TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN …

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

FACULTAD DE CIENCIAS

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE

MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

ALUMNA: DANIELA BONILLA BARRAZA

PROFESORA GUÍA: MARCELA PARRAGUEZ G

2012

La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012

2

Agradecimientos a :

PROGRAMA DE FORMACIÓN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO – CONICYT

Por financiar estudios de postgrado con el objetivo de obtener el grado

Académico de Magíster en didáctica de la Matemática.

AÑO ACADÉMICO 2011- 2012


3

AGRADECIMIENTOS:

A mi profesora guía, Marcela Parraguez G, por su entrega y

disposición al trabajo realizado, por confiar siempre en mis

capacidades y guiar mis ideas. Gracias a su constante apoyo

puedo decir que he finalizado con éxito esta etapa.

Infinitas gracias

A mi familia Mamá, Papá y Hermanas por el cariño que me

entregan día a día y por apoyarme siempre en cada una de

mis metas.

A mis estudiantes, por motivarme a aprender más y por

permitirme aportar desde la matemática en el desarrollo

de su pensamiento.

A ti DM por tu paciencia, comprensión y cariño.

A Dios, por guiar con sabiduría cada uno de mis pasos.


4

INDICE GENERAL RESUMEN ............................................................................................................................. 7

ABSTRACT ........................................................................................................................... 8

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 9

CAPÍTULO I: ....................................................................................................................... 15

ANTECEDENTES, PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ........... 15

ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN .................................................................... 16

DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA ................................................................... 23

OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ............................................................................... 25

CAPÍTULO II: ...................................................................................................................... 26

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y DIDÁCTICOS ........................ 26

EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE ................................................................................ 27

GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA ............................................................ 27

GEOMETRÍA ANALÍTICA......................................................................................... 32

LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA .............................................................................. 37

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ........................................................ 37

CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE ............................................................ 38

CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ................ 42

INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ..... 52

CAPÍTULO III: ................................................................................................................... 53

MARCO TEÓRICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. ............................................ 53

JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO .................................................................. 54

DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO ..................................................................... 54

EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO ................................................. 57

CAPÍTULO IV: .................................................................................................................... 62

REFERENTES METODOLÓGICOS ................................................................................. 62

MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................... 63

ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................... 64

PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO .... 65

EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................................................................... 65


5

LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO ........................................... 65

SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANALISIS DOCUMENTAL .................. 65

TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. .............................. 66

OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO ......................................................................... 66

DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO .......................... 66

LOS CASOS EN ESTUDIO ......................................................................................... 67

CAPÍTULO V: ..................................................................................................................... 69

ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO .. 69

ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO ............................................................... 70

IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN ................................................................... 73

ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................... 73

CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN

.......................................................................................................................................... 81

CAPÍTULO VI: .................................................................................................................... 82

INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. ..... 82

INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE

COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO ................................................ 83

DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES ........................ 84

ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO ................... 85

ACTIVIDAD 1:............................................................................................................ 86

ACTIVIDAD 2 ............................................................................................................. 91

ACTIVIDAD 3 .............................................................................................................. 95

MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE

DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE .................................................................. 99

CAPÍTULO VII: ................................................................................................................. 103

APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE

............................................................................................................................................ 103

APLICACIÓN DEL DISEÑO ........................................................................................ 104

ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO ................................................... 104

CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO)

..................................................................................................................................... 104


6

CONCLUSIONES DEL CASO 1 .............................................................................. 137

CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO) .......... 138

CONCLUSIONES DEL CASO 2 ............................................................................... 163

CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO

MEDIO) . .................................................................................................................... 164

CONCLUSIONES DEL CASO 3 ............................................................................... 185

CAPÍTULO VIII: ............................................................................................................... 186

CONCLUSIONES .............................................................................................................. 186

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS .................................................................................... 187

CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES ................................... 189

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 191

ANEXOS ............................................................................................................................ 193

ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN

LIBROS DE CÁLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIÓN SUPERIOR .................... 194

ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO ........................................................ 198

ANEXO 3: ...................................................................................................................... 201

SECUENCIA DE APRENDIZAJE ................................................................................ 201

CUESTIONARIO: CASO 1........................................................................................ 202

CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 .............................................................................. 210

ANEXO 4: .......................................................................................................................... 218

PONENCIAS ...................................................................................................................... 218

PARTICIPACIÓN EN RELME 26............................................................................. 219

PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR ........................... 220

PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN

MATEMÁTICA .......................................................................................................... 221


7

RESUMEN

La investigación que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensión del

concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 años, bajo un enfoque cognitivo, donde se

utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco teórico y, estudio de

casos como diseño metodológico. La elipse forma parte de los contenidos propuestos en los

programas oficiales de nuestro país, con un marcado énfasis en las técnicas analíticas.

Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse solamente a través de

las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas técnicas no son suficientes para lograr

una comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda, estamos

pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: Sintético-

Geométrico (como sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano),

Analítico-Aritmético (como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse) y

Analítico - Estructural (como lugar geométrico). A lo largo de la investigación hemos

evidenciado que los estudiantes desde el enfoque tradicional priorizan un modo de

pensamiento analítico-aritmético, presentando grandes dificultades para comprender la

elipse en otros modos. Desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando

antecedentes epistemológicos, diseñamos actividades de aprendizaje, las cuales fueron

aplicadas a distintos grupos de estudiantes, evidenciando que los estudiantes logran una

mayor comprensión del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde

interactúan los tres modos de pensar.

Palabras claves: La teoría de los modos de pensamiento, La elipse, Lugar geométrico,

Ecuaciones cartesianas, sección cónica.


8

ABSTRACT

The research we report, reports a study on understanding the concept Ellipse in students

between 16 and 18 years under a cognitive approach, which uses the modes of thought of

Anna Sierpinska theoretical framework and study cases as methodological design. The

ellipse is part of the content offered in the official programs of our country, with a strong

emphasis on analytical techniques. Our research problem lies in addressing the ellipse only

through Cartesian equations, we affirm that these techniques are not sufficient to achieve a

deep understanding of the concept, when we say deep understanding, we are thinking that

the student can understand the ellipse in the modes: Synthetic-Geometric (as conic section

in space / curve that represents it on the plane), Analytical Arithmetic (as ordered pairs that

satisfy the equation of the ellipse) and Analytical - Structural (and locus). Throughout the

investigation we have shown that students from the traditional approach a way to prioritize

analytic-arithmetic thinking, presenting great difficulty understanding the ellipse in other

ways. from the theory of modes of thinking and using epistemological background, design

learning activities, which were applied to different groups of students, showing that

students achieve a greater understanding of ellipse when faced with situations where the

three thinking modes interact.

Keywords: theory of the modes of thought, the ellipse, Locus, Equations Cartesian conic

section.


9

INTRODUCCIÓN

La enseñanza de la matemática1 en nuestro país en la formación general (doce años de

escolaridad obligatoria) se organiza en torno a cuatro ejes temáticos: Números, Algebra,

Geometría y Datos y Azar. Donde los contenidos mínimos obligatorios de enseñanza

media son en su mayoría pertenecientes al eje de álgebra e incluso ciertos contenidos de

geometría presentan un enfoque algebraico, esto lo podemos evidenciar a través de los

ejercicios presentados en textos escolares propuestos por el ministerio de educación y en

preguntas de la prueba de selección Universitaria (PSU). A continuación mostramos

ejemplos de preguntas donde se prioriza un enfoque algebraico:

Ejemplo 1

En el estudio de los teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos en la circunferencia

en el Texto de estudiante: Matematica 2° medio, Autor : Eduardo Cid Figueroa Editorial

: Cal y Canto (2008) se presenta el siguiente ejercicio:

a) Utilizando los teoremas vistos en esta sección , determine el valor de x en los

siguientes problemas

Figura 1 : Ejemplo de texto del estudiante, teorema de las secantes

Las actividades que predominan en el texto, requieren del uso del teorema de las secantes

para plantear una ecuación y posteriormente determinar el valor de la incógnita, por lo

tanto , un problema geométrico se reduce en un ejercicio netamente algebraico y el teorema

se transforma en una fórmula necesaria para resolver la ecuación.

1 “La enseñanza de la Matemática se concibe como un proceso de diseño e implementación de un conjunto de

actividades que mediaticen la relación entre los estudiantes y los contenidos del curriculum de matemática,

el proceso de mediatización incluye espacios guiados deconstrucción de los conceptos, procedimientos y

estrategias de razonamiento y resolución de problemas”. Fundamentos del ajuste curricular(2009)


10

Ejemplo 2

Respecto al contenido ángulos en la circunferencia correspondiente a Segundo Año

Medio,en un modelo de prueba PSU , Proceso de Admision 2009 ,Universidad de Chile se

plantea el siguiente ejercicio:

Figura 2: Ejercicio PSU , Teorema del ángulo inscrito en la circunferencia

Ejemplo 3

En relación al Teorema de Thales , contenido del segundo año medio. en un Modelo de

prueba PSU, Proceso de Admision 2008 ,Universidad de Chile aparece el siguiente

ejercicio:

Figura 3:Ejercicio PSU , Teorema de thales

En general podemos darnos cuenta que algunos teoremas y contenidos de enseñanza media

en geometría ,como : ángulos en la circunferencia , Teorema de Thales, Teorema de

Pitágoras y teoremas relativos a proporcionalidad en la circunferencia , se convierten en

fórmulas que se utilizan para resolver ecuaciones.

La geometría es sin duda unos de los contenidos que presenta mayores dificultades en su

aprendizaje, esto se evidencia en las mediciones PSU en relación a ello el DEMRE2

Publicaciones PSU N° 13 ,proceso de admisión 2012, señala “de los cuatro Ejes Temáticos

2 El DEMRE es el organismo técnico de la Universidad de Chile responsable del desarrollo y construcción de

instrumentos de evaluación y medición de las capacidades y habilidades de los egresados de la enseñanza

media


11

en la PSU de Matemática , Geometria es el que presenta , año a año , el menor porcentaje

medio de respuestas correctas y el mayor porcentaje de respuestas omitidas , en especial en

los contenidos de tercer y cuarto año medio”.

Si bien la enseñanza de la geometría3 en el curriculum oficial trata temas relativos a la

geometría euclidiana o sintética, geometría analítica y geometría vectorial a lo largo de los

12 años de escolaridad, no podemos dejar de mencionar que el sistema escolar carece de

una real conexión entre los enfoques sintético y analítico de la geometría. En la enseñanza

básica se trabajan algunos elementos de la geometría sintética, es decir, la geometría

basada en axiomas y teoremas para la construcción de formas y lugares geométricos, como

son las construcciones de triángulos, propiedades relativas a polígonos, entre otros. Para

luego dar paso en la enseñanza media donde principalmente se enfoca en el estudio de la

geometría analítica, la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones

algebraicas para representar figuras geométricas. no se evidencian en el curriculum

elementos que permiten la transición entre ambos enfoques , a pesar de que la

epistemología se encarga de recordarnos “que son precisamente las limitaciones de la

técnicas sintéticas las que dan sentido a las técnicas analíticas” (Gascón, 2003) , por lo

tanto , una es el complemento de la otra, ya que “ las técnicas analíticas requieren en

muchas ocasiones, de manera casi imprescindible , el uso previo de ciertas técnicas

sintéticas que son las que sugieren el diseño de la estrategia que se llevara a cabo con la

técnica analítica “ (Gascón, 2003).

Esta falta de complementariedad entre técnicas sintéticas y analíticas se ve claramente

reflejada en la presentación del objeto matemático, las secciones cónicas en la asignatura

de Algebra y modelos analíticos de tercer año medio del plan diferenciado.

Elegimos para nuestro estudio la asignatura Algebra y modelos analíticos regida por los

programas de estudios del ministerio de educación , la importancia radica

fundamentalmente en que dicha asignatura tiene por objetivo principal preparar a los

alumnos(as) en los contenidos mínimos que se necesitan para enfrentar con éxito los

primeros cursos de las carreras científicas en la educación superior.

Sobre las cónicas podemos decir que no son un tópico propio de la enseñanza media ,

sino que también es abordado en cursos de cálculo u otros equivalentes en la educación

superior cuando se tratan sólidos en revolución , ejemplos típicos podemos encontrar en

Leithold(1998),El Cálculo.

3 se refiere a la comprensión de formas, la posición y transformaciones, mediciones, estimación y

comparación e magnitudes. Mapa de Progreso (2009)


12

Ejemplo 1

“En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada

al girar la curva plana alrededor del eje indicado, dibuje la superficie

” (Leithold, El Cálculo, p.879)

Ejemplo 2

“Describa como dibujaría la superficie cilíndrica generada al girar la curva del

plano xy alrededor del eje y .En su descripción invente un ejemplo de una curva particular

e incluya la ecuación de la superficie cilíndrica obtenida. “ (Leithold, El

Cálculo, p.879)

En los ejemplos 1 y 2, observamos que se requiere de la interacción de técnicas analíticas y

sintéticas para abordar los problemas.

En base a lo anterior descrito, nuestra investigación la centraremos en el objeto matemático:

La elipse, una de las secciones cónicas tratada en la asignatura de Álgebra y Modelos

analíticos del plan científico de tercer año medio.

Desde la teoría de los modos de pensamiento, indagaremos en la forma en que los

estudiantes comprenden el objeto matemático y si estas nociones permiten movilizar la

elipse entre los diversos enfoques (analíticos, sintéticos y estructurales), indagaremos

también en los elementos que facilitan la conexión entre las distintas definiciones de la

elipse, para así lograr una mayor comprensión de ella. Con nuestra investigación buscamos

aportar evidencias con sustento teórico, en la enseñanza del concepto elipse.

Organizamos nuestro trabajo en nueve capítulos como se describe a continuación:

CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN Y

ANTECEDENTES

En este capítulo mostramos los enfoques predominantes en la enseñanza del concepto

elipse, ya sea, en el programa de estudio y en los textos utilizados por los docentes como

apoyo a la asignatura, a partir de estos antecedentes damos cuenta de nuestra problemática

nos planteamos preguntas y definimos objetivos que guiaran nuestra investigación.


13

CAPÍTULO II: ANTECEDENTES EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y

DIDÁCTICOS

En busca de los elementos que permitan conectar las distintas definiciones de la elipse,

efectuamos las siguientes indagaciones:

Realizamos un estudio epistemológico de las secciones cónicas, enfocándonos en

aquellas etapas de la historia donde se presentan los distintos modos de pensar la

elipse.

Realizamos indagaciones de la presentación del objeto elipse en distintos libros,

para documentar matemáticamente las conexiones entre las definiciones de elipse.

Además presentamos una mirada general de los trabajos existentes desde la didáctica de la

matemática, que se relacionan con nuestro objeto de estudio.

CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO

En este capítulo, justificamos la elección del marco teórico que guiará nuestra

investigación, describimos los elementos más importantes de la teoría de los modos de

pensamiento (Sierpinska 2000) y presentamos ejemplos que ilustran la teoría.

CAPÍTULO IV: REFERENTES METODOLÓGICOS

En esta sección damos cuenta del diseño metodológico de estudio de caso, que dan sustento

empírico a nuestra investigación. Fundamentando, el diseño de los instrumentos y la

elección de las unidades de análisis.

CAPÍTULO V: ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DEL CUESTIONARIO

EXPLORATORIO

En este capítulo, evidenciamos a través del estudio de un caso, los modos de pensamiento

que priorizan los estudiantes que han trabajado la elipse desde el enfoque tradicional

cuando se enfrentan a tareas planteadas en los distintos modos de pensar la elipse en el

plano cartesiano. Estableciendo conclusiones en relación al primero objetivo específico de

investigación.

CAPÍTULO VI: INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE

APRENDIZAJE

En este capítulo realizamos un análisis a priori del conjunto de actividades que

construimos a partir de nuestros hallazgos (capítulo II) y desde la teoría de los modos de

pensamiento para el aprendizaje del concepto elipse.


14

CAPÍTULO VII: APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE

APRENDIZAJE

En este capítulo obtenemos las evidencias empíricas las cuales se analizan a partir del

análisis a priori. Evidenciamos la forma en que los estudiantes de distintos casos,

relacionados con los conocimientos matemáticos de la formación dependiendo del nivel

donde se encuentren, comprenden la elipse cuando se da fuerza al tránsito SG- AE. Estos

resultados son fundamentales para establecer las conclusiones de nuestra investigación.

CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES

Finalmente establecemos las conclusiones del objetivo general a partir de la evidencia

empírica con sustento teórico obtenido en el capítulo anterior. Presentamos conclusiones

teóricas y reflexiones didácticas, en relación al aporte de nuestra investigación para

investigaciones posteriores.


15

CAPÍTULO I:

ANTECEDENTES,

PROBLEMÁTICA Y

OBJETIVOS DE

INVESTIGACIÓN


16

ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN

En esta sección daremos cuenta de elementos presentes en el “saber enseñar” del objeto

matemático la elipse. Se describirá la presentación de dicho objeto, programa de estudio,

libros de Geometría analítica y textos de los estudiantes, utilizados en nuestro país, con el

propósito de evidenciar los enfoques predominantes en la enseñanza.

A continuación se describe la presentación del objeto elipse en:

El programa de estudio 4de la asignatura de tercer año medio del plan científico

álgebra y Modelos analíticos del ministerio de educación de Chile.

(1999) Matemática Algebra y Modelos Analíticos Programa de Estudio Tercer Año

Medio de Ministerio de Educación. Chile

Único Libro de geometría analítica, Geometría Analítica (1987) de Lehman,C

editorial: Itesa, México, que aparece como referencias bibliográfica en el

programa de estudio de álgebra y Modelos analíticos, nos parece interesante

analizar los elementos matemáticos que se consideran para hacer la transposición

didáctica en el currículo oficial.

Textos de apoyo para el estudiante Matemática, plan electivo III y IV medio

(1995) de Blanco, S; Delas Heras, R; Fuenzalida, G; Riveros, J. editorial:

Santillana, chile. donde se tratan temas de los cursos del plan científico para

tercero y cuarto medio.

DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN PROGRAMA

DE ESTUDIO

La presentación de La elipse en el programa de estudio (Ministerio de Educación, 2001)

es en la unidad II: Lugares geométricos, la cual, tiene por objetivos uno de los principios

fundamentales de la geometría analítica: reconocer que los lugares geométricos se pueden

describir mediante ecuaciones cartesianas. (Ministerio de Educación, 2001)(p.41)

En las actividades planteadas se pide caracterizar la elipse como un lugar geométrico y

establecer su correspondiente ecuación analítica y a través de la ecuación dada, determinar

el lugar geométrico.

Ejemplo de actividades propuestas

1) “¿Qué lugar geométrico en el plano representa la siguiente ecuación?

4 Los programas de estudio ofrecen una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año

escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el

desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular.


17

2) ¿Cuáles son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?

Figura 4: distintas elipse en el plano

(Ministerio de Educación, 2001) (p.49)

3)

Figura 5: ejemplos de actividades del programa

Las actividades propuestas priorizan la obtención de la ecuación

de la elipse a

partir de los elementos: focos, centro, parámetros a y b. o bien a partir de la ecuación

determinar el lugar geométrico que representan.

Entre las sugerencias al docente se destaca que:

Los alumnos asocien los puntos de intersección con los ejes del sistema de

coordenadas con los parámetros a y b de la ecuación de la elipse.


18

Los alumnos puedan relacionar la elipse con la sección cónica (cortes del cono).

los alumnos realicen alguna construcción concreta de la elipse para que la frase “

la suma de las distancias a los focos es constante’ cobre sentido y sea comprendida

por ellos(as).

En el Programa de estudio predomina un enfoque analítico, lo podemos deducir a partir del

objetivo planteado respecto a la elipse. Si bien en las sugerencias al docente hay intención

de desarrollar otras técnicas para la comprensión de la elipse, no se dan ejemplos o ideas

de cómo abordar las situaciones propuestas, parecen ser solo actividades anexas a las

técnicas analíticas que se desarrollan.

DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN LIBRO DE

GEOMETRÍA ANALÍTICA

El libro de Geometría Analítica de Lehman C (1987) trata el tema de elipse en dos

capítulos (VII y IX).

En el Capítulo VII, llamado La elipse (pág173 a 186) , se estructura de la siguiente forma

: definiciones , ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes

de la elipse , ecuación de la elipse de centro (h.k) y ejes paralelos a los coordenados ,

propiedades de la elipse.

A continuación serán descritos solo aquellos temas que tengan directa relación con nuestro

objeto de estudio.

En primer lugar define la elipse como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en

un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es

siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos” (p.173)

La definición es apoyada por una imagen (sin sistema de coordenadas) donde se muestran

los elementos de la elipse: focos, vértices, eje mayor, eje focal, eje menor y lado recto.

Luego exprese la condición geométrica” la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese

plano es siempre igual a una constante” en forma analítica y utilizando un

procedimiento algebraico obtiene la ecuación de la elipse con centro en el origen con eje

focal el eje x:

=1 .

De la misma forma se busca la ecuación de la elipse con eje focal, eje y:

=1

con respecto a los elementos de la elipse , los relaciona de manera que si se conoce la

ecuación de la elipse se puede determinar su gráfica.

A partir de relaciones algebraicas obtiene la fórmula

para determinar la longitud del

lado recto .


19

expone sobre la excentricidad : “ un elemento importante de una elipse es su excentricidad

que se define como la razón

y se representa usualmente por la letra e , como c<a la

excentricidad es menor a la unidad “(p.176). No se realiza mayor explicación sobre en que

radica su importancia y ni de los relaciones que la definen.

a partir de lo anterior , enuncia el siguiente teorema:

“La ecuacion de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje x , distancia focal

igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:

=1 . si el eje focal coincide con

el eje y , de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0,-c) , la ecuación de

la elipse es

=1 .

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, a, b y c

están ligados por la relación también para cada elipse la longitud del

lado recto

y la excentricidad está dado por la fórmula

√

”

(p.177)

Luego se presenta un ejemplo:

“Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno

de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a

. Hallar las coordenadas

del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la

longitud de cada uno de sus lados rectos”

En el ejemplo anterior, se muestra la obtención de la ecuación a partir de las fórmulas

obtenidas para la excentricidad, lado recto y la relación de los parámetros

. Se complementa con una figura que representa el lugar geométrico.

Luego se presentan una serie de ejercicios donde se da prioridad a situaciones como:

determinar la ecuación de la elipse conociendo algunos elementos de ella o bien a partir de

la ecuación determinar los elementos de la elipse (se pide realizar un dibujo para cada uno

de los ejercicios).

También se presentan algunos ejercicios donde se pide demostrar relaciones que se

pueden deducir a partir de las fórmulas obtenidas anteriormente como por ejemplo:

“Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las

longitudes de su eje mayor y su lado recto.” (p.179)

Además se proponen 2 situaciones donde se solicita demostrar procedimientos para:

obtener puntos de una elipse, dado algunos elementos de ella (focos, longitud de su eje

mayor y menor) utilizando escuadra y compás.


20

Posteriormente se determinan las ecuaciones para una elipse con centro y ejes

paralelos a los ejes coordenados a partir de la ecuación

obteniendo la

ecuación ordinaria

=1 (eje focal paralelo al eje x) y como consecuencia

de procedimientos algebraicos de la ecuación anterior se obtiene una ecuación de segundo

grado, enunciando el siguiente teorema:

“Si los coeficientes son del mismo signo, la ecuación

representa una elipse de ejes paralelos a los ejes

coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.” (p.173)

y seguidamente se proponen ejercicios de los temas tratados y como último tema del

capítulo se dan a conocer propiedades relativas a la elipse , entre ellas: tangentes a la elipse

y propiedades de reflexión .

En el capítulo IX, titulado Ecuación general de segundo grado (páginas 212-233) se dan

a conocer temas como: transformación de la ecuación general por rotación de los ejes

coordenados, el indicador definición general de cónica, tangente a la cónica

general, sistemas de cónicas y secciones planas de un cono circular recto.

Se presentan la ecuación general de segundo grado

Como la definición analítica de las cónicas,

teniendo en cuenta que cada ecuación representa una cónica o bien una cónica degenerada,

se analizan las características que deben tener los parámetros de la ecuación para

representar una parábola, elipse o hipérbola.

Luego se da a conocer una definición geométrica de las secciones cónicas, que incluye a la

elipse, parábola e hipérbola.

“Dada una recta fija y un punto fijo no contenido en esa recta, se llama cónica al

lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de de tal manera que

la razón de su distancia de a su distancia de es siempre igual a una constante

positiva “

La recta se llama directriz el punto fijo , foco y la constante positiva, a la que

designamos por , excentricidad de la cónica. “(p. 220)

A partir de la definición dada y utilizando procedimientos algebraicos obtiene la ecuación

para las cónicas.

Lo anterior se resume en el siguiente teorema:

“Una cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que su excentricidad

sea igual a, menor que, o mayor que la unidad.” (p.222)


21

Explica también sobre el origen del nombre de secciones cónicas con que se designa a la

parábola , elipse e hipérbola se origina a partir del hecho de que estas curvas se obtuvieron

por primera vez como secciones planas de un cono circular recto.

Propone una demostración para fundamentar que la intersección de un plano y un cono es

una sección cónica , se apoya en la figura adjunta y a través de propiedades geométricas

determinadas por triángulos rectángulos y razones trigonométricas relacionando los

ángulos , obtiene la definición geométrica de las secciones cónicas

. Figura 6: la elipse en el espacio

De la demostración concluye las siguientes relaciones entre los ángulos y las compara con

los valores de la excentricidad.

El ángulo es una constante para un cono dado, varía dependiendo de las posiciones

del plano secante.

Si , entonces , la sección es una parábola, el plano es paralelo a una generatriz

del cono.

Si , entonces , la sección es una elipse, el plano corta a todas las generatrices

del cono.

Si , entonces , la sección es una hipérbola, el plano corta a las dos hojas o

ramas de la superficie cónica.

Los procedimientos utilizados en la presentación de objeto elipse en libro analizado ,

privilegian un enfoque analítico, se define la elipse como un lugar geométrico para obtener

la ecuaciones que las describen, en el capítulo VII, los ejercicios propuestos varían entre

obtener la ecuación a partir de los elementos conocidos o bien dada una ecuación

determinar los elementos de una elipse. Si bien se presenta otra propuesta (capítulo IX)

donde se combinan técnicas sintéticas y analíticas, la transposición didáctica realizada por

el programa de estudio se enfoca únicamente en elementos propios de la geometría analítica

presentes en el capítulo VII del libro.


22

DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN TEXTO DEL

ESTUDIANTE PLAN ELECTIVO III Y IV MEDIO

El libro (Blanco Molleda , De las Heras Karl, Fuenzalida Correa, & Riveros Rojas , 1995)

está diseñado como un complemento para el trabajo del estudiante en los cursos de tercer

y cuarto año medio del Plan electivo de Matemática, la elipse se sitúa en el capítulo III,

llamado Geometría analítica del plano el cual se organiza de la siguiente forma: La línea

recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola, definición general de cónicas.

El objetivo que plantea el capítulo, respecto a nuestro objeto de estudio es: “Reconocer la

ecuación de una elipse y determinar sus elementos “(p.90)

Para introducir el concepto de la elipse, define una sección cónica como una curva que se

obtiene al intersectar un plano y un cono de revolución, según la inclinación del plano

respecto al eje del cono se obtiene una circunferencia, elipse, parábola o hipérbola.

Aparecen figuras que muestran las secciones cónicas.

Luego define la elipse como “el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya

ubicación en el plano es tal , que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es

constante.” (p.114), también describe sus elementos: focos, recta focal, recta secundaria,

centro, vértices, eje mayor, eje menor, distancia focal, lado recto. Se agregan dos

observaciones: la primera de ellas es sobre las leyes de Kepler descubiertas en 1610 que

entregan información sobre las trayectorias elípticas de los planetas que giran alrededor del

sol, donde el sol uno de los focos. La segunda observación propone el “método del

jardinero” para trazar elipses.

A continuación se verifica a partir de distancias el valor de la constante, la relación de los

parámetros que determinan el semieje mayor, semieje mayor, semieje focal.

Sobre la excentricidad de elipse, expone: “A toda elipse se le asocia un número real que

llamamos excentricidad, designado por la letra cuyo valor es

“(p.115), explica

también que dependiendo del valor de su excentricidad se tienen elipse “más, o menos

achatadas”.

Posteriormente a partir de la definición de elipse, por medio de un tratamiento algebraico

determina la ecuación canónica

,

de la misma forma se busca la ecuación canónica

, cuando el eje focal coincide

con el eje y. reemplazando en la ecuación obtiene la fórmula

para el lado recto.


23

Luego se dan a conocer la ecuación principal con Centro (h,k)

+

y la

ecuación general . Se explica que se obtiene por

métodos algebraicos pero no se desarrolla.

En seguida, se proponen ejemplos y ejercicios donde los enunciados son los siguientes: i)

determina los elementos de las elipses, ii) determina la ecuación de la elipse, con los

elementos dados en cada caso.

Después de tratar todas las secciones cónicas de forma similar a la descrita anteriormente,

propone una definición general de las cónicas, a partir de los valores de la excentricidad,

como se describe a continuación: “es el lugar geométrico de todos los puntos del plano,

cuyas distancias a un punto (Foco) y a una recta (Directriz) fijos están en una razón

constante (excentricidad)”. (p.129)

Realizando procedimientos algebraicos se obtiene una ecuación principal de una cónica

En particular la elipse se determina cuando la excentricidad es menor a 1.

A través de la definición dada y utilizando un desarrollo algebraico determina las

relaciones entre los elementos de la elipse.

En el texto del estudiante, los objetivos del texto son coherentes con los objetivos

enunciados en el programa de estudio, es decir, se centran en las ecuaciones cartesianas que

la describen. Además, existen propiedades geométricas como la excentricidad y lado recto

que se convierten en fórmulas para determinar ecuaciones de las elipses correspondientes.

DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA

Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse puramente a través de

las ecuaciones cartesianas como se muestran en programa de estudio (Ministerio de

Educación, 2001), consideramos que estas técnicas no son suficientes para lograr una

comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda , estamos

pensando en que el estudiante pueda relacionar las distintas definiciones de elipse , ya

sea , la elipse como una sección cónica, elipse como lugar geométrico y la elipse a partir

de las ecuaciones que la describen.

A partir de nuestra problemática nos planteamos las siguientes preguntas, que guiarán la

investigación:

La noción de elipse que construyen los estudiantes del plan científico tercer año

medio de la asignatura algebra y modelos analíticos ¿permite movilizar la elipse


24

entre las definiciones como: sección cónica, lugar geométrico y ecuaciones

cartesianas?

¿Qué elementos de la Matemática están presentes en noción del concepto elipse

que presentan estos estudiantes?

Con intenciones de lograr una comprensión profunda entre los aprendices del concepto

elipse, nos planteamos abordar las siguientes interrogantes

¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que

promueve alcanzar una comprensión profunda de este?

¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del

concepto elipse? ¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas

u obedecen a estructuras matemáticas?

Apoyándonos en las preguntas anteriores daremos a conocer el siguiente supuesto de

investigación “el estudiante logra una comprensión profunda del concepto elipse cuando

logra transitar entre los modos de pensamiento analítico- aritmético, sintético-

geométrico y analítico- estructural”. (Ver figura 7)

Figura 7: Modos de pensar la elipse.


25

OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN

A partir de las interrogantes planteadas y la problemática descrita, se determinan los

siguientes objetivos de investigación:

Objetivo general

Ofrecer un conjunto de sugerencias didácticas basada en nuestra investigación para

la enseñanza del concepto elipse.

Objetivos específicos:

1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes

que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento

educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus

distintas definiciones en el plano cartesiano.

2. Indagar en los elementos de la matemática5 que propician el tránsito entre las

definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en

el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar

geométrico.

3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los

modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, Analítico-

Estructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos

analíticos de un establecimiento educacional chileno.

5 Conceptos matemáticos, nociones, propiedades.


26

CAPÍTULO II:

ANÁLISIS

EPISTEMOLÓGICOS,

MATEMÁTICOS Y

DIDÁCTICOS


27

EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE

En relación a nuestro segundo objetivo específico de investigación, describiremos de

manera general la epistemología de las secciones cónicas, centrándonos en épocas donde

aparecen con mayor fuerza y enfocándonos particularmente en aspectos de la elipse que

consideramos importantes, como el surgimiento de enfoques analíticos, sintéticos y

estructurales a través de la historia y en los elementos que permiten su interacción.

GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA

Las secciones cónicas surgen en el periodo del Helenismo en Grecia

“El helenismo significa, tanto en política como en filosofía, una auténtica

fragmentación. En política, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos más o

menos pequeños que compiten en ser dignos herederos de la tradición del siglo de

oro helénico. En filosofía se produce también una fragmentación del saber

unificado al que Platón y Aristóteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagórica,

aspiraron. El saber orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la

estética, ética, religión, política,... cede el paso al saber especializado que en

matemáticas viene a ser representado por Euclides, Arquímedes y Apolonio”

(Tapia, 2002 ,p.19 ).

En este periodo los avances en matemática se basan en “un pensamiento hipotético –

deductivo, en métodos racionales de demostración y en la utilización de técnicas

sintéticas en los razonamiento geométricos” (Gonzales , Paniagua , & Patiño, 2008)

Bajo este enfoque nacen las secciones cónicas, como se detalla a continuación:

Las secciones cónicas fueron inicialmente tratada por autores como: Menecmo,

Arquímedes Aristeo y Euclides. Su descubrimiento se atribuye a Menecmo (350 a.c)

mientras se ocupa del problema clásico de la duplicación del cubo, obtiene las curvas que

hoy conocemos como elipse, hipérbola y parábola determinándolas por secciones de un

plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, dependiendo del ángulo

del vértice (agudo, obtuso o recto).

A finales de siglo IV ya se conocían dos obras sobre las cónicas, La primera es de Aristeo,

“el Libro de los lugares sólidos” y la segunda de Euclides (4 libros), si bien no hay

evidencias de ellas, estas obras fueron los pilares fundamentales para las famosas cónicas

de Apolonio.

Se cree que fue Arquímedes quien dio el nombre elipse a las “secciones de cono

acutángulo “(como se conocían anteriormente). La palabra elipse fue utilizada por el


28

famoso Matemático Pitágoras, “en las soluciones de ecuaciones cuadráticas por el método

de duplicación de áreas, Ellipsis, significa una deficiencia, se utilizaba cuando un

rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado”

(Boyer,1986. pág. 195).

El gran geómetra griego Apolonio de Perga (262 - 190a.c) educado en Alejandría con

discípulos de Euclides, fue quien en el siglo III a.c dio “el rigor la consistencia y

sistematización a las secciones cónicas” (Ruiz, p 80) demostrando que las propiedades

de las curvas son las mismas si se obtienen como cortes de conos oblicuos o de conos

rectos. Es Apolonio quien define una superficie cónica:

“Si una línea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se

hace mover sobre la circunferencia que no está en el mismo plano que el punto dado,

de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia ,

entonces la recta describirá la superficie de un cono doble “ (Gonzales , Paniagua , &

Patiño, 2008)

Figura 8: superficie cónica de Apolonio

Apolonio sustituye el cono de una sola hoja por el cono de dos hojas (par de conos

orientados en sentido opuesto con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta) con lo

cual cambia las 2 hipérbolas, como las llama Euclides, por una hipérbola de dos hojas.


29

Figura 9: cono de una y dos hojas

Apolonio define las secciones cónicas, como, una curva obtenida cortando una superficie

cónica con un plano, según la inclinación del plano se puede formar una parábola, una

elipse o una hipérbola.

Figura 10: secciones cónicas de Apolonio

Sobre las secciones cónicas escribe 8 libros, donde se dan a conocer modos de obtención y

propiedades fundamentales de las cónicas, propiedades de sus elementos (diámetros, ejes,

focos), teoremas relativos a diámetros conjugados, entre otros.

Entre las propiedades destacamos: la suma de las distancias de un punto de la elipse a dos

puntos fijos (focos) es constante (proposición 52 del libro III) la cual es utilizada en la

actualidad como una de las definiciones de la elipse como lugar geométrico.

La construcción de la elipse está fundamentada en los métodos predominantes de la época

nos referimos, al razonamiento deductivo a partir de proposiciones y teoremas

demostrados utilizando técnicas geométricas sintéticas.


30

A continuación se describe el enfoque de la elipse como fue trabajada en la antigüedad,

Apolonio define “La elipse como una sección de un cono por un plano no perpendicular a

su eje” (Grégoire , 1992) a partir de la definición dada, razona de la siguiente forma:

Sean C y C’ dos puntos cualesquiera de la elipse y KCL y K’C’L’ dos secciones

circulares del cono perpendiculares al eje. (Figura 11)

Figura 11: secciones cónicas de Grégoire

Dados los triángulos rectángulos KCL y K’C’L’,

Se tendrá:

Además los triángulos GMK y GM’K’ son semejantes,

Se deduce que:

los triángulos AML y AM’L’ también son semejantes,

Por lo que

Por tanto al multiplicar miembro a miembro

, por el teorema de la altura (

)

, se obtiene

Es decir la relación

es constante para todo punto c de la elipse

(Grégoire , 1992)

Apolonio determina una propiedad geométrica para todo punto que pertenece a la elipse, lo

que es equivalente a pensar la elipse como un lugar geométrico que cumple una cierta

propiedad geométrica.


31

Es importante destacar que Apolonio descubre un sin número de propiedades para las

cónicas, muchas de ellas son el inicio de grandes descubrimientos en otras áreas como la

física, la óptica, astronomía entre otras.

Entre los numerosos geómetras que siguieron los pasos de Apolonio destacamos a Pappus

(Siglo IV d c) quien escribió La Colección Matemática, obra donde realiza una

recopilación de una cantidad indeterminada de teoremas y problemas propuestos por sus

antecesores, además agrega proposiciones nuevas e incluso problemas que se trataran de

resolver siglos después. En relación a las secciones cónicas propone un teorema (libro VII

n° 238) que permite definir las tres cónicas como lugares geométricos a través de la

relación de distancias de un punto al foco y a una recta (directriz) como se detalla a

continuación:

“El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado (Foco) y a una

recta dada (Directriz) están en una razón constante es una sección cónica: Una

parábola si la razón es la unidad, una elipse si es más pequeña que la unidad y una

hipérbola si es más grande que la unidad “ (Española, 2000)

El teorema de Pappus permite definir una sección cónica como el lugar geométrico de los

puntos talque , donde .

Según el valor de la constante se clasifican en:

.

.

.

Figura 12: clasificación de las secciones cónicas, según el valor de e.


32

La constante

determinada por Pappus posteriormente es conocida con el

nombre de excentricidad de una cónica.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Hasta el siglo XVI el enfoque de las secciones cónicas fue basado en las cónicas de

Apolonio, el gran geómetra de la Antigüedad donde se destaca la elegancia que utiliza

para describir las cónicas a través de relaciones de áreas y longitudes que caracterizan a

cada una de las curvas, en su estudio además considera sistemas de referencia (diámetros

conjugados) a posteriori de la construcción de la curva para el estudio de las propiedades.

Podemos decir que Apolonio es uno de los primeros en utilizar el análisis en la geometría,

“el lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica

pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus "métodos de coordenadas" guardan una

gran similitud con los de la Geometría Analítica” (González Urbaneja , Raices histórica y

trascendencia de la Geometría Analítica , 2007).

En los siglos XVI y XVII durante la Revolución científica , época en que se nacen

nuevas ideas y conocimientos en distintas áreas como : Química , Biología, Astronomía ,

Física y Matemática, ideas que posteriormente se convertirán en la base de las ciencias

modernas.

Es durante esta época que surge la geometría analítica, es decir, "la aplicación del

Álgebra simbólica al estudio de problemas geométricos mediante la asociación de curvas y

ecuaciones en un sistema de coordenadas". (González Urbaneja , Raices histórica y

trascendencia de la Geometría Analítica , 2007)

Sobre la geometría Analítica destacamos :

“Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes

publica en 1637 La Geometría junto con La Dióptrica y Los Meteoros como

apéndices de su Discurso del Método o éste como prólogo de aquellos opúsculos. El

mismo año, Fermat envía al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629

contenidas en la memoria Introducción a los Lugares Planos y Sólidos. Las obras

citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde

Geometría Analítica. Estos matemáticos encontraron un terreno muy abonado por el

Análisis Algebraico en el que Vieta había transformado el Análisis Geométrico de los

griegos con la intervención de su incipiente Álgebra simbólica. (González Urbaneja ,

Raices histórica y trascendencia de la Geometría Analítica , 2007)”

Los aspectos novedosos de la geometría analítica son : la introducción de coordenadas ,

el trazado de curvas construyendo ordenadas a partir de abscisas dadas y conectando con


33

puntos finales , la aplicación del álgebra simbólica a los problemas geométricos, la

derivacion de ecuación a los lugares geométricos y la construcción geometrica de las

soluciones de las ecuaciones , estudio de las propiedades de las curvas dadas por las

ecuaciones y representacion grafica de una curva dada por la expresion analitica funcional.

Este nuevo método permite resolver problemas geometricos de la antigüedad y avanzar en

terrenos inexplorados de la matematica en ese momento.

En relación a las secciones cónicas, destacamos los avances de Descartes, Fermat, Witt,

Wiles y Euler.

René Descartes, matemático francés (1596-1650) el segundo libro de la Geómetrie de

Descartes, “De la Naturaleza de las curvas”, da a conocer métodos para encontrar líneas

rectas que corten las curvas o a sus tangentes, en particular las secciones cónicas se pueden

representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. lo cual, conlleva a la

posterior aparición de la ecuación de la elipse como se muestra a continuación:

Descartes calcula la normal a una curva en un punto de la figura siguiente:

Llama

=

Figura 13: normal a una curva

Todo punto P perteneciente a la recta AG, verifica las dos relaciones siguientes

√ ; √

Para calcular la ecuación de la elipse (figura 3), descartes utiliza la definición de

Apolonio

, donde q es la longitud del lado AG

Con las notaciones elegidas por Descartes, la ecuación de la elipse es:


34

, utilizando la relación √ , se obtiene la

ecuación fundamental de la elipse

Figura 14: Normal de una curva, Descartes

Para obtener la ecuación canónica, se considera la elipse referida a su centro O.

Obteniendo la siguiente ecuación:

, siendo

Si se toman

, se obtiene así la ecuación de la

elipse de Descartes. (Grégoire , 1992)

Pierre de Fermat, matemático francés ( 1601-1665), crea una reformulación de la obra

Las Cónicas de Apolonio con los instrumentos del Álgebra, demuestra en su obra Ad

locos planos et solidos isagoge (introducción a los lugares geométricos planos y sólidos)

que las ecuaciones de primer grado representan rectas y las de segundo grado determinan

cónicas o rectas.

Durante los periodos siguientes, mitad del siglo XVII y comienzo del siglo XVIII se

difundieron los métodos analíticos propuestos por Descartes y Fermat, en relación a las

cónicas, matemáticos de la época como Witt y Wallis completaron y perfeccionaron sus

obras. Wallis en su Tractatus de sectionibus conicis deduce todas las propiedades

conocidas de las cónicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones de Apolonio

y considera estas ecuaciones como la definición de la sección, por su parte Jan de Wittt en

la primera parte de su obra Elementa curvarum linearum, introduce la definición de cónicas

utilizando la razón de las distancias al foco y a la directriz, propiedad descubierta por

Pappus.


35

Posteriormente Desargues realiza también estudios sobre las cónicas y los puntos del

infinito y Pascal también escribe sobre las cónicas (Essay pour las coniques ) estos

estudios son los cimientos para la geometría proyectiva.

Leonhard Paul Euler, Matemático Suizo (1707-1783) señala que las propiedades de las

cónicas no pueden derivarse de un único principio; a veces se obtienen de la ecuación de las

curvas, otras de su generación por la sección de un cono (como habían hecho los grandes

geómetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas mediante

construcción geométrica” (González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 ).

Euler escribe un primer volumen de introducción una teoria general de curvas , basada en

ideas de función , en el que deriva las propiedades de las cónicas del cono o de la

construcción geométrica, luego en un volumen posterior realiza un tratamiento analítico

general, obtiene las propiedades de las cónicas mediante la informacion entregada solo por

la ecuacion sin recurrir a otros medio , escribe una ecuación cuadrática general con seis

términos para las secciones cónicas :

y expresa la ecuación en términos de en terminos de

(González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 )

Euler determina la ecuación central de las cónicas a partir de la cual realiza la clasificación

de cada una de ellas mediante el valor del discriminante, encontrando así de manera

sencilla puntos, líneas y rectas, razones asociada a cada curva, completando el trabajo

iniciado por Witt y Wallis.

A partir de la ecuación , con A, B, C, D, E, F

reales y A, B y C no todos nulos. Podemos clasificar las cónicas dependiendo del valor del

discriminante .

Si Se trata de una Elipse

Si Se trata de una Parábola

Si Se trata de una Hipérbola


36

Sobre las propiedades determinadas por Apolonio y Pappus en la antigüedad y trabajadas

en forma analítica por Descartes, Fermat, Witt , Willes y Euler. El matemático Belga

Germinal Pierre Dandelin (1794 – 1847) propone en 1822 el siguiente teorema,

demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica

son los puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.

Figura 15: Esferas de Dandelin

A partir del teorema propuesto por Dandelin, se puede probar con herramientas sintéticas

las propiedades que definen a la elipse:

La suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos fijos

de su eje principal es constante.

La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los

focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es un valor constante

menor a 1.


37

LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA

En busca de los elementos de la matemática que conecten las distintas definiciones de

elipse, como: sección cónica, lugar geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas.,

realizamos una indagación en libros de Geometría plana y del espacio, Cálculo, geometría

analítica y trigonometría. A partir del análisis de los textos (Ver anexo 1) y el análisis

epistemológico (antes descrito), elaboramos esta sección, donde conectamos las distintas

definiciones de elipse. Centrándonos mayoritariamente en aquellas que utilizaremos para

nuestra investigación.

A continuación se enuncian los textos utilizados:

Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James Stewart

editorial: Cengage Learning Editores.

Leithold, l (1998) el cálculo 7ª edición .México: Orfoxd university press-harla.

Masjuan,G;Arenas,F;Villanueva,F.(2001). Trigonometría y geometría analítica. Santiago:

ediciones universidad católica de chile.

Para las definiciones y en busca de elementos distintos a los presentados en los libros

anteriores utilizamos:

Wentworth, d; Smith, d (2001) geometría plana y del espacio. México: Porrúa.

Romero, A (2005) Estudio sobre las cónicas, Caracas: Innovación tecnológica.

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE

A continuación se presentan las definiciones de elipse, como: sección cónica, lugar

geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas, previo a ello se definen conceptos

matemáticos que se utilizan en la interacción entre los enfoques del concepto elipse.

Posteriormente se describen relaciones entre las definiciones de una elipse a partir de

elementos de la matemática6 que permiten una movilidad entre los distintos enfoques del

concepto. (Figura 16: distintas definiciones de Elipse)

6 Conceptos, propiedades o teoremas.


38

Figura 16: distintas definiciones de Elipse

CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE

1.- Superficie cónica: superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que

siempre corta una curva plana fija y que pasa por un punto exterior al plano de esa curva.

La curva fija se llama directriz y el punto fijo se llama vértice

2.- Generatriz de una superficie cónica: recta que engendra la superficie y también toda

recta que representa una de las posiciones por las que pasa aquella, es decir, toda recta que

va desde el vértice a la directriz.

3.- Cono: sólido limitado por una superficie cónica y por un plano que corta a todas las

generatrices.

4.- Cono circular: cono que tiene un círculo de base. Llamase eje del cono a la recta que va

del vértice al centro de la base.

5.-Cono circular recto: cono circular cuyo eje es perpendicular al plano de la base.

6.-Esfera: sólido limitado por una superficie todos cuyos puntos equidistan de un punto

interior.

7.- Sección cónica

Definición geométrica:

Es la intersección de un plano cualquiera y una superficie cónica.

i) Si el plano no es paralelo a las generatrices es una elipse.

ii) Si el plano es paralelo estrictamente a dos generatrices es una hipérbola.

iii) Si el plano es paralelo a una sola generatriz. La sección obtenida se

llama parábola


39

Figura 17: Secciones cónicas

Si el plano intersecta al vértice se forma cónicas degeneradas, es decir, un punto, una recta

o par de rectas concurrentes.

Definición a partir de propiedades:

Es una sección cónica puede definirse como el conjunto de los puntos P del plano

tales que la razón de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no

dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante

positiva . (Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad)

i) Si la cónica es una parábola

ii) Si es una elipse

iii) Si es una hipérbola.

Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad


40

Definición Analítica:

Una sección cónica está definida por una ecuación general de segundo grado ,

Con y no

todos nulos.

La grafica de la ecuación es una cónica, o bien, una cónica degenerada.

Los parámetros A, B y C permiten identificar el tipo de cónica analizando el

discriminante como sigue:

i) Si se trata de una parábola ( o como caso

degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes )

ii) Si , se trata de una elipse ( o como caso

degenerado un punto )

iii) Si , se trata de una hipérbola ( o como caso

degenerado un par de rectas que se cortan )

A continuación se define la elipse como una sección cónica, luego se presentan dos

alternativas para tratar la elipse como lugar geométrico7 y a partir de las definiciones se

obtienen ecuaciones (cartesianas – polares) que describen una elipse.

Como sección cónica:

Es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna

generatriz.

Figura 19: La elipse como sección cónica

7 conjunto de puntos que cumple una propiedad geométrica.


41

Como lugar geométrico:

1.- Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias

a dos puntos fijos (focos) es siempre una constante positiva (mayor que la distancia entre

los focos).

Figura 20: la elipse como lugar geométrico

2.- Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la

distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la

cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1.

A través de las ecuaciones algebraicas:

1. Si es la constante en la definición, si los focos se encuentran en (– )

y si , entonces su ecuación de la elipse es:

=1

Donde la excentricidad: √

,

, la

ecuación de la Directriz es

y los focos son :

F )

3. Una elipse se describe a partir de la ecuación general de segundo grado ,

Con y no

todos nulos. Donde Si


42

CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE

DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

A continuación se presentan dos descripciones del concepto elipse como se muestra a

continuación:

La primera de ellas parte de la elipse como sección cónica, luego utilizando el teorema de

las esferas de Dandelin permite determinar la elipse como lugar geométrico donde la suma

de las distancias de los puntos de la elipse a los focos es constante, posteriormente a través

de las herramientas algebraicas dadas por el concepto de distancia entre dos puntos del

plano se determinan las ecuaciones cartesianas y los elementos principales de la elipse en el

plano.

La segunda alternativa parte de la definición de elipse como sección cónica, y a través del

teorema de Dandelin permite encontrar el lugar geométrico que describe la elipse a partir de

la excentricidad (razón entre la distancia de un punto al foco y la distancia del punto a la

directriz), luego a través de elementos trigonométricos y algebraicos permiten determinar

las ecuaciones polares y cartesiana de la elipse.

DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 1

La elipse, es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a

ninguna generatriz.

A partir de esta definición utilizando el Teorema de Dandelin8, se puede construir la

definición 1 de elipse como lugar geométrico.

Figura 21: Teorema de Dandelin

8 Si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica son los

puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.


43

En el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante

ambas esferas . La esfera es tangente al cono a lo largo de las

circunferencias , y es tangente al plano cortante en el punto . La esfera es

tangente al cono a lo largo de las circunferencias , y es tangente al plano cortante en el

punto . Los planos de la circunferencia son paralelos. Se demostrara que

son los focos de la elipse al probar que si P es un punto de la elipse, entonces

| | | | es una constante.

La generatriz del cono que pasa por un punto cualquiera P de la elipse sección corta a las

circunferencias tangentes a la esfera en los puntos , como todas las

tangentes que puedan trazarse desde un punto a una esfera tienen la misma longitud, se

tiene

Las circunferencias de tangencia cortan segmentos iguales de igual longitud en

todas las generatrices del cono, como consecuencia todos los puntos de una elipse tienen las

propiedades “La suma de las distancias a dos puntos fijos de su eje principal es

constante”.

Considerando la definición de elipse: “La elipse es el conjunto de puntos de un plano tales

que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante e igual . Cada punto

fijo se llama foco”. | | | | (Figura 20: la elipse como lugar geométrico)

Obtenemos las ecuaciones cartesianas que la describen.

| | √ , | | √

√ +√

√

Como


44

Si es la constante en la definición, si los focos se encuentran en y si

, entonces su ecuación de la elipse es:

Elementos de una elipse

1.-Los puntos A, A’, B, B’ se llaman vértices de la elipse.

2.- El valor de se conoce como semieje mayor, se llama semieje menor y como semi

distancia focal.

3.-las cuerdas focales perpendiculares al eje focal de esta elipse se conocen como lado recto

(latus rectum) de la elipse y su longitud es igual a

.

DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 2

En figura adjunta, el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al

plano secante ambas esferas tienen su centro sobre el cono y son tangentes a

este a lo largo de las circunferencias situadas en planos normales al eje del cono.

Figura 22: Teorema de las esferas de Dandelin

se puede deducir otra propiedad: el plano de la elipse corta a los planos de las

circunferencias de las dos esferas de Dandelin según rectas directrices )

si los puntos y el vértice principal de la elipse giran alrededor del eje del

cono hasta situarles paralelamente al plano de proyección , como son los segmentos

se tiene = para la distancia espacial

del punto a la directriz , que se proyecta en su verdadera magnitud , en virtud de la

semejanza de triángulos, se tiene:


45

La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la

distancia de la directriz correspondiente, es igual a la razón entre 2e de los focos y la

longitud 2a del eje mayor. La relación e: a es lo que se denomina excentricidad de la elipse

A partir de la definición:

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la

distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la

cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. Se generan las

ecuaciones polares y cartesianas que la describen como se explica a continuación.

Primero se obtendrá una ecuación polar del conjunto de los puntos descritos. Considere

que denota el punto fijo y representa la recta fija. Se toma como polo a y el eje

polar y su prolongación a .

Se considerara el caso en que la recta esta a la izquierda del punto . Sean D el punto

de intersección de con la prolongación del eje polar y, la distancia no dirigida de a .

Sea cualquier punto del conjunto a la derecha de y en el lado terminal del ángulo

( Figura 23: eje polar)

Figura 23: eje polar

El punto P está en el conjunto descrito si y solo si:

| | | |

Como P está a la derecha de ; además porque

Sin embargo , y como + , se tiene , al sustituir

esta expresión para , se obtiene:


46

), Despejando

Obteniendo la ecuación Polar de la elipse el caso en que la recta esta a la izquierda del

punto

(1)

Con el fin de determinar una ecuación cartesiana de la elipse a partir de la ecuación Polar

(1) se reemplaza el por

así:

Ahora al sustituir √ , resulta √

Elevando al cuadrado

Como

Para completar cuadrados se agregan

en los dos

miembros de la ecuación anterior

(

)

Se divide por

( )

( )

Donde

Ahora considere

donde a>0 ,

Entonces la ecuación de la elipse se puede expresar:


47

Si entonces y puede considerarse donde

.

La ecuación de la elipse que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en (h, 0) donde

h>0 es:

Ecuación cartesiana de una cónica central que tiene su eje principal sobre el eje x y su

centro en el origen

,

Donde , los focos son F , las ecuaciones de la directriz:

.

Figura 24: ecuación de la elipse, a partir del valor de e


48

CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA A PARTIR DE SU ECUACIÓN

A partir de la ecuación:

, se deduce despejando y

√

Podemos decir:

a) la curva consta de dos ramas dadas por las funciones

√

√

b) la curva está definida solamente para valores de x comprendidos en el intervalo

c) la curva está definida solamente para valores de y comprendidos en el intervalo

d) Intersección con los ejes: cuando se obtiene los puntos de intersección de la

curva con el eje y, . cuando se obtiene los puntos de

intersección de la curva con el eje x , .

e) Simetría: comparamos ; y la ecuación no varia, entonces, la curva

es simétrica respecto a los ejes y al origen.

f) Tabla de valores : obteniendo las simetrías es suficientes dar valores a x entre

Teniendo en cuenta, que una ecuación de un lugar geométrico plano es una

ecuación de la forma cuyas soluciones reales para valores

correspondientes de son todas coordenadas de puntos que satisfacen la

condición geométrica dadas que definen el lugar geométrico.

De esta forma se puede obtener la curva representada por la ecuación

, donde el conjunto solución es

Figura 25: elipse en el plano cartesiano


49

DADO LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO HALLAR EL CONO DE

REVOLUCIÓN

A partir de la definición de elipse como, un conjunto de puntos de un plano tales que la

suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se llama foco.

(ver Figura 25: elipse en el plano cartesiano)

Usando el teorema de Dandelin: “Todo plano tangente a una esfera inscrita en un cono

circular recto, determina en este una cónica, cuyo foco es el punto de tangencia y cuya

directriz es la intersección del plano tangente con el plano que contiene a la circunferencia

de contacto entre el cono y la esfera.”, podemos encontrar un cono circunscrito a una

esfera tangente en unos de sus focos.

Figura 26: La elipse en el espacio

Existen infinitos conos de revolución que contiene una elipse, dependiendo de las esferas

que se elijan, estas no puede tener radio cero, ni crecer indefinidamente.

En los conos de revolución que contienen una elipse dada, el lugar geométrico de sus

vértices es una hipérbola situada en un plano perpendicular al plano de la cónica que

contiene al eje y tiene por vértices los focos de la elipse y por focos los vértices de la elipse

.


50

LA ELIPSE DESDE EL ESPACIO AL PLANO

A continuación presentaremos algunos casos particulares de la elipse como sección

cónica, a partir de las ecuaciones de cono circular centrado en el origen del espacio, y un

plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices, con el fin de mostrar, la obtención

de la ecuación de la elipse a través de herramientas algebraicas y luego graficar la curva

representada por la ecuación.

La elipse como sección cónica se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna

generatriz.

La ecuación de una de las superficies cónicas en el espacio (ver Figura 27: superficie cónica),

es en sistema tridimensional.

Figura 27: superficie cónica

La ecuación de un plano no paralelo a ninguna de las rectas generatrices es:

, La elipse se determina al intersectar el cono circular recto con el plano,

para obtener la ecuación resolvemos el siguiente sistema de ecuación.

⌋

Como y son mayores a cero la ecuación corresponde a una Elipse


51

Ejemplo: Ecuación del cono: , Ecuación de un plano que intersecta al

cono :

En forma gráfica

Figura 28: la elipse como una sección cónica

de forma analitica

Sistema de ecuaciones:

⌋

Ecuación de la elipse en el plano: ( Figura 29)

Figura 29: representación de la elipse en el plano


52

INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA

También se reportarán investigaciones en Didáctica de la Matemática que tengan relación

con nuestro objeto de investigación, ya sea, en el tema a estudiar o bien en que los

resultados obtenidos entregan información relevante para sustentar nuestra problemática.

A continuación se reportan dos investigaciones en Didáctica de la Matemática

relacionadas con nuestra problemática sobre el concepto elipse. Se describe la naturaleza

de la investigación, sus objetivos y resultados.

Contreras, Contreras & García (2002) realizan un estudio sintético – analítico de las

construcciones de la elipse , ofreciendo una propuesta integradora donde es posible

abordar la elipse desde una doble perspectiva. Su interés se produce al observar que en la

mayoría de los textos de Bachillerato se da, casi exclusivamente, un enfoque analítico a las

secciones cónicas. Si bien la propuesta está basada en el plano cartesiano, consideramos

que entrega referentes para la comprensión de la elipse como lugar geométrico

Del castillo (2004), propone un estudio de la elipse a través de distintas representaciones,

utilizando la teoría de Duval, aprovechando los ambientes de la calculadora simbólica

Voyage 200 de Texas instruments(Figura 30). Como recurso didáctico, partiendo del hecho

que la visualización dinámica puede favorecer los procesos de abstracción y

generalización.

Figura 30: la elipse, Texas instruments

Destacamos de la investigación, las formas que se proponen para construir la elipse como

lugar geométrico, donde la suma de los puntos de ella a dos puntos fijos (focos) es

constante, lo cual se puede evidenciar fácilmente utilizando software de geometría

dinámica.


53

CAPÍTULO III:

MARCO TEÓRICO:

LOS MODOS DE

PENSAMIENTO.


54

JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO

Desde nuestros objetivos de investigación, realizamos la elección del marco teórico: los

modos de pensamiento propuestos por Anna Sierpinska (2000), porque nos provee de

elementos teóricos para describir la forma en que los estudiantes comprenden los objetos

matemáticos, en este caso, la elipse. También permite explicitar los enfoques (analíticos,

geométricos o estructurales) que priorizan los estudiantes al momento de desarrollar

distintas tareas y cuáles son las conexiones que logran establecer entre ellos. Aunque este

marco teórico nace y se desarrolla para dar respuestas a problemáticas propias del ámbito

del álgebra lineal, con nuestra investigación pretendemos abrir una vía de acceso de la

teoría al estudio de objetos de otros ámbitos de la matemática

DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO

Sierpinska (2000) distingue tres modos de pensamiento: uno que tiene que ver con el

pensamiento práctico (sintético-geométrico) y otros dos que tienen que ver con el

pensamiento teórico (analítico-aritmético y analítico-estructural). Según Sierpinska (2000)

el modo sintético-geométrico surge primero y de manera subsiguiente el analítico-

aritmético y el analítico-estructural. “Se podría decir que el desarrollo del álgebra lineal es

en cierto sentido el resultado de una tensión entre los modos de razonamiento. Para la

enseñanza, la pregunta no es cuál modo de razonamiento vale más para fomentar en el

estudiante, sino cómo llevar a los estudiantes al uso flexible y consciente de ellos. Más que

ver los modos de razonamiento en el álgebra lineal como niveles en el desarrollo del

pensamiento algebraico, es preferible verlos como modos de pensamiento igualmente útiles

cada uno en su propio contexto y para propósitos específicos, principalmente cuando ellos

interactúan” (Sierpinska, 2000).

En relación a la elipse, consideramos que se puede abordar desde los tres modos de

pensamiento, propuesto por Sierpinska, aunque estos en la historia no aparecen en forma

secuencial, como sucede con el álgebra lineal.

Se origina en primer lugar un modo sintético geométrico, con la aparición de las

secciones cónicas, luego el modo analítico estructural con el desarrollo de propiedades,

que hoy permiten definirlas como un lugar geométrico, posteriormente a partir de ellas se

obtiene las ecuaciones que la definen. (Ver epistemología de la elipse)

En resumen en nuestro objeto de estudio surgen los modos SG-AE-AA, aunque uno no

reemplaza a los otros, si no son igualmente útiles al momento de comprender el objeto

matemático.


55

Anna Sierpinska (2000) señala que los objetos matemáticos adquieren diferentes

significados al ser trabajados en diferentes modos de pensamiento, y al encontrarse

interactuando estos modos permite la comprensión de objeto.

Sierpinska, distingue tres modos de pensamiento:

Pensamiento Sintético-geométrico (SG): los objetos son descritos directamente por la

mente, la visualización matemática (en el sentido de Zimmermann y Cunningham, 1991)

que tenga el sujeto del objeto toma un rol fundamental en el entendimiento de dicho objeto.

Utiliza el lenguaje de las figuras geométricas, planos y líneas, intersecciones, así como sus

representaciones gráficas convencionales.

Ejemplo: En este modo, podemos pensar la elipse como una figura ovalada, simétrica,

plana o bien como la intersección de un cono y un plano (Figura 31)

Figura 31: SG de la elipse en el plano y el espacio

Modo Analítico-Aritmético (AA): los objetos se dan indirectamente, ellos se construyen

por la definición de sus elementos. Las figuras se entienden como conjuntos de n-adas de

números que satisfacen ciertas condiciones.

Ejemplo: En este modo, pensamos la elipse como:

“Conjunto de pares ordenados que satisfacen una ecuación”

Ecuación cartesiana de la elipse, con centro en el origen.

=1 donde


56

Modo analítico-estructural (AE): sintetiza los elementos algebraicos de las

representaciones analíticas dentro de conjuntos estructurales. Es decir, son definidos por

una propiedad.

Ejemplo: En este modo pensamos la elipse como un lugar geométrico de todos los puntos

del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre

constante positiva (mayor que la distancia entre los focos). (Figura 32)

Figura 32: AE de la elipse en el plano

Respecto a la diferencia entre los modos de pensamiento analítico-aritmético y analítico-

estructural, es que en el primero un objeto es definido por una fórmula que permite

calcularlo, en este caso la ecuación por otro lado, en el pensamiento analítico-estructural,

un objeto es mejor definido por un grupo de determinadas propiedades.

Consideramos, igualmente útiles estos tres modos de pensar la elipse (Figura 33) para

alcanzar la comprensión del objeto, principalmente cuando se complemente e interactúan.

Muchas veces necesitamos de técnicas sintéticas para resolver problemas analíticos. O bien

técnicas analíticas para dar respuesta a problemas geométricos, o de la definición de la

elipse para resolver problemas geométricos o analíticos. Aunque consideramos los 3

modos igualmente útiles para la comprensión del objeto, creemos que el modo AE de la

elipse es fundamental para el desarrollo de distintas tareas en otros ámbitos de la

matemática, como por ejemplo, cuando trabajamos con otras métricas.

Figura 33: Modos de pensar la elipse.


57

EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO

1.- Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)

igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine

si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta

Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede ubicar los puntos

dados en el plano cartesiano y establecer si la figura que se forma al unir los puntos tiene

una forma similar a la elipse que él conoce. También puede pensar en la opción en que

existan otras elipses con las mismas condiciones (coordenadas de los focos y longitud del

eje mayor) que pasen por otros puntos distintos a M en el eje y (ver Figura 34 y Figura 35)

Figura 34: elipse que pasa por el punto M

Figura 35: figura que no pasa por M

Los argumentos posibles desde el modo SG no son suficientes para responder

correctamente a la pregunta planteada.

Un estudiante que se sitúa en un modo Analítico –Aritmético puede responder en forma

correcta, utilizando argumentos como:


58

Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica , donde a es la

longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje

menor. Conociendo c = 3 y a = 5 reemplaza , entonces b=4. Por lo tanto

concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya que, coincide con unos de los vértices.

Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse

debe satisfacer la ecuación

. Para ello determinaría los valores de a, b y c a

través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el

origen y eje mayor sobre el eje x,

, una vez encontrada la ecuación puede

evaluar el punto M en ella, obteniendo la siguiente igualdad

.

- Un estudiante que coordine un modo SG con el modo AA puede graficar la elipse en el

plano y mostrar que el punto pertenece a la elipse, basándose en los cálculos de los

argumentos 1 y 2(ver Figura 36)

Figura 36: modo AA de la elipse

Un alumno desde un modo Analítico – Estructural piensa la elipse como un lugar

geométrico de los puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre

constante.

Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados

en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el

teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo

MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos

del eje mayor (ver Figura 37 ) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma

será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que


59

la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje

mayor).

Figura 37: modo AE de la elipse

2. Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ ( Figura 38 )

Figura 38: elipse en otras posiciones en el plano

Un estudiante desde un modo analítico – estructural, puede determinar el valor de la

constante de la elipse ( √ ) eligiendo un punto de coordenadas exactas y luego plantear la


60

ecuación para un punto cualquiera de la elipse, utilizando la definición como lugar

geométrico a través de las distancia entre un punto P(x,y ) y los focos de coordenadas

(10,3) y (9,4) . Resultando una ecuación de la siguiente forma:

√ √ √

Un estudiante que está en vías de comprender el AE de la elipse, puede determinar el valor

de la suma de las distancias a los focos (constante) y tratar de determinar la ecuación solo

para casos particulares (coordenadas exactas). O bien tratar de establecer la ecuación

utilizando el valor de la constante y recurriendo a las ecuaciones que conoce. En este caso

muestra argumentos de los modos AA y AE pero no logra interacción entre ellos, ya que,

las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta al problema.

Un estudiante que se sitúa únicamente en un modo analítico aritmético, tratará de

establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que él conoce.

3.-Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano

cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.

Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y luego

argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran

evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG- AE de la elipse.

Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los

puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las

distancia a los focos es siempre 20 unidades (Figura 39)

Figura 39: la elipse en los modos AA-SG-AE


61

Si los estudiantes grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura obtenida

logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica pueden

utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la ecuación o

bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación pitagórica entre

los elementos a, b y c.

Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a

partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer

conexiones con los otros modos.


62

CAPÍTULO IV:

REFERENTES

METODOLÓGICOS


63

MARCO METODOLÓGICO

A partir de los objetivos específicos de investigación

1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes

que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento

educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus

distintas definiciones en el plano cartesiano.

2. Indagar en los elementos de la matemática9 que propician el tránsito entre las

definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en

el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar

geométrico.

3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los

modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, Analítico-

Estructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos

analíticos de un establecimiento educacional chileno.

Hemos considerado pertinente para los objetivos 1 y 3 utilizar un diseño metodológico

cualitativo de, estudio de caso, estos “son particularmente apropiados para estudiar una

situación en intensidad en un período de tiempo”, (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992). Los

estudios de caso no pretende establecer leyes generales, si no se centra en realidades

particulares de los sujetos, donde “el mundo personal de los sujetos no observable

directamente ni susceptible de experimentación… [Son estudiados] en su globalidad sin

fragmentarla y contextualizándola” (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992).

El tipo de conocimiento que deriva de esta estrategia metodológica, es de un tipo de

conocimiento conceptual, que sirve para comprender realidades concretas, dentro de un

contexto global. Estos estudios permiten aproximarse a la complejidad de los múltiples y

diferentes procesos que se desencadenan en el transcurso de una situación particular en

estudio. Enfatiza tanto en aquellos elementos comunes de los casos, como en aquellos

elementos diferenciadores que complejizan, diversifican y especifican cada una de las

diferentes experiencias estudiadas. Entendemos que “La investigación de estudio de caso

no es una investigación de muestras. No estudiamos un caso fundamentalmente para

comprender otros casos. Nuestra primera obligación es comprender el caso concreto”

(Stake 1995, pág. 4), pero si destacamos que estos son claves en la toma de decisiones.

Los estudios de casos utilizan técnicas cualitativas en la recolección de datos como:

Entrevista, observación, Cuestionarios, Análisis de documentos. Nos preocupamos, como

señala Stake (1995), de seleccionar aquel caso que ofrezca las mejores y mayores

oportunidades de aprendizaje con respecto a la problemática («issue») objeto de estudio

9 Conceptos matemáticos, nociones, propiedades.


64

ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN

A continuación presentamos las etapas de investigación (tabla 1)

Etapa 1 : Estudio exploratorio

Diseño metodológico Instrumento Población

Estudio de caso Cuestionario 10 estudiantes que aprobaron el

curso de álgebra y modelos

analíticos.

Etapa 2 : Análisis epistemológico y Matemático de la elipse

Revisión documental Antecedentes epistemológicos y

Matemáticos

(revisión Bibliográfica )

Etapa 3 : diseño y aplicación de las actividades de aprendizaje del concepto elipse

Diseño Metodológico Instrumento Población

Estudio de caso Cuestionario Caso 1: 19 estudiantes que

conocen la elipse (4° Año

Medio )

Caso 2: 10 estudiantes que

desconocen la elipse (2°

Año Medio )

Caso 2: 11 estudiantes que

desconocen la elipse (3°

Año Medio )

Tabla 1: Etapas de Investigación


65

PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO

EXPLORATORIO

En relación al primer objetivo de investigación, realizaremos un estudio de caso, de tipo

exploratorio, estos nos permiten aproximarnos a fenómenos desconocidos, contribuyendo

con ideas que puedan documentar la problemática planteada. Con el fin de indagar en los

modos de pensamiento que privilegian estos estudiantes.

EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO

El cuestionario exploratorio se diseñó con el fin de indagar en los modos de comprender la

elipse que prevalecen en los estudiantes que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos

analíticos de un establecimiento educacional chileno, y explorar si estos modos permiten

movilizar la elipse en sus distintas definiciones en el plano cartesiano. Además nos permite

documentar nuestra problemática de investigación.

El instrumento (ver anexo 1) consta de cinco preguntas abiertas. Las dos primeras

preguntas del cuestionario se crearon con el objetivo de verificar si los estudiantes

reconocen la ecuación que define a la elipse, que es el objetivo que propone el programa de

estudio.

Las siguientes tres preguntas del cuestionario dan evidencias sobre la forma en que los

informantes comprenden la elipse.

LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO

Unidad de análisis: Grupo de 10 estudiantes de buen rendimiento10

de un establecimiento

educacional de dependencia compartida (particular subvencionado). Ellos aprobaron la

asignatura de álgebra y modelos analíticos (donde se trata la elipse). Actualmente (2012)

cursan cuarto año de enseñanza Media.

Este grupo de informantes pertenecen a un establecimiento educacional de la comuna de

Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno de los investigadores. Ellos accedieron

voluntariamente a ser partícipes de esta investigación.

SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANÁLISIS

DOCUMENTAL

En relación al segundo objetivo de investigación, indagamos de los elementos de la

matemática que permiten conectar las distintas definiciones de elipse y además ayudan

en su comprensión (ver capitulo II). Para ello realizaremos una revisión documental,

entendida como: “el proceso dinámico que consiste esencialmente en la recogida,

clasificación, recuperación y distribución de la información” Latorre, Rincón y Arnal

(2003, pág. 58). A partir del análisis realizado documentamos las posibles conexiones

entre las distintas definiciones de elipse (ver capitulo II, conexiones entre las distintas

definiciones de elipse).

10

Promedio sobre 5,0 de una escala de 1,0 a 7,0.


66

TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DE

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL

CONCEPTO ELIPSE.

Para el tercer objetivo específico, diseñamos un conjunto de actividades con el fin de

documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la elipse. Estas

actividades fueron construidas desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando

elementos encontrados en las indagaciones epistemológicas, matemáticas (Referidas al

segundo objetivo de investigación).

OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO

Indagar en los elementos11

que propician el tránsito entre los distintos modos de

comprender la elipse, y evidenciar la naturaleza de ellos, es decir, sus

características geométricas, analíticas o estructurales (si es pertinente).

Obtener evidencia empírica con sustento teórico para dar respuesta al objetivo

general de investigación.

DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO

Esta secuencia de actividades(Ver anexo 3 ) presentadas en 18 preguntas fue diseñada

para aplicarlas tanto a estudiantes que han visto la elipse en cursos anteriores al año

2012, es decir, estudiantes que cumplen con el objetivo que propone el programa, este es,

identificar las ecuaciones que describen la elipse, y también para aquellos que se

introducen por primera vez en el estudio de este concepto. Se consideró pertinente

realizar modificaciones en algunas de las preguntas del cuestionario diseñado para el

primer caso, debido a que los conocimientos previos de los grupos son distintos. Estas

modificaciones se explican al finalizar el análisis a priori del guión del cuestionario inicial.

(Ver capítulo 6)

Las actividades diseñadas a lo largo de todo el cuestionario son en su mayoría distintas a

las presentadas en el programa de estudio y libros de geometría analítica, ya que buscamos

generar conflicto en los estudiantes en base a los conocimientos ya enseñados, para ver de

qué forma se enfrenta a las actividades y que conocimientos pone en juego a la hora de

responder. Es importante destacar que el tipo de actividades en este caso, “mostrar

ejemplos”, “mostrar definiciones”, “mostrar justificaciones” son situaciones que exhiben el

11

pueden ser: nociones, conceptos matemáticos, propiedades de los conceptos.


67

estado de comprensión del estudiante en torno al concepto elipse a medida que avanza en el

desarrollo del cuestionario.

La intención del cuestionario es indagar en las conexiones entre los modos de pensar la

elipse en el plano: sintético - geométrico, analítico- aritmético y analítico- estructural y

los modos sintético - geométrico y analítico estructural en el espacio que presentan los

estudiantes en distintos niveles (segundo, tercer y cuarto año de enseñanza media)

Para ello los estudiantes serán enfrentados a diversas situaciones que fueron diseñadas en

su totalidad para documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la

elipse, que muestran a través de su argumentación a las distintas preguntas, y por sobre

todo indagar en el modo en que sitúa y como a partir de este va articulando con otros.

Consideramos importante dar prioridad al tránsito entre SG- AE de la elipse, debido a que

investigaciones anteriores han evidenciado que los estudiantes que logran establecer

mejores conexiones entre los modos de pensamiento son aquellos que presentan una

mayor comprensión de la definición formal de los conceptos. Entre relación a ellos Bozt y

Parraguez (2011) concluyen para sus objetos matemáticos de estudio “Cada vez que los

estudiantes lograron transitar entre los modos de pensamiento el argumento que se puede

observar tenía que ver con la definición formal del concepto tanto de dependencia e

independencia lineal de vectores como de solución de un sistema de ecuaciones lineales”

(p.12)

Ochoviet y Oktac (2009) en relación al estudio del concepto solución de ecuaciones

lineales en estudiantes de entre 14 y 15 años sugieren “presentar a los estudiantes

situaciones que involucren sistemas con diferente número de ecuaciones y que tengan

diferente conjunto solución, situaciones en las que el alumno deba explicar por qué tal o

cual punto (par) es solución del sistema o por qué tal o cual punto (par) no lo es” (p.268)

LOS CASOS EN ESTUDIO

Utilizaremos la metodología de estudio de caso múltiple. Nuestra participación como

investigadores es moderada, ya que, somos los encargados de la toma de datos y además

responderemos algunas dudas que puedan surgir durante el desarrollo del cuestionario.


68

Unidades de análisis

CASO 1: El primer grupo de 19 estudiantes aprobaron el curso de álgebra y modelos

analíticos (tercer año medio plan científico) y actualmente cursan cuarto año medio. Estos

estudiantes han trabajado la elipse, dando prioridad a las ecuaciones que las describen, por

lo tanto, queremos indagar en las conexiones entre los modos de pensar la elipse que

realizan los estudiantes con los conceptos que logran comprender en el desarrollo del

cuestionario y los conocimientos previos. Además 10 de estos estudiantes participaron en

el cuestionario exploratorio, priorizando argumentos analíticos al enfrentarse a las

preguntas. Por lo tanto, indagaremos en los modos de pensamiento que priorizan estos

estudiantes para responder a las preguntas planteadas.

CASO 2: El tercer grupo de estudiantes (10 estudiantes) son estudiantes de segundo año

medio, los cuales, desconocen el concepto elipse y además presentan menos herramientas

matemáticas en comparación a los demás grupos. En este último grupo se seleccionaron los

10 estudiantes que presentan mejores calificaciones en la asignatura de matemática, debido

a que, son aquellos que presentan mayores posibilidades de pertenecer al plan científico en

los años posteriores. Elegimos estos estudiantes porque consideramos importante

evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los modos de comprender la elipse, que

logran realizar los estudiantes a medida que avancen en el desarrollo de las actividades y

cuáles son los elementos de la matemática que ponen en juego.

CASO 3: El segundo grupo de 11 estudiantes, cursan la asignatura de álgebra y modelos

analíticos (tercer año medio), pero aún no han trabajado en los temas relativos a lugares

geométricos, por lo tanto, desconocen la elipse. Elegimos estos estudiantes al igual que el

caso 2 consideramos importante evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los

modos de comprender la elipse, que logran realizar los informantes a medida que avancen

en el desarrollo de las actividades. Con los conocimientos matemáticos que tienen hasta el

momento.

Los casos 1 y 3 corresponden a la totalidad de alumnos del plan científico de un

establecimiento educacional de la comuna de Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno

de los investigadores. Todos los informantes accedieron voluntariamente a ser partícipes

de esta investigación.

VALIDACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS

Los cuestionarios aplicados a los estudiantes fueron sometidos a diversas instancias de

co-evaluación por un grupo de didactas que ha realizado investigaciones utilizando el

marco teórico de los modos de pensamiento.


69

CAPÍTULO V:

ANÁLISIS A PRIORI

Y RESULTADOS DE

CUESTIONARIO

EXPLORATORIO


70

ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO

1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.

Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la

respuesta.

Esta pregunta tiene por objetivo, verificar si los estudiantes identifican las ecuaciones que

describen la elipse. Los estudiantes para responder se pueden situar en los modos:

Analítico – aritmético: puede dar argumentos de acuerdo a la forma de la ecuación.

Sintético – geométrico: puede graficar puntos que satisfacen la ecuación y verificar que la

figura que se forma es una elipse.

Analítico – estructural: los estudiantes puede determinar algunos puntos de la figura y

verificar si la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante.

2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura 1. Explique en detalles el

procedimiento que ha realizado.

Figura 1

Con esta pregunta se espera verificar si los estudiantes reconocen la ecuación cartesiana de

la elipse con centro en el origen. Un estudiante que se puede situar en un modo:

Analítico – Aritmético: Utilizando la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje

mayor sobre el eje y, como a=6 y b=3√3 y reemplazará en la ecuación ,

resultando:

Analítico – Estructural: puede tomar un punto cualquiera de elipse P (x,y) y utilizando la

definición de la elipse como lugar geométrico puede pensar que , : d(PF)+d(PF’) = 2a.

como conoce las coordenadas de los focos y la medida de a (6 unidades ) puede plantear la


71

siguiente ecuación : √ √ y al desarrollar

los cálculos puede llegar a la ecuación :

3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)

igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto

(0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta.

Un estudiante puede situarse en los modos:

Sintético – geométrico: puede ubicar los puntos dados en el plano cartesiano y establecer si

la figura que se forma al unir los puntos tiene una forma similar a la elipse que él conoce.

También puede pensar en la opción en que existan otras elipses con las mismas

condiciones (coordenadas de los focos y longitud del eje mayor) que pasen por otros puntos

distintos a M en el eje.

Analítico –Aritmético: puede responder en forma correcta, utilizando argumentos como:

Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica entre los elementos a, b y c, donde a

es la longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje

menor. Obteniendo b=4. Por lo tanto concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya

que, coincide con unos de los vértices.

Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse

debe satisfacer la ecuación

. Para ello determinaría los valores de a, b y c a

través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el

origen y eje mayor sobre el eje x, una vez encontrada la ecuación puede evaluar el punto M

en ella, obteniendo la siguiente igualdad

.

Modo Analítico – Estructural: puede pensar la elipse como un lugar geométrico de los

puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre constante.

Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados

en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el

teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo

MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos

del eje mayor (ver figura 4) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma

será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que

la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje

mayor).


72

4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje

menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (

√

) de la elipse a un foco mide

11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.

Los estudiantes pueden responder desde un modo:

Analítico – aritmético: a partir de los datos dados obtenemos a= 10, b=6 a través de la

relación entonces c=8. Las coordenadas del otro foco es (-8,0). Luego

calculamos la distancia de P al otro foco.

La distancia de P al otro foco es 11.

Analítico – estructural: Utilizando la definición como lugar geométrico y conociendo la

medida del eje mayor. Puede obtener que: como la distancia de P a un foco es 11, por lo

tanto, la distancia de P al otro foco es 9.

Sintético – Geométrico: puede dibujar la elipse en el plano cartesiano y estimar la medida

del segmento PF.

5.- En la Figura 3, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y

F’.

Figura 3

Un estudiante puede responder desde un:

Modo analítico – aritmético: realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16 cm y luego podrán

determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la longitud del eje mayor

(AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm.

Sintético – geométrico: para responder trataran de estimar la medida de AB, en relación a

las medidas conocidas.


73

IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN

La situación que se implementó en la investigación corresponde a la aplicación de un

cuestionario a 10 estudiantes de un establecimiento educacional de dependencia

compartida (particulares subvencionados), chilenos, estudiantes que aprobaron el curso de

álgebra y modelos analíticos.

Toma de datos

La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de abril, el cual

respondió cada uno de los 10 estudiantes que conforman el grupo exploratorio de manera

individual, en 90 minutos aproximadamente.

ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO

Aplicamos un cuestionario exploratorio a 10 estudiantes de buen rendimiento12

que

aprobaron el curso de Álgebra y Modelos Analíticos. Llamamos a los informantes de este

grupo exploratorio como I1, I2, I3, I4……..I10.

A continuación se presenta el análisis a posteriori de las preguntas del cuestionario.

Pregunta 1: A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.

Explica cuál o cuáles de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la

respuesta.

Resultados de la pregunta 1

7 de los estudiantes se sitúan en un modo AA para responder, estableciendo cuál de las

ecuaciones corresponde a elipse por la forma de la ecuación. Los demás estudiantes se

sitúan en un modo SG realizando la gráfica de la elipse. A continuación se muestran

ejemplos de respuestas

12

Calificaciones superiores o iguales a 5,0 en una escala de 1,0 a 7,0.


74

El informante I7, se sitúa en un modo SG para responder, ya que, concluye a partir de la

gráfica. Para establecer la gráfica se basa en la relación de los elementos de a, b y c.

Figura 40: Respuesta del informante 7

El estudiante I6 argumenta desde un modo AA, cuando escribe “entonces la ecuación

cumple con la ecuación de la elipse” además determina los valores de a y b.

Figura 41: respuesta del informante 6

El estudiante I8, en la ecuación b) se sitúa en un modo AA, claramente reconoce las

ecuaciones que describen la elipse y la hipérbola



75

El estudiante I5, también se sitúa en un modo AA, determinando que la ecuación “no

corresponde a una elipse, según su fórmula que es…...”

Figura 43: respuesta del estudiante 5

Pregunta 2: Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el


Figura 1


Los estudiantes I1, I3, I4, I5, I6, I7, I9, I10. Se sitúan en el modo Analítico – Aritmético,

identifican los valores de a y b en la gráfica y luego reemplazan en la ecuación.

A continuación se muestra solo un ejemplo, debido a que los estudiantes presentan

respuestas similares.


76


Los estudiantes I2, I8 se sitúan en un modo AA, pero responden en forma errónea

confundiendo la forma de la ecuación con respecto a los valores de a y b. Como se muestra

a continuación:


Pregunta 3: Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje

x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine

si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta


Los estudiantes I2, I3, I4, I6, I7, I8, I9, I10 abordan la pregunta desde un modo Analítico

–Aritmético.

Los I3, I7, I9, I10 responden en forma correcta determinando el valor de b a partir de la

relación algebraica entre a, b y c. A continuación mostramos la respuesta de uno de los

estudiantes.

Figura 46 : respuesta del informante 3


77

El estudiante I8 muestra en sus desarrollos(Figura 47) elementos que evidencian la

interaccion entre los modos SG y AA de la elipse en relacion a los valores de a , b y c .


El I4 muestra evidencias de un modo analítico- aritmético al escribir” si reemplazamos el

punto en la ecuación cumple la igualdad”. También tiene en mente una relación para a, b y

c pero plantea en forma incorrecta. Sus argumentos muestran algunos elementos de AA y

de SG pero no son suficientes para establecer una respuesta.


El I6 realiza cálculos relacionados con la ecuación, sin establecer una respuesta.


78

Pregunta 4: En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del

eje menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (

√

) de la elipse a un foco

mide 11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.

Respuesta de la pregunta 4

En esta pregunta la mayoría de los estudiantes (7 ) aborda la pregunta desde un modo AA,

uno de ellos se sitúa en un modo SG y los otros 2 no responden.

El informante I7, se sitúa en un modo AA para responder, utiliza la relación entre los

valores de a , b y c para obtener las coordenadas de los focos , realiza la gráfica de la

elipse(SG), luego utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano,

determina la distancia del punto P a uno de los focos , obteniendo un valor cercano a 9. El

estudiante no comprende que significa “que el punto este en la elipse” al parecer piensa

que está en el interior.


El informante I9, responde desde un modo AA, encuentra las coordenadas de los focos y

complementa con el modo SG determinando su gráfica, al igual que el informante 7

muestra en sus argumentos dificultades para ubicar el punto P. lo ubica en el interior de la

figura. A través de procedimientos algebraicos, obtiene la distancia de P a unos de los

focos, el valor se aproxima a 9.


79


Pregunta 5: En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos

F y F’.

Figura 2


Los estudiantes I1, I3, I10 no responden.

Los estudiantes I2, I6, I7 se sitúan en un modo SG para responder, suponen que el

triángulo que se forma es rectángulo en P, uno de ellos (Figura 52) argumenta desde el

teorema de la circunferencia (todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y los

demás se guían por la representación usual de un triángulo rectángulo (Figura 47).


80


Figura 52: Respuesta del informante 6

El I4 argumenta que no se puede determinar la longitud pedida, por falta de datos.

Esto evidencia que los estudiantes I1, I2 I3, I6, I7, I10 no se sitúan en un modo AE para

enfrentar la pregunta.

Los estudiantes I5, I8, I9 argumentan “que la suma es constante igual a 21” (ver Figura

53) pero no lo relacionan con la longitud del eje mayor. Muestran evidencias de estar en

vías de comprender el modo AE de la elipse.


Ninguno de los estudiantes logra responder correctamente la pregunta.


81

CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE

INVESTIGACIÓN

La mayoría de los estudiantes del caso 1 logran identificar la ecuación de la elipse con el

centro en el origen, reconocen la expresión algebraica que la describe, cumpliendo con los

objetivos que propone el programa en relación al concepto.

La mayoría de estos estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del tránsito entre

los modos SG y AA de la elipse, es decir, son capaces de graficar la elipse dada la

ecuación o bien obtener la ecuación a partir de la gráfica (conociendo focos y vértices).

Los mismos estudiantes presentan grandes dificultades para pensar el concepto en un modo

analítico - estructural. Esto queda en evidencia, por los argumentos que priorizan los

estudiantes en las preguntas 4 y 5, Al parecer para ellos la elipse está definida por una

ecuación y no por una propiedad geométrica. Si bien tres de los estudiantes muestran en la

pregunta 5, indicios de conocer el AE de la elipse no logran establecer conexiones entre los

modos SG y AE. Las estrategias que muestran los estudiantes corresponden a los modos

AA o SG de la elipse, por lo tanto, en algunos casos (pregunta 5) no son suficientes para

dar una respuesta.

Evidenciamos también que los estudiantes no comprenden la elipse como un conjunto de

puntos, si no, más bien como una figura. En la pregunta 4 la mayoría de los estudiantes no

saben dónde ubicar el punto P, aunque dice claramente en el planteamiento del problema

que P es un punto de la elipse.

En conclusión, la noción de elipse que construyen estos estudiantes del plan científico

tercer año medio de la asignatura algebra y modelos analíticos permite movilizar la elipse

entre su gráfica (dado algunos elementos) y las ecuaciones cartesianas que la definen.

Utilizando elementos en su mayoría analíticos, como: las ecuaciones con centro en el

origen, la forma de la ecuación, la relación entre los valores a, b y c, la fórmula de

distancia entre dos puntos del plano, entre otros.

A partir de estos resultados donde evidenciamos que el enfoque tradicional en estos

estudiantes no permite una comprensión profunda del concepto, consideramos pertinente

promover la enseñanza del concepto elipse a partir de la interacción entre los distintos

modos de comprender la elipse.


82

CAPÍTULO VI:

INTENCIÓN Y

ANÁLISIS A

PRIORI DE LA

SECUENCIA DE

APRENDIZAJE.


83

INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE

COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO

Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético

– geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos, son capaces de: establecer

una definición (AE) de la elipse donde determinan la característica que presentan sus

puntos en relación a los focos, a partir de la representación gráfica (SG1) de la elipse, ya

sea en el plano del taxista o en el plano cartesiano. Y una vez comprendida la definición la

pueden graficar sin problemas.


– geométrico, Analítico -estructural y analítico – aritmético e interactuar entre ellos, son

capaces de: a partir de la representación de la elipse en el plano (SG1), determinar la

propiedad que la define (AE) y utilizar esta propiedad para establecer las ecuaciones (AA),

independiente del centro que estas posean, solamente conociendo los focos y algún punto

de ella. También deberían ser capaces conociendo la ecuación (AA), graficar la elipse

(SG1) y determinar el valor de la constante de la suma de los puntos de la elipse a los

focos (AE). Del mismo modo, comprendiendo la definición de elipse en el plano (AE),

deberán encontrar la ecuación (AA) y su representación gráfica (SG1).

Figura 54 : Modos de comprender la elipse en el plano.


– geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos en el espacio, son capaces

de: Una vez conocida la representación de la elipse en el plano (SG1), establecer todas

las posiciones de los planos que generan la elipse, al intersecar un plano y un cono (SG2)

en el espacio. y a partir de la elipse que se establece en los cortes del cono(SG2), deberán

identificar si cumplen las propiedades que la definen (AE).

Figura 55: modos de comprender la elipse

desde el plano al espacio

SG1: Representación de la elipse en el plano

AA: Ecuación de la elipse en el plano

AE: la elipse como lugar geométrico de todos

los puntos del plano talque la suma de sus

distancias a los focos es constante (mayor que la

distancia entre los focos).

SG1: representación de la elipse en el plano

SG2: representación de la elipse en el espacio

AE: la elipse como lugar geométrico de todos los

puntos del plano talque la suma de sus distancias a los

focos es constante. (mayor que la distancia entre los

focos).


84

DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES

La primera pregunta del cuestionario (ver anexo 3) tiene por objetivo explorar el SG del

estudiante, esto permite evidenciar la representación asociada al concepto en estudio que

posee el estudiante al momento de realizar el cuestionario, información importante en el

análisis de las posibles conexiones entre los modos de comprender la elipse, que realizan

los informantes que tienen una representación asociada y los que no cuentan con ella.

La primera de las actividades es presentada en la geometría del taxista, llamamos

“Geocity” a una ciudad ficticia en donde los taxistas recorren la ciudad transitando por las

calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son

perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo

les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y

siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Elegimos esta actividad para iniciar a

los aprendices en el estudio del concepto elipse, por que, la distancia discreta facilita la

comprensión de la propiedad que define a la elipse (AE).

En esta situación se presenta una serie de preguntas que pretenden en el estudiante

propiciar el tránsito entre los modo sintético geométrico y analítico estructural de la

elipse.

Las actividades a, b, c, d se diseñaron con el fin de “familiarizar” al estudiante con los

elementos propios de la geometría del taxista: cuadras para medir la distancia entre dos

puntos, una cantidad finita de calles y avenidas, distancia discreta (no continua), entre

otros.

Las actividades e, f, g, h muestran los posibles tránsitos que realiza el estudiante entre los

modos SG –AE y AE-SG de la elipse en “geocity”.

La segunda actividad tiene por objetivo evidenciar los tránsitos que realizan los

estudiantes entre los modos sintético geométrico, analítico estructural y analítico aritmético

de la elipse en el plano cartesiano, para ello diseñamos una serie de preguntas en donde se

dispone de elipse en distintas posiciones en el plano, en algunas de ellas se han realizado

rotaciones y traslaciones de elipse con centro en el origen, para ver a que modo de

pensamiento recurre el estudiante al enfrentar las preguntas.

En la tercera actividad, las dos primeras preguntas tienen por objetivo dar a conocer que

modo priorizan los estudiantes cuando estas son planteadas en un modo AA y en un modo

SG. Más bien, queremos evidenciar si recurren a un modo AE o siguen recurriendo a las

ecuaciones que es a lo que están acostumbrados. Las siguientes cuatro preguntas muestran

los argumentos que utilizan los estudiante en el tránsito de SG1-SG2-AE del plano al

espacio. Para ello planteamos dos actividades en donde puedan determinar las posiciones

de los planos que generan la elipse al intersecar el plano y el cono. Posterior a ello


85

presentamos una animación en cabrí, software de geometría dinámica, donde se muestra la

elipse con las esferas que se pueden inscribir en el cono, esferas tangentes al plano y donde

sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. La intención es evidenciar

la naturaleza de los argumentos que presentan los estudiantes para justificar que la figura

que se forma es una elipse y cuales son los elementos de la matemática que pone en el

juego al momento de dar sus justificaciones.

ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO

En cada una de las actividades propuestas en el cuestionario, se dan a conocer las posibles

respuestas, clasificándolas de acuerdo a los modos de pensamiento en que sitúan los

estudiantes para dar sus argumentos.

1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en

dibujos para responder.

El objetivo de esta pregunta es explorar el modo sintético geométrico de la elipse que posee

el informante. Se espera que los estudiantes puedan dar las siguientes respuestas:

R1: Representación de la elipse en el plano (Figura 56)

Figura 56: representación de la elipse en el plano (SG1)

R2: Representación de la elipse en el espacio (Figura 57

Figura 57: Representación de la elipse en el espacio (SG2)

R3: no tiene ninguna representación asociada a la elipse.


86

ACTIVIDAD 1:

1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas

llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares

a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite

detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y

siempre utilizan los recorridos más cortos posibles.

Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura

Figura 1

a) Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista.

Se espera que el estudiante marque en la figura 1:

R1: los caminos más cortos posibles entre A y B, se estrategias de los estudiantes se

podrían diferenciar entre: los estudiantes que se sitúan en un modo un SG, marcaran los

recorridos mas cortos dando respuestas como las que se presentan a continuación:

Figura 58: Recorridos más cortos entre desde A a B.

Otra estrategia que pueden utilizar los estudiantes, situándose en un modo analítico.

Pensaran en las posibles combinaciones de calles y avenidas para llegar de A a B. por

ejemplo: CCAAA, AAACC, ACACC, AACCA, etc .


87

R2: Estudiantes que establecen recorridos deteniéndose en las esquinas, pero muestran no

solo aquellos que son mas cortos (Figura 59).

Figura 59: Ejemplos de recorridos entre A y B

R3: estudiantes que establecen recorridos utilizando la distancia usual.

Figura 60: distancia usual

b) Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”.

Se espera que el estudiante responda:

R1: 5 cuadras

R2: otras

En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que

están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A

esa distancia se le conoce como radio.

c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3.

d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”.

En c y d, clasificamos las posibles respuestas de los estudiantes en:

R1: Un estudiante que logra transitar de la definición de circunferencia (AE) a la gráfica de

la circunferencia (SG) en la geometría del taxista dibujará circunferencias como la

siguiente:


88

Figura 61: circunferencia en la geometría del taxista

R2: Un estudiante que no logra comprender la noción de distancia en la geometría del

taxista, recurrirá a su representación usual de la circunferencia y las graficará como sigue:

Figura 62: circunferencia de radio 3 con la distancia usual

R3: grafica otros puntos al azar.

e) Las figuras 2, Figura 3, figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F

y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de

la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.

Figura 2 Figura 3


89

Figura 4

Se espera que los estudiantes puedan pensar la elipse como un conjunto de puntos que

cumplen una cierta condición. La distancia discreta facilita la comprensión de la propiedad

que tienen los puntos de las elipses en relación a los focos en el hecho de que se puedan

contar las cuadras.

Las respuestas permitan evidenciar si los estudiantes a través de los elementos en juego

(distancia, lo discreto, regularidades) pueden transitar desde un modo sintético

geométrico a un modo analítico – estructural.

Considerando los posibles argumentos clasificamos las respuestas de la siguiente forma:

R1:Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una elipse a

los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma correctamente en todas

las figuras dadas. Muestra evidencias del AE de la elipse

R2: Estudiantes que establecen que la sumas de las distancias de los puntos en relación a

los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Muestran que esta en vías de

comprender un modo AE de la elipse.

R3: Si el estudiante observa otras regularidades presente en cada una de las figuras, como:

simetrías respecto a un punto o a una recta. Este se sitúa en un modo SG para responder.

f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.

Ésta actividad evidencia el tránsito de un modo AE de la elipse a partir de la actividad

anterior (e) a un modo SG de la elipse. Las posibles respuestas las podríamos clasificar

en:

R1: Estudiantes que manifiestan descriptores de tránsito de un modo AE a un modo SG,

es decir, dibujar un conjunto de puntos de “geocity” tal que la suma de los puntos a los

focos sea constante.


90

R2: Estudiantes que logran establecer algunos puntos específicos que dan cuentan de la

condición “la suma de la distancia de los puntos a los focos es constante” están en vías de

comprender el concepto elipse desde un modo AE. Estos estudiantes no logran comprender

la elipse como un conjunto de puntos.

R3: Estudiantes grafican figuras similares a las presentadas en las actividad anterior. Ellos

se sitúan en un modo SG para responder.

g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.

Las posibles respuestas las clasificamos en:

R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto

de puntos de “geocity” tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es

constante.

R2: Estudiantes que están en vías de comprender el AE de la elipse, en su definición dan

cuentan sólo de la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es

constante”.

R3: los Estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las

elipses. Ellos se sitúan en un modo sintético – geométrico para responder a la pregunta.

f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” .

Figura 6 Figura 7

Ésta pregunta permite evidenciar si los estudiantes transitan desde un modo SG a un modo

AE de la elipse. Las posibles respuestas se clasifican en:

R1: Los estudiantes que se sitúan en un modo AE, responderán que la figura 6 no es una

elipse, por que hay puntos que no cumplen la condición “la suma de las distancias de los

puntos a los focos es constante”. En cambio en la figura 7 todos los puntos cumplen.

R2: Los estudiantes que prueban solo para algunos puntos de la elipse, significa que están

en vías de construcción de un modo AE de la elipse, ya que, entienden la elipse como

puntos que cumplen una condición.

R3: Estudiantes que responden argumentado desde las características” observables” de la

elipse, es decir, se sitúan en SG para contestar.


91

ACTIVIDAD 2

1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F

y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la

elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos

puntos de la elipse.

Figura 8 Figura 9

Figura 10 Figura 11

Esta actividad busca que los estudiantes puedan identificar la propiedad que define la

elipse en el plano cartesiano. Para ello presentamos elipses en distintas posiciones, en

cada una de las figuras se dan algunas coordenadas exactas, con el fin de facilitar el

cálculo de las distancias. Los conceptos matemáticos en juego son: distancia entre dos

puntos del plano (fórmula o bien teorema de Pitágoras), plano cartesiano.

Las respuestas permiten evidenciar el tránsito de los estudiantes de un modo sintético

geométrico a un modo analítico – estructural. Considerando los posibles argumentos

clasificamos las respuestas de la siguiente forma:

R1: Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una

elipse a los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma

correctamente en todas las figuras dadas. Logra comprender el AE de la elipse en el

plano cartesiano.


92

R2: Estudiantes que establecen que la sumas de distancias de los puntos en relación a

los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Esta en vías de comprender un

modo AE de la elipse.

R3: Estudiantes que observa otras regularidades presente en cada una de las figuras. No

logran transitar al AE de la elipse, puede pensar la elipse solo en SG.

2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano

Las respuestas las clasificamos en:

R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto

de puntos del plano cartesiano tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es

constante.

R2: Estudiantes que están en vías de construir el AE, en su definición dan cuentan sólo de

la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante”.

R3: Los estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las

elipse dadas se sitúan en un modo sintético – geométrico.

3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’.

Figura 12

En esta actividad se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen,

que es donde los estudiantes han trabajado. Además a la elipse se le ha realizado una

rotación y en relación a los puntos A y B no se conocen exactamente las coordenadas.


93

Se espera que los estudiantes puedan responder a una pregunta planteada situándose en un

modo AE. Para ello deberán identificar las coordenadas de al menos un punto de la elipse y

determinar la suma de las distancias del punto a los focos.

Por lo tanto clasificamos la respuesta en:

R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, buscan un punto

de la elipse y determina la suma de las distancias del punto a los focos y luego lo relacionan

con la longitud del eje mayor.

R2: Estudiantes que tratan de determinar el valor de AB, utilizando estrategias de un modo

SG, como: estimar la medida de AB, estimar las coordenadas y luego calcular la distancia.

4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación

que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno

de ellos.

Figura 13

En esta pregunta pretende mostrar los modos de pensamiento que privilegian los

estudiantes, cuando se enfrentan a preguntas relacionadas con las ecuaciones.

R1: El estudiante identifica la definición de la elipse como lugar geométrico como unos de

los argumentos para determinar la ecuación. Éste tipo de respuesta muestra evidencias del

tránsito SG – AE – AA de la elipse.

R2: El estudiante argumenta desde un modo analítico – aritmético, reemplazando los

valores de a y b en la ecuación de la elipse con centro en el origen. Este estudiante

establece conexiones entre los modos SG- AA de la elipse.


94

R3: El estudiante que identifica algunas relaciones algebraicas entre los valores de a,b y c,

pero no logra establecer la ecuación pedida. Muestra argumentos del modo AA que en este

caso no son suficiente para encontrar la ecuación.

5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14)

Figura 14

Esta actividad busca evidenciar el o los modos de pensamiento a los cuales recurren

los estudiantes cuando se enfrentan a preguntas relativas a las ecuaciones.

Clasificamos las respuestas, considerando los siguientes argumentos

R1: Si para establecer la ecuación los estudiantes se sitúan en un modo analítico-

estructural, elegirán un punto de coordenadas exactas para determinar la constante de la

elipse. Y luego plantearán la ecuación para un punto P(x,y) de la elipse utilizando la

fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.

R2: Si los estudiantes logran determinar el valor de la suma de las distancias de los puntos

a los focos (constante) y trata de determinar la ecuación solo para casos particulares

(coordenadas exactas) ,muestra elementos del AE pero no logra transitar a AA.

R3: si los estudiantes determinan la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los

focos (constante). y trata de establecer la ecuación recurriendo a las ecuaciones que conoce,

muestra elementos de AE y AA pero no logra coordinarlos , ya que , no se da cuenta que

las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta a la pregunta.


95

R4: si el estudiante para responder se sitúa solo en un modo analítico aritmético, tratará de

establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que el conoce. Este

estudiante no se da cuenta que las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar

respuesta a la pregunta.

ACTIVIDAD 3



Esta pregunta es planteada en un modo AA, por lo tanto, queremos descubrir en que

modos de pensamiento se sitúan los estudiantes para argumentar:

R1: Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y

luego argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran

evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG-AE de la elipse.

Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los

puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las

distancia a los focos es siempre 20 unidades.

R2: Los estudiantes que grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura

obtenida logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica

pueden utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la

ecuación o bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación

pitagórica entre los elementos a, b y c.

R3: Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a

partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer

conexiones con los otros modos.

2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué

harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de

una justificación? Y ¿cuáles?

Figura 15


96

Esta pregunta esta planteada en SG, queremos evidenciar en que modos los estudiantes se

situan para responder :

R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes

maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el

plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego

sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar

en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos

de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella.

R2: Un estudiante que piensa la elipse desde un modo analítico- aritmético puede

argumentar de las siguientes formas, llevar la elipse al plano cartesiano para determinar los

valores de a , b y establecer una ecuación y en base a las características de la ecuación

concluir si es elipse o no. también puede tratar de medir a, b y c ( con regla ) y luego

determinar la ecuación.

R3: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la

representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características

de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc).

3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En

las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje

distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.

Esta actividad busca que los estudiantes puedan transitar del SG1 de la elipse en el plano a

un SG2 de la elipse en el espacio, considerando las posiciones de los planos , clasificamos

las posibles respuestas en:

Figura 16 Figura 17 Figura 18


97

R1: Estudiantes que establecen posiciones correctas de los planos en todas las figuras ,

muestran evidencias de el tránsito desde un modo SG en el plano a un SG en el espacio.

R2: Estudiantes que establecen algunas posiciones correctas de los planos en en las figuras

, muestran evidencias de estar en vias de la comprensión de un modo de SG de la elipse

en el espacio.

R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse

4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una

elipse con el cono.

A partir de las posiciones del plano, consideramos las siguientes respuestas

R1: Estudiantes que establecen todas las condiciones del plano para que al intersecarlo

con el cono genere una elipse, sea un plano oblicuo (no paralelo a la base) que pase por

todas las generatrices del cono. Estos estudiantes muestran evidencias del tránsito desde

un modo SG en el plano a un SG en el espacio.

R2: Estudiantes que establecen algunas condisiones correctas de las posiciones de los

planos, ellos muestran evidencias de estar en via de comprender el modo de SG de la

elipse en el espacio.

R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse.

5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.

Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de

contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente

(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos

para justificar que la curva formada es una elipse.

En esta actividad se busca indagar en los modos de pensamiento que utilizan los

estudiantes para justificar que la figura presentada en la animación es una elipse (ellos

pueden manipular la animación). Consideramos las siguientes respuestas:

R1: Estudiantes que muestran evidencias de tránsitos desde un modo SG2 a un modo AE.

Pueden argumentar que figura formada es una elipse si las distancias de MF1+MF2 es

constante para cualquier punto de ella. para ello, pueden establecer que si se mueve M a

lo largo de la elipse, también se moverán P1 y P2 a lo largo de los dos círculos y como la

distancia de F1 a M es la misma que la distancia de P1 a M, por ser MF1 y MP1 líneas que

se intersecan en M y además ser tangentes a una misma esfera1(color verde en figura

adjunta) .del mismo modo, la distancia de F2 a M es la misma que la distancia de P2 a M,

por ser MF2 y MP2 líneas que se intersecan en M y además ser tangentes a una misma

esfera2(color rojo en figura adjunta). En consecuencia, pueden concluir que la suma de las

http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3


98

distancias MF1+ MF2 debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva

porque la suma de las distancias MP1 + MP2 también se mantiene constante. Esto se debe a

que M se encuentra en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante.

Figura 63: animación de la elipse en cabri

R2: Estudiante que muestran elementos que comprenden la elipse como un lugar

geométrico, pero no logran conectar los modos AE y SG2 de la elipse.

R3: Estudiantes que justifican que la figura formada es una elipse a través de un modo

sintético geométrico, ya sea, por la inclinación del plano (SG2) o bien por la forma que

tiene (SG1).

6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único?

¿Por qué?

Esta pregunta tiene por objetivo indagar en los modos de pensamiento que utilizan los

estudiantes para cuando se enfrentan a preguntas de elipse en el espacio.

R1: Si los estudiantes establecen que el cono que genera la elipse en el espacio no es único,

debido a la posición y tamaño de las esferas, argumentando que si una de las esferas

aumenta de tamaño la otra disminuye en forma proporcional de modo que la constante de

las elipses que se forman se mantienen. Significa que prioriza el modo AE para dar una

respuesta.

R2: Si los estudiantes responden que el cono que genera la elipse no es único, ya que,

depende de la posición del plano en los conos. Establece conexiones entre SG1-SG2 de la

elipse.

R3: responde en forma incorrecta, desde un modo SG, argumentando que el cono es único.


99

MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE

DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE

Los estudiantes que trabajan por primer vez el concepto de elipse, no tiene el conocimiento

de las ecuaciones que describen la elipse, por lo tanto, no pueden argumentar desde el

modo AA, sin embargo propiciaremos el tránsito desde SG - AE- AA y desde AA- SG.

La actividad 1, se mantiene tal cual como fue trabajada en el caso en que los estudiantes

conocen la elipse. Con la intención de transitar entre los modos SG y AE de la elipse.

En la actividad 2, se mantienen la pregunta 1 y 2 y se agregan las preguntas siguientes, de

las cuales se presenta el análisis a priori.

3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y

F’.

Figura 12

Se retoma esta pregunta realizada en el cuestionario exploratorio, para evidenciar si los

estudiantes con el nivel de comprensión que logran en la actividad 1 y parte de la actividad

2 son capaces de situarse en un modo AE para responder, clasificamos las posibles

respuestas en:

R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE, realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16

cm y luego podrán determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la

longitud del eje mayor (AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm.

R2: Estudiantes que sitúan en un modo SG, para responder trataran de estimar la medida de

AB, en relación a las medidas conocidas.


100


que defina la elipse

figura 13

Esta activiadad busca propiciar el transito entre los modos SG –AE-AA de la elipse en el

plano , para plantear la ecuación ellos deberan conocer el concepto de distancia entre dos

puntos del plano y al conectar estos elementos con el AE de la elipse, pueden establecer la

ecuación para cualquier punto de la elipse de la figura 13.

Considerando los argumentos desde los distintos modos de pensar la elipse, clasificamos

las posibles respuestas en :

R1: Estudiantes que son capaces de establecer una ecuación para la elipse , a partir de la

definicion como lugar geometrico . estos estudiantes conectan los modos SG –AE-AA.

R2: Estudiantes que logran establecer una expresión a partir de la definicion como lugar

geometrico. estos estudiantes conectan los modos SG- AE.

R3: Estudiantes que no logran establecer una expresion que se cumpla para todos los puntos

de la elipse. es decir , no muestra evidencias del tránsito entre los modos.

En la actividad 3 , se mantienen las preguntas 3, 4 ,5 y 6 que son las que se relacionan los

tránsito de SG1- SG2- AE del plano al espacio. se reemplazan las preguntas 1 y 2 por las

siguientes :

1.- determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano

cartesiano. Justifique su respuesta

Esta pregunta permite evidenciar los tránsitos entre los modos AA y SG de la elipse. si bien

los estudiantes desconocen la ecuación de la elipse , ellos han trabajado con el concepto del

conjunto solución de una ecuación con dos incógnitas en R x R , por lo tanto , creemos que

este concepto es clave al momento de responder , clasificamos las posibles respuestas en :

R1: Estudiantes que son capaces de realizar la gráfica de la elipse a partir de la ecuación,

evidencian el tránsito entre los modos AA- SG. debido a que entienden que todos los

puntos que satisfacen la ecuación pertenecen a la elipse.


101

R2: : Estudiantes que establecen algunos puntos de la gráfica de la elipse a partir de la

ecuación y los grafican como puntos aislados, estos estudiantes no logran transitar desde

AA- SG , si bien presentan elementos de AA y de SG , no logra coordinarlos para dar una

respuesta.

R3: dibujan puntos al azar , es decir , no muestran en sus argumentos rastros de AA.

2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y

F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay

más de una justificación? ¿Cuáles?

Esta actividad pretende dar cuenta de los argumentos que utilizan estos estudiantes que

desconocen la ecuación de las elipse para responder preguntas donde se les pide

justificar.considerando los modos de pensar la elipse , clasificamos sus respuestas en :

a)

Figura 14

R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, justificarán que

para que sea una elipse debe cumplir con la condisión de que la suma de las distancias del

punto a los focos sea constante. para ellos puede tomar pares de puntos que tengan

coordenadas conocidas y verificar si la suma de las distancias a los focos es la misma.

R2: Estudiantes que se sitúan en un modo SG de la elipse para responder , pueden

responder que se trata de una elipse , por la forma que tiene.


102

b)

Figura 15

Para este grupo de estudiantes consideramos estas posibles respuestas:

R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes

maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el

plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego

sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar

en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos

de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella.

R2: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la

representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características

de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc).


103

CAPÍTULO VII:

APLICACIÓN Y

ANÁLISIS A

POSTERIORI DE

LA SECUENCIA DE

APRENDIZAJE


104

APLICACIÓN DEL DISEÑO

Toma de datos

La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de mayo, los

estudiantes de los casos de estudio respondieron en forma individual, en tres bloques de

90 minutos aproximadamente.

Tabla 3: Resumen de informantes y técnica de recogida de información:

ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO

El análisis a posteriori de las actividades se realiza considerando las clasificaciones de las

respuestas descritas en el análisis a priori , se analizan de acuerdo a los objetivos

planteados en cada una de las actividades , agrupando aquellas preguntas que tengan los

mismo fines. En cada uno de los casos en estudio, se analizarán los siguientes puntos:

Los tránsitos que logran los estudiantes entre modos de comprender la elipse.

Los elementos de la matemática que ponen en juego al momento de establecer

estos enlaces.

Los modos qué priorizan los estudiantes al enfrentarse a preguntas planteadas en

distintos modos.

Dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de las actividades, ya

sean, del dominio de la matemática o bien por los planteamientos de las preguntas.

Los tránsitos entre los modos que resultaron más débiles, y las posibles causas que

no permiten la conexión entre estos modos.

En el análisis se incluirán ejemplos de las respuestas de los estudiantes, por el tamaño de la

población solo incluiremos aquellas respuestas que consideramos suficientes para mostrar

los distintos argumentos dados por los informantes.

CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO)

Llamaremos E1, E2, E3,………………..E19 a los estudiantes de este grupo.

La pregunta inicial del cuestionario permite explorar el modo sintético geométrico de la

elipse que posee el informante. En este grupo todos los estudiantes tienen por SG la

representación de la elipse en el plano.

Casos Caso 1: Con elipse

19 estudiantes

Caso 2: Sin elipse

10 estudiantes

Caso 3 : Sin elipse

10 estudiantes

Instrumento Aplicación del diseño (Cuestionario)

Curso Cuarto Año Medio Segundo Año Medio Tercer Año Medio


105

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1

Para realizar el análisis, dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos

planteados, como se describe a continuación:

Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los

estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Las respuestas de los

estudiantes permiten entregar los siguientes análisis:

Todos los estudiantes dan argumentos que evidencian la comprensión de la distancia

como el camino más cortos entre dos esquinas, ellos se sitúan en un modo un SG para

responder. Como se muestra en las respuestas de E3, E18, E8, los informantes E3 y E18

buscan algunos de los recorridos posibles desde el punto A hacia B en cambio el E8 marca

todos los recorridos que se pueden hacer entre A y B.

Respuestas a las preguntas 1.a y 1.b

Figura 64: Respuesta del estudiante 3

Figura 65 : Respuesta del estudiante 18

Figura 66 : Respuesta del Estudiante 8


106

En la preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d)

Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría de los

estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de

circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista.

Aunque dos de ellos tienen dificultades para concebir la distancia discreta y unen los puntos

de la circunferencia, al parecer no consideran la condición de la actividad que el taxi solo

puede detenerse en las esquinas. Tres de los estudiantes realizan ambas representaciones,

por lo tanto, no es posible discernir en este momento del cuestionario, si comprende la

circunferencia en la geometría del taxista. En las respuestas que se presentan a continuación

los estudiantes E12, E19 y E9 dibujan circunferencias de radios 1, 2 y 4, el E12 muestra

claramente los recorridos realizados para ubicar los puntos de las circunferencias. Al

parecer ambos estudiantes no presentan problemas con el uso de métricas discretas, en

cambio, el E9 muestra en su gráfica dificultades en el uso de la distancia discreta o puede

ser que este influenciado por el SG de la circunferencia usual como una curva cerrada. En

las figura realizada por el estudiante 2 creemos que inicialmente dibuja la circunferencia

usual y luego se plantea nuevamente la actividad logrando graficar la circunferencia en la

geometría del taxista.


Figura 68: Respuesta del Estudiante 19


107

Figura 69 : Respuesta del Estudiante 9



108

La siguientes preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) se crearon con el fin de propiciar el

tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista.

En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”

. Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen

los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.

Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, la mayoría (16) muestran en

sus argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos talque la suma de las

distancias de los puntos a los focos es constante. Los demás solo establecen la

característica común en algunas de las figuras. A continuación se presentan ejemplos de

respuestas:

El informante E3 (Figura 71), muestra en su descripción elementos del modo SG, cuando

escribe “presenta un simetría respecto a la recta L “. Este estudiante conecta las

características geométricas que describe con el modo AE de la elipse, para ello prueba con

dos puntos a los que llama A y B determinando que las suma de las distancias de A hacia

los focos es igual que la suma de las distancia de B a los focos.

Figura 71: Respuesta del estudiante3

El estudiante E 11 (Figura 72), muestra en sus argumentos comprender la elipse como un

conjunto de puntos que cumplen una condición, cuando escribe “no se pueden ubicar otros


109

puntos o si no, no seria elipse”. Para determinar la característica común elige solos dos

puntos A y B, pero tiene claridad que la suma de las distancias de todos los otros puntos a

los focos es la misma.

Figura 72: respuesta del estudiante11

El estudiante 1 ( Figura 73) muestra en sus argumentos transitar entre el modo SG y AE

de la elipse , al igual que los estudiantes anteriores solo prueban para dos puntos. a

diferencia de los demas estudiantes , E1 muestra elementos propios de la geometria del

taxista cuando se refiere a “ esquinas “ y “ cuadras “.

Figura 73 : Respuesta del estudiante1


110

En la pregunta f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”.

La mayoría de los estudiantes muestra evidencias del transito de AE - SG, presentamos las

respuestas de E10 y E5. Donde E 10 para dar los ejemplos se sitúa en un modo AE, lo cual

se evidencia cuando escribe “distancia constante 4 cuadras, focos f y f’” y “distancia

constante 7 cuadras, focos f y f’”. En cambio E5 grafica figuras continuas, al parecer no

concibe la distancia discreta, además no queda claro si se sitúa en un modo AE o bien en

un modo SG tomando ejemplos similares a las figuras de la actividad anterior..




111

En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.

12 de los estudiantes muestran en su definición elementos del AE de la elipse, algunos de

ellos presentan además elementos del SG, relativos a la forma, simetría, entre otras. 4 de los

estudiantes muestran una parte del AE, solo dan cuenta de la condición de los puntos de

la elipse en relación a los focos.

A continuación se presentan algunas de las respuestas. Los estudiantes E13 y E16 definen

a partir de la suma de las distancias de los puntos a los focos y luego fundamentan que se

cumple para todos los puntos. E6 combina elementos del SG de la elipse cuando escribe

“Figura en la cual existen dos puntos fijos llamados focos la cual esta delimitada por

puntos” con elementos de AE, aunque con dificultades en la redacción, cuando dice

“estos puntos deben cumplir con la suma de sus distancias de foco a foco debe ser

constante” .




112


En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en

“Geocity”. 18 de los estudiantes responden en forma correcta argumentando desde un

modo AE. A continuación se muestran algunos ejemplos.


113


El informante E17, al probar distintos puntos de la elipse muestra comprender la elipse

como un conjunto de puntos que cumple una condición. Esto se evidencia cuando escribe

“lo mismo pasa con el punto B y los demás “refiriéndose al valor de la constante de la

elipse.

El estudiante 13, Calcula la distancia de todos los puntos a los focos f y f’ , en la figura 6

concluye cuando encuentre valores distintos en la suma de las distancias a los focos. En la

figura 7 prueba la mayoría de los puntos y determine que si es una elipse. En ambas figuras

argumenta desde AE.

Figura 80: Respuestas del estudiante 13


114


Las primeras tres preguntas buscan que los estudiantes puedan identificar la propiedad que

define la elipse en el plano cartesiano. Es decir, evidenciar el tránsito entre el modo

sintético – geométrico a un modo analítico – estructural.

En la pregunta 1,Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de

focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la

elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos

de la elipse.

La mayoría de los estudiantes muestra en sus respuestas evidencias del tránsito entre los

modos de SG – AE. 16 estudiantes establecen la condición de los puntos de la elipse en

relación a los focos, para ello utilizan la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.

Los otros tres estudiantes establecen en forma correcta el valor de la suma de las distancias

de los puntos a los focos, en algunas de las figuras y en otras no, estos estudiantes muestran

elementos del modo AE, sus dificultades se relacionan con el cálculo de las distancias. A

continuación se presentan ejemplos de respuestas:

El estudiante E9 muestra evidencias de transito de SG – AE en el plano, para verificar la

condición de los puntos en relación a los focos, utiliza la fórmula de distancias, aun cuando

los puntos están en el eje x.



115

El estudiante E14 al igual que el estudiante 9 determina las distancias desde los puntos a

los focos, usando la fórmula de distancia. Determinando la constante de la elipse.


El estudiante 19 elige dos puntos simétricos respecto al eje x , de coordenadas exactas de

la elipse y determina la distancia de los puntos a los focos, para ello utiliza la fórmula de

distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras.



116

El estudiante E4, ubica 4 puntos de coordenadas exactas en la elipse y determina la suma

de las distancias de los puntos a los focos. E4 se sitúa en AE para responder, el hecho de

que los focos estén en otras posiciones no genera dificultades.

Figura 84 : respuesta del estudiante 4

En los ejemplos, evidenciamos que los estudiantes privilegian herramientas algebraicas en

el tránsito de SG a AE de la elipse, en este caso, utilizan la fórmula de distancia entre dos

puntos del plano, aun cuando estos puntos se encuentran en la misma recta y no es

necesario realizar este cálculo.

En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano.

Los estudiantes muestran elementos de AE en sus definiciones, solo uno de ellos se sitúa

en SG para responder. En comparación a la definición dada en la actividad 1 se presentan

más estudiantes que se sitúan en AE .a continuación se presentan algunos ejemplos de

respuestas:



117




En las definiciones de los estudiantes E1, E14 y E13 predomina un modo analítico

estructural, dan cuenta de la condición de los puntos y además comprenden que se cumple

para todos los puntos de la elipse, esto se evidencia cuando escriben argumentos como:

E1: “Toda figura en el plano cartesiano la cual cumple que la suma de cualquier punto, de

coordenadas P(x,y) perteneciente a ella , con respecto a los focos tiene un valor constante

independiente del punto que sea utilizado “ .

E14: “para que los puntos sean parte de la elipse tiene que cumplirse una condición, lo

cual dice que la distancia a sus focos es la misma”.


118

E3: “cumple una propiedad que es que la distancia de un punto P de la figura de F, mas la

distancia del mismo punto a F´ , dará un total el cual se denomina constante , ya que este

valor , será igual para cualquier punto que tomemos de la figura “.

E14 complementa el modo AE con modo AA cuando describe que los puntos de la elipse

“satisfacen la ecuación”.

En E13 a diferencia de los informante E1, E14 y E3 predomina un modo sintético

geométrico, esto se evidencia, cuando describe la elipse como “figura ovalada que posee

focos y vértices donde la distancia del foco1 al vértice 1 es la misma del vértice 2 al foco 2

“. Aunque muestra elementos del AE, cuando escribe “Un punto cualquiera de la elipse a

un foco debe cumplir una constante con respecto a la sumatoria de sus distancias “, no

queda claro si comprende la elipse como lugar geométrico, debido a que, solo da cuenta de

un foco.

Es importante destacar que ninguna de los informantes, define la elipse utilizando la

definición formal que aparece en los textos “la elipse como el lugar geométrico de todos los

puntos del plano tal que la suma de sus distancias a los focos es constante “. Lo cual nos

indica que la definición la construyen a partir de las actividades del cuestionario.

En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de

focos F y F’.

Figura 12

Se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen, que es donde los

estudiantes han trabajado. La mayoría de los estudiantes se sitúan en un modo AE para

responder, identificando las coordenadas de uno de los puntos la elipse y luego

determinan la suma de las distancias del punto a los focos y lo relacionan con la longitud

del eje mayor. 3 de ellos se sitúan en un modo SG para responder, lo que no es suficiente

para dar una respuesta. A continuación se presentan algunos ejemplos de respuestas.


119

El informante E3(Figura 89 ) se sitúa en AE para responder , esto queda en evidencia por

los cálculos presentados , elige un punto de coordenadas exactas al que llama C,

determinando la suma de las distancias de C a ambos focos y también por los argumentos

descritos “ la medida del segmento AB es igual a la constante ya que la medida del punto

A a F mas la medida del mismo punto a F’ da una constante” utiliza además elementos

geométricos en parte de su argumento cuando escribe “ la medida de B a F’ es la misma

que de A a F, ya que, la elipse tiene un eje de simetría “.



120

El informante E14 (Figura 90) se situa en un modo AE , esto queda en evidencia , por los

procedimientos utilizados , elige un punto de coordenadas ( 5,6) y determina la suma de

las distancias del punto a los focos y relaciona esa medida con la constante de la elipse,

escribiendo “ si utilizo otro punto me daria la distancia que seria igual de punto A hacia

los focos “.


El estudiante E1, elige un el punto (5,6) para determinar el valor de la constante, aunque no

justifica queda en evidencia que se sitúa en un modo AE para responder, por los cálculos

realizados. ( Figura 91 )



121

El estudiante E2, se sitúa en un modo sintético – geométrico, observa propiedades

geométricas como la relación entre las distancias de los segmentos F’B y FA. Establece

relaciones algebraicas entre los segmentos involucrados tratando de determinar la medida

del segmento AB.


Las preguntas 4 y 5 referidas a ecuaciones. Nos entregan información de los tránsitos SG -

AE – AA de los modos de comprender la elipse en el plano

En la pregunta 4, Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca

una ecuación que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos,

justificando cada uno de ellos.

Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre SG y AA, determinando la

ecuación para la elipse de la figura 13. Nueve de ellos identifica la definición de la elipse

como lugar geométrico como unos de los argumentos para determinar la ecuación y otros

10 muestran en sus argumentos un modo analítico –aritmético para determinar la ecuación.

A continuación presentamos algunos ejemplos:


122

El estudiante E18 muestra en sus argumentos, evidencias claras del tránsito entre SG y AA.

en un primer argumentos, identifica la ecuación de la elipse y reemplaza los valores de a y

b en la fórmula para obtener la ecuación. Un segundo argumento da cuenta de que

comprende la elipse como un conjunto de puntos que satisface una ecuación.


El estudiante E12 muestra en sus argumentos evidencias del tránsito SG- AE – AA,

mostrando dos argumentos, el primero situado en un modo analítico - aritmético

identificando la ecuación de la elipse y reemplazando los valores de a y b. El segundo

argumento corresponde a un modo analítico estructural, determina un punto P(x,y ) en la

elipse y determina la suma de las distancias de P a los focos.


123


En la pregunta 5, Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’

Figura 14

En esta pregunta, todos los estudiantes muestran elementos de un modo analítico –

estructural, determinando el valor de la constante de la elipse (suma de las distancia de los

puntos de la elipse a los focos). Seis de los estudiantes logran establecer una ecuación para

la elipse de la figura 14, para ello se sitúan solo en un modo AE. Si bien algunos cometen

errores en los cálculos algebraicos tienen claridad en el argumento a utilizar. Estos 6

estudiantes muestran evidencias de tránsitos entre los modos SG - AA - AE de la elipse.


124

7 de los estudiantes, una vez conocido el valor de la constante, tratan de determinar los

valores de a, b y c para reemplazar en las ecuaciones conocidas. Ellos muestran elementos

de AE y AA que no es posible conectar, debido a que no conocen ecuaciones de elipse que

presentan una rotación.

6 de los estudiantes solo establecen el valor de la constante. A continuación se presentan

algunos ejemplos de respuestas:

El estudiante E17 muestra elementos de AE, al determinar el valor de la constante de la

elipse para ello elige un punto P de coordenadas (11,5). Aunque da cuenta de la definición

cuando escribe no logra establecer la ecuación.


El estudiante E10(Figura 96), muestra evidencias de los tránsitos entre SG – AE - AA,

eligiendo un punto de la elipse P(8,2) para establecer la constante de la elipse , luego elige

un punto L(x,y) y usando la definición , logra establecer una ecuación

para la elipse.



125

El estudiante E8(Figura 97), muestra en sus argumentos elementos de AE cuando

determina el valor de la constante, luego trata de establecer los valores de a, b y c para

reemplazar en la ecuación de la elipse con centro (h , k).



Las respuestas obtenidas en las preguntas 1 y 2 permiten evidenciar los modos de

pensamiento que priorizan los estudiantes cuando son enfrentados a preguntas planteadas

en distintos modos. La primera pregunta esta planteada en AA y la segunda en SG.

En la pregunta 1, Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el

plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos.

La mayoría de los estudiantes (16) logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la

ecuación y justificar utilizando la representación de la elipse en el plano, ellos transitan

desde un modo AA a un modo SG de la elipse. 8 de ellos argumentan desde la propiedad

que define la elipse como lugar geométrico, muestran evidencias de tránsitos entre los

modos AA- SG-AE de la elipse. Los demás (2) estudiantes justifican desde un modo AA

utilizando la forma de la ecuación. A continuación se presentan algunos ejemplos:

El estudiante E15 muestra evidencias del transito AA- SG, cuando dibuja la elipse en el

plano a partir de los valores a, b y c . Los otros argumentos dados corresponde a un modo

AA , están relacionados con la forma de la ecuación y la relación entre los valores de a , b y

c.


126


El estudiante E4, solo argumenta desde un modo AA, por la forma de la ecuación.



127

El estudiante E3 , muestra en sus argumentos evidencias de los tránsitos entre AA- SG-AE ,

a partir de la ecuación representa la elipse en el plano cartesiano , ademas determina que la

suma de los puntos de la elipse a los focos es constante , igual a 20.


El estudiante E13, fundamenta a partir de la relación entre los elementos (a, b y c) y al

igual que E4 se basa en la forma de la ecuación. Este estudiante no logra transitar a otros

modos de pensamiento.



128

En la pregunta 2, La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y

F’. ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay

más de una justificación? Y ¿cuáles?

Figura 15

La mayoría de los estudiantes (17) argumentan desde un modo analítico estructural, logran

establecer conexiones entre los modos SG y AE de la elipse. Dos de ellos justifican que la

figura formada es una elipse desde un modo AA. A continuación se muestran algunos

ejemplos de respuestas :

El estudiante 7(Figura 102 ) , se sitúa en un modo analítico – estructural, al dar respuesta

como: “mediría la suma de algunos puntos a los focos y vería si son iguales “, “colocaría

2 estacas en los focos y colocaría una cuerda que estuviera atado y pasara por un punto

movible el cual esta sobre un punto cualquiera de la elipse podría demostrar que la figura

es una elipse”.



129

El estudiante E13(Figura 103), cuando escribe “yo lo pondría en el plano cartesiano y

cada punto de la elipse al cualquiera de los dos focos, la suma de sus distancias tendría

que ser una expresión, la cual debería ser constante para cada distancia “argumenta

desde un modos analítico – estructural. También se sitúa en un modo SG cuando justifica

“es una figura ovalada que consta de dos focos “.


El estudiante 15, argumenta desde un modo AE, cuando escribe , también

argumenta desde un modo AA, cuando escribe la relación entre las longitudes de los

segmentos CA, CF y CD.


El estudiante E5, justifica desde un modo analítico – aritmético, esto se evidencia cuando

escribe “de acuerdo a la posición de ésta en el plano podría conocer el valor de a, b y c,

las cuales formarían parte de la ecuación

”.


130


Las preguntas 3 y 4 evidencian el tránsito entre los modos SG1 de la elipse en el plano a un

SG2 de la elipse en el espacio.

En las preguntas 3, En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y

un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura

18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono.

La mayoría de los estudiantes (14) establecen posiciones correctas de los planos, muestra

indicios del modo sintético – geométrico en el espacio. Los demás (5) estudiantes

establecen algunas posiciones correctas de los planos y otros no. A continuación se

muestran ejemplos:

El estudiante E1 ubica dos planos inclinados que generan una elipse, también dibuja un

plano paralelo a la base, escribiendo radio: 1 u. desconocemos si los estudiantes

comprenden la circunferencia como un caso particular de la elipse.


131


El estudiante E18 dibuja planos que generan elipse, y dibuja las elipses. Muestra

comprender el SG2 de la elipse en el espacio.


En la pregunta 4, Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que

forme una elipse con el cono. Algunos (7) de los estudiantes establecen todas las

condiciones de las posiciones de los planos. Los demás estudiantes (12) no analizan todos

los casos. La mayoría concluyen que el plano debe estar en “diagonal” pero no descarta los

casos en que se puede formar una hipérbola. Ejemplos de respuestas:

El estudiante E18, explica las restricciones que deben tener el plano al intersectar con la

superficie cónica.


132


El estudiante E9 indica que el plano no debe ir en forma paralela, explica que el plano debe

tener un ángulo de inclinación, pero no descarta el caso en que se pueda formar una

parábola.


En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el

espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos

de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente

(http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para

justificar que la curva formada es una elipse.

Con esta pregunta evidenciamos el tránsito entre los modos sintético geométrico en el

espacio (SG2) a un modo AE de la elipse. La mayoría de los estudiantes (14) logran


133

situarse en un modo AE para justificar que la figura que se forma es una elipse, logran

establecer es un valor constante. Los demás estudiantes muestran elementos

del AE de la elipse en el plano, pero no logran conectarlo con el modo SG2.

El estudiante E17, argumenta desde un modo analítico estructural, cuando explica que:

“ es un valor constante “para ello se da cuenta que “en algún

punto se forma una línea recta que contiene a los puntos, pudiendo observar que se cumple

esa suma cuyo valor es constante “


El estudiante E8 , da cuenta del modo analitico – estructural en el plano , cuando explica “que a

medida que el punto M , se va moviendo , la suma total de sus distancias entre sus focos siempre va

a ser la misma , ya que es una constante” . pero no logra argumentar con los elementos de SG2

respecto al valor de la constante.



134

El estudiante 19 muestra evidencias del tránsito de SG2 al modo analitico – estructural en

el espacio , E19 relaciona elementos geométricos , en este caso, las esferas incritas en el

cono, el teorema de las tangentes a la circunferencia en sus argumentos para concluir que

“ la distancia hacia ambos puntos de tangencia seria constante , ya que al moverse M , la

distancia desde M hacia los focos ; punto de tangencia aumentaria , mientras que el otro

disminuiria , pero la sumatoria se mantendria constante “


El objetivo de esta pregunta final, 6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que

genera la elipse es único? ¿Por qué? Es indagar que modo privilegian los estudiantes

cuando se enfrentar a preguntas relacionas al SG2 de la elipse. La mayoría de los

estudiantes (11) se sitúan en un modo SG2 de la elipse. Otros estudiantes (7) responden en

forma incorrecta. Un estudiante se sitúa en un modo AE para dar respuesta a la pregunta,

esté estudiante muestra evidencias de transito de AE - SG2. A continuación se muestran

algunos ejemplos:


135

El estudiante E7, responde desde el modo sintético geométrico de la elipse en el espacio,

esto queda en evidencia cuando escribe “no es único porque la elipse que se forma

dependerá no solo del cono si no también de la pendiente del plano “


El estudiante E8, responde en forma incorrecta desde un modo SG2, explica que “para

cada elipse hay un único cono que le pertenece “



136

El estudiante E3 , es el único que logra argumentar desde un modo AE , utilizando las

esferas inscritas en el cono , esto se evidencia cuando escribe : “ hay conos que pueden

generar la misma elipse, pero estos deben tener la propiedad de que las esferas que

contengan al cono deben de ser que si aumentamos el radio de la esfera 1 , debemos

disminuir el radio de la esfera 2 en forma proporcional a la de las esferas de la figura 1 ,

teniendo que ser así de M a mas la distancia de M a la constante de la elipse”.



137

CONCLUSIONES DEL CASO 1

La mayoría de los estudiantes logra trabajar sin problemas en la actividad 1, evidenciamos

que la distancia discreta ayuda en la comprensión de la propiedad que define la elipse.

Estos estudiantes transitan entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista.

La mayoría de los estudiantes del caso 1, logra con éxito los siguientes tránsitos: entre SG

y AE en el plano. Es decir, a partir de la representación de la elipse en el plano, son

capaces de determinar que la suma de todos los puntos de la elipse a los focos es siempre

constante y una vez que comprende esta propiedad que la define como lugar geométrico

son capaces de graficarla. Un elemento de la matemática que es fundamental en el tránsito

entre estos modos es el concepto de distancia. Con respecto a ello consideramos que este

grupo de estudiante presenta una fuerte inclinación hacia desarrollos algorítmicos en el

cálculo de las distancias.

Entre AA y SG, la mayoría de los estudiantes son capaces de graficar la elipse dada la

ecuación, para ello utilizan herramientas analíticos, ya sea, la relación pitagórica entre los

elementos de la elipse (longitud del semieje mayor, semieje menor, semieje focal) o

buscar puntos que satisfagan la ecuación. Entre SG y AA los estudiantes establecen

conexiones cuando la elipse se centra en el origen, debido a que conocen las ecuaciones.

Algunos de ellos logran establecer las ecuaciones de elipses que se ubican en otra posición

en el plano, para ello recurren a la definición formal del concepto.

Entre AA y AE, evidenciamos que el tránsito no es inmediato, los estudiantes tratan de

buscar argumentos analíticos cuando se les pregunta por las ecuaciones. Aun dando

evidencias de comprender parte de AE algunos de ellos no conectan ambos modos para dar

una respuesta.

El tránsito desde SG1 a SG2 de la elipse en el espacio es viable, debido a que la mayoría

de los estudiantes establece posiciones correctas del plano al intersecarlo con un cono.

Desde SG2 – AE, también consideramos que este tránsito es posible en este nivel, por los

conocimientos previos que poseen los estudiantes. Esto se evidencia en las respuestas a la

pregunta 5 donde utilizan elementos geométricos, como las esferas inscritas en los conos

para argumentar.

Consideramos que las mayores dificultades se presentaron cuando se enfrentan a preguntas

donde tenían que dar definiciones o establecer condiciones.

El diseño fue exitoso en este grupo de estudiantes, la mayoría de ellos logra comprender el

concepto elipse, esto se evidencia en las conexiones que establecen los estudiantes entre

los modos SG-AE- AA en el plano, y SG2- AE en el espacio.


138

CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO)

Este grupo esta compuesto por 10 estudiantes entre 15 y 16 años que cursan segundo año

medio. Llamaremos a estos estudiantes E20, E21, E22, E23………E29. Todos los

estudiantes muestran en sus respuestas a la pregunta 1, desconocer las representaciones

asociadas a la elipse.

Estos estudiantes tienen menos dominio de contenidos matemáticos en comparación con los

otros casos, están recién comenzando en el estudio de la geometría analítica, han tenido

dos clases de plano cartesiano, ubicación de puntos en el plano, distancia entre dos puntos

del plano, ello además desconocen ecuaciones de rectas, entre otras. Aplicamos el

cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento para iniciar a los

estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos mayoritariamente en los

tránsitos de SG – AE en la geometría del taxista y en el plano. Aunque se aplica el diseño

completo para ver cuales son las conexiones factibles entre los modos de pensar la elipse en

este caso.

ANÄLISIS DE LA ACTIVIDAD 1

Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los

estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Todos los estudiantes

muestran en sus argumentos evidencias de la comprensión de la distancia como el

camino más cortos entre dos esquinas, la mayoría (7) muestra todos los posibles recorridos

como el estudiante E22 , los demás(3) muestran algunos recorridos como es el caso del

estudiante E25, todos se sitúan un modo un SG para responder.

Figura 116: Respuestas de los estudiantes 22 y 25


139

En las preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d)

Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría (8) de los

estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de

circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista. Los

demás presentan dos formas de representación de la circunferencia, circunferencia usual y

circunferencia en la geometría del taxista. A continuación se presentan algunos ejemplos:

Figura 117: Respuestas de los estudiantes 26 y 24


El estudiante E26 y E20 grafican la circunferencia en la geometría del taxista, el E26

presenta dificultades para concebir la distancia descrita esto se evidencia al unir las

esquinas. El E24 muestra ambas representaciones y además otros puntos, por lo tanto, no es

posible discernir si el estudiante comprende o no la distancia discreta.


140

Las respuestas a las preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) evidencian el tránsito entre

los modos SG y AE .

En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”.

Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen


Todos estudiantes muestran evidencias de comprender el AE de la elipse, 6 de ellos

determinan la suma de las distancias de los puntos a los focos como una característica

común en cada uno de los casos. A esta suma de distancia la llamaremos constante de la

elipse. 4 de ellos establecen correctamente el valor de la constante de la elipse en algunos

casos y en otros no. A continuación se analizan algunas de las respuestas dadas por los

estudiantes:

El estudiante E22, muestra en sus argumentos comprender el modo AE de la elipse, esto se

evidencia en los cálculos realizados para todos los puntos de la figura 2, y también cuando

escribe “ la suma de los puntos de F a F’ son los mismos, en este caso (la constante) que se

repite es 8”.



141

El estudiante E27, logra transitar de un modo SG a un modo AE, observa distintas

regularidades de algunos puntos en relación a ambos focos, entre ellas características

geométricas que se cumplen para algunos puntos y una regularidad que se verifica para

todos los puntos de la elipse, esta es, “ la suma de las distancias de un punto hasta F y F’

siempre es 6”.


El estudiante E28, muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión del modo AE,

cuando escribe “ la suma entre las distancias que tienen entre F y F’ va a dar como

resultado 6”.



142

En el estudiante E21 muestra elementos del modo analítico – estructural, cuando escribe

“si se suman estos valores el resultado será 8 que será la suma de las distancias que hay

entre el resto de los puntos a los focos”. El estudiante observa distinta regularidades, que se

cumplen para esta figura, entre ellas con respecto a la suma de los puntos en relación a los

focos concluye que es 8, y ese valor esta relacionado con el doble producto de la distancia

de ambos focos.



143

En la pregunta f) Muestra un ejemplo distintos a los anteriores de elipses en

““Geocity”.

La mayoría de los estudiantes (7) muestra estar en vías de comprender el AE de la elipse,

debido a que dan cuenta de la condición de algunos puntos. Solo 3 de ellos muestran

comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumplen una regularidad. Los

estudiantes E24 y E25, muestran en sus ejemplos comprender la elipse en un modo AE,

aunque E25 une los puntos, mostrando dificultades para comprender la distancia discreta.

Los estudiantes E23 y E26 muestran estar en vías de comprender el modo AE de la elipse,

ambos establecen algunos puntos para los cuales se cumple una condición, pero no

consideran, la existencia de más puntos que verifiquen la característica dada.

Figura 123: Respuesta del estudiante 23 y del estudiante 24



144

En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”.

8 de los estudiantes muestran en sus definiciones argumentos AE de la elipse, 4 de ellos

muestran en sus respuestas comprender la elipse como un lugar geométrico. Los otros 4

tienen dificultades para identificar el conjunto de puntos, solo escriben la condición de los

puntos en relación a los focos. 2 de los estudiantes se sitúan en un modo SG para responder

describen características “observables” de la elipse. A continuación se presentan ejemplos

de respuestas:

El estudiante E25 presenta en la definición elementos del modo SG de la elipse cuando

escribe “es una figura en torno a un punto o más, la condición que deben cumplir es la

reflexión entre ellos”. También muestra otros argumentos que pueden corresponder a un

modo AE, este es “la suma de la distancia sea igual para todos los puntos que componen

la elipse”, pero no enuncia en relación a que elementos la suma de las distancias son

iguales, por lo que el argumento no es suficiente para mostrar la comprensión en el modo

AE. Este estudiante muestra elementos de ambos modos pero no logra establecer una

definición de la elipse como lugar geométrico.


El estudiante E28 muestra en la definición, comprender el modo analítico – estructural de

la elipse, esto se evidencia cuando escribe “ es un conjuntos de puntos que cumple la

condición de que las sumas de sus distancias con F y F’ siempre será la misma”,

entendiendo que las actividades anteriores F y F’ eran los focos de la elipse.



145

El estudiante E27 al igual que E28, se sitúa en un modo analítico – estructural para definir

la elipse, escribiendo “la elipse son puntos que se encuentran a una cierta distancia de 2

focos y la suma de la distancia de cualquier punto hasta F y F’ tiene que ser igual a todos

los puntos”.


En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en

“Geocity”.

Esta pregunta resume las conexiones entre los modos SG y AE de la elipse en “Geocity”.

8 de los estudiantes logran discriminar cuales de las figuras corresponden a elipses y cuales

no. Para ello se sitúan en un modo AE para responder. 2 de los estudiantes prueban solo

para algunos puntos de la elipse. A continuación se muestran algunos ejemplos:


146

El estudiante E22 se sitúa en un modo analítico – estructural, probando para algunos

puntos de la figura 6 concluye que no es una elipse, argumentando que “la suma de un

punto con los focos dan diferente a las variantes “. y en la figura 7 , concluye que es una

elipse , justificando que “al sumar todas dan el mismo resultado que es 4 ” . En ambas

respuestas complementa con ejemplos de suma de distancia a los focos de algunos

puntos.


El estudiante E25 , se situa en un modo analitico – estructural , en la figura 6 , se da cuenta

de que la suma de las distancias a los focos de algunos puntos es 3 y en otros es 5.

argumenta que : “ no todos los puntos cumplen la condición de tener en comun la misma

distancia con F y F’ “ . es importante destacar que el estudiante da caracteristicas

geometricas de la figura , cuando escribe “todos los puntos se reflejan” , caracteristica que


147

considera insuficiente para concluir. En la figura 7 , muestra argumentos del modo AE ,

cuando determina la suma de las distancias de los puntos a los focos, obteniendo 4 en todos

en los puntos.


El estudiante 26, muestra en sus argumentos estar en vías de comprensión de un modo

analítico – estructural de la elipse, en este caso considera suficientes probar algunos

puntos para determinar si las figuras son elipses o no.



148


Las preguntas 1,2 y 3 propician el tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el

plano cartesiano.

En las pregunta 1) Las figuras 8, figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de



de la elipse.

Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, 4 de ellos establecen la

constante de la elipse en forma correcta en cada una de las figuras. Los otros 5 estudiantes

establecen la constante solo en algunas de las figuras, las dificultades que presentan los

informantes están relacionadas con el cálculo de la distancia, ya sea, en el uso de la

fórmula o en las expresiones que resultan como raíces.

El estudiante 21, muestra en sus argumentos elementos del modo analítico – estructural

cuando escribe “la suma de las distancias que hay entre un punto exacto de la línea x y

entre los focos es 10” , además evidencia que el valor de la constante es igual al doble

producto de la distancia entre el vértice menor y un foco.



149

El estudiante 29, se sitúa en un modo AE, argumentando que “el total de A y el total de B

es el mismo “. No muestra procedimientos para determinar la distancia.


El estudiante E25, argumenta desde un modo AE, determinando las distancias de los

puntos exactos a los que llama A, B,C y D. Utiliza el teorema de Pitágoras, y concluye “la

suma de las distancias para cualquier punto exacto en la elipse hasta F y F’ y siempre es

√ +√ ”.



150

El estudiante 28, muestra en su desarrollo evidencias del tránsito de SG a AE, eligiendo

algunos puntos de coordenadas exactas determina las distancias de estos puntos a los

focos a través del teorema de Pitágoras.


En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 6 de los

estudiantes se sitúan en un modo AE para dar la definición, 4 de ellos muestran en sus

argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos tal que la suma de las

distancias de los puntos a los focos es constante. 2 de ellos definen la elipse en función de

la constante. Los demás estudiantes (3) definen características “observables” relativas a la

forma o a la simetría de los puntos. En los argumentos de un estudiante no muestra en que

modo se sitúa para responder. A continuación se dan ejemplos de respuestas:

El estudiante E20, en su definición, al parecer piensa la elipse como puntos en el plano

cartesiano que tiene relación con focos , pero no podemos determinar si se sitúa en un

modo AE o SG, por que, no explica de que tipo es la “relación” a la que hace alusión.

Figura 135 : respuestas del estudiante 20


151

En la definición del estudiante E21 predomina un modo SG, cuando escribe “es una figura

que puede ser circular ovalada “, aunque explica que existe una “regularidad o tendrán

una relación respecto a los focos”, en ello no profundiza. Aunque puede estar en vías de

comprensión del modo AE.


El estudiante E21, muestra en su definición evidencias de la comprensión de un modo AE ,

cuando dice “ la regularidad que hay en la elipse en el plano cartesiano es que la suma de

la distancia A hasta F y A hasta F’ deben ser iguales a todos los otros puntos que se

plantean”.


En la pregunta 3 En la Figura 12, determine la medida del eje mayor (AB) de la elipse

de focos F y F’.

Figura 12


152

Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, realizaran la suma de

(9+7) obteniendo 16 cm y luego lo relacionan con la medida de AB, obteniendo AB es

16 cm. Uno de los estudiantes se sitúa en un modo SG, tratando de estimar la medida de

AB. A continuación se analizan algunas de las respuestas

El estudiante E28, muestra en sus desarrollos elementos claros de un modo AE de la elipse

cuando escribe “Para determinar la medida del eje mayor de la elipse, se debe sumar las

distancias de P a F´y las de P a F”. Además complemente con un dibujo donde se observa

el razonamiento utilizado.


El estudiante E27, también se sitúa en un modo AE, explicando que P, A y B son puntos

de la elipse, por lo tanto, la suma de las distancias de los puntos a los focos es 16 cm.


El estudiante E23, se situa en un modo AE , esto se evidencia en su argumentos cuando

escribe “ en una elipse se cumple que desde cualquier punto a los focos la distancia sera

la misma ” , aunque no redacta sobre la suma de las distancias , escribe en sus desarrollos

por lo que concluimos que estan pensando en ese modo.


153


La pregunta 4 Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca

una ecuación que defina la elipse .

Figura 13

Propicia el tránsito entre los modos SG – AE – AA de la elipse en el plano, queremos

indagar si los estudiantes son capaces de establecer una expresión analítica para todos los


La mayoría de los estudiantes (6) logran establecer una expresión a partir de la definición

como lugar geométrico. Estos estudiantes conectan los modos SG- AE. Solo uno de ellos

logra establecer una ecuación para los puntos de la elipse. Tres de los estudiantes se sitúan

en un modo SG para responder. A continuación se presentan alguna de las respuestas:

El estudiante E22, muestra evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la elipse,

cuando establece una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, “

”.


154


El estudiante E24, también determina una expresión, esta es ”, donde es la

distancia de la elipse. Situándose en un modo AE.


El estudiante E21, escribe la expresión , que es valida para esta

elipse. Este estudiante muestra elementos de un modo AE, tratando de encontrar alguna

regularidad para escribir una ecuación. Determinando una expresión que se cumple para la

elipse de la figura 13.



155

El estudiante 23 muestra evidencias del transito SG- AE- AA de la elipse en el plano,

logrando establecer una expresión en el modo AE, que luego la reemplaza por elementos

del modo AA (fórmula de distancia entre dos puntos del plano). Aunque la expresión

encontrada no esta escrita en forma ordenada y no aparece el valor de la constante,

consideramos que el estudiante comprende el AA de la elipse.



156


En la pregunta 1) Determine si la ecuación corresponde a una elipse

en el plano cartesiano. Justifique su respuesta. Evidencia los tránsitos entre los modos

AA- SG de la elipse del plano.

Todos los estudiantes muestran elementos de un modo SG de la elipse, tratando de

graficar, para ello obtienen algunos puntos reemplazando en la ecuación, la mayoría (7)

dibuja solo algunos puntos de la elipse. Solo 3 de ellos unen los puntos y justifican que es

una elipse por la figura que se forma. Las dificultades que se presentan están relacionadas

con el cálculo algebraico utilizado para determinar los puntos de la elipse.

El estudiante E20, determina dos puntos de la elipse, para ello utiliza argumentos

algebraicos, entre ellos el concepto de conjunto solución de una ecuación. Muestra estar en

vías del tránsito de AA- SG, pero al parecer las dificultades algebraicas no lo permiten.


El estudiante E23, evalúa dos puntos en la ecuación, cuando x= 3, obtiene valores

negativos para . Luego prueba con x=-1 encontrando dos valores para y. Ubica los

puntos en el plano, concluyendo que es posible que sea una elipse. El estudiante muestra

estar en vías de transitar entre los modos AA y SG, utilizando el concepto de conjunto

solución de una ecuación y desarrollos algebraicos. Consideramos que son estos

procedimientos algebraicos los que dificultan la conexión entre estos modos.



157

En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses

de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a

elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles?

Figura 14 Figura 15

En ambas preguntas la mayoría de los estudiantes justifica desde un modo Analítico

estructural, como se muestra a continuación. Solo 2 de ellos en ambas figuras se sitúan en

un modo SG para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas:

El estudiante E27, establece conexiones entre los modos SG y AE de la elipse, esto se

evidencia en los siguientes argumentos “si la distancia de A a B es igual a la distancia de

un punto cualquiera hasta F mas la distancia de ese mismo punto hasta F’, es porque es

una elipse” también establece características geométricas, cuando escribe “dividiría el

plano en cuatro partes desde el centro y si las cuatro son iguales”. El estudiante se da

cuenta que las características geométricas no son suficientes para justificar que la figura 15

es una elipse.



158

El estudiante E20, se sitúa en un modo AE cuando explica que “ corresponde a una elipse

ya que entre los puntos (5,6) y (8,-1) tienen la misma medida o la misma constante, con

respecto a los focos F y F’ ”. Este argumento también se ve reflejado en los segmentos que

traza (ver Figura 148).


En las siguientes preguntas 3, 4, 5 y 6 de la actividad buscamos evidenciar si es posible

que los estudiantes de este nivel comprendan de la elipse en modos SG2 y AE en el

espacio.

Las preguntas 3 y 4 , 3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un

cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y

figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. 4)

Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse

con el cono. Muestran el tránsito entre los modos SG1 y SG2 de la elipse, del plano al

espacio.

En la pregunta 3, solo dos de los estudiantes muestran posiciones correctas de los planos.

La mayoría de los estudiantes (9) establecen algunas posiciones correctas de los planos,

teniendo dificultades para determinar todas las condiciones de la intersección entre el cono

y un plano para que forme una elipse. La mayoría de los estudiantes dibuja planos

paralelos a la base como uno de los casos. A continuación se muestran ejemplos de

respuesta.

El estudiante E25, dibuja planos paralelos a las bases e incluso planos paralelos que pasan

por el vértice del cono. Este estudiante presenta dificultades en la comprensión del modo

SG de la elipse en el espacio.


159

Figura 149:Respuesta del estudiante 25

El estudiante E21, dibuja dos planos que generan una elipse y un plano paralelo a la base.

Muestra evidencia de estar en vías de comprender el modo SG de la elipse en el espacio.


El estudiante E22, establece posiciones correctas de los planos, muestra evidencias del

tránsito entre los modos SG1 a SG2.


En la pregunta 5, el estudiante E20, explica que “para formar una elipse se puede de

cualquier forma, pero menos de forma vertical”, en este argumento se evidencia parte del

modo SG2 al analizar solo algunas condiciones de los planos.


160


El estudiante E25, no logra conectar los modos SG1 en el plano y SG2 en el espacio de la

elipse, esto se evidencia cuando escribe “el plano debe ir de manera que muestre el interior

de la figura”


En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el

espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos

de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente



La mayoría de los estudiantes(7) se sitúa en un modo SG2 para responder que la figura

formada corresponde a una elipse por la inclinación del plano, 2 de ellos muestran en sus

argumentos elementos del AE de la elipse en el plano, pero estos argumentos no logran

interactuar con el modo SG2 para justificar en AE. A continuación presentan algunas de

las respuestas de los estudiantes


161

El estudiante E22, muestra en su argumento elementos de los modos: sintético – geométrico

en el espacio aunque con algunas imprecisiones en el lenguaje, cuando se refiere a

“perpendicular”. Pero al observar las respuestas dadas en la pregunta 3(Figura 151) nos

damos cuenta de que dibuja posiciones correctas de los planos. También muestra

elementos del modo analítico – estructural en el plano, cuando escribe “la figura que se

forma al ser cortada es una elipse porque cada punto de la figura tiene relación con los

focos, además siempre tienen constantes”. Los argumentos dados no son suficientes para

conectar los modos SG2 y AE de la elipse en el espacio.


El estudiante E28, muestra elementos del modo analítico estructural de la elipse, cuando

escribe “al poner un punto cualquiera de la figura y calculamos la distancia a los dos

focos y las sumamos, en todos los puntos de la figura dará el mismo resultado” pero no

logra conectar este modo con el modo SG2 en el espacio, es decir, no muestra

justificaciones a partir de las esferas inscritas en el cono.



162

La pregunta 6, Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es

único? ¿Por qué? Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo SG2 para responder,

solo dos de ellos responde en forma correcta.

El estudiante E25, prioriza un modo SG para argumentar sobre la existencia de otros conos

que puedan generar la misma elipse, cuando dice que debe reunir características como

“circunferencias en su interior” “al pasar el plano inclinado formar una elipse “.

También muestra parte del modo AE cuando escribe “la elipse tenga una distancia entre

los focos y un punto de referencia, la distancia no cambie, aunque se mueva para cualquier

lado la distancia debe ser la misma “.


El estudiante E27 justifica desde un modo SG, explicando que “cada cono formará elipses

distintas”. Consideramos que solo piensa en los tamaños de los conos y no en la posición

de los planos respecto a él.



163


La mayoría de los estudiantes de este grupo muestra en sus argumentos evidencias de la

comprensión de un modo analítico- estructural, consideramos que la actividad 1 presentada

en la geometría del taxista entrega importantes beneficios en la comprensión del modo AE

a partir de un modo sintético geométrico de la elipse. Los elementos de la geometría del

taxista (distancia discreta, puntos como “esquinas”) facilitan el tránsito entre estos modos.

Lo descrito en el párrafo anterior, se ve reflejado en las conexiones que establecen los

estudiantes en los modos SG y AE en el plano cartesiano, cuando a partir de la propiedad

de la elipse comprendida en la actividad 1 buscan las mismas regularidades , utilizando

elementos de la geometría analítica , como , la distancia entre dos puntos del plano. Este

grupo utiliza mayoritariamente el teorema de Pitágoras para el cálculo de las distancias.

A diferencia del grupo anterior no realizan todos los cálculos de las distancias usando un

método, solo los necesarios. Consideramos que este grupo utiliza menos “cálculos

algorítmicos” que el grupo anterior, Obteniendo resultados similares en estos tránsitos.

En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, los estudiantes de este grupo

presentan dificultades para obtener una ecuación para la elipse, si bien la mayoría

determina una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, lo hacen desde

un modo AE. Consideramos que esta dificultad sucede por que los estudiantes no están

apropiados de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, aunque la conocen, la

mayoría no la utiliza. Por lo que, se quedan sin herramientas al momento de establecer una

ecuación.

En el tránsito entre los modos AA y SG, también presentan algunas dificultades. Ellos

muestran evidencias de comprensión del concepto conjunto solución de una ecuación, esto

se refleja cuando tratan de buscar puntos que satisfagan la ecuación dada, presentándose las

dificultades en el desarrollo algebraico que esto requiere, debido a que son ecuaciones de

segundo grado, las cuales las desconocen. Aun así algunos de ellos logran determinar

algunos puntos y concluir que es una elipse por la figura que se forma.

Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio,

este grupo de estudiantes tienen problemas al momento de dibujar o describir las

posiciones de los planos al intersectar a un cono. La mayoría muestra elementos del modo

SG2 pero no analizan para todos los casos. Los estudiantes no logran conectar los modos

SG2 y AE, aunque en las actividades anteriores (1 y 2) muestran evidencias de la

comprensión de un modo AE de la elipse en el plano. Puede ser que los elementos que se

presentan en el tránsito, me refiero a las esferas inscritas en el cono, teorema de las

tangentes. Sean distantes en relación a los métodos de justificación que utilizaron en las

demás actividades.


164

CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO

MEDIO) .

Este grupo esta compuesto por 11 estudiantes entre 16 y 17 años cursan tercer año medio.

Llamaremos a estos estudiantes E30, E31, E32, E33………E40.

Estos estudiantes tienen conocimientos previos de la ecuación de recta y distancia entre

dos puntos del plano. Son estudiantes de la asignatura álgebra y modelos analíticos

correspondiente al plan científico, que es donde se tratan los lugares geométricos, entre

ellos la elipse. Ellos no habían iniciado el estudio de estos temas, cuando fue aplicado el

instrumento.

Aplicamos el cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento

para iniciar a los estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos

mayoritariamente en la tránsitos de SG – AE en el la geometría del taxista y SG – AE -

AA en el plano. Aunque se aplica el diseño completo para ver cuáles son las conexiones

factibles entre los modos de pensar la elipse en este caso.

Análisis a posteriori de la actividad 1

Dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos planteados, como se

describe a continuación:

Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo familiarizar a los

estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Podemos evidenciar en

las preguntas a y b, que todos los estudiantes muestran en sus argumentos comprender la

distancia como el camino más cortos entre dos esquinas. Ellos se sitúan en un modo un SG

para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas



165


El estudiante E31 y E33, muestra algunos de los posibles recorridos que realiza el taxista,

en cambio el estudiante E40 dibuja todos los recorridos desde A a B, todos muestran en sus

argumentos comprender la distancia discreta, concluyendo que esta distancia es cinco

cuadras.

En las preguntas c y d, donde se les pide a los estudiante que grafiquen circunferencia, dada

la definición. La mayoría de los estudiantes (8) logra graficar la circunferencia utilizando

la métrica discreta, es decir, establecen conexiones entre los modos AE y SG de la

circunferencia. Solo 3 de ellos dibujan la circunferencia con las métricas usuales o bien

ambas. A continuación se presentan algunos ejemplos


En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”.

Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen



166

Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la

elipse, estableciendo en cada una de las figuras la siguiente condición : la suma de las

distancias de todos los puntos de la elipse a los focos es constante. A continuación se

muestran algunos ejemplos de respuestas.

El estudiante E36, determina las distancia en cuadras de F y F’ a todos los puntos de la

elipse. E36 Observa regularidades de las distancias, relativas a la simetría, cuando escribe

“ los puntos cercanos a el foco F tienen la misma distancia que los puntos cercanos al foco

F’ ”. Finalmente concluye que: “la suma de las dos distancias de los focos siempre es 8”.



167

El estudiante E35 , al igual que E36 establece las distancias de cada uno de los puntos a los

focos F y F’ , concluyendo que “ la distancia al sumarla siempre sera 6 en los puntos “ .

Figura 162: Respuesta del estudiante E35

El estudiante E40, elige algunos puntos a los que llama A, B, C, determinando las

distancias de los puntos a F y F’, para concluir que “ la suma de las cuadras recorridas de

cualquier punto a F y F’ es 6”


En la pregunta f) Muestra un ejemplo distinto a los anteriores de elipses en “Geocity”. 7

de los estudiantes dan ejemplos de elipse desde un modo AE, los otros 4 están en vías de

comprender el modo AE, por lo que, dibujan solo algunos puntos que cumplen la

condición. a continuación se muestran dos ejemplos de respuestas : El estudiante E34

establece todos los puntos que cumplen la condición dada, en cambio el estudiante E38

no muestra la totalidad de los puntos que cumplen la condición.


168

Figura 164: Respuesta de los estudiantes 34 y 38

En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en “Geocity”. 5 de los estudiantes

dan definiciones en donde se evidencia un modo AE de la elipse. Los demás establecen en

la definición la condición de los puntos de la elipse, presentando dificultades al definir el

conjunto de puntos. A continuación se muestran ejemplos de respuestas:

Los estudiantes E38 y E35 solo dan cuenta de la relación de los puntos respecto a los

focos, El informante E31 en cambio argumenta que es un conjunto de puntos que cumple

una cierta característica.





169

En la pregunta h) Justifica si las figura 6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en

“Geocity”.

Consideramos que esta pregunta resume las conexiones entre los modos de pensar la elipse

en la geometría del taxista de las actividades anteriores. Debido a que el estudiante debe

tener claridad de la elipse como un conjunto de puntos que cumple una condición para

enfrentarse a la pregunta.

En este caso todos los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias de la

comprensión del modo analítico – estructural de la elipse. A continuación se presentan 2

ejemplos de respuestas.

Los estudiantes E31 y E32 comprenden la elipse como un lugar geométrico, esto queda en

evidencia cuando prueban la condición respecto a la suma de las distancias de los puntos

de la elipse a los focos para varios puntos en las figuras. Argumentando respectivamente

E31 y E32 en la figura 6, “no es una elipse, porque al sumar las cuadras no dan siempre

los mismos valores “, “no es una elipse de los focos F y F’ ya que al sumar la distancia de

un punto cualquiera con respecto al foco F con la distancia del mismo punto anterior al

foco F’ este da resultado diferentes en cuadras”, y en la figura 7 concluyen que “si es

elipse , porque al sumar las cuadras siempre va a dar 4 cuadras y no otro valor “, “si es

una elipse de focos F y F’ , ya que al sumar la distancia de un punto cualquiera con

respecto al foco F y la distancia del mismo punto anterior con respecto al foco F’ esta

suma será de cuatro cuadras “.

Figura 168: Respuesta de los estudiantes 32 y 31


170


La actividad 2 evidencia los tránsitos entre los modos SG-AE-AA de la elipse en el plano.

En la pregunta 1) Las figuras 8, figura 9, figura 10 y Figura 11 representan elipses de



de la elipse.

Todos los estudiantes logran conexiones entre los modos SG y AE de la elipse,

estableciendo las distancias de los puntos de coordenadas exactas a los focos , para ello

utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. 9 de ellos establecen

correctamente el valor de la constante en todas las figuras y los demás(2) determina el

valor de la constante en alguna de ellas. a continuacion se presentan algunos ejemplos :

El estudiante E40 , determina las distancias de los vertices de la elipse a los focos

,utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, concluye que “ la suma de

la distancia entre los focos es igual para todos los puntos de la elipse”.



171

El estudiante E31 , determina las distancias de los vertices de coordenadas (2,0) y (-2,0) a

los focos ,concluyendo que “ al sumar las distancias con respecto a los focos F y F’ con un

punto exacto de la elipse en el plano cartesiano , este dara el mismo resultado, en este caso

4”


El estudiante 39 elige dos puntos de la elipse a los que llama A y B , luego determina las

distancias de los puntos a ambos focos ,a traves de la fórmula de distancia entre dos puntos

del plano. concluyendo que “ la caracteristica común de los puntos respecto a los focos es

√ √ ” “ la suma de los puntos es √ √ ”.



172

El estudiante E35,determina la distancia de dos puntos a los focos F y F’, utiliza la fórmula

de la distancia entre dos puntos del plano , solo en los casos que considera necesario.

concluyendo que “ la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos f y f’ es

√ ”


En la pregunta 2) Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 5 de ellos

muestran en sus definiciones comprender la elipse en un modo AE , los demas estudiantes

dan cuenta solo de la condición de los puntos en relacion a los focos, es decir , argumentan

utilizando una parte del modo AE. a continuacion se presentan algunos ejemplos de

respuestas

El estudiante E32 , muestra en sus argumentos estar en vias de la comprension del modo

AE, cuando escribe “ la distancia entre dos puntos exactos siempre va a sumar lo mismo

que con otros dos puntos.” piensa la elipse como “ una figura que posee puntos en el

plano cartesiano”. pero al parecer no logra comprender la elipse como un conjunto de

puntos que cumple una condición.



173

El estudiante E37, tambien muestra en sus justificaciones estar en vias de comprension del

modo AE de la elipse, cuando escribe “ donde los puntos exactos (paralelos) tienen igual

distancia con respecto a los focos”. aunque especifica que “es un conjunto de puntos que

tienen una semejanza común “ no se aprecia en su redacción la comprension de la

propiedad.


El estudiante E39 , muestra en su respuesta comprension del modo AE de la elipse , esto

queda en evidencia cuando escribe “ la suma de las distancias entre los puntos y los dos

focos que conforman la elipse sera la misma “.


En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB)

de focos F y F’.

Figura 12

todos los estudiantes muestran evidencias de comprender el modo AE de la elipse,

relacionan el valor de la constante de la elipse con la longitud del eje mayor.


174

El estudiante E32 , argumenta desde un modo AE de la elipse , cuando escribe “ la

distancia entre A y B será de 16 cm , porque se suma la distancia entre P yF´( 9 cm ) y P y

F ( 7 cm ) para que asi de la distnacia de A y B”. el estudiante para dar una respuesta ,

analiza que sucede en una las elipses de la pregunta 1 de esta actividad en relación al eje

mayor.


El estudiante E34 , argumenta que “ la medida de AB es de 16, ya que, la medida de F’

hacia P es de 9 cm y la medida de P hasta F es 7 , y aunque el punto P se mueva hacia

cualquier punto de la elipse va a medir lo mismo de distancia sumada entre F, el punto y

F’, ya que cuando una medida entre F y P se achica , la medida de F’ y P se agranda”.

observamos en la respuesta dada, que el estudiante entiende la elipse como un lugar

geometrico , donde P es un punto que se mueve en relacion a los focos.



175

El estudiante E40 , argumenta “ el eje mayor mide 16 cm , ya que del punto P a ambos

focos suman 16 cm . sabiendo que de cualquier punto la distancia a los focos es la misma”.

muestra en la definicion comprensión del modo analitico estructural de la elipse.


En la pregunta 4, Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca

una ecuación que defina la elipse .

Figura 13

7 de los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del transito SG – AE – AA.

Estos estudiantes para transitar del modo SG a AA muestran comprender la elipse en un

modo AE y a través de las distancias establecen la ecuación. Los demás (4) muestran

conexiones entre los modos SG y AE. A continuación se presentan algunos ejemplos

El estudiante E36 esta en vías de comprender el modo AA de la elipse, muestra en su

desarrollo comprensión de la elipse en un modo AE cuando escribe “la distancia de P y F

+ distancia de P y F´= distancia de AB”. Se da cuenta que la fórmula de distancia entre

dos puntos del plano permite escribir lo anterior de otra forma, pero no generaliza para un

punto P(x, y), sino que usa un punto de la elipse.



176

El estudiante E39 , muestra en sus desarrollo comprender la elipse en un modo analítico –

aritmético , cuando escribe las distancias de PF y PF’ a partir de la fórmula de distancia

entre dos puntos del plano para un punto P(x,y) , además explica que “ la suma de las dos

expresiones dará el resultado del punto con respecto a los focos , el cual se repetirá con

cualquier punto de la elipse , el cual será 10”


El estudiante E35 (Figura 181), muestra evidencias del tránsito SG - AE - AA, entiende la

elipse como un lugar geométrico cuando escribe “ dPF + dPF’ = 10”. A partir de la

condición anterior y la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, E35 transita a un

modo AA, esto se evidencia, cuando argumenta “ la suma de las distancias de P(x,y) a

cada uno de los focos F’(-4,0) y F(4,0) es 10” y cuando escribe la ecuación

√ √ .



177


En la pregunta 1) Determine si la ecuación corresponde a una elipse en

el plano cartesiano. Justifique su respuesta. La mayoría de los estudiantes (8) muestra

conexiones entre los modos AA- SG, obtiene la gráfica de la elipse reemplazando los

puntos en la ecuación, aunque algunos de ellos solo grafican en discreto. Los demás

estudiante (3) obtiene algunos puntos pero no los ubican en el plano, presentan

dificultades en los cálculos para determinar los puntos.

El estudiante E35, muestra en sus desarrollo evidencias del tránsito entre AA y SG,

obteniendo distintos puntos de la elipse, para ello reemplaza puntos en la ecuación, y

resuelve las ecuaciones cuadráticas que resultan. Aunque al ubicar los puntos en el plano

cartesiano no los une, igualmente concluye que “la ecuación si

corresponde a una elipse”


El estudiante E32, muestra evidencias del transito entre los modos AA y SG, para ello

completa una tabla de valores, despejando de la ecuación las variable x e y. posteriormente

ubica los puntos en el plano y justifica que “Si es una elipse, porque tiene la forma y se

parece a una elipse”.



178

En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses

de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a

elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles?

En la pregunta 2, ítem a y b, buscan evidenciar el tránsito entre los modos SG – AE. La

mayoría de los estudiantes (10 y 9 respectivamente), en ambas figuras priorizan un modo

AE para argumentar que las figuras son elipse de focos F y F’. A continuación se

presentan ejemplos de respuestas:

El estudiante E31, argumenta desde un modo AE, cuando escribe “ sacar la distancia de F

al punto C; luego determinar la distancia de el foco F’ al punto C y sumarlas; después

hago la misma operación con otro punto y comparo los resultados de la suma de las

distancias “. Aunque no escribe que las sumas de las distancias deben ser iguales,

consideramos que cuando dice “comparo los resultados” puede estar pensando en la

igualdad.


El estudiante E34, escribe dos estrategias desde un modo AE, estas son: “lo pondría en un

plano cartesiano y le daría puntos exactos para sacar mas fácilmente la medida de Fa y las

medidas de F’a y sumarlas y hacer el mismo cálculo con el punto b, cosa que den el

mismo resultado” y “ hacer un triángulo FF’A y sacar el perímetro y hacer los mismo

con un triángulo FBF’ y sacar perímetro y que tengan el mismo resultado los dos

triángulos ” .


179


Las preguntas 3 y 4 propician el tránsito entre los modos sintético-geométrico de la elipse

en el plano y en el espacio.

La mayoría de los estudiantes de este grupo en las preguntas 3 y 4 solo establecen algunas

posiciones correctas de los planos, algunos de ellos utilizan material concreto, crean un

cono de papel y a partir de ellas buscan las condiciones que debe tener un plano para que al

intersectarse con el cono genere una elipse. Aún así presentan dificultades para transitar de

SG1 a SG2. A continuación se presentan ejemplos de respuestas.

3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las

figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje


Los estudiantes E39 y E37 presentan algunas posiciones correctas de los planos, pero

ambos consideran el plano paralelo a la base como uno de los casos, al parecer no tienen

claridad que la base de un cono es circular. Ambos están en vías de comprender el modo

SG2 de la elipse en el espacio.



180


4) Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una

elipse con el cono.

El estudiante E37, muestras casos que no forman elipse, pero considera el plano paralelo a

la base como uno de los casos que si forma una elipse. E38 en cambio, comprende el modo

SG2 de la elipse, presentando mayores características de la posición del plano estas son:

“no debe ser ni vertical ni horizontal” “debe posicionarse solo en los lados del cono y su

punto limite es el punto de la base” “tiene que ser inclinado para que no forme una

circunferencia”.




181

La pregunta 5 propicia el tránsito entre los modos SG2 y AE de la elipse. Nueve de los

estudiantes muestran elementos del modo AE en el plano, pero no logran justificar en el

espacio, aunque conocen el teorema de las tangentes desde un punto exterior a la

circunferencia no lo utilizan. Los demás estudiantes justifican desde un modo SG2. A

continuación se presentan ejemplos de respuestas:

5) A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio.





Figura 190: animación de la elipse

El estudiante E32, justifica desde un modo AE de la elipse en el plano cuando escribe “si

es una elipse porque la distancia de cualquier punto de la elipse en este caso M, entre los

focos F1 y F2; la suma de estas distancias va a ser igual, que las distancias de otro punto x

de la elipse entre los focos F1 y F2”. Aunque el estudiante muestra comprender el AE de

la elipse, este no interactúa con el modo SG2, por lo tanto, las esferas inscritas en el cono

no tienen relevancia al momento de justificar.


182


El estudiante E30, justifica desde un modo SG2 cuando escribe “para que exista elipse en

un cono. el plano que lo intersecta tiene que ser inclinado” . E30 no logra conectar los

modos SG2 y AE de la elipse.


El estudiante E40, muestra elementos de los modos SG2 cuando escribe “el punto en que

choca la esfera con el plano es utilizado como foco, por lo que tiene mucha relación con la

forma de la elipse” y también presenta elementos de modo AE de la elipse cuando

escribe “si F1 y F2 se encuentran en determinadas posiciones y todos los puntos que

forman la elipse están distribuidos de acuerdo a la suma de las distancias a los focos”.

Este estudiante esta en vías de tránsito entre los modos SG2 y AE, aunque muestra

elementos de ambos modos, justifica a partir de la forma de la elipse y no de la condición

de los puntos de ella en relación a las esferas inscritas en el cono.


183


La pregunta 6, evidencia el modo que priorizan los estudiantes cuando se pregunta por la

elipse en el espacio.

6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por

qué?.

6 de los estudiantes determinan que el cono no es único depende de la posición del plano

en los conos, ellos se sitúan en SG2 para responder. Los demás responden desde un modo

SG en forma incorrecta. A continuación se presentan ejemplos de respuestas

El estudiante E40 argumenta desde un modo SG2, explicando que no es único porque “no

solo depende de la forma y tamaño del cono y de cómo intercepte al plano, sino que

también del tamaño y posición de las esferas inscritas en el cono y el punto que choquen al

plano” “no importa si el plano intercepta mas cerca o lejos del eje si el punto de

intersección del plano y las esferas pone los focos en cierta posición”



184

Los estudiantes E35 y E32 responden en forma incorrecta explicando que el cono es único,

porque “hay un único cono para cada elipse, ya que depende de la forma del cono” o bien

“otro cono con diferentes medidas va a generar otra elipse diferente”




185


En relación a los objetivos propuestos en las actividades:

La mayoría de los estudiantes de este grupo al igual que en los casos anteriores (1 y 2)

muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión de un modo analítico- estructural

en las actividad 1 y 2. Es fundamental la actividad 1 presentada en geometría del taxista

para la comprensión del modo AE a partir de un modo sintético geométrico de la elipse.

A partir de las comprensiones que logran en la actividad 1, establecen sin mayores

dificultades las mismas conexiones entre los modos SG y AE en el plano cartesiano, ellos

buscan las mismas regularidades de la actividad 1, pero con los elementos propios de la

geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano. En este tránsito los

estudiantes utilizan mayoritariamente la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. .

En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, la mayoría de los estudiante

evidencia estar en vías de la comprensión del modo AA de la elipse, para obtener la

ecuación utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. A diferencia del caso 2

este grupo logra mayores conexiones entre estos modos.

En el tránsito entre los modos AA y SG, muestran evidencias del tránsito a través de

elementos analíticos como son: comprensión del concepto conjunto solución de una

ecuación, desarrollo de ecuaciones de segundo grado. La mayoría busca puntos que

satisfagan la ecuación dada, luego los grafican en el plano concluyendo en relación a la

figura que se forma.

La mayoría de los estudiantes de este caso, muestran evidencias de los tránsitos entre SG-

AE - AA y la comprensión de estos modos en el plano cartesiano. Las dificultades que

se presentaron corresponden a desarrollos algorítmicos en su mayoría de fórmulas o

ecuaciones de segundo grado.

Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio,

este grupo al igual que el grupo anterior presenta dificultades al momento de dibujar o

describir las posiciones de los planos que al intersectar a un cono forme una elipse. La

mayoría muestra elementos del modo SG2 pero no analizan para todos los casos. En

relación a las conexiones entre los modos SG2 y AE, los estudiantes presentan elementos

de ambos modos pero no logran que ellos interactúen, las esferas inscritas en el cono, solo

son vistas desde un modo SG2, ningún estudiante logra relacionarlas con el modo AE de la

elipse, aunque tienen conocimiento previos relacionados con los teoremas de las

circunferencias. Creemos que esto se debe principalmente a que las justificaciones de las

actividades anteriores entregaban un valor numérico, en cambio en esta actividad necesitan

generalizar a partir de los teoremas en juego.


186

CAPÍTULO VIII:

CONCLUSIONES


187

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A partir con los resultados obtenidos en nuestra investigación, en los estudios de los casos

1 ,2 y 3, entregamos un conjunto de sugerencias didácticas para el aprendizaje del

concepto elipse en estudiantes de 15 a 17 años.

Iniciar con actividades donde los estudiantes transiten entre los modos SG-AE, sugerimos

para los aprendices las actividades presentadas en la geometría del taxista (actividad 1 del

cuestionario), ya que, nos entregan importantes beneficios en la comprensión del modo AE

a partir de un modo SG de la elipse. Los elementos de esta geometría (distancia discreta,

puntos como “esquinas”) facilitan la comprensión de la propiedad que la define como lugar

geométrico “la suma de las distancias de un punto de la elipse a ambos focos es siempre

constante”, además permite probar que ésta se cumple para todos los puntos de la elipse,

situación que no es evidente en la geometría euclidiana. Nuestra atención en las actividades

presentadas se centran en el modo AE de la elipse, sin desconocer que estas actividades

entregan importantes hallazgos respecto a características geométricas de la elipse, como es

el caso de la simetría, en donde algunos de los estudiantes se dan cuenta que no es un

criterio suficiente para determinar si las figuras presentadas son elipses o no (Actividad 1,

pregunta h).

Otras de las ganancias, que permite el trabajo con la geometría del taxista, es que se puede

trabajar distintas posiciones de los focos de la elipse, lo cual no es un problema al momento

de determinar la constante de la elipse. Situación que no es usual en el enfoque tradicional

por la complejidad de las ecuaciones que las definen.

Sugerimos además proponer otras actividades que promueven la comprensión del

concepto como lugar geométrico, situaciones donde se les solicite a los aprendices

graficar elipses en “ Geocity ” conociendo el(los) valor(es) de la constante y la distancia

entre los focos, considerando que es una ciudad con una cantidad finita de calles y

avenidas. Seria interesante que evidencien cuales se pueden construir y cuales no, y que

puedan determinar las condiciones mínimas de existencia, por ejemplo:

Sea “F “la intersección de calle 8 con avenida 10, y “F’ ” la intersección de calle

8 con avenida 14. Grafique las “elipses” de focos “F” y “F’ ”, para cada uno de

los siguientes valores de la constante de la elipse (d) “d”: 3; 4;5;6;7;8 ¿existen

todas ellas? ¿Qué forma tienen?

Evidenciamos que los estudiantes que comprenden la elipse en el modo AE, presentan

mayores posibilidades de alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto

ayuda en la conexión con los otros modos SG y AA de la elipse.


188

Una vez comprendido el modo AE de la elipse en la geometría del taxista, los aprendices

pueden establecer las conexiones entre los modos SG-AE en el plano cartesiano, con los

elementos propios de la geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano.

Es interesante presentar distintas elipses en el plano, no solo aquellas centradas en el

origen que son en las que se propone en el enfoque tradicional.

Cuando los estudiantes se enfrentan a tareas donde deben situarse en un modo AE para

responder, proponemos trabajar en el valor de la constante, relacionándolo con la distancia

entre los vértices del eje mayor de la elipse. (Actividad 2, pregunta 3).

Una vez comprendido el modo AE en el plano cartesiano, se puede propiciar el tránsito al

modo AA de la elipse, estableciendo las relaciones entre sus elementos a, b y c

(semidistancia del eje mayor, semidistancia del eje menor, semidistancia del eje focal

respectivamente), cobrando así sentido la expresión . Se puede proponer que

establezcan una expresión entre los puntos de la elipse y los focos en un modo AE, y

utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, pueden determinar una

ecuación para la elipse. Es importante destacar que algunos de los estudiantes de los casos 2

y 3 presentaron dificultades en este tránsito, por lo tanto, se sugiere realizar un trabajo

previo en el concepto de distancia entre dos puntos del plano.

Para la comprensión del modo AA de la elipse, sugerimos presentar a los estudiantes

situaciones como: donde el alumno deba explicar por qué tal punto (par) es solución de la

ecuación o por qué tal punto (par) no lo es, donde grafique la elipse dada la ecuación,

donde obtenga la ecuación a partir de las gráficas. Este tipo de actividades promueve que

los estudiantes comprendan la elipse como “Un conjunto de puntos del plano que satisface

una ecuación”, para que se realice con éxito esta conexión, es importante el concepto de

conjunto solución de una ecuación por parte de los estudiantes.

Posteriormente se pueden introducir situaciones donde los estudiantes complementen los

modos SG, AA y AE de la elipse.

Consideramos pertinente que los estudiantes de este nivel comprendan la elipse como una

sección cónica desde un modo SG, como la intersección de un cono y un plano. Con

respecto al tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el espacio (actividad 3,

preguntas 5 y 6), en base a los resultados de esta investigación, consideramos que no es

viable para estudiantes que se inician en el estudio del concepto, ya que, nuestros casos 2 y

3 presentaron grandes dificultades para comprender la interacción de estos modos en el

espacio, aunque la mayoría de ellos comprende el modo AE de la elipse en el plano. Puede

ser que los contenidos matemáticos y los procedimientos necesarios para dar una respuesta

no están al alcance de estudiantes en estos niveles.

Pero si, imaginamos que estas actividades (actividad 3, ítem 5 y 6) se pueden trabajar al

finalizar el estudio del concepto elipse, muestra de ellos, son los resultados del caso 1, en


189

donde la mayoría justifica el modo AE de la elipse utilizando técnicas sintéticas, como,

propiedades de las esferas inscritas en el cono, teorema de las tangentes a la circunferencia,

entre otras.

En los niveles posteriores, se pueden complementar los modos SG y AE de la elipse en el

espacio, con el modo AA, que esta dado por el sistema de ecuaciones que se forma a partir

de las ecuaciones del cono y del plano.

CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES

Al inicio de nuestra investigación nos planteamos las siguientes interrogantes

¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que promueve

alcanzar una comprensión profunda de éste?

¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del

concepto elipse? ¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas u

obedecen a estructuras matemáticas?

En relación a la primera interrogante, evidenciamos que los estudiantes que comprenden

la elipse como un lugar geométrico (modo AE), presentan mayores posibilidades de

alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto ayuda en la interacción

con los otros modos SG y AA de la elipse en el plano. Desde los resultados de

investigación argumentamos que la conexión entre los modos SG- AE en la geometría del

taxista y SG-AE-AA en el plano cartesiano contribuyen a la comprensión del concepto

elipse. Al inicio de la investigación planteamos dos modos SG de la elipse uno en el plano

y otro en el espacio. Consideramos pertinente en la enseñanza del concepto, en un

principio trabajar en los distintos enfoques de la elipse en el plano. Para luego propiciar los

modos de comprender la elipse en el espacio.

En relación a las otras interrogantes, planteamos que los elementos de la matemática que

promueven el tránsito entre los modos de comprender la elipse en el plano cartesiano en

estudiantes que se inician en el estudio, obedecen principalmente a estructuras, como se

explica a continuación: Para transitar de SG a AE, se requiere de la comprensión de la

definición de elipse como lugar geométrico (o descubrir su definición a través de la

observación de regularidades ) y el concepto de distancia entre dos puntos del plano. Desde

AA - SG necesitamos del concepto de conjunto solución de una ecuación en el plano y

desarrollo algorítmicos de las ecuaciones de segundo grado. Desde AE – AA requerimos

del concepto de distancia entre dos puntos del plano, ya sea, la fórmula analítica que la

define o bien el teorema de Pitágoras. Desde AA - AE necesitamos elementos de SG y

AE para establecer la constante y poder definir la elipse como un conjunto de puntos que


190

cumplen una condición. Desde AE-SG, hay distintos elementos que los conectan, puede ser

la ecuación que la define, o bien utilizando la definición como lugar geométrico y el

concepto de distancia. y desde SG - AA requerimos de la definición formal del concepto ,

en caso de que se desconozcan las ecuaciones.

Enfatizamos que en la mayoría de las conexiones entre los modos de comprender la elipse,

hay elementos que obedecen a la definición formal del concepto como son: el conjunto

solución de una ecuación, el concepto de distancia, el concepto de elipse como lugar

geométrico. Y también hay elementos en su mayoría analíticos que ayudan en la

interacción: fórmula de distancia, desarrollos algorítmicos de las ecuaciones cuadráticas,

cálculo de raíces cuadradas, entre otros.

A partir de los resultados obtenidos en el caso 1 donde los estudiantes realizan con éxito

las conexiones de los modos SG y AE en el espacio, evidenciamos que los elementos de la

matemática que propician esta conexión tienen características geométricas, y los

procedimientos de justificación requieren de un mayor nivel de abstracción.

En relación a los modos de comprender la elipse, hacemos énfasis que si bien los tres

modos son igualmente importantes para la comprensión del concepto. Una vez

comprendido, el modo analítico – estructural es el que se conserva cuando trabajamos en

otros ámbitos, por ejemplo, otras geometrías o la física.

Para finalizar queremos enfatizar que las evidencias con sustento teórico, proporcionadas

de los resultados de la investigación, contribuyen al desarrollo de la teoría de los modos de

pensamiento en otros ámbitos, un tanto distante del álgebra lineal, como por ejemplo, en el

estudio de las secciones cónicas u otros temas relativos al cálculo; sin descuidar los

elementos principales de la teoría.


191

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193

ANEXOS


194

ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA

ELIPSE EN LIBROS DE CÁLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIÓN

SUPERIOR

A continuación se describe la presentación de la elipse en libros utilizados en la enseñanza

superior en la asignatura de: Cálculo, estas descripciones nos enfocaremos en la estructura

de presentación del tema, y a los elementos que se priorizan en ella.

Trigonometría y geometría analítica (2001) de Arenas, F; Masjuán,G ; y Villanueva,F

. Ediciones Universidad Católica de Chile. (pág 571- 653)

La elipse, aparece en el capítulo XII, las cónicas. Como se describe a continuación:

El capítulo se inicia con una breve introducción historia del concepto, luego explica que las

secciones cónicas se producen al intersecar una superficie cónica circular recta por medio

de planos. Luego demuestra que una curva de intersección entre un cono y un plano una

sección que tiene a por focos y a , respectivamente, como directrices

correspondientes. Se apoya en la siguiente figura:

A partir de relaciones geométricas y razonen trigonométricas deduce que toda intersección

de un plano y el cono es una cónica, determinada por una constante positiva, denominada

excentricidad.

Luego “denomina elipse al lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos F y F’ (conocidos como focos) es constante” (577).

Mediante desarrollo algebraico obtiene la ecuación canónica de la elipse

,

describe también los elementos de la elipse y da fórmula para la longitud el lado recto.

Se dan a conocer también la ecuación

+

que presenta la elipse cuando

los ejes mayor y menor de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro es C

(h; k). Complementa con la ecuación paramétrica de la elipse

{

[ [

En otra sección precedente a la anterior , a la que llama, Ecuación directriz, foco,

excentricidad, propone una definición para las cónicas a partir de la excentricidad: “Dados

un punto fijos F,F’ llamado foco, una recta fija d, conocida como directriz y un número


195

real positivo e, denominado excentricidad, se llama cónica al lugar geométrico de los

puntos del plano cuyo cuociente entre sus distancias a F y a d es “ (p586) , obteniendo a

través de métodos algebraicos la ecuación : ( apoyado

en la figura adjunta)

Propone para la elipse, un desarrollo algebraico cuando

Finalmente presenta la ecuación general de segundo grado

Realizando un análisis para determinar el tipo de lugar geométrico que representa en el

plano esta ecuación, para ellos, considera sus dos partes: parte cuadrática y la parte lineal y

la variación de los parámetros.

En el libro descrito anteriormente, podemos identificar que entre las definiciones de una

elipse como sección cónica, lugar geométrico y a partir de las ecuaciones que la describen,

existen elementos matemáticos que las conectan, combinando técnicas sintéticas y

algebraicas.

Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James

Stewart editorial: Cengage Learning Editores.

La elipse se trata en el capítulo X, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares,

Particularmente en secciones cónicas, se muestran la intersección del plano y un cono

cuando genera una elipse. Luego se define la elipse como un conjunto de puntos, donde la

suma de sus distancias de dos puntos fijos es una constante. A través de la definición con

procedimientos algebraicos obtiene la ecuación cartesiana de la elipse.

luego se la definición de elipse , como conjunto de puntos relacionados a partir de la

excentricidad , y partiendo de la definición por medio de herramientas algebraicas

establecidas por las relaciones geométricas dadas , obtiene las siguientes ecuaciones

polares:

“Una ecuación polar de la forma

o bien

representa una

sección cónica con excentricidad . La cónica es una elipse si , una parábola , o

una hipérbola si ” (p.666)

Finalmente se relaciona la ecuación polar de la elipse con la primera ley de Kepler “un

planeta gira alrededor del Sol en orbita elíptica con el Sol en un foco “para determinar


196

cálculos astronómicos, a partir de la elipse, donde los vértices corresponden a perihelio y

afelio13

Determinando la distancia al perihelio de un planeta al sol es y la distancia al

afelio es .

El foco del libro se centra en la obtención de las ecuaciones cartesianas y polares, y en la

importancia de estas últimas (definidas a partir de la excentricidad) tienen para tratar temas

de astronomía.

El cálculo séptima edición, Louis Leithold (1998) editorial: Orfoxd university

press-harla. México

Nuestro objeto de estudio, aparece en el Capítulo IX: Ecuaciones paramétricas, curvas

planas y gráficas polares en la sección titulada tratamiento unificado de las secciones

cónicas y ecuaciones polares de las cónicas.

Se definen las secciones cónicas, como el lugar geométrico que cumple una propiedad

común, dada por la excentricidad. Para la elipse la excentricidad varía entre 0 y 1.

A partir de la definición dada se obtienen las ecuaciones cartesianas y polares de las

secciones cónicas, por medio de desarrollos algebraicos determinados por las propiedades

geométricas involucradas.

Para la elipse se encuentran las siguientes ecuaciones:

a) Ecuación Cartesiana :

, con , los focos son

F , las ecuaciones de la directriz:

.

b) Ecuaciones Polares :

Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es

perpendicular al eje polar, entonces una ecuación es:

;

Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es paralela al

eje polar, entonces una ecuación es:

;

13

Las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más cercanas a éste, se denominan Perihelio y

afelio. (Stewart, 2008)


197

Los números son respectivamente, la excentricidad y la distancia no dirigida

entre el foco y la directriz correspondiente de una cónica

En unos de los apéndices del libro: Temas de Matemáticas previas al cálculo, aparece la

elipse.

Parte dando a conocer la elipse como sección cónica (intersección de un plano y un cono),

luego propone la definición de elipse como lugar geométrico de los puntos donde la suma

de sus distancias a dos puntos fijos es constante, posteriormente determina la ecuación

cartesiana de la elipse con centro en el origen, y la generaliza para centro (h,k),

seguidamente se determinan condiciones en los coeficientes de la ecuación general de

segundo grado para que represente una elipse.

Finalmente se demuestra que la definición de elipse como conjunto de puntos de un plano

se deduce de la definición de elipse como sección cónica, esta demostración se basa en el

teorema de las esferas de Dandelin. El cual, hace uso de propiedades geométricas.

En el texto anterior también se privilegian la obtención de ecuaciones a partir propiedades

geométricas que definen la elipse.

Por otra parte en la presentación de la elipse en el apéndice del libro, existen elementos de

la matemática, combinaciones de técnicas sintéticas y analíticas, que permite relacionar

los distintos enfoques en la construcción del concepto elipse.


198

ANEXO 2:

CUESTIONARIO

EXPLORATORIO


199

CUESTIONARIO EXPLORATORIO

1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R.

Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la

respuesta.

2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el


Figura 1


200

3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x)

igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto

(0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta.

4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje

menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P (

√

) de la elipse a un foco mide

11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta.

5.- En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y

F’.

Figura 2


201

ANEXO 3:

SECUENCIA DE

APRENDIZAJE


202

CUESTIONARIO: CASO 1



ACTIVIDAD 1:







Figura 1




203






e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos

F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos

de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.

Figura 2 Figura 3

Figura 4


204




Figura 6 Figura 7


205

ACTIVIDAD 2





Figura 8 Figura 9

Figura 10 Figura 11



206

3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’.

Figura 12


que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno

de ellos.

Figura 13


207

5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14)

Figura 14


208

ACTIVIDAD 3



2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué

harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de

una justificación? Y ¿cuáles?

Figura 15


209




4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse.


elipse con el cono.







¿Por qué?




210

CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3



ACTIVIDAD 1:







Figura 1




211






e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos

F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos

de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos.

Figura 2 Figura 3

Figura 4


212




Figura 6 Figura 7


213

ACTIVIDAD 2





Figura 8 Figura 9

Figura 10 Figura 11



214

3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y

F’.

Figura 12


que defina la elipse

figura 13


215

ACTIVIDAD 3

1.- determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano

cartesiano. Justifique su respuesta

.

2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y

F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay

más de una justificación? ¿Cuáles?

Figura 14

Figura 15


216




4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse.


elipse con el cono.



217







¿Por qué?



218

ANEXO 4:

PONENCIAS


219

PARTICIPACIÓN EN RELME 26


220

PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR


221

PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN …

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