TECSUP - PFR Matemática II

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UUNNIIDDAADD XX

DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓ NN NNOORRMMAALL

1. INTRODUCCIÓN

La distribución normal es la distribución más importante de probabilidades, nosolo en la teoría estadística, sino también en sus aplicaciones a problemasindustriales. Es una distribución continua y simétrica conocida también como ladistribución de Gauss o de Laplace. La distribución normal representa elresultado de la actuación conjunta de causas aleatorias, y por ello resultafundamental en el control estadístico de calidad, particularmente en la teoría delos gráficos del control de fabricación.

La función de probabilidades es:

x-e2

1),;x(f

22 2/)x(2

Donde:

Es la media de la distribución

Es la desviación estándar

X

f(x)

Gráfica de densidad de Probabilidad Normal

El diagrama es simétrico y el área bajo la curva es la unidad.

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2. ESTANDARIZACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA

Si en lugar de x tomamos:

)x(z

Lo cual significa adoptar como origen de las z el punto en que x y como

unidad de escala de las z la desviación estándar ; la que designaremos como

distribución Normal Estándar:

2z2

e2

1)z(f

Esta distribución tiene parámetros: 0)z( y 1)z(2 ; por conveniencia se

acostumbra nombrar esta distribución como la )1;0(N .

Los valores del área desde z... son iguales a la probabilidad acumulada de

los valores correspondientes a f(z). Estos valores se encuentran tabulados en latabla 3 al final de esta información. Esta tabla corresponde a la distribuciónnormal estándar, es decir, la distribución normal con 0 y 1

La función acumulada es:

dte2

1)z(F

z2/t2

0

dte2

1)z(F

z2/t2

Gráfica de densidad de Probabilidad Normal Estándar

Para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con la distribuciónnormal estándar adopte un valor entre a y b, usamos la ecuación:

)a(F)b(F)bza(P

y si a o b es negativa, hacemos uso de la identidad

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)z(F1)z(F .

EJEMPLO 1

Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con la distribuciónnormal estándar adopte un valor.

(a) Entre 0,87 y 1,28 = p(0,87<z<1,28)

(b) Entre -0,34 y 0,62 = p(-0,34<z<0,62)

(c) Mayor que 0,85 = p(z>0,85)

(d) Mayor que -0,65 = p(z>-0,65)

Solución

Consultando los valores necesarios en la tabla 3, obtenemos.

a) Entre 0,87 y 1,28 = p(0,87<z<1,28)

8078,08997,0)87,0(F)28,1(F

0919,0

0

b) Entre -0,34 y 0,62 = p(-0,34<z<0,62)

)6331.01(7324.0)34.0(F)62.0(F

3655.0

0

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c) Mayor que 0,85 = p(z>0,85)

8023.01)85.0(F1

1977.0

0

d) Mayor que -0,65 = p(z>-0,65)

)65.0(F11)65.0(F1 )65.0(F

7422.0

0

EJEMPLO 2

Si el monto de radiación cósmica a la que se expone una persona al volar enavión por los Estados Unidos es una variable aleatoria con la distribución normalcon mrem,0.59ymrem35.4 determine las probabilidades de que el

monto de radiación cósmica a la que se expondrá una persona en un viaje así seade:

(a) entre 4.00 y 5.00 mrem;

(b) al menos 5.50 mrem.

Solución

Primero estandarizamos los valores:

a)

59.0

35.400.4F

59.0

35.400.5F = )59.0(F)10.1(F

= )7224,01(8643,0

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= 0,5867

b)

59.0

35.450.5F1 = )95.1(F1

= 9744.01

0256.0

EJEMPLO 3

El monto real de café instantáneo que una máquina de relleno deposita enfrascos de “4 onzas” puede considerarse una variable aleatoria con unadistribución normal con 04.0 onzas. Si sólo 2% de los frascos contienen

menos de 4 onzas, ¿Cuál debería ser el relleno medio de esos frascos?

Solución

Para determinar de tal manera que 02.004.0

4F

y, por lo tanto,

98.004.0

4F

buscamos en la tabla 3 la entrada más cercana a 0.98 y

obtenemos 0.9798, que corresponde a .05.2z Así:

05.204.0

4

Y al resolver , determinamos que 082.4 onzas

EJEMPLO 4

En cierta ciudad, el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes esuna variable aleatoria con una distribución con 6,11 y 3,3 . Si esta

distribución puede aproximarse cercanamente con una distribución normal, ¿cuáles la probabilidad de que haya al menos ocho interrupciones en un mescualquiera?

Solución

El número de interrupciones de servicio es una variable aleatoria discreta, y sideseamos aproximar su distribución con una distribución normal, debemos“dispersar” sus valores en una escala continua.

Lo hacemos representando cada número entero k con el intervalo de2

1k a

.2

1k Por ejemplo:

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3 es representado con el intervalo de 2,5 a 3,5;

10 es representado con el intervalo de 9,5 a 10,5.

y “al menos 8” es representado con el intervalo a la derecha de 7,5 tal como semuestra en la figura:

6,11

3,3

Así, la probabilidad deseada es “aproximada” por:

)24,1(F13,3

6,115,7F1

)24,1(F

8925,0

3. APLICACIONES: LÍMITES DE CONTROL

La distribución normal puede aplicarse en el control de calidad para “aceptar” unproducto o “rechazar” un producto.

Para ello se establece una franja cuyo ancho será el rango de aceptación.Este rango se establece alrededor de la media la que definirá la Línea Media

LM.

El rango R quedara definido en función del valor estableciéndose diversos

criterios.

Un criterio bastante común es tomar:

LICLSCR

ALSC

ALIC

Donden

3A ; n = tamaño de la muestra.

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Los límites de este rango serán el Límite Superior de Control LSC y el LímiteInferior de Control LIC.

n3

n3

EJEMPLO 5

Construir para muestras de n = 5 artículos el gráfico de control de la media deun proceso de fabricación de ejes de acero con media 60,5 mm y

desviación estándar 05,0 mm.

Verificar si el proceso de fabricación de ejes se mantiene BAJO CONTROL, si sehan extraído 10 muestras con n = 5 de hora en hora y los valores se encuentranen la tabla siguiente:

MUESTRA ARTICULO1

ARTICULO2

ARTICULO1

ARTICULO1

ARTICULO1

MEDIA

x

1 5,67 5,50 5,58 5,48 5,70 5,586

2 5,90 5,58 5,61 5,59 5,44 5,624

3 5,52 5,66 5,68 5,59 5,38 5,566

4 5,60 5,76 5,55 5,58 5,57 5,612

5 5,55 5,68 5,65 5,45 5,68 5,602

6 5,39 5,65 5,63 5,57 5,61 5,570

7 5,79 5,61 5,59 5,70 5,51 5,640

8 5,67 5,59 5,59 5,75 5,48 5,616

9 5,51 5,51 5,65 5,55 5,63 5,570

10 5,66 5,64 5,61 5,66 5,56 5,626

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Solución

La línea media:

LM = = 5,60

Los límites de control serán:

667,505,0)5

3(60,5ALSC

533,505,0)5

3(60,5ALIC

60,5

MUESTRA

LM

LSC

LIC

5,62

5,64

5,66

5,685,667

5,52

5,54

5,56

5,58

5,533n

3

n3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mediante el gráfico recomprueba que todos los puntos se encuentran en el rangoen torno a la LM, de ello se concluye que el PROCESO DE FABRICACION SEENCUENTRA BAJO CONTROL.

4. BLOQUE I

1. Una troqueladora produce tapas de lata cuyos diámetros se distribuyennormalmente con una desviación estándar de 0,01 pulgadas. ¿En quediámetro “nominal” deberia fijarse la máquina para que no mas del 5% delas tapas producidas tengan diámetros que excedan de 3 pulgadas?

Sol:984,2

2. Se corta automáticamente varillas de plástico moldeadas por inyección enlongitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes reales están

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normalmente distribuidas en torno a una media de 6 pulgadas y sudesviación estándar es de 0,06 pulgadas.

a) ¿Qué proporción de las varillas excede los límites de tolerancia de 5,9 a6,1 pulgadas.

b) ¿A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de lasvarillas den hallarse dentro de la tolerancia.

Sol:

a)

b)

3. Si una variable aleatoria tiene la distribución binomial con n=30 y p=0,60;use la aproximación normal para determinar la probabilidad de que adopte:

a) El valor de 14

b) Un valor menor que 12

Sol:

a) 0,049

b) 0,008

4. Un fabricante sabe que, en promedio, 2% de las tostadoras eléctricas queproduce requerirán reparaciones en un término de 90 días posteriores a suventa. Use la aproximación normal a la distribución binomial paradeterminar la probabilidad de que entre 1200 tostadoras al menos 30requerirán reparaciones en los primeros 90 días de su venta.

Sol:

5. La probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000horas de uso continuo es de 0,25. Use la aproximación normal paradeterminar la probabilidad de que entre 200 de esos componentes menosde 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo.

Sol:

0,1841

6. Un ingeniero de seguridad supone que el 30% de los accidentes industrialesen su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Siesa cifra es correcta, determine aproximadamente la probabilidad de queentre 84 accidentes industriales en esa planta cualquier número entre 20 a30 inclusive se deban a la negligencia de los empleados de no seguir lasinstrucciones.

Sol:

7. Una variable aleatoria tiene una distribución normal con 4,62 .

Determine su desviación estándar si la probabilidad de que adopte un valormayor que 79,2 es de 0,20.

Sol:

88,19

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8. Una variable aleatoria tiene una distribución normal con 10 . Si laprobabilidad de que adopte un valor menor que 82,5 es de 0,8212. ¿Cuál esla probabilidad de que adopte un valor mayor que 58,3?

Sol:

9. Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores con un diámetro

interior de 0,300 0,005 pulgadas. Si los diámetros interiores de loslimpiadores provistos por cierto fabricante pueden considerarse una variable

aleatoria con la distribución normal con 302,0 pulgadas y003,0 pulgadas, ¿Qué porcentaje de estos limpiadores cumplirá las

especificaciones?

Sol:

83.15%

10. Se sabe que la vida útil de un componente eléctrico sigue una distribuciónnormal con media 2000 hr y una desviación estándar 200 hr.

a) Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamenteseleccionado dure entre 2000 y 2400 horas.

b) Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamenteseleccionado dure más de 2200 horas.

Sol:

a) 0,4772

b) 0,1587