8/19/2019 teste2_A_trig+prod_escalar_V1

1/3

8/19/2019 teste2_A_trig+prod_escalar_V1

2/3

3.  Na figura estão representados dois ângulos com o mesmo vértice,   e .A soma das amplitudes destes dois ângulos é um ângulo raso.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A)  s i n = − s i n   (B)  c o s = − c o s   (C)  s i n = − c o s   (D)  t a n = t a n  

4.  Dados três vetores

⃗ ,   e

⃗, sabe-se que

⃗ ⊥ ⃗  e que

⃗ ∙ = 2 √ 5.

Então pode afirmar-se que ⃗ ∙ 4 − 2⃗   é igual a:(A)  8√ 5  (B)  −4√ 5  (C)  2√ 5  (D)  0 

5.  Na figura ao lado está representado em referencial o.n. xoy o losango [OABC], de lado 2.

Considere que o ponto B se desloca ao longo do arco AD, nunca coincidindo com o ponto A

nem com o ponto D.

A expressão que dá o produto escalar ⃗ ∙ ⃗  em função de ∈ 0 ,   é:

(A) 

2cos  (B) 

4cos  (C) 

−4sin  (D) 

4sin 

Grupo II

Nas questões seguintes apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efetuar e todas as

 justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1.  Considere a função real de variável real definida por   = 2 s i n − 1.

Determine analiticamente:

1.1.  O domínio e o contradomínio de  . 1.2.  A expressão geral dos minimizantes de  .1.3.  A expressão geral dos zeros de  . 

2.  Na figura está representada uma semicircunferência de centro em O. Sabe-se que:

  [RT] é o diâmetro da circunferência e tem comprimento 2√ 2.  O ponto S pertence à semicircunferência.

  A reta OS é perpendicular à reta RT.

  Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco ST, nunca

coincidindo com o ponto S, nem com o ponto T.

  A corda [PQ] é paralela ao diâmetro [RT].

Para cada posição do ponto P, considere a região sombreada.

2.1.  Mostre que a área da região sombreada é dada por:

  = + 2 s i n c o s  2.2.  Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o valor de   para o qual a área da região

sombreada é máxima.

Utilize os valores aproximados às centésimas. Na sua explicação, deve incluir o gráfico e as coordenadas dos

pontos que considerou para resolver esta questão.

8/19/2019 teste2_A_trig+prod_escalar_V1

3/3

3.  A figura representa um prisma hexagonal regular.

Sabe-se que a aresta da base mede 3cm e a altura do prisma é igual a 9 cm.

3.1.  Calcule:

3.1.1.  ⃗ ∙ ⃗  3.1.2.  ⃗ ∙ ⃗  

3.1.3. 

⃗ ∙ ⃗  3.1.4. ⃗ ∙ ⃗  

3.2.  Considere agora um referencial com origem O, com S  no semieixo positivo Ox, P  no

semieixo positivo Oy e A no semieixo positivo Oz.

3.2.1. Mostre que as coordenadas do ponto S são (3√ 3, 0, 0).3.2.2. Determina em graus e com aproximação às décimas, a amplitude do ângulo SAP.

3.2.3. 

Seja H um ponto do plano xOy.

Sabe-se que H tem ordenada 3 e que ⃗ ∙ ⃗ =−18.Determine as coordenadas de H.

3.2.4. Utilizando a definição de produto escalar, determine uma equação do plano mediador

do segmento de reta [SP].

4.  Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC], em que M é o ponto médio de [BC].

Mostre que  ⃗ ∙ ⃗ = ̅ − ̅ .

5.  Considere os vetores e   tais que: = 2cos − 1, 1  e = (1, 1 − √ 3cos) 

Determina ∈ 0 ,  de modo que os vetores sejam perpendiculares.

Questão Grupo I 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 4 5 Total

Cotação 5x7=35 14 14 14 14 14 20 8 14 10 14 14 15 200

Bom Trabalho!