introduccin 1

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Organizacin del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Fundamentos de la mquina de corriente directa de excitacin sepa-

rada 7

2.1. Fuerzas magnticas, elctricas y mecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Intensidad de corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3. Flujo de campo magntico sobre una supercie . . . . . . . . . . 8

2.1.4. Fuerza ejercida por un campo magntico . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.5. Voltaje inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Funcionamiento del motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Campo magntico generado en el campo . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2. Accin del conmutador y movimiento de armadura . . . . . . . 14

2.3. Construccin del motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Modelo del motor de CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. Modelo en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iii

iv NDICE GENERAL

2.4.2. Funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3. Modelo con comando de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Esquemas de control de velocidad del motor de corriente directa 27

3.1. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1. Diseo de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Control por retroalimentacin de estados con

observador de estados y accin integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Ganancias del control por retroalimentacin de estados con ob-

servador de estados y accin integral . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Control con retroalimentacin de estados por comando de corriente . . 42

3.3.1. Diseo de control por retroalimentacin de estados por comando

de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Implementacin de los esquemas de control en tiempo real 47

4.1. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Controlador por retroalimentacin de estados con observador de estados

y accin integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3. Controlador con retroalimentacin de estados por comando de corriente 54

4.4. Comparacin de los esquemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Conclusiones 61

5.1. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A. Acondicionamiento de voltajes de control 65

B. Identicacin de parmetros 71

ndice de guras

2.1. Flujo magntico a travs de una supercie, [Martn Blas, 2012]. . . . . 9

2.2. Ejemplo de Ley de Ampere, [Martn Blas, 2012]. . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Descripcin de la regla de la mano derecha, [Maloney, 2006]. . . . . . . 11

2.4. Espira de lado a y b expuesta a un campo magntico, [Martn Blas, 2012]. 11

2.5. Par en una espira, [Martn Blas, 2012]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6. Electroimn en un ncleo de hierro, [Angel Camarena, 2013]. . . . . . . 14

2.7. Lineas de ujo en un imn, [Chapman, 2005]. . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8. Conmutador, [Maloney, 2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9. Componentes de un motor de CD, [Maloney, 2006]. . . . . . . . . . . . 18

2.10. Escobillas de un motor de CD, [Chapman, 2005]. . . . . . . . . . . . . 19

2.11. Estator y polos del campo magntico generado, [Maloney, 2006]. . . . . 20

2.12. Rotor de una mquina de CD, [Kuo, 1996]. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.13. Diagrama esquematico de un motor de CD, [Guerrero et al., 2013]. . . . 21

2.14. Diagrama de bloques de un motor de CD. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.15. Motor de CD con un lazo interno de control de corriente, [Chiasson, 2005]. 25

3.1. Respuesta escaln motor de CD de excitacin separada en lazo abierto. 29

3.2. Diagrama de bloques control PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. PID un grado de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. PID dos grados de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5. Respuesta de velocidad PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

v

vi NDICE DE FIGURAS

3.6. Error de velocidad esquema de control PID. . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.7. Corriente de armadura esquema de control PID. . . . . . . . . . . . . . 36

3.8. Voltaje de armadura, esquema de control PID. . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9. Esquema retroalimentacin de estados con observador y accin integral. 38

3.10. Respuesta de velocidad, esquema retroalimentacin de estados con ob-

servador y accin integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.11. Voltaje de control y corriente de armadura, esquema retroalimentacin

de estados con observador y accin integral. . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.12. Diagrama de bloques, esquema de control comando por corriente. . . . 44

3.13. Respuesta de velocidad de control de seguimiento por retroalimentacin

de estado por comando de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.14. Voltaje de control y corriente de armadura del control seguimiento por

retroalimentacin de estado por comando de corriente. . . . . . . . . . 45

4.1. Respuesta de velocidad de un PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Error de velocidad PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Voltaje de control PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4. Corriente de armadura, control PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5. Implementacin experimental de control PID. . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6. Respuesta de velocidad, retroalimentacin de estados. . . . . . . . . . . 52

4.7. Error de velocidad, retroalimentacin de estados. . . . . . . . . . . . . 53

4.8. Voltaje de control, retroalimentacin de estados. . . . . . . . . . . . . . 53

4.9. Corriente de devanado de armadura, esquema retroalimentacin de es-

tados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.10. Implementacin experimental de retroalimentacin de estados. . . . . . 54

4.11. Respuesta de velocidad comando corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.12. Error de velocidad comando corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.13. Voltaje de control, esquema comando corriente. . . . . . . . . . . . . . 56

4.14. Corriente armadura comando corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

NDICE DE FIGURAS vii

4.15. Implementacin experimental de comando de corriente. . . . . . . . . . 57

4.16. Respuesta velocidad esquemas de control de velocidad. . . . . . . . . . 58

4.17. Respuesta de velocidad esquemas de control de velocidad. . . . . . . . . 58

4.18. Voltaje de esquemas de control de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.19. Voltaje de esquemas de control de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.20. Corriente de armadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.1. Diagrama a bloques sistema de acondicionamiento . . . . . . . . . . . . 65

A.2. Circuito optoacoplador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.3. Retraso de PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.4. Circuito fuente de voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.5. Circuito de acondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B.1. Identicacin de inductancia de armadura La, la cual fue tomada de[Krishnan, 2001b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B.2. Recta de constante electrmotriz Kb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.3. Respuesta al escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

B.4. Validacin de modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

viii NDICE DE FIGURAS

Captulo 1

Introduccin

En la actualidad existe una gran cantidad de industrias en las cuales se desarrolla una

diversidad de productos, pues han incrementado las necesidades de los consumidores.

Dichas industrias estn conformadas por distintas reas como son: administracin,

recursos humanos, produccin, solo por mencionar algunos de los departamentos de

trabajo que a aquellas las conforman. Cada una adquiere importancia durante las tareas

que tienen asignadas; por ejemplo para el rea de produccin es indispensable tener en

cuenta las condiciones necesarias para la elaboracin de un producto, de esta manera

seleccionar el equipo que satisfaga dichas necesidades y as aumentar considerablemente

la productividad, por esto es que surge la necesidad de la automatizacin. La mayor

cantidad de procesos desarrollados de forma ms precisa en la industria involucran el

uso de al menos una de tantas mquinas elctricas rotativas existentes actualmente.

1.1. Antecedentes

Al pasar de los aos y por las necesidades de la sociedad que se dan en la actualidad, se

han desarrollado un gran nmero de mquinas elctricas, como son: transformadores,

motores de corriente directa y motores de corriente alterna. Las cuales han sido de

gran ayuda en muchas aplicaciones industriales para resolver muchas situaciones en la

industria. Debido a los requerimientos de distintas aplicaciones, surge la necesidad de

la implementacin de las mquinas elctricas de forma automatizada en la industria y

con ello obtener un desempeo ptimo en las tareas a realizar.

1.2. Motivacin

Al ampliar las posibilidades de emplear la automatizacin de procesos en la indus-

tria, se han utilizado mquinas elctricas con el n de obtener un mayor desempeo y

para conseguirlo ha sido indispensable estudiarlas y analizarlas. Para esto ltimo, es

necesario obtener un modelo matemtico que describa a la mquina en cuestin y pos-

teriormente implementar o disear algn esquema de control, que logre un desempeo

aceptable de la mquina elctrica.

1

2 Captulo 1. Introduccin

Una de las mquinas elctricas ms empleadas para alto desempeo en la industria es

el motor de corriente directa (CD), esto debido al tipo de manejo de la mquina y su

respuesta; ya que presenta grandes ventajas respecto al motor de corriente alterna.

En primer lugar su modelo matemtico presenta una estructura lineal y por lo tanto

el estudio, anlisis e implementacin de un esquema de control a sta es relativamente

sencillo. En la actualidad, hay una gran diversidad de esquemas de control para el

motor CD; la seleccin va de acuerdo con el objetivo que se desee alcanzar. Esto es

importante para denir y llevar a cabo la eleccin del tipo de esquema de control, que

satisfaga las necesidades de desempeo para esta mquina elctrica.

1.3. Objetivos

En el presente trabajo se desarrolla el anlisis de esquemas de control, aplicados a

un motor de corriente directa, en simulacin y experimentalmente de cada esquema

de control de velocidad. Desarrollar el acoplamiento electrnico, para realizar prue-

bas de funcionamiento de un motor de corriente directa, en el cual pueda ser posible

implementar esquemas de control a partir de una seal analgica.

Otro punto importante a mencionar, es que sea posible realizar una prueba de un

correcto funcionamiento de todas las etapas implementadas de todos los sistemas elec-

trnicos desarrollados, antes de realizar los experimentos de algn esquema de control.

Con ello, descartar fallas por un mal funcionamiento de la electrnica implementada.

A partir de la realizacin de simulacin, tomar una decisin de que esquemas realizar

en pruebas experimentales, partiendo de los resultados obtenidos, en las respuestas de

velocidad y voltaje de control.

El desarrollar la implementacin electrnica, permitir realizar el anlisis de desem-

peo de los esquemas de control en simulacin en tiempo real. En lo referente a este

trabajo, se busca obtener la menor amplitud de esfuerzo de control, consiguiendo un

menor tiempo de asentamiento (ts), haciendo uso de los esquemas que se describen msadelante y la electrnica desarrollada para su implementacin.

El objetivo es implementar esquemas de control lineal al motor de corriente directa de

excitacin separada de tal manera que ! ! !ref (t) bajo la consideracin que:

Se tiene disponible la medicin de la velocidad angular de la echa.

Se conocen en forma exacta todos los parmetros del motor de corriente directa.

El par de carga se considera nulo.

A partir de la respuesta en lazo abierto, obtener caractersticas de desempeo en lazo

abierto del motor de CD y decidir las especicaciones de diseo.

1.4. Hipotesis 3

1.4. Hipotesis

Debido a que se supone conocidos en forma exacta los parmetros del motor, la medicin

de la velocidad angular y que el modelo matemtico del motor tiene una estructura

lineal consideramos que en la implementacin en tiempo real de los esquemas de control

deben ser semejantes a los de la simulacin computacional.

La respuesta de velocidad obtenida, puede no tener un comportamiento similar al

obtenido en simulacin, lo cual se debe a varios factores, entre los cuales, se hace

presente el desempeo de la electrnica implementada, los valores de las constantes del

motor, etc.

1.5. Organizacin del trabajo

Este escrito est dividido de manera tal que en el segundo captulo se describen los

elementos que conforman al motor de CD de excitacin separada, dando una explicacin

de cmo es cada elemento y su contribucin al funcionamiento de dicho motor. Adems,

se describen las fuerzas y variables fsicas que se hacen presentes en el funcionamiento

de aqul, lo cual hace posible el movimiento de su rotor a una velocidad angular (!).

Adems, se obtienen variantes del modelo matemtico, como son: el modelo a bloques,

modelo en espacio de estados, funcin de transferencia y modelo con comando de

corriente. Cada uno describe el funcionamiento del motor de CD de excitacin separada;

estos son tiles para el estudio de cada uno de los esquemas de control de velocidad. Ya

que para desarrollar el diseo de cada esquema es requerida alguna de estas variantes

y as realizar la sintonizacin del mismo.

Una vez obtenidos los modelos matemticos del motor de CD de excitacin separada,

se describen en un tercer captulo los esquemas que se estudiaron, analizaron e imple-

mentaron durante este trabajo, tanto a nivel de simulacin computacional, as como su

evaluacin experimental en tiempo real utilizando una tarjeta de adquisicin de datos

dSPACE 1103.

Se presenta un anlisis de la respuesta ante una entrada tipo escaln en lazo abier-

to, describiendo el desempeo en el dominio del tiempo, estudio de estabilidad en el

lugar geomtrico de las races (LGR). Adems, se muestran las matrices de estabili-

dad y observabilidad. Se seleccionaron tres esquemas, los cuales sern analizados uno

a uno, dando una descripcin de su desempeo en cuanto a exigencia de voltaje de

control, corriente de armadura, satisfaccin de condiciones de diseo y error en estado

estacionario, para dicho n, los esquemas seleccionados son:

Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID de dos grados de libertad), en el

cual se aprovecharon las bondades de las tres acciones para disear y sintonizar

este tipo de controlador.


Retroalimentacin de estados con observador de estados y accin integral, hacien-

do uso de la propiedad de modicar el comportamiento de un sistema aadiendo

polos para conseguir una respuesta deseada del sistema y por medio de la tcnica

de observadores de estados, estimar el comportamiento de todos los estados, de

esta manera realizar una estrategia de control por retroalimentacin de estados

y con una accin integral, conseguir un error de cero en estado estacionario.

Control de seguimiento por retroalimentacin de estados por comando de corrien-

te y observador, aprovechando las bondades del uso de modelos simplicados y

partiendo de la denicin de errores.

En el caso del esquema PID se analizan dos posibles formas de implementar las acciones

de control, ya que normalmente este esquema de control es el ms usado en la academia,

en el cual se analizan las tres acciones en serie con el sistema actuando en el error. En

este trabajo se aborda una segunda opcin como lo propone [Astrm and Murray,

2010], en la cual es colocada la accin integral en interaccin con el error y las dos

acciones restantes slo con la salida, este mtodo logra benecios en la funcin de

trasferencia en lazo cerrado, los cuales son mencionados y se presenta una comparacin

de los benecios obtenidos.

Se hace mencin de mtodos de sintonizacin para el PID. La sintonizacin de los esque-

mas por medio de asignacin de polos, donde dichas races de la ecuacin caracterstica

son elegidas bajo condiciones de diseo, considerando un tiempo de asentamiento tr yun porcentaje de sobrepaso (%OS).

En el esquema de retroalimentacin de estados con comando corriente y observador,

se hace uso de un modelo reducido, en el cual se desprecia la dinmica elctrica para

la implementacin de un control de corriente y se busca conseguir un seguimiento de

velocidad a partir de corriente.

De igual manera en el tercer captulo, se presenta la simulacin de los esquemas de

control de velocidad antes mencionados, dando un resultado comparativo de los pa-

rmetros de desempeo, ante una entrada de referencia de velocidad tipo escaln de

cada uno. Realizando estas pruebas por medio de MATLAB/SIMULINK

Rutilizando

nicamente bloques bsicos, para obtener una repuesta de velocidad angular ante una

entrada de referencia (wref ), y realizar una comparacin previa a la implementacinexperimental.

En el cuarto captulo se describe la implementacin fsica para los esquemas estudiados

en este trabajo, se realiz una vez llevada a cabo la simulacin de cada uno, teniendo

as un prembulo de las ganancias de control. Para dicho n se realizaron cambios

de bloques, en los cuales se intercambia el modelo del motor de corriente directa por

bloques de adquisicin de posicin por medio de un decodicador, y para la salida de

seal de control se agregaron bloques para el convertidor digital-analgico (DAC), todo

implementado con una tarjeta de adquisicin de datos dSPACE 1103.

Los niveles de voltaje y corriente de los mdulos DAC de dicha tarjeta, se encuen-

tran limitados en la corriente y voltaje que puede producir para la implementacin

1.5. Organizacin del trabajo 5

fsica, se tienen que tener en cuenta estas lmitantes, ya que de sobrepasarlos, pueden

daarse dichos mdulos. Para realizar el acoplamiento de niveles de voltaje se imple-

ment mediante una fuente de voltaje, controlada por una seal PWM (Pulse- Width

Modulation).

Dado que los esquemas implementados son en lazo cerrado, es de vital importancia

acondicionar las seales de las variables fsicas que se pueden medir a travs de ins-

trumentacin electrnica, en ste trabajo estas seales son de corriente de armadura

y posicin angular de la echa, donde la ltima es medida mediante un codicador

incremental, al derivarla mediante un diferenciador sucio de segundo orden compen-

sado [Mujica et al., 2014], se tiene el valor de la velocidad. Por otra parte, mediante

un sensor efecto Hall se obtiene la corriente.

Haciendo uso de dicha instrumentacin fue posible realizar la evaluacin experimental,

mostrando los resultados obtenidos dejando las condiciones de implementacin simila-

res. Para cada esquema de control de velocidad, se realiza una descripcin de manera

individual para las respuestas obtenidas en velocidad, error de velocidad, voltajes de

control, una comparativa entre la respuesta del observador implementado, corriente real

medida directamente y la corriente medida a travs de un ltro paso bajas. En el penl-

timo captulo se presenta una comparacin de los tres esquemas de las caractersticas

de desempeo que presentan en el dominio del tiempo.

Finalmente en el captulo 5 se muestran las conclusiones obtenidas del anlisis realizado

a lo largo del presente trabajo, la importancia de conocer el funcionamiento del sistema

en que se aplique un esquema de control para obtener los valores de las constantes fsicas

involucradas. Se exponen adems los trabajos a futuro que se pueden realizar en cuanto

a la implementacin de esquemas de velocidad, esto basado en la experiencia de este

trabajo, ya que hay una diversidad de esquemas de control.

La respuesta de los esquemas de control puede ser mejorada, bajo un panorama distinto

en condiciones de evaluacin. Un camino posible para ello, es mejorar la fuente de

alimentacin de voltaje y el acoplamiento de seales, para obtener una comparacin en

la cual se disminuyan los parmetros que agregan ruido a la seal de control. Otro modo

favorable sera, aumentar la resolucin del convertidor digital-analgico correspondiente

de la seal de control y disminuir el error entre la seal de control y la aplicada al

sistema, logrando de esta manera un mejor desempeo del o los esquemas a comparar

y as el desempeo depender del propio esquema.

Cabe mencionar que se agregan dos apndices, en el primero se describe la elaboracin

del acondicionamiento de seal de control hacia el motor de CD usado durante la

evaluacin experimental, en el cual se incluye la descripcin a detalle de cada etapa: de

aislamiento, procesamiento de seal, acoplamiento entre etapa de acondicionamiento y

etapa de electrnica de potencia. En un segundo y ltimo apndice se describe cada

mtodo implementado para realizar la identicacin de los parmetros involucrados en

el modelo presentado en el captulo dos, los cuales son usados en los clculos realizados

en la sintonizacin de los esquemas de control de velocidad implementados en este

trabajo.

Captulo 2

Fundamentos de la mquina de

corriente directa de excitacin

separada

En 1821 el qumico dans Oersted desarrolla el electromagnetismo, es hasta ese momen-

to que el fsico Michael Faraday aprovecha esta propiedad de un material conductor y

realiza experimentos para descubrir que una corriente en un conductor provoca un cam-

po magntico, dando lugar a la induccin electromagntica, con esto el descubrimiento

del principio de la mquina de corriente directa.

Un motor de CD puede ser de fcil uso y, debido a su estructura fsica, tiene un funcio-

namiento sencillo y una diversidad de aplicaciones. Puede operar en distintos intervalos

de velocidades mediante un control sencillo, o complejo, segn requiera el sistema. Una

vez que adquiere un movimiento angular se genera un par de fuerza rotacional, la

transmisin de ste a cualquier sistema, se realiza por medio de acoplamiento de ejes,

mediante poleas con bandas o chicotes, engranes, coples, por mencionar algunos de los

mtodos ms usados en la industria.

El motor de CD puede ser usado para el movimiento de robots industriales, juegos

mecnicos, puertas automticas, traccin de tren elctrico, entre muchas ms de sus

posibles aplicaciones.

2.1. Fuerzas magnticas, elctricas y mecnicas

El funcionamiento de una mquina elctrica est basado en dos principales fuentes de

energa: elctrica y mecnica. En cada una de stas desarrolla la unin de atribuciones

por parte de los elementos que las conforman; en conjunto hacen posible el funciona-

miento de la mquina elctrica.

7

8 Captulo 2. Fundamentos de la mquina de corriente directa de excitacin separada

2.1.1. Intensidad de corriente elctrica

Al aplicar un campo elctrico a un conductor. Las cargas elctricas en ste experimentan

una fuerza, la cual ocasiona que dichas cargas se encuentren en movimiento, y el ujo

de las cargas, produce a travs del conductor una corriente elctrica [Floyd et al., 2007].

Denicin 1: intensidad de corriente elctrica (I) es la cantidad de carga elctrica (Q)que atraviesa la seccin de un conductor por unidad de tiempo t

I =Q

t=

dQ

dt: (2.1)

2.1.2. Inercia

Dado que un slido est conformado por un conjunto de partculas, este puede ser

estudiado como un sistema discreto [Giancoli and Garrido, 2002]. El momento de inercia

de un cuerpo slido depende de su eje de giro, de manera que se puede describir el

momento de inercia de un cuerpo slido como

In =

Zr2 dm; (2.2)

donde dm es una diferencial de masa del cuerpo slido, r2 es el cuadrado de la distanciaal centro del eje de giro.

Para obtener una expresin para la densidad de un cuerpo de manera que la inercia

dependa de la densidad del slido denotada por , y describir a dm en funcin de unadiferencial de volumen dv como:

dm = dv;

de esta manera la ecuacin (2.2) se puede reescribir de la siguiente manera

In =

Zr2 dv: (2.3)

2.1.3. Flujo de campo magntico sobre una supercie

Algunos materiales poseen la propiedad de ser conductores de cargas elctricas, llamada

conductividad. En magnetismo esta propiedad es llamada permeabilidad magntica

denotada por , la cual depende de la relacin directa con dos magnitudes: densidadde campo magntico (

~B), la cual depende del medio en el que se encuentre, e intensidad

de campo (

~H), sta a diferencia de la densidad de campo esta no depende del mediopues se encuentra en el espacio, la relacin entre ambas es:

~B = ~H; (2.4)

2.1. Fuerzas magnticas, elctricas y mecnicas 9

donde es la permeabilidad del material, [Chapman, 2005]. Si entonces un cuerpo derea A es expuesto a la densidad de campo magntico constante B, se crean dos polos,llamados norte y sur denotados por N y S respectivamente. Las lneas de campo salendel polo norte y entran al polo sur formando un circuito cerrado, como se muestra en

la Figura 2.1. Donde el ujo total es la densidad de campo magntico por unidad derea, por lo que es importante denir una diferencial perpendicular a la supercie, en

misma gura se muestra como

~ds para un punto dado, y se relaciona con el ujo como

=

Z~B ~ds: (2.5)

Figura 2.1: Flujo magntico a travs de una supercie, [Martn Blas, 2012].

Considerando la Figura 2.2, se observa que los ujos de lnea estn en una trayectoria

cerrada con un diferencial de longitud

~dl, permeabilidad del vaci 0 y una densidad decampo magntico

~B, se relacionan por medio de la Ley de Ampere, y se puede describircomo I

~B ~dl = 0I: (2.6)

La Ley de Ampere, [Sears et al., 2004], es ilustrada con la Figura 2.2, en la cual para

un conductor circular de radio r, con una diferencial de lnea con valor de 2r, conuna densidad de campo magntico B generado por una corriente I y sustituyendo enla Ec. (2.6), la densidad de campo magntico B que est dado por

jBj = 0I2r

: (2.7)

Sustituyendo en la Ec. (2.7) el valor de la corriente I que circula por el conductor, seobtiene

B =0V

2rR; (2.8)

donde V es el voltaje aplicado al conductor y R es la resistencia del mismo, puesto questa es constante, se deduce que la densidad de campo magntico B es directamenteproporcional al voltaje.


Figura 2.2: Ejemplo de Ley de Ampere, [Martn Blas, 2012].

2.1.4. Fuerza ejercida por un campo magntico

En un conductor por el cual circula una corriente I, Ec. (2.1), provoca el ujo de cargaq. Esta experimenta una fuerza que al exponerse a una densidad de campo magnticoB, Ec.(2.8), [Sears et al., 2004], la magnitud de dicha fuerza se encuentra expresadapor

Fm = q ~Vqx ~B ; (2.9)

donde

~Vq es la velocidad de la carga q; debido a que el producto cruz de dos vectoreses el producto entre stos y el seno del ngulo formado por ellos, la Ec. (2.9) se puede

reescribir como

Fm = q ~Vq ~B sin() ; (2.10)

donde es el ngulo formado entre ~Vq y ~B. De la Ec. (2.10) se deduce que

Fm =

(mxima cuando = 900

mnima cuando = 00(2.11)

Fuerza ejercida por un campo magntico en un conductor

A un conductor de longitud l el cual se encuentre formando un circuito cerrado sele denomina espira. Si una espira es expuesta a una densidad de campo magntico

B uniforme, la fuerza que provoca el movimiento de la espira en presencia de dichadensidad de campo, est dada por [Fink et al., 1984]

F = BlI ; (2.12)

donde I es la corriente que uye a travs del conductor al encontrarse en movimiento,debido a esto, la fuerza ejercida es distinta de cero. La direccin de sta se puede

determinar por medio de la regla de la mano derecha como se muestra en la Figura

2.3.

2.1. Fuerzas magnticas, elctricas y mecnicas 11

Figura 2.3: Descripcin de la regla de la mano derecha, [Maloney, 2006].

Para obtener la direccin de la fuerza resultante del producto cruz de dos vectores

~Iy

~B, por medio de la designacin de la mano derecha, es necesario colocar los dedosde forma recta apuntando el sentido de la corriente

~I, manteniendo el pulgar como seindica en la gura, la direccin de la fuerza resultante ser la sealada por el pulgar al

cerrar los dedos en la direccin de densidad de campo

~B.

Fuerza Ejercida por un campo magntico en una espira

Supongamos una espira rectangular de lados a y b, como se muestra en la Figura 2.4,expuesta a una densidad de campo magntico

~B uniforme situado en el plano de laespira.

Figura 2.4: Espira de lado a y b expuesta a un campo magntico, [Martn Blas, 2012].

.

La fuerza neta ejercida por la densidad de campo magntico

~B sobre la espira, estdistribuida en cada uno de sus lados (a y b). Dado que la direccin de B a lo largo dellado a es paralelo, la fuerza ejercida en dichos lados es nula, mientras que a los ladosb es perpendicular, se puede aplicar la Ec. (2.12) resultando en dos fuerzas como

~F1 = Il1 ~B = Ib ~B ; (2.13a)

~F2 = Il2 ~B = Ib ~B ; (2.13b)


donde I es la corriente que uye por la espira, dando esto como resultado un par defuerzas de igual magnitud, puesto que la corriente I es la misma para toda la espira,pero dicha corriente uye en sentidos opuestos reejndose en direcciones contraras a

estas fuerzas, ejerciendo un par de fuerza con respecto al lado a de la espira mostradacomo se observa en la Figura 2.5

Figura 2.5: Par en una espira, [Martn Blas, 2012].

donde r1 y r2 es el radio del centro de la espira a su extremo correspondiente y F1;2estn dadas por las Ecs. (2.13a) y (2.13b). El par total de fuerza est denido por la

sumatoria de dichos pares de fuerza ejercidos, partiendo de la Figura 2.5, en la cual la

espira cuenta con una distancia del centro de giro, de valor a=2, dicho par puede serexpresado como

=a

2F1 +

a

2F2 =

a

2(F1 + F2) ;

=a

2(IbB + IbB) = abIB ;

~ = I ~BA ; (2.14)

donde A es el rea de la espira. El momento resultante de las fuerzas de la espira,cuando sta adquiere un cambio en su posicin angular debido a que las fuerzas sepresentan en direcciones opuestas generando el par de fuerza . De esta manera laespira adquiere una velocidad angular.

2.1.5. Voltaje inducido

La fuerza electromotriz o fem de una fuente se dene como el trabajo realizado por eldispositivo por una unidad de carga, por lo que las unidades de la fuerza electromotriz

son volts, descrita por la ley de Faraday:

e ddt

; (2.15)

donde es el ujo magntico expresado por la Ec. (2.5); si aplicamos la Ec. (2.15) auna espira para determinar su velocidad, al ser expuesta al cambio de ujo magntico,

es necesario jar un punto x como su posicin inicial, ste puede ser a lo largo de uno

2.2. Funcionamiento del motor de CD 13

de sus lados a o b, el ujo magntico que pasa sobre la espira, se encuentra dado de lasiguiente forma

= Bx :

Sustituyendo esta expresin de ujo en la ecuacin (2.15) se obtiene

e = NBdx

dt; (2.16)

donde N es el nmero de vueltas de la espira, dado que es la variacin de la posicinlineal x respecto al tiempo, la Ec. (2.16) se puede reescribir como

e = NB : (2.17)

donde es la velocidad de la espira.

2.2. Funcionamiento del motor de CD

Ya que se han mencionado en el apartado anterior las fuerzas elctricas, magnticas y

mecnicas, es posible describir la contribucin de cada magnitud fsica a lo largo del

funcionamiento del motor de CD. Con lo que se realizar un anlisis ms a detalle de

esta mquina elctrica partiendo de su modelo matemtico.

2.2.1. Campo magntico generado en el campo

En el estator de la mquina CD de excitacin separada, se encuentran alojados los

devanados de campo. En el instante en que es conectado el devanado de campo a

una fuente de voltaje en aqul se genera una corriente I, al pasar el ujo de corrientepor el devanado se genera un campo magntico obteniendo as un electroimn con un

campo electromagntico dado por la Ec. (2.7), en la Figura 2.6, se puede observar

un electroimn, donde el sentido de la corriente I es representada por las echas,representando as lo que sucede en el devanado de campo. Debido a lo antes mencionado

se generan pares de polos, los cuales se denominan norte y sur como se observa en la

Figura 2.7, la cual corresponde a un corte transversal de un motor, donde al centro de

esta imagen se muestra un crculo que representa el eje de la armadura, se observa que

las lneas de ujo salen del polo norte y entran al polo sur. El ujo genera dos fuerzas

en los costados del devanado de armadura perpendiculares a dicho ujo, pero debido

la construccin misma del motor existen instantes en que la magnitud de las fuerzas

generadas es nula. Es por esta razn que es necesario contar con pares de bobinas.

Dado que el rea A de cada bobina es constante, la densidad de campo magntico Bgenera un ujo dado por la Ec. (2.5).

= B A :


Figura 2.6: Electroimn en un ncleo de hierro, [Angel Camarena, 2013].

Figura 2.7: Lineas de ujo en un imn, [Chapman, 2005].

Debido a que la bobina est construida de alambre con seccin transversal de radio rcconstante y en l uye una corriente ic constante y su permeabilidad es , esta dependedel medio en el que este presente la bobina, esta tiene una resistencia Rc, de acuerdocon la Ec. (2.8) podemos denir una constante Cc

Cc =

2rcRc;

dada esta constante y aplicando la Ley de Ohm, podemos reescribir la Ec. (2.8) como

Bc =Vc

2rcRc= CcVc ; (2.18)

donde Vc es el voltaje aplicado al campo, dado que Cc es constante, la densidad decampo magntico Bc creado por el estator es directamente proporcional al voltajeaplicado en el devanado de campo.

2.2.2. Accin del conmutador y movimiento de armadura

Cada devanado de armadura est conectado a las terminales de suministro de energa

por medio del conmutador; estos devanados estn aislados entre si. Para comprender el

2.2. Funcionamiento del motor de CD 15

funcionamiento del conmutador del motor de CD este se considera como un generador

de corriente directa.

Las escobillas son las encargadas de transmitir la seal de voltaje aplicado al devanado

de armadura, por medio del conmutador. Si tratamos al conmutador con slo una espira

de armadura conectada a un nico par de segmentos aislados.

Cada extremo de la espira, hace contacto con un polo de la fuente de voltaje aplicada

al devanado de armadura. En la espira uye una corriente (ia) debido a la diferenciade potencial en sus terminales, y al ser expuesta a una densidad de campo magntico

(B) originado por los devanados de campo, ya sea de origen elctrico o producido porun imn permanente, se generan dos fuerzas en direcciones opuestas en cada uno de

los costados de la espira, dadas por la Ec. (2.12). Haciendo que sta comience a variar

su posicin angular () respecto a las escobillas, ya que stas se encuentran jas a latapa correspondiente al extremo de la mquina CD.

Suponiendo que la espira de armadura se encuentra en la posicin (), como se muestraen la Figura 2.8, por lo tanto, le corresponde una posicin de 90. Debido al movimientoangular las fuerzas van cambiando su direccin de acuerdo a la posicin donde se

encuentre la espira, suponiendo un giro en sentido horario. Cuando la espira alcanza

una posicin angular de 180, las fuerzas se anulan y el par de fuerza total generadoes cero. Como consecuencia de la inercia dada por la Ec. (2.2), que presenta, la espira

continan su giro y a consecuencia los extremos de la espira cambian de polaridad al

hacer nuevamente contacto con el conmutador, generando un nuevo par de fuerzas.

Figura 2.8: Conmutador, [Maloney, 2006]


De esta manera es que la espira cambia de polaridad lo cual se debe a la accin del

conmutador, que es un elemento del motor de CD que realiza el cambio de polaridad

en las espiras del elemento, con el n de invertir la direccin de las fuerzas creadas

por el ujo de corriente y la densidad de campo magntico (B) y de esta manera sigaaumentando la posicin angular ().

Al estar la espira expuesta a una densidad de campo magntico (Bc), sta adquiereuna velocidad angular !, debido a esto se genera una fem inducida donde el nmerode vueltas de la espira es N y tiene una velocidad lineal a y se encuentra dada por laecuacin (2.17) y describindola de la siguiente manera

e = NBca : (2.19)

Es importante tener en cuenta, el principio de funcionamiento del motor de CD y su

modelo matemtico, para posteriormente disear un esquema de control que permita

un mayor desempeo del mismo, en las distintas aplicaciones en que sea incorporado, a

diferencia del que se podra obtener, si se emplea por medio de un control de encendido

y apagado sin regular su velocidad. Esto es relativamente sencillo pero no suciente

para el objetivo que en muchas ocasiones se desea. Con los requerimientos necesarios

de voltajes y corrientes, es posible disear una fuente de voltaje o de corriente para

conseguir que dicho motor de CD cumpla con el seguimiento de una seal deseada

(seal de referencia); esto se puede realizar mediante la variacin de voltaje aplicado al

campo, si despejamos a a de la ecuacin (2.19), y sustituyendo el valor de Bc se tiene

a =e

NCcVc: (2.20)

Con el n de realizar un anlisis ms claro, se denir una constante considerando que

e, N y Cc son de valor jo. Se dene Ca como

Ca =e

NCc:

Sustituyendo Ca en la Ec. (2.20), se tiene que la velocidad queda expresada como

a =CaVc

: (2.21)

Adicionalmente, si se relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular de un cuerpo

en movimiento rotacional.

= ra! ;

sustituyendo esta relacin en la Ec. (2.21) se obtiene una expresin de la velocidad

angular dada por:

! =CaraVc

=FaVc

; (2.22)

donde Fa =Cara, la velocidad angular de la armadura, es inversamente proporcional al

voltaje de campo, por otro lado, la intensidad de campo magntico de los devanados

2.3. Construccin del motor de CD 17

del campo es directamente proporcional al voltaje aplicado al devanado de campo, es

decir

! =

(aumenta si Vc disminuye

disminuye si Vc aumenta

Dada la dependencia de la velocidad angular de la armadura con respecto al voltaje

aplicado al devanado de campo, se suele utilizar como una entrada para realizar alguna

tarea de control. El cambio de la seal de control provocar un aumento o disminucin

de la velocidad angular, segn sea la variacin que est presente; para obtener un control

con desempeo satisfactorio, es necesario obtener el modelo matemtico y aplicar una

tcnica de control.

2.3. Construccin del motor de CD

Los motores de CD son clasicados de acuerdo a la construccin fsica de los devanados

de estator y rotor presentes, dichos elementos pueden encontrarse conectados entre si;

ya sea en paralelo o en serie, inclusive totalmente aislados.

A los motores de circuito de estator en serie con el devanado de rotor se le denomina

motor serie, los motores de CD que contienen una conexin en paralelo de la bobina

de estator y rotor se les denomina motor en paralelo. Adicionalmente existen los de

excitacin separada pues no hay conexin elctrica entre sus bobinas, este ltimo a

diferencia de los dos anteriores requiere de dos fuentes de alimentacin.

Tambin existen los motores de imn permanente, los cuales no necesitan generar un

campo magntico esttico para su funcionamiento, pues ste es proporcionado por me-

dio de un imn, el cual se encuentra jo en el estator. Las conguraciones mencionadas

son las principales formas de la construccin interna de los devanados de un motor de

CD.

Este trabajo est dedicado exclusivamente al estudio de motor de CD de excitacin

separada, el cual est compuesto principalmente de un estator, escobillas, conmutador y

rotor. El estator tambin es comnmente llamado campo, el rotor es llamado armadura

de esta manera es como se har referencia a estos elementos. Se describen cada uno

de los elementos que la conforman as como el funcionamiento de la mquina CD,

mostrada en la Figura 2.9.

Tapa y balero

Estos elementos conforman una de las partes mecnicas de la mquina CD, su principal

funcin es proporcionar soporte al eje por medio de dos tapas, una se ubica en un

extremo de la mquina CD donde se hay una parte saliente del eje de armadura; una

segunda tapa se localiza en el otro extremo paralelo a la primera. La funcin de los

baleros es permitir un giro libre con eje jo y una friccin menor de la armadura, de


Figura 2.9: Componentes de un motor de CD, [Maloney, 2006].

esta manera es como la mquina de CD mantiene un giro libre sobre su eje. El tamao

de cada uno de estos componentes es diseado segn el peso, dimetro, velocidad y

otros factores mecnicos que afectan al eje de giro.

Conmutador y escobillas

Estos elementos se encuentran en un extremo de la armadura, en el cual no hay parte

saliente del eje. El conmutador est situado sobre el eje, es de forma cilndrica y est

elaborado de material conductor puesto que es encargado de conectar las bobinas de

armadura situadas a 180o una respecto a otra. Cada conexin se encuentra aislada,esto con el n de energizar una bobina a la vez. De dicho modo, es posible crear un

campo magntico al aplicar voltaje a esta, debido al ujo de corriente que se presenta.

Las escobillas estn situadas en el mismo extremo del conmutador jas a la tapa co-

rrespondiente, como se observa en la Figura 2.10. Por lo general tienen una forma de

barra y estn fabricadas de grato; el voltaje aplicado a las bobinas de armadura es

conectado mediante stas; una de las caras paralelas de dicho grato al contorno del

conmutador se encuentra sujeta a un resorte, de manera que, mantiene los gratos en

contacto con el conmutador.

Conforme los gratos sufran un desgaste por funcionamiento de la mquina y dado que

es un material blando, el contacto con el conmutador llega a ser nulo. Esta es una de

las principales causas de fallas en la mquina CD, lo cual provoca que las ferritas no

proporcionen la energa elctrica a las bobinas de armadura. Es una principal desventaja

respecto a las mquinas de AC, en lo que corresponde a mantenimiento preventivo y

correctivo.

2.3. Construccin del motor de CD 19

Figura 2.10: Escobillas de un motor de CD, [Chapman, 2005].

Campo y placa de caractersticas

El campo de un motor es un cilndro de hierro. Debido a que es un material ferro-

magntico, de permeabilidad magntica , la magnitud que presenta un material a laoposicin de ujo magntico es

=j ~Bjj ~Hj : (2.23)

En el campo se alojan los devanados denominados de campo. La cantidad de bobinas

que aloja es por pares, generando un par de polos por cada bobina y se encuentra

denotada por P . Cada par de polos se encuentra orientado a una separacin de 180

una respecto a la otra, al conectar el campo a una seal de voltaje se genera un

polo norte y sur colocados en lados opuestos, Figura 2.11, creando de as, un campo

magntico uniforme.

Cada motor de CD cuenta con varias especicaciones nominales y estas se encuentran

en la parte externa del campo llamada carcasa y se localizan en una placa, estas ca-

ractersticas dependen de cada motor, los valores que se encuentran en esta placa de

caractersticas pueden ser:

Marca

Modelo

Potencia nominal

Voltaje nominal de alimentacin de campo

Voltaje nominal de alimentacin de armadura

Corriente nominal de alimentacin de armadura

Velocidad nominal


Estos parmetros son tiles para tomar la decisin de qu motor de CD cumple con las

caractersticas para la aplicacin que se desee emplear, por esto es importante tener en

cuenta estos parmetros antes de adquirir y operar el motor de CD.

Figura 2.11: Estator y polos del campo magntico generado, [Maloney, 2006].

Armadura

Otro elemento importante que conforma al motor de CD es la armadura o rotor, sta es

la parte mvil, pues durante el funcionamiento, ya sea como generador o como motor,

se encuentra en movimiento angular. La armadura se encuentra sostenida por medio

de baleros; en una de las tapas se encuentra la punta saliente del eje, el cual es usado

para colocar aditamentos, los cuales permitan desarrollar una tarea especca al motor

de CD; en el extremo posterior de la armadura se encuentra el conmutador.

Se puede observar en la Figura 2.12, un corte transversal de una mquina CD, en la

que se muestra de lado izquierdo la armadura de la mquina CD y del lado derecho un

par de polos magnticos generados en el campo de la mquina CD.

Figura 2.12: Rotor de una mquina de CD, [Kuo, 1996].

2.4. Modelo del motor de CD 21

2.4. Modelo del motor de CD

En el funcionamiento del motor de CD se hacen presentes distintas fuerzas como son:

elctricas, magnticas y mecnicas. Para obtener el modelo matemtico es necesario

tener una representacin, ya sea en ecuaciones diferenciales, modelo en espacio de

estados o bien funcin de transferencia. Estos modelos tienen una relacin entre las

principales fuerzas involucradas, de esta se analiza su comportamiento ante diferentes

seales de prueba mediante simulacin numrica y posteriormente realizar pruebas de

distintos esquemas de control, con el n de realizar un anlisis comparativo entre los

esquemas de control aplicados al motor de CD a nivel simulacin y pruebas en el sistema

fsico. El modelo presentado en este trabajo esta basado en el motor de CD excitado

separadamente, y parte del diagrama esquemtico de la Figura 2.13.

Para realizar dicho modelo se consideran las siguientes variables y constantes:

va = V oltaje aplicado a la armaduraia = Corriente de armaduraLa = Inductancia de la armaduraRa = Resistencia de armaduraeg = Fuerza electromotrizvf = V oltaje aplicado al campoif = Corriente de campoLf = Inductancia del campoRf = Resistencia de campo! = V elocidad angular del motord = Par de motorBm = Coeficiente de friccin viscosaJ = Inercia del rotorL = Par de carga

Ra

La

eg

ia

va

Rf

Lf

if

vf

d

L

B

J

+

-

-

+

+

-

Figura 2.13: Diagrama esquematico de un motor de CD, [Guerrero et al., 2013].

Para obtener el modelo del motor de CD de excitacin separada, es necesario encon-

trar las relaciones matemticas entre las fuerzas de origen elctrico, presentes en el

funcionamiento del motor de CD de excitacin separada. Aplicando ley de voltajes

de Kirchho, al circuito de armadura para obtener las ecuaciones correspondientes al


circuito elctrico de armadura, se tiene

Raia + Ladiadt

+ eg = va ; (2.24)

donde Raia, es la energa disipada, Ladiadtes la energa almacenada, eg es la energa quees trasformada de mecnica a elctrica y va es el voltaje aplicado al motor.

De igual manera, para obtener la dinmica elctrica del campo del motor de CD de

excitacin separada aplicando ley de voltajes de Kirchho a dicho circuito se tiene

Rf if + Lfdifdt

= vf : (2.25)

Para determinar el valor de la fuerza electromotriz eg, tomando en cuenta que se en-cuentra ligada a la construccin fsica del motor, como es la longitud y dimetro del eje

de armadura, cantidad de polos P, cantidad de conductores Z en el campo con un ujo

magntico por polo f . El conjunto de todos estos detalles estructurales se concentranen una constante de proporcionalidad K. De acuerdo con [Krishnan, 2001b], la feminducida es expresada en conjunto con la velocidad angular ! como

eg = Kf! : (2.26)

Si el voltaje aplicado a los devanados del campo es constante se tendr que el ujo

generado en el campo tambin constante, implica que la fem inducida sea proporcional

a la velocidad de armadura por lo tanto la constante de proporcionalidad es

eg = Kb! ; (2.27)

donde Kb pertenece a la constante electromotriz, ligada al ujo magntico f y a lafem por una K, la cual concentra los detalles estructurales, de manera que es expresadacomo

Kb = Kf :

Otra relacin importante que se debe tomar en cuenta, es el par generado en el eje de

armadura por la fuerza ejercida debido a la corriente ia, Ec. (2.13). De igual maneraque la fem, el par generado depende de la estructura fsica del motor. Para determinardicho par, se parte de la fuerza ejercida sobre la espira de armadura con longitud l y Nvueltas, expuesta a la densidad de campo magntico B, la cual se encuentra descritapor

F = NBlia :

La fuerza ejercida F se presenta en cada uno de los lados perpendiculares de la espiraa la densidad de ujo magntico B, de modo que la fuerza total aplicada es 2F , por lotanto el par de fuerza total ejercido es

= 2NBlria ; (2.28)


donde r es la distancia entre el eje de giro y el conductor, por lo que si se dene unaconstante Kt = 2NBlr denominada constante de par, se tiene

= Ktia : (2.29)

A pesar de que la constante electromotriz Kb y la constante de par Kt son dos parme-tros que resultan de distintas naturalezas, la primera es de origen mecnico y la segunda

de origen elctrico ambas con la inuencia de los ujos magnticos del devanado de

campo, estas estn estrechamente relacionados [Kuo, 1996]. De modo que, analizando

el motor como generador de energa mecnica, el cual genera un par de fuerza dado por

la Ec. (2.28) y por otra parte, suponiendo una velocidad ! de armadura y analizando laconservacin entre potencia elctrica y potencia mecnica [Krishnan, 2001b], se puede

realizar un anlisis en estado estacionario, por lo cual la dinmica elctrica descrita

por (2.24), donde la corriente de armadura es constante. Debido a esto, el cambio de

la corriente de armadura es cero y la Ec. (2.24) se puede reescribir como

Rai2a + egia = vaia ; (2.30)

donde egia es la potencia efectiva que es transformada de energa elctrica a energamecnica, la potencia del entrehierro es Pa, la relacin matemtica entre ellas se puedeexpresar como

Pa = !d = egia : (2.31)

De manera tal que el par de fuerza electro magntico est representado por

d =egia!

: (2.32)

Sustituyendo la fem inducida de la Ec. (2.27) en la Ec. (2.32), obtenemos una relacin

para el par electromagntico representado como

d = Kbia : (2.33)

Por lo que observando la Ec. (2.33) y la Ec. (2.29) las constantes de par Kt y laconstante electromotriz son iguales si el ujo magntico en los devanados de campo es

constante.

El momento de inercia J , con un coeciente de friccin viscosa Bm y un torque a.Estos parmetros se relacionan mediante

Jd!

dt+Bm! = d L = a ; (2.34)

donde el par de carga externa es L.


2.4.1. Modelo en espacio de estados

Una vez descritas, las ecuaciones que relacionan las dinmicas, elctricas y mecnicas

presentes en el motor de CD de excitacin separada, es importante contar con el modelo

matemtico. Para ello, partiendo de la Ec. (2.24) y la Ec. (2.34), el modelo en espacio

de estados del motor de CD de excitacin separada es de la siguiente manera_x1_x2

=

RaLa

KbLa

KbJ

BmJ

x1x2

+

1La

0

u+

0 1

J

L (2.35a)

y =0 1

x1x2

; (2.35b)

donde x1 = ia la corriente de armadura, x2 = ! la velocidad angular del rotor, u = va elvoltaje de armadura y considerando L como una entrada de par de carga y la constantede par es igual a la constante electromotriz Kb = Kt.

2.4.2. Funcin de transferencia

La funcin de trasferencia

!va(s)puede ser obtenida a partir del modelo dado por la Ec.

(2.35), despreciando el par de carga L = 0, la cual resulta de la forma

G!V (s) =Kb

JLas2 + (BmLa + JRa)s+ (BmRa +K2b ): (2.36)

El diagrama de bloques que se muestra en la Figura 2.14, corresponde a la funcin

de trasferencia de la Ec. (2.36) de un motor de CD de excitacin separada [Chiasson,

2005], en donde se puede observar que el par de carga L es una entrada al sistema.

Figura 2.14: Diagrama de bloques de un motor de CD.

2.4.3. Modelo con comando de corriente

Considerando, un motor empleado como generador de energa mecnica, con voltaje de

campo vf constante y entrada de voltaje de armadura va, de modo que la ecuacin deenerga mecnica dada por la Ec. (2.34) y sustituyendo en esta la Ec. (2.33), se puede


observar que el par d es proporcional a la corriente. Teniendo una entrada de corriente,[Chiasson, 2005], sera fcil especicar un par, para ello, es conveniente agregar un lazo

interno de control de mando corriente.

Con el n de forzar a que el voltaje del control sea el necesario para obtener la corriente

deseada. Partiendo de la Ec. (2.24) y la Ec. (2.34), y al derivar la posicin angular ,para obtener la velocidad angular ! y aplicando la transformada de Laplace se tiene

ia(s) =Kb!(s) + V (s)

sLa +Ra; (2.37)

!(s) =Kbia L(s)sJ +Bm

; (2.38)

(s) =1

s!(s) : (2.39)

Para especicar la entrada de corriente, se agrega un control proporcional Kpc en elerror de la corriente. La ganancia de este debe ser mayor que cero, por lo que la funcin

de transferencia resulta en

G(s) , !(s)ir(s)

;

=KpcKb

(sLa +Ra +Kpc)(sJ +Bm) +K2b

; (2.40)

=Kb

sLa +RaKpc

+ 1

(sJ +Bm) +

K2bKpc

; (2.41)

con ir(s) como una entrada de referencia para la corriente de armadura del sistema,asumiendo L = 0.

En la Figura 2.15 se presenta el diagrama de bloques correspondiente a la funcin de

transferencia del motor de corriente directa considerando el lazo interno de corriente.

Figura 2.15: Motor de CD con un lazo interno de control de corriente, [Chiasson, 2005].

Si es empleada una alta ganancia de control Kpc !1, G(s) se reduce a

G(s) =!(s)

ir(s)=

KbsJ +Bm

: (2.42)

El valor de Kpc puede ser tan grande, de modo tal que la corriente i(s) ! ir(s) losucientemente rpido y cumplir con la Ec. (2.42), pero fsicamente Kpc est limitada,


es decir, debe cuidarse de que no sea saturado el actuator, de modo que se relaciona

con el voltaje aplicado de la siguiente manera

v(t) = Kpc (ir(t) ia(t)) :

Otro punto a considerar para la eleccin deKpc , es tomar en cuenta la corriente mximade armadura que el motor pueda soportar. Si se elige una adecuada ganancia de Kpc ,puede despreciarse i(s), considerando i(s) = ir(s).

Dicho lo anterior se puede considerar un modelo reducido para el motor de CD de

excitacin separada expresado por

d

dt= ! ;

d!

dt=

KbJir(t) Bm

J! L

J: (2.43)

Captulo 3

Esquemas de control de velocidad del

motor de corriente directa

En la actualidad existe una diversidad de esquemas de control, esto se debe a los es-

tudios realizados al paso del tiempo; cada uno con un objetivo principal: llevar las

variables deseadas de un determinado sistema a un valor deseado uref . Para implemen-tar un esquema de control, es de vital importancia, realizar un amplio estudio en el

cual se pueda conocer las caractersticas de desempeo del sistema.

El anlisis es realizado ya sea en el dominio del tiempo o en la frecuencia, inclusive

en ambos. La eleccin de cal ser el anlisis necesario y suciente para cada siste-

ma, depende de las seales uref , en las cuales el sistema sera sometido durante sufuncionamiento.

Durante el desarrollo de este captulo se describen los esquemas de control de velocidad

aplicados a un motor de CD de excitacin separada, el cual cuenta con el modelo en

espacio de estados expresado por la Ec. (2.35)_x1_x2

=

RaLa

KbLa

KbJ

BmJ

| {z }

Amot

x1x2

+

1La

0

| {z }Bmot

u+

0 1

J

L ; (3.1)

y =0 1

| {z }Cmot

x1x2

;

donde x1 = ia, x2 = !, u = va y L se puede considerar como una entrada de pertur-bacin.

Los valores propios de la matriz de estados de la Ec.(3.1) son

1;2 = (BmLa +RaJ)

qBmLa +RaJ

2 4JLaK2b +RaBm2JLa

: (3.2)

Observando los valores propios dados por la Ec. (3.2), si la parte negativa del radical

27

28 Captulo 3. Esquemas de control de velocidad del motor de corriente directa

se vuelve cero se tienen un valor propio en el origen y otro en

BmLa+RaJJLa. Por cuestiones

fsicas J y La no son cero por lo que la nica posibilidad que queda es queK2b = BmRa,pero debido a que todos los parmetros del motor son positivos, esto ltimo tampoco

sucede. Por otro lado, si la parte negativa del radical es mayor que la parte positiva,

se tendran dos valores propios complejos conjugados con parte real negativa, mientras

que si sucede lo contrario lo que se tienen son dos valores propios reales diferentes y

negativos, por lo tanto para los ltimos dos casos el sistema es estable.

As mismo, la funcin de trasferencia resultante del modelo est dada por la Ec. (2.36),

y que es

G!V (s) =Kb

JLas2 + (BmLa + JRa)s+ (BmRa +K2b ): (3.3)

Realizando un arreglo de Routh del polinomio caracterstico de la ecuacin (3.3) se

obtiene el Cuadro 3.1. Puesto que todos los parmetros involucrados en el motor de

CD son positivos, por lo que al aplicar el criterio de Routh-Hurwitz, en ningn momento

existir un cambio de signo en la primera columna por lo que se puede deducir que el

sistema siempre ser estable.

columna 1 columna 2

s2 JLa (BmRa +K2b )

s1 (BmLa + JRa) 0s0 (BmRa +K

2b )

Cuadro 3.1: Arreglo de Routh de la funcin de transferencia del motor de CD

Ya sea realizando un anlisis de los valores propios de la matriz de estado de la Ec.

(3.1) o por medio de la aplicacin del criterio de Routh-Hurtwitz de la funcin de

transferencia de la Ec. (3.3) el motor de corriente directa es estable en operacin en

lazo abierto.

Es conveniente conocer la respuesta en el tiempo del motor de CD que disponemos, ya

que los esquemas, de control de velocidad implementados en este trabajo tuvieron su

diseo en el dominio del tiempo, debido a esto es necesario conocer las caractersticas

de desempeo del motor. Para ello se aplic una seal tipo escaln, la cual tuvo una

magnitud de 168:7 V (proporcionado por la electrnica disponible para la implementa-cin experimental), la respuesta de aplicar dicho escaln se muestra en la Figura 3.1.

De la respuesta al escaln, se puede concluir que se tiene un valor en estado estacionario

de 174 rad/s, un valor pico de 204:87 rad/s, (el cual equivale a un sobrepaso de 17:74%).De la misma gura se pueden conocer caractersticas de desempeo, e.g. se obtiene un

tiempo de retraso de 0:055 s, tiempo de levantamiento de 0:083 s, tiempo pico de 0:204 sy un tiempo de asentamiento de 0:446 s, con base a estos datos que estn denidos parasistemas prototipo de segundo orden, se obtiene el factor de amortiguamiento y sufrecuencia natural !n, los cuales tienen un valor de 0:4822 y 18:8043, respectivamente.

29

0 0.5 1 1.5 2 2.50

50

100

150

174

204.87

tiempo (s)

wm

(t) (r

ad/s)

Velocidad debido seal escaln angular

Figura 3.1: Respuesta escaln motor de CD de excitacin separada en lazo abierto.

Los parmetros empleados, a lo largo del resto del trabajo, para realizar la simulacin

y sintonizacin son los mostrados en el Cuadro 3.2, la obtencin de estos valores, se

describe en el Apndice B.

Parmetro valor

Rf 999

Lf 63.3 HRa 7.703

La 73.37e-3 HKb 0.95064 V=A rad=sBm 0.00233 N =rad=sJ 0.0029 N =rad=s2

Cuadro 3.2: Parmetros del motor identicado.

La funcin de transferencia expresada por la Ec. (3.3), es evaluada con los parmetros

proporcionados en el Cuadro 3.2 y resulta en

Gm =4526:8571

s2 + 110:5714s+ 4388:9047: (3.4)

La referencia de velocidad deseada wref (t) aplicada a todos los esquemas de control es

!ref (t) =

8>:800 rpm 0 < t 1

Kb

KbKi

BLa +KbKd + JRaK2b BRa

; (3.14a)

Ki > 0 ; (3.14b)

Kd > BLa + JRaKb

: (3.14c)

Para realizar la sintonizacin del esquema de control PID hay distintos caminos, uno es

la sintonizacin por medio del mtodo de oscilacin de Ziegler-Nichols, otro es por medio

de la respuesta al escaln por Ziegler-Nichols, estos se describen a detalle en [strm

and Hgglund, 1995, cap. 4]. En estos dos medios de sintonizacin mencionados, no se

tiene la libertad de seleccionar parmetros de desempeo ante una entrada de referencia

denida.

Por medio de la asignacin de polos y considerando que debido a que la ecuacin

caracterstica de la funcin de transferencia en lazo cerrado dada por la Ec. (3.13) o la

Ec. (3.12) es de tercer orden, por lo que se propone un polinomio deseado:

Pd(s) = (s+ r1)(s+ r2)(s+ r3) ; (3.15)

Las caractersticas de desempeo para un sistema, se encuentran denidas tanto en

el dominio del tiempo como en la frecuencia. Debido a la seal de referencia y el

motor a usar, se analizarn caractersticas de desempeo denidas para el dominio

del tiempo. Para ello, se realizar la eleccin de polos considerando las condiciones de

diseo denidas por la Ec. (3.6). La relacin de las mismas para encontrar el par de

polos en 1 j!1, y a los cuales les corresponda un amortiguamiento relativo y unafrecuencia natural !n es

1 = !n ; (3.16a)

!1 = !np1 2 : (3.16b)De manera que la frecuencia natural y el porcentaje de sobrepaso (%OS) se encuentran

relacionados con los polos complejos conjugados, denidos por la Ec. (3.16) como

= ln(%OS=100)q2 + ln2(%OS=100)

; (3.17a)

!n = ln(0:02p1 2)

ts: (3.17b)

De acuerdo con las relaciones mencionadas y tomando en cuenta las especicaciones

de diseo, los polos deseados se encuentran colocados en el semiplano izquierdo, esto

garantiza que se conservar la estabilidad. Por otro lado, para realizar la asignacin de

polos y determinar las ganancias del esquema de control PID se realiz una comparacin

entre el polinomio caracterstico de la funcin de trasferencia en lazo cerrado y el

polinomio Pd(s) dado por la Ec. (3.15). Desarrollando y reordenando las races de esteltimo se tiene

Pd(s) = s3 + (r1 + r2 + r3)s

2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)s+ r1r2r3 ; (3.18)


Realizando la igualdad entre los polinomios del denominador de las Ec. (3.13) o la Ec.

(3.12) con el polinomio de la Ec. (3.18) se tiene que las ganancias del controlador se

encuentran denidas como

Kp = (K2b RaB + JLar1r2 + JLar1r3 + JLar2r3)=Kb ; (3.19a)Ki = (JLar1r2r3)=Kb ; (3.19b)

Kd = (JLar1 JRa LaB + JLar2 + JLar3)=Kb : (3.19c)

Estas ganancias cumplen con las restricciones resultantes de realizar el anlisis por

medio de Routh-Hurwitz dado por (3.14) para garantizar estabilidad. A su vez son

vlidas para la conguracin, tanto de un grado como de dos grados de libertad debido

a que ambas cuentan con la misma ecuacin caracterstica. Ya que se requieren tres

polos de los cuales dos son denidos por la Ec. (3.17), el tercer polo se coloc de manera

que la inuencia sea menor y la dinmica del sistema sea dominada nicamente por un

par de polos conjugados, para esto se coloc el tercer polo cien veces ms a la izquierda

que la parte real de los polos conjugados, por lo que los polos deseados resultaron como

r1 = 6:1012 + j5:9547 ; (3.20a)

r2 = 6:1012 j5:9547 ; (3.20b)r3 = 610:12 : (3.20c)

Sustituyendo los polos deseados dados por la Ec. (3.20) y los valores de los parmetros

del motor en la Ec. (3.19), las ganancias del control PID tienen los siguientes valores

Kp = 0:7670 ; (3.21a)

Ki = 10:2441 ; (3.21b)

Kd = 0:1193 : (3.21c)

Con estas ganancias se realiz una simulacin numrica de las dos conguraciones del

controlador PID y posteriormente se hizo una comparativa entre las respuestas de

velocidad, las seales de error, corriente en la armadura y seal de control. Todo esto

se realiz ante la seal de referencia dada por la Ec. (3.5).

El resultado de la respuesta de velocidad de implementar los esquemas PID con uno

y dos grados de libertad, se muestran en la Figura 3.5. La respuesta del esquema de

dos grados de libertad, presenta un sobrepaso menor, la cual tiene un valor mximo

de 1216 rpm, a diferencia del PID de un grado de libertad, el cual tiene un valor de1223 rpm. Los valores mximos antes mencionados corresponden a un sobrepaso de5:75% para el PID con un grado de libertad y de 4% por parte del esquema con dosgrados de libertad.

Otro aspecto por comparar en el desempeo de la respuesta de velocidad es el tiempo

de asentamiento ts, el cual corresponde al tiempo en que la respuesta alcanza un 2%de su valor en estado estacionario, [Nise and Romo, 2012]. Para el PID de un grado

de libertad se tiene un valor de 0:629 s, mientras que el esquema con dos grados delibertad present un ts de 0:699 s.

3.1. Control PID 35

4 6 8 10 12 14 16 18750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

tiempo (s)

wre

f(t) (r

pm)

Respuesta de velocidad PID debido a wref(t)

w(t)ref

PID grado IPID grado II

Figura 3.5: Respuesta de velocidad PID.

Un aspecto a mencionar y a pesar de que este no tuvo inuencia en la eleccin de los

polos deseados es el tiempo de levantamiento tr, el cual tiene una variacin mnima,con un valor un valor de 0:2 s con el control de un grado de libertad y un valor de0:255 s para el caso de dos grados de libertad. Los valores de tiempo de asentamientots y sobrepaso analizados cumplen con las condiciones de diseo y cabe mencionar queambos esquemas de PID consiguen satisfactoriamente el objetivo especicado.

Por otra parte, es importante analizar los errores de velocidad que arrojan ambas

conguraciones y realizar una comparacin entre ellos, y con esto tener un punto ms en

consideracin para la eleccin de qu esquema llevar a la implementacin experimental.

El resultado de dicho error se muestra en la Figura 3.6, se observa que el error de

velocidad absoluto correspondiente al mtodo de un grado de libertad tiene un valor

de 22:7 rpm, mientras que el esquema con dos grados de libertad es de 16:03 rpm y seobserva que el sistema llega en un tiempo nito a un error en estado estacionario de

cero, es decir, ess ! 0 cuando t!1.Una caracterstica que se requiere en la eleccin del esquema a implementar en la

evaluacin experimental es mantener una seal de control menor o igual al voltaje

mximo admisible para este tipo de motor, lo cual se reeja en la corriente de armadura,

ya que se encuentra ligada con el voltaje de control, el cual es aplicado a los devanados

de armadura del motor de CD de excitacin separada. La corriente de armadura iaresultante de aplicar ambos esquemas PID se observa en la Figura 3.7, en la cual se

observa que para el esquema de control con un grado de libertad presenta el pico mayor

de corriente, el cual tiene un valor de 0:9384 A, mientras que la segunda conguracinpresent un valor pico de 0:7528 A. La diferencia en valores mximos es de 0:1856 A;ambos valores de ia se mantienen dentro de los valores nominales del motor; el mantenerun menor pico de corriente implica menor exigencia a la fuente de voltaje de control y

menor calentamiento en el devanado de armadura.

Un punto en comn entre ambos esquemas es el valor de ia en el instante en que lavelocidad angular se mantiene en su estado estacionario, el cual es de 0:308 A. Lo


4 6 8 10 12 14 16 18

400

300

200

100

0

100

200

300

400

tiempo (s)

e(t)

(rpm

)

Error de velocidad debido a wref(t)


Figura 3.6: Error de velocidad esquema de control PID.

ocasionado por la corriente es el reejo de lo antes mencionado en la descripcin de la

Figura 3.5.

4 6 8 10 12 14 16 18

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

i a(t) (

A)

Corriente de armadura debido a wref(t)


Figura 3.7: Corriente de armadura esquema de control PID.

El principal objetivo de seleccionar un sobrepaso bajo y un tiempo de asentamiento fue

tener un voltaje de control mnimo. Como se observa en la Figura 3.8, el esquema de

control de velocidad PID de grado un grado de libertad, de acuerdo con los resultados

de simulacin, presenta un pico mayor a 70 V, en el momento cuando se realiza elcambio de referencia de menor a mayor velocidad, mientras que el esquema con dos

grados de libertad tiene un valor mximo de 123:5 V. En este aspecto es notoria ladiferencia entre valores pico, el voltaje de control correspondiente al esquema con un

grado de libertad, tiene una respuesta en sobrepaso el cual corresponde a 124:1 V,ambos llegan a un voltaje de control en estado estacionario de 121:8 V.


observador de estados y accin integral 37

Con lo mencionado en los prrafos anteriores se decide que en la implementacin en

tiempo real del controlador PID es en la conguracin de dos grados de libertad.

4 6 8 10 12 14 16 1820

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

tiempo (s)

V a(t)

(V)

Voltaje de armadura debido a wref(t)


Figura 3.8: Voltaje de armadura, esquema de control PID.


observador de estados y accin integral

Una opcin alterna entre varios esquemas que se han desarrollado a lo largo de investi-

gaciones en teora de control es la retroalimentacin de estados. En el cual es necesario

contar con la medicin de los estados o bien si no es posible, implementar un observador

para aquellos estados si no se cuenta con su medicin.

Para el caso de estudio de este trabajo se encuentran disponibles las mediciones de

los estados correspondientes de la corriente de armadura y la velocidad angular de

la echa, pero como se plantea el objetivo solo se debe considerar la medicin de la

velocidad angular por lo que s es necesario implementar un observador de estados.

Esto es posible ya que el sistema es completamente observable y controlable, para ello

se dene un observador basado en el modelo en espacio de estados denido por la Ec.

(3.1), el cual es_^x1_^x2

=

RaLa

KbLa

KbJ

BmJ

x^1x^2

+

1La

0

u+

l1l2

0 1

x1 x^1x2 x^2

; (3.22)

donde x^1 y x^2 son los estados estimados y el error de estimacin se dene como x x^,y las ganancias del observador son l1 y l2, las cuales, son elegidas de tal forma, que semantenga la dinmica de los polos elegidos en lazo cerrado, los cuales son calculados a

partir de la Ec. 3.33.

Ya que el sistema es de tipo cero y uno de los objetivos es que el error en estado

estacionario, ess(t), tienda a cero en un tiempo nito, es necesario implementar una


accin integral. Para esto se dene un nuevo estado que es igual al error de medicin,

es decir,

_xi = !ref 0 1

x1x2

: (3.23)

Debido a que se implementa un observador de estados, para la realizacin del contro-

lador de estados se utilizan los estados estimados de dicho observador y con el hecho

de tener un estado adicional denido en (3.23), la seal de control que resulta

u = K1 K2 x^1x^2+Kixi : (3.24)

De modo que el esquema de control de velocidad aplicado al motor de CD de excitacin

separada, con retroalimentacin de estados, observador de estados ms accin integral

en el error, esto se muestra en la Figura 3.9.

Figura 3.9: Esquema retroalimentacin de estados con observador y accin integral.

De acuerdo a las deniciones antes realizadas y siguiendo el procedimiento descrito por

[Hendricks et al., 2008], el modelo en espacio de estados dado por (3.1) queda como_x1_x2

=

RaLa

KbLa

KbJ

BmJ

x1x2

1La

0

K1 K2

x^1x^2

+

1La

0

Kixi ; (3.25)

mientras que los estados estimados, bajo un observador Luenberger, resultan en_^x1_^x2

=

RaLa

KbLa

KbJ

BmJ

0 l10 l2

x^1x^2

K1La

K2La

0 0

x^1x^2

+

0 l10 l2

x1x2

+

KiLa

0

xi :

(3.26)


observador de estados y accin integral 39

Simplicando la ecuacin (3.26) se tiene_^x1_^x2

=

Ra+K1La

(Kb+K2La

+ l1)KbJ

(BmJ

+ l2)

x^1x^2

+

0 l10 l2

x1x2

+

KiLa

0

xi : (3.27)

El sistema completo contiene los estados reales, el estado aumentado y los estados

estimados266664_x1_x2_xi_^x1_^x2

377775 =266664Ra

LaKb

La

KiLa

K1La

K2La

KbJ

BmJ

0 0 00 1 0 0 00 l1

KiLa

K1+RaLa

(K2+KbLa

+ l1)

0 l2 0KbJ

(BmJ

+ l2)

377775266664x1x2xix^1x^2

377775+26666400100

377775!ref : (3.28)Deniendo un nuevo vector de estados como

z = P

24xxiee

35 ; (3.29)resulta la matriz de transformacin P como

P =

2666641 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 1 00 1 0 0 1

377775 : (3.30)

Por lo tanto el sistema matricial completo que resulta al aplicar PAaP1donde Aa es lamatriz aumentada de estados de la Ec. (3.28) y resulta una nueva matriz transformada

Aat como

Aat =

266664Ra

LaKb

La

KiLa

K1La

K2La

KbJ

BmJ

0 0 00 1 0 0 00 0 0 K1+Ra

La(K2+Kb

La+ l1)

0 0 0 KbJ

(BmJ

+ l2)

377775 : (3.31)

Dividiendo la matriz de la Ec. (3.31) en la forma

Aat =

A11 A12A21 A22

; (3.32)

donde

A11 =

24RaLa KbLa KiLaKbJ

BmJ

00 1 0

35 ; A12 =24K1La K2La0 00 0

35 ; A22 = K1+RaLa (K2+KbLa + l1)KbJ

(BmJ

+ l2)

;

y la submatriz A21 = 02x3. La submatriz A11 corresponde a los estados del controladorpor retroalimentacin de estados integral y la submatriz A22 corresponde a los estados


del observador. La matriz Aat es una matriz triangular por bloques y de acuerdo con[Hendricks et al., 2008], sus valores propios se pueden encontrar de la forma

det(I Aat) = det(I A11)(I A22) : (3.33)

Con este resultado se observa que se puede aplicar el principio de separacin. En [Hen-

dricks et al., 2008] se menciona que basta que los valores propios deA22 correspondientesal observador de estados, sean ms a la izquierda en el plano complejo que los valores

propios de A11 los cuales corresponden al controlador, en la literatura se menciona almenos 5 veces ms que los valores propios de A11, para cumplir que la repuesta delobservador sea ms rpida que el controlador.

3.2.1. Ganancias del control por retroalimentacin de estados

con observador de estados y accin integral

Para encontrar los valores de las ganancias de la matriz L se determinaron mediante

la funcin place Matlab

R. Esta funcin requiere de la matriz de estados y la matriz

de salida del modelo en espacio de estados del motor en forma transpuesta, as como

de los polos deseados, los cuales fueron p1 y p2 colocados en 1000 y 1001, ambosrespectivamente, de modo que

L =

l1l2

=

25111895

: (3.34)

Estos polos fueron elegidos de manera tal que los valores estimados de los estados,

converjan en un menor tiempo al valor en que actuar el esquema de realimentacin

de estados.

Para encontrar las ganancias del esquema de realimentacin de estados con accin in-

tegral se denen los polos deseados por la Ec. (3.20), los cuales corresponden a las

especicaciones de diseo, estos polos deseados se emplearon en la funcin place de

Matlab

Ren conjunto con la matriz de estados extendida y la matriz de entrada exten-

dida dando como resultado

Ki = 7:17 ;

K1 = 24:47 ; (3.35)

Tesis Final JC

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