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7/31/2019 trabajo de integrales.doc

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INTRODUCCION

El clculo integral se basa en el proceso inverso de la derivacin, llamado integracin. Dada

una funcinf, se busca otra funcinFtal que su derivada esF' =f;Fes la integral, primitivao antiderivada def, lo que se escribeF(x) = f(x)dx o simplementeF=f dx (esta notacin se

explica ms adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integracin: como la

derivada dex2 es 2x, la integral de 2x esx2. SiFes la integral def, la forma ms general de

la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de

integracin; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F+ c)' =F' + c'

=f+ 0 =f. Por ejemplo, 2xdx =x2 + c.

Las reglas bsicas de integracin de funciones compuestas son similares a las de la

diferenciacin. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus

integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicacin por una constante. As, la integral dex =

2x es x2, y de forma similarxm dx =xm+1/(m + 1) para cualquierm -1 (no se incluye el

caso de m = -1 para evitar la divisin por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral dex-1 =

1/x para cualquierx 0). La integracin suele ser ms difcil que la diferenciacin, pero

muchas de las funciones ms corrientes se pueden integrar utilizando stas y otras reglas.

Una aplicacin bien conocida de la integracin es el clculo de reas. Sea A el rea de la

regin delimitada por la curva de una funcin y = f(x) y por el eje x, para ax b. Para

simplificar, se asume quef(x) 0 entre a y b. Para cadaxa, seaL(x) el rea de la regin a la

izquierda de la x, as es que hay que hallarA = L(b). Primero se derivaL(x). Si h es una

pequea variacin en la x, la regin por debajo de la curva entre x y x + h es

aproximadamente un rectngulo de alturaf(x) y anchura h (vase figura 3); el correspondiente

incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es,

aproximadamente, f(x). Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos,

as es que k/hf(x) y por tanto L'(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una

integralFdefentoncesL =F+ c para cierta constante c. Se sabe queL(a) = 0 (pues el rea a

la izquierda de lax es cero six = a), con lo que c = -F(a) y por tantoL(x) =F(x) -F(a) para

todas lasxa. El rea buscada,A =L(b) =F(b) -F(a), se escribe.


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DEFINICION DE INTEGRAL

La integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas, especialmente en

los campos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una suma de

infinitos sumandos, infinitamente pequeos.

El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en

el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica

en general y se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y

slidos de revolucin.

Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton,

Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newtongeneraron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la

integracin son procesos inversos.

TEORA DE INTEGRACIN

Dada una funcinf(x) de una variablerealx y un intervalo [a,b] de larecta real, la integral

es igual al reade la regin del planoxy limitada entre la grfica def, el ejex, y las lneas

verticalesx = a yx = b, donde son negativas las reas por debajo del ejex.

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin deprimitiva: una funcinF,

cuya derivada es la funcin dadaf. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que

las integrales tratadas en este artculo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen

una distincin entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniza finales del siglo XVII. A travs del teorema fundamental del clculo, que

desarrollaron los dos de forma independiente, la integracin se conecta con la derivacin, y la

integral definida de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una
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antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo,

con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.

Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que

aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. Acomienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral,

donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace

la integracin. La integral curvilnea se define para funciones de dos o tres variables, y el

intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del

plano o del espacio. En unaintegral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una

superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la geometra

diferencialmoderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las

necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes

fsicas cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de

integracin se basan en la teora matemtica abstracta conocida como integral de Lebesgue,

que fue desarrollada porHenri Lebesgue.

HISTORIA DE LAS INTEGRALES

Integracin antes del clculo

La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el

papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el

volumen de un troncopiramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de

determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de

encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las

cuales se conocieran el rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante

porArqumedes, que lo emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea

del crculo. Mtodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China

alrededor del siglo III porLiu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde,

Zu Chongzhi us este mtodo para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta
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Shiromani, un libro de astronoma del siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se

encuentran algunas ideas de clculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de

exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de los

indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar los

fundamentos del clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos

adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios

de una conexin entre la integracin y la derivacin.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con la formulacin delteorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente porNewton y Leibniz.

El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin. Esta conexin,

combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del clculo de derivadas, se puede

usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del clculo permite

resolver una clase ms amplia de problemas. Tambin cabe destacar todo el marco estructural

alrededor de las matemticas que desarrollaron tambin Newton y Leibniz. El llamado

clculo infinitesimal permiti analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos.

Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el clculo moderno, cuya notacin para las

integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalizacin de las integrales

Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemtico a la integracin, su trabajo

careca de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando

los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El clculo

adquiri una posicin ms firme con el desarrollo de los lmites y, en la primera mitad del

siglo XIX, recibi una fundamentacin adecuada por parte de Cauchy. La integracin fue

rigurosamente formalizada por primera vez porRiemann, empleando lmites. A pesar de que

todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo

acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generales para las cuales no se aplica la
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definicin de Riemann, y Lebesgue formul una definicin diferente de la integral1 basada en

la teora de la medida. Tambin se propusieron otras definiciones de integral, que amplan las

definiciones de Riemann y Lebesgue.

Notacin

Isaac Newton usaba una pequea barra vertical encima de una variable para indicar

integracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunda fcilmente

con o , que Newton usaba para indicar la derivacin, y adems la notacin "caja" era

difcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente

adoptadas.

La notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada porGottfried Leibniz en1675.2 3 Para indicarsumma (en latn, "suma" o "total"), adapt el smbolo integral, "", a

partir de una letra S alargada. La notacin moderna de la integral definida, con los lmites

arriba y abajo del signo integral, la us por primera vez Joseph Fourieren Mmoires de la

Academia Francesa, alrededor de 181920, reimpresa en su libro de 1822.45 En la notacin

matemtica en rabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral

invertido .

METODOS DE INTEGRACION POR PARTES

El mtodo de integracin por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
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Regla mnemotcnica: "Un Da Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de

laintegral. .

.

Existe una regla mnemotcnica para recordar la integracin por partes, la cual dice as:

.

"Sentado ( ) un ( ) da vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( )

vestido ( ) de uniforme ( )" .

"Sentado un da vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un da vi una vaca sin cola

vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral)vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme

"Sentado ( ) un ( ) da vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida (

) de uniforme ( )"

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de

laintegral.

Para elegir la funcin se puede usar una de las siguiente reglas mnemotcnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logartmicas, Polinmicas, Exponenciales, Seno, coseno,

tangente...A L P E S.
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Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra

ALPES.

2. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Algebricas, Trigonomtricas,

Exponenciales.I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra

ILATE.

3. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonomtricas

I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabraILPET.

INTEGRALES CUADRATICAS

En ocasiones la integracin definida o indefinida de Funcin matemtica|funciones de unavariable se facilita mediante las llamadas frmulas de reduccin. Son stas una cierta formade poner en relacin integrales que, adems de depender de una determinada variable

independiente , tambin son dependientes de un parmetro , con otras de la misma (oparecida) especie en las que ese parmetro aparece reducido a otro menor, esto es, frmulascomo

Otras veces los parmetros pueden ser ms de uno.

La siguiente es una lista de esta clase de frmulas de reduccin, la mayor parte de las vecesdeducidas mediante la tcnica de Mtodos de integracin|integracin por partes. Cada una deellas tiene la limitacin de no ser aplicable para los respectivos valores de los coeficientesque anulen alguno de los denominadores.


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Qu es una expresin cuadrtica?

Una ecuacin es una expresin algebraica que consta de dos miembros separados por unsigno de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuacin debe tener al menos una variable oletra, llamada incgnita. Las ecuaciones se convierten en identidades slo para determinados

valores de la(s) incgnita(s); una ecuacin cuadrtica es un tipo de ecuacin particular en lacual la variable o incgnita est elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Unejemplo sera:

.

Qu contienen expresiones cuadrticas?

INTEGRALES TRIGONOMTRICAS

Integral que contiene potencias de senos y cosenos

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen

potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene slo un factor seno (y

el resto de la expresin en trminos de coseno) o slo un factor coseno (y el

resto de la expresin en trminos de seno).

La identidadsen2x + cos2x = 1 permite convertir de una parte a otra

entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos

Cuando n es impar

Cuando n = 2k+ 1, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidadsen2x = 1

cos2x para poder expresar los factores restantes en trminos del coseno:


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Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitucin haciendo u =

cos(x), du = sen(x)dx. Como en la expresion no tenemos un sen(x)dx multiplicamos

ambos lados por * ( 1) y nos queda la expresin du =sen(x)dx que ya podemos sustituir:

Cuando m es impar

Cuando m = 2k+ 1, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear

cos2x = 1 sen2x para poder expresar los factores restantes en trminos delsenx:

al haceru =senx y du = cosxdx tendramos


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Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez n = 2ky m = 2p, podemos aplicar las identidades

de la mitad de ngulo -y- algunas

veces nos sera til utilizar la identidad

seria igual a:

Ejemplo #1

Determine

Solucin Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la funcin seno,

esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos

el algoritmo,

Sustituyendo , tenemos luego


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Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factorsec2x y convertir la potencia

restante (par) de la secante en una expresin relacionada con la tangente por medio de

la identidadsec2x = 1 + tan2x.

O bien, puesto que:

, se puede separar un factorsecxtanx y convertir lapotencia restante (par) de tangente a secante.


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Tendremos 5 casos

1. Cuando n es par

n = 2kseparar un factor desec2x y utilicesec2x = 1 + tan2x para lograr expresar los factores

restantes en trminos de tanx:

de esta manera podemos haceru = tanx y du =sec2xdx y el integral quedara as:

2. Cuando m es impar

m = 2k+ 1 apartar un factor desecxtanx y empleartan2x =sec2x 1 para poder expresar los

factores que restan en trminos desecx:

de esta manera podemos haceru =secx y du =secx * tanxdx y nos queda


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3. La tangente tiene potencia par

4. La Secante tiene potencia impar

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes .

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo asenx y

cosx recordando que:

y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podra ser necesario usar identidades,

integracin por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces ser necesario poder integrartanx por medio de la frmula

establecida:


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Se necesitar tambin la integral indefinida de la secante:

Esta ltima se podra comprobar mediante la derivacin de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador porsecx + tanx :

Si se sustituye u =secx + tanx, despus du = (secxtanx +sec2x)dx, tambin, la integral

se convierte en:

As, se tiene:


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TABLA DE INTEGRALES


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CONCLUSIN

Este trabajo nos sirvi para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el

uso matemtico en la ingeniera primordialmente. Es una herramienta muy til para el clculo

de reas difciles de solucionar mediante los mtodos convencionales o por tener formas pocoortodoxas.

Esto no quiere decir que slo con la realizacin de este trabajo, sea entendible el amplio

campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que slo se lograra esto mediante la prctica

constante y minuciosa de cada caso.


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Bibliografa

Matemticas 6. Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. .McGraw Hill, 1989. Bogot ,

Colombia

Clculo Diferencial e Integra Tercera Edicin. Ayres,Jr., Frank, Mendelson, Elliot. McGraw

Hill, 1991. Bogot Colombia.

Anlisis Matemtico (Bilinge Espao-Ingls). Protter, Murray H. , Morrey, Charles B. .Fondo Educativo Interamericano S.A., 1969. Estados Unidos.

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