Tobias Bleninger MATEMÁTICA APLICADA I · 2019. 8. 8. · Aqui: Medições de temperature que...

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Tobias Bleninger

Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Departamento de Engenharia Ambiental(DEA)

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MATEMÁTICA APLICADA ITobias Bleninger

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Medições ambientais

• Medições na coluna da agua (T, Cond. versus z)

• Em diferentes horários, dias (t)

• Em diferentes locais do lago (x, y)

• Dados Meteorológicos

• → Arquivos

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Medições ambientais

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Dados e analise

Formatos

• binário

• ASCII

• Programas para editar: UltraEdit ou PSPad (gratuito)

• → mostrar

Cálculos e visualizações simples (em tabelas)

• Excel (Microsoft) ou Calc (OpenOffice, gratuito)

• → mostrar importação

Cálculos e visualizações avançadas

• Linguagem de interpretação: MatLab (Mathworks) ou Octave (gratuito)

• → mostrar programa em Matlab

Cálculos muito eficientes

• Linguagem de compilação: C++, Fortran

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R² = 0.5313

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12

Ma

x e

ve

nt d

ura

tio

n [d

ts]

Days [drop of atm pressure]

Porque processar? Corelações!

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R = 0,67

R = 0,99

Perguntas a fazer

Source: http://www.tylervigen.com/

R = 0,99

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Aplicação 1: Probabilidade Condicional

“90% dos usuários de crack começaram com a maconha” portanto deve-se proibir a maconha

“77% dos criminosos tinham baixa frequência na escola” portanto a frequência deve ser

obrigatória

Fazem sentido essas afirmações?

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Aplicação 2: Estatística Descritiva

Prefeito nas eleições:

“Em meu governo criei 1000 vagas para professores”

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Aplicação 8: Outliers. O que é um outlier?

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www.bleninger.infoCuidados: Digito significativo

Previsão para Temperatura amanha: 21,2340983903498409384°C

Regra: digitos significativos dos dados da entrada

Aqui: Medições de temperature que entram como condição decontorno na modelagem. Medições tem muitas vezes umacasa decimal. Mas ha incertezas na simulação, então 21°C

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Cuidados: Digito significativo

Number of significant figures indicates precision. Significant digits of anumber are those that can be used with confidence, e.g., the numberof certain digits plus one estimated digit.

53,800 How many significant figures?

5.38 x 104 3

5.380 x 104 4

5.3800 x 104 5

Zeros are sometimes used to locate the decimal point not significantfigures.

0.00001753 4

0.0001753 4

0.001753 4

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Accuracy. How close is a computed or measured

value to the true value

Precision (or reproducibility). How close is a

computed or measured value to previously

computed or measured values.

Inaccuracy (or bias). A systematic deviation from

the actual value.

Imprecision (or uncertainty). Magnitude of

scatter.

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Error Definitions

True Value = Approximation + Error

Et = True value – Approximation (+/-)

valuetrue

error true error relative fractional True =

%100 valuetrue

error true error, relativepercent True

t=

True error

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For numerical methods, the true value will be known

only when we deal with functions that can be

solved analytically (simple systems). In real world

applications, we usually not know the answer a

priori. Then

Iterative approach, example Newton’s method

%100ionApproximat

error eApproximat

a=

%100ionapproximatCurrent

ionapproximat Previous -ion approximatCurrent

a=

(+ / -)

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Use absolute value.

Computations are repeated until stopping criterion issatisfied.

If the following criterion is met

you can be sure that the result is correct to at leastn significant figures.

sa Pre-specified % tolerance based on the

knowledge of your solution

)%10 (0.5 n)-(2

s =

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Round-off Errors

Numbers such as p, e, or cannot be expressed

by a fixed number of significant figures.

Computers use a base-2 representation, they

cannot precisely represent certain exact base-10

numbers.

Fractional quantities are typically represented in

computer using “floating point” form, e.g.,

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em.bexponent

Base of the number system usedmantissa

Integer part

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https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

https://upload.wikimedia.org/wikibooks/de/9/9a/32bit_float.png

32 bit e 64 bit

Double-precision floating-point format is a computer number

format which occupies 8 bytes (64 bits) in computer memory and

represents a wide, dynamic range of values by using a floating point.

Computers with 32-bit storage locations use two memory locations to store

a 64-bit double-precision number; each storage location holds a single-

precision number. Double-precision floating-point format usually refers

to binary64, as specified by the IEEE 754 standard, not to the 64-bit

decimal format decimal64.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_number_format

https://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point

https://en.wikipedia.org/wiki/Bit

https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point

https://en.wikipedia.org/wiki/Standardization

https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal64_floating-point_format

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156.78 0.15678x103 in a floating

point base-10 system

Suppose only 4

decimal places to be stored

Normalized to remove the leading zeroes. Multiply the

mantissa by 10 and lower the exponent by 1

0.2941 x 10-1

12

1100294.0

029411765.034

1

0

=

m

Additional significant figure is retained

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Therefore

for a base-10 system 0.1 ≤m<1

for a base-2 system 0.5 ≤m<1

Floating point representation allows bothfractions and very large numbers to beexpressed on the computer. However,▪ Floating point numbers take up more room.

▪ Take longer to process than integer numbers.

▪ Round-off errors are introduced because mantissaholds only a finite number of significant figures.

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mb

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Chopping

Example:

p=3.14159265358 to be stored on a base-10 system carrying 7 significantdigits.

p=3.141592 chopping error t=0.00000065

If rounded

p=3.141593 t=0.00000035

Some machines use chopping, because rounding adds to the computationaloverhead. Since number of significant figures is large enough, resultingchopping error is negligible.

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MatLab, Octave

delta = 1/100 %0.01

S = 0

for k = 1 : 10000

S = S + delta;

end

• O que faz?

• Resultado analitico deve ser 100

Format long

S

delta = 1/128 % 0.0078125

S = 0

for k = 1 : 12800

S = S + delta;

end

Fonte: Calculus in Context. The Five College Calculus Project. James Callahan. Kenneth Hoffman. David Cox. Donal O’Shea. Harriet Pollatsek. Lester Senechal.

http://math.smith.edu/~callahan/intromine.html

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MatLab, Octave

https://www.exploringbinary.com/binary-converter/

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MatLab, Octave, FreeMat

• Exemplos feitos com MatLab, mas comentários se for diferente com Octave

• Abrir janeles e já abre ajuda

• Muita ajuda online!

• linha de comando: >>

• help

• calculo simples: >> 2+3/4*5

• ans =

• 5.7500

• adicionar ";" → sem output

• >> 2+3/4*5;

• prioridade de operações: (),^,*/,+-

• variáveis

• não necessário em declarar, geralmente "double precision"

• legal: MinhaVariavel, nOme_Variavel

• ilegal: var-vec, §var

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MatLab e Octave

Tipos numéricos

• Numero -345

• Numero real 0.00001234503 (separação com ponto!!!)

• anotação cientifico: 1.2345e-5

• Numero complexo -2.345+i*3.4654

• ou complex(-2.345, 3.4654)

• visualização: compass(ans)

• NaN ("Not a Number"): 0/0

• Formato de saída:

• >> x = 1.23456789

• >> x = 1.2346

• >> format long

• >> x = 1.2345678900000

• Variáveis predefinidos

• pi

• eps

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MatLab e Octave

Funções:

• trigonometria: sin, cos, tan, ...

• exponenciais: exp, log, sqrt, ...

• numeros complexas: abs, imag, real, angle,conj, ....

• round, mod, sign, .....

Scripts:

• m-files

• gravar todo input:

• >> diary (myfile)

• >> diary on / off

• salvar variáveis

• save (myfile) (% salvar em binario *.mat)

• load (myfile)

• comentario com %

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MatLab e Octave

Matrizes e vetores:

• MatLab e Octave trabalham com matrizes (campos 2D)

• Escalar: elemento 1x1

• Vetor de linha: matriz com uma linha (1xN)

• Vetor de coluna: matriz com uma coluna (Nx1)

• dimensão: size(x), length(x)

• separação com espaço ou virgula

• >> vetor=[1 2, 4, 2^2]

• >> vetor=

• >> 1 2 4 4

• >> size (vetor)

• >> ans=

• >> 1 4

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MatLab e Octave

Operações com matrizes e vetores:

• adição com vetores de comprimento igual: +/-

• multiplicação com escalares e vetores: *

• >> vetorA=[1 3 5]; vetorB=[1 1 4];

• vetorA - 2*vetorB

• -1 1 -3

• Operações por elemento: .* ./ .^

• >> vetorA=[1 3 5]; vetorB=[1 1 4];

• vetorA .* vetorB

• 1 3 20

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MatLab e Octave

Vetores de coluna:

• analógico a vetores de linha, mas separado por ;

• >> vetorC=[1; 4; sqrt(9)]

• 1

• 4

• 3

• >> size(vetorC)

• 3 1

• transpose

• >> vetorC´

• >> vetorA=[1 3 5]; vetorB=[1; 3; sart(5)];

• >> vetorA+2*vetorB´

• ans=

• 3 9 9.4721

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MatLab e Octave

Vetores:

• adicionar elementos

• >> sum (vetorC)

• multiplicar elementos

• >> prod(vetorC)

• elementos max/min

• >> max(vetorC)

• >> min(vetorC)

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MatLab e Octave

Funções:

• index=find(condicao)

• exemplo:

• x=(0:100)/100;

• y=sin(2*pi*x).^2.*exp(3*x);

• index=find(y>=0.9*max(y));

• plot(x,y,'k-o'); hold on;

• plot(x(index),y(index),'ro');

• plot([0 1],[1 1]*.9*max(y),'k--')

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MatLab e Octave

Matrizes:

• entrada:

• >> matrizA=[1 3 4; 5 6 7]

• >> 1 3 4

• >> 5 6 7

• >> size(matrizA)

• >> 2 3

• matrizes com constantes: ones, zeros

• matrizes randomicas: rand

• matrizes com a diagonal de ums: eye

• matrizes com a diagonal definida: diag

• >>matrizB=ones(3,2)*5

• >>matrizC=diag([1 2 3])

• >> matrizD=[matrizB matrizC]

• >> matrizE=eye(3)

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MatLab e Octave

Operador ":"

• >> 1:2:10

• >> ans= 1 3 5 7 9

• >> vetorX=(1:2:19)

Indizes

• matrizA(i,j)

• matrizA(:,j)

• matrizA(3:6,j)

Condições

• if .... elseif .... else .... end

• <, <=, >, >=, ==

Loops

• vetorA=[1 5 13];

• for index=1:length(vetorA);

• disp(vetor(index))

• end

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MatLab e Octave

Scripts e functions

• programa sem parametros: script

• programa com transferencia de parametros: function

• function [output_params]=nomedafuncao(input_params]

• end

Exemplo:

• arquivo: desviopadrao.m

• function [sigma]= desviopadrao(vetor)

• % desvio padrao de um vetor

• media=sum(vetor)/length(vetor);

• sigma= sqrt(sum((vetor-media).^2)/length(vetor));

• end

• Execucao:

• >> myvector=[4 2.5 6.1 -8 -2];

• >> sigma=desviopadrao(myvector)

• >> sigma = 5.0221

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MatLab e Octave

Visualização

• plot(x,y)

• plot (x1,y1,x2,y2,...)

• plot(x1,y1); hold on; plot(x2,y2);

• handle:

• h=plot(x,y)

• get(h)

• set(h,'caracteristica',valor)

• exemplo: set(h,'color','r','LineStyle','--')

• print -dpng mygraphicfile.png ou

• print -djpg mygraphicfile.jpg

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MatLab e Octave

Texto

• alfa='colocar textos (strings)'

• beta='e usando textos'

• zeta=[alfa beta]

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MatLab e Octave

Exemplo

• modificar dados para poder abrir

• "load" arquivo de dados

• define vetores de velocidades e tempo

• visualize resultado

• media, min/max, ....

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MatLab e Octave

Exemplo (refazer em casa)

• Reservatório

• function: Densidade (buscar equação de UNESCO no internet)

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MatLab e Octave

Calculo simbólico

• Matlab: https://www.mathworks.com/help/symbolic/index.html

• Pacote adicional

• Devagar, Matlab não foi otimizado para isto

• Octave não tem implementado (ou fase de teste)

• Python: http://www.sympy.org/en/index.html

• Programas comerciais para isto

• Mathematica (base do http://www.wolframalpha.com/, uso gratuito na pagina)

• Maple

• Programa free

• Maxima

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https://www.mathworks.com/help/symbolic/index.html

http://www.sympy.org/en/index.html

http://www.wolframalpha.com/

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• Matlab: https://www.mathworks.com/help/symbolic/index.html

• Pacote adicional

• Devagar, Matlab não foi otimizado para isto

• Octave não tem implementado (ou fase de teste)

• Python: http://www.sympy.org/en/index.html

• Programas comerciais para isto

• Mathematica (base do http://www.wolframalpha.com/, uso gratuito na pagina)

• Maple

• Programa free

• Maxima

Calculo simbólico

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Calculo simbólico

Maxima

• Open

• Help

• integrate (x/sqrt(b^2 -x^2),x);

Wolfram alpha

• Open

• Help

• integrate x/sqrt(b^2 -x^2) dx

Use o programa da sua preferencia

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MatLab e Octave

Referencias

• Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, 2007, Cálculo Científico com

MATLAB e Octave (traduzido para português por: Adélia

Sequeira). Springer, Italia, Milano ou "Scientific Computing with

MATLAB and Octave, 2010"

• Ekkehard O. Holzbecher, Environmental modeling using

MATLAB, 2007, Springer

• S. R. Otto, St. Andrews J. P. Denier, An Introduction to

Programming and Numerical Methods in MATLAB, The

University of Adelaide School of Mathematical Sciences

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