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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-05-22 Última

2014-05-22

Contenido

Factor de fricción… pérdidas por fricción… ecuación de Bernoulli:

Ejemplo

¿Para que sirve lo que se estudió?

l tvv v p g

t

t v G

0

Factor de fricción… BSL. C6 Transporte en la interfase en sistemas

isotérmicos.

Antecedentes:

Sistemas en flujo laminar;

Conceptos básicos de flujo turbulento… fluctuaciones… variables

(velocidad) promediadas en el tiempo… necesidad de emplear

relaciones semi-empíricas.

Tipo de sistemas

(1) Flujo en canales (tubos, extrusores, dados…): relacionar la caída

de presión con el gasto volumétrico… este tema si se va a tratar,

porque en muy común en IQ;

(2) Flujo alrededor de objetos (sedimentación, secado, flujo

transversal en cambiadores de calor, aviones): relacionar la velocidad

cerca del objeto con la fuerza de arrastre… este tema no se va a

tratar, porque es menos común en IQ; sin embargo, se estudia

aplicando los principios ya estudiados.

Factor de fricción… Antecedentes… continua:

Es posible predecir el comportamiento de un flujo laminar (solución

analítica o numérica del balance de momentum), para los casos antes

mencionados: (1) y (2).

Desafortunadamente, eso no es posible en régimen turbulento; sin

embargo, el problema se ha resuelto utilizando ecuaciones

semejantes a las de flujo laminar, que contemplan además relaciones

empíricas (ver la clase anterior).

Preparación y uso de cartas de factor de fricción

6.1 Definición de factor de fricción f

Sistema: (1) Flujo en canales (tubos, extrusores, dados…): relacionar

la caída de presión con el gasto volumétrico.

Sistema:

Fluido: Newtoniano e incompresible;

Equipo: tubo cilíndrico (radio R, diámetro D) de sección transversal

constante 2R2;

Operación: isotérmica y estado estacionario.

Definiciones:

F es la fuerza total que ejerce el fluido sobre las superficies sólidas

del tubo;

Fs es la fuerza que ejerce el fluido sobre el tubo cuando el fluido no

se mueve;

Fk es la fuerza asociada al movimiento del fluido (comportamiento

cinético del fluido);

Fk apunta en la misma dirección que la velocidad media del fluido

<v>;

6.1 Definición de factor de fricción f… continua:

Factor de fricción f: se define de acuerdo con la siguiente relación:

Fk=AKf

A es un área característica del sistema;

K es la energía cinética por unidad de volumen, también es

característica del sistema;

Una vez establecidos A y K, el factor de fricción f queda definido y,

evidentemente, es característico del sistema.

Nota: Fk=AKf es una definición, no es una ley

Considerando las siguientes definiciones de la superficie mojada del

tubo cilíndrico A ; y función de la velocidad promedio K, se tiene:

212 ...

2A RL K v kComo: F AKf

2

k

1 2

2F RL v f

Considerando que se trata de un fluido de densidad constante, que

fluye en estado estacionario, y suponiendo que el análisis se hace en

una posición en donde el flujo esta completamente desarrollado (lejos

de entradas y salidas), la fuerza que se requiere para mantener en el

fluido un gradiente de presión p0-pL, y llevar el fluido desde una

altura h0 a otra hL (tubo en posición vertical… cabeza) es la siguiente:

2

k 0 0L LF p p g h h R

idefiniendo: ... 0i ip gh i ,L 2

k 0 LF R

21

Además, por definición: 2 ... 22

kF RL v f D R

2

2

k 0

1

2 2L

DDL v f F

0

2

1

1 4

2

L Df

Lv

f es llamado factor de fricción de

Fanning… hay otras formas de definir el

factor de fricción… basta conocerlas y

respetarlas

Sea un fluido incompresible fluye en el interior de un tubo cilíndrico,

en condiciones isotérmicas y de estado estacionario. Para determinar el

factor de fricción f de sistemas con las características de este se hacen

determinaciones experimentales (datos empíricos) en un equipo como

el que se muestra en el esquema siguiente:

0

212

1Como:

4

L Df

Lv

Para conocer f, basta conocer los valores de: 0 ; ; ; L

Dv

L

En este experimento conocen las medidas de interés (radio R y

longitud L) y temperatura del equipo; la densidad y viscosidad del

fluido.

Suponiendo que se deja que el sistema alcance el estado estacionario

y que, en una zona en donde el flujo está completamente desarrollado

(lejos de entrada y salida), se hacen mediciones de la velocidad

promedio del fluido <v> y de la presión en los planos z=0 y z=L (p0 y

pL, respectivamente); en principio, se tienen los datos empíricos

necesarios para determinar f:

0

212

1porque:

4

Lp p Df

Lv

6.2 Factor de fricción para flujo en tubos… continua

Para fundamentar teóricamente este enfoque, se considera el de flujo

de un fluido Newtoniano en las siguientes condiciones de flujo:

1) Flujo laminar;

2) Flujo turbulento.

Independientemente del tipo de flujo, de acuerdo con la definición

de factor de fricción f y los otros conceptos antes revisados, se tiene:

2

2

k 01como: 2 2

L

DDL v f F

0

212

1Como: 0 no hay efecto de campo:

4

Lp p Dh h L f

Lv

También, independientemente del tipo de flujo, laminar o turbulento,

la fuerza que ejerce el fluido sobre las paredes del tubo es de la forma:

2

0 0

L

k

r R

F Rd dz

2

0 0

:

L

r R

zk

v

rNewtoniano F Rd dz

Q D=2R

L

r

θ

z

1) Flujo laminar

Sea el caso de un fluido Newtoniano e incompresible fluye con flujo

laminar, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y de

estado estacionario.

Esquema

Coordenadas… cilíndricas

Anteriormente, se dedujo que los perfiles de velocidad y esfuerzos son:

22

01

4

L

z

p p R rv

L μ R

rz w

r

R

1) Flujo laminar

Continua el caso de un fluido Newtoniano e incompresible que fluye

laminarmente, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas

y de estado estacionario…

La velocidad promedio esta dada por:

0 0

2 1122

1 1como:

4 4

L Lp p p pD Df

L v v Lv

22

0

20 00

0 0

1 224

82 2

RRL

z

L

R R

p p R rrdrv rdr

L R p p Rv

Lrdr rdr

definiendo: ReD v

16

Ref

1) Flujo laminar de un fluido Newtoniano e incompresible que fluye

laminarmente, dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas

y de estado estacionario… relación entre el factor de fricción y el

número de Reynolds:

16

Ref

2) Flujo turbulento

Sistema análogo al de flujo laminar: fluido Newtoniano e incompresible,

que fluye dentro de un tubo cilíndrico, en condiciones isotérmicas y

estado estacionario, pero ahora el fluido fluye con flujo turbulento,.

r

θ

z

Coordenadas… cilíndricas

La ecuación que modela la fuerza que actúa sobre la pared como

resultado del flujo del fluido en la dirección-z Fk es de la misma forma

que la utilizada en el caso de flujo laminar:

Q D=2R

L

Esquema:

2 2

0 0 0 0

z

L L

k

r R r R

F Rd dz Rd dzv

r

pero ahora, y deben ser aquellas de zvflujo turbulento

r

A diferencia de lo que ocurre en el flujo laminar, en el flujo turbulento,

Fk puede ser función del tiempo; esto se debe a las fluctuaciones de

velocidad y a la destrucción ocasional de la capa límite que moja a la

pared; para obtener valores promedio de las funciones de interés, es

necesario considerar distancias con escala de tiempo relativamente

grande.

El factor de fricción de flujo turbulento f(t) puede expresarse en

términos de la siguientes cantidades adimensionales:

2

21

2

0 0

Como: 2 ... donde:

L

k k

r R

zv

rF RL v f F Rd dz

2

212

0 0

2r

z

L

R

v

rf t Rd dz RL v

0

2 ; ; ; ; ; Re

z zzz

z t z

v t D vvr zr z v t

D D v D v

1

2

2

0 0

1 1

Re

LD

z

r

vDf t d dz

L r

Para flujo laminar se concluyó que:

0v

1

2

2

0 0

1Como: Re

LD

z

r

vDf t d dz

L r

Re 16f t

Para flujo turbulento, el producto f Re dependerá de la rugosidad de los

tubos y de las condiciones de flujo.

Formalmente, las funciones:

2

0 0

Dv v

Dt l v

1

2CL1: 0 @ para: 0v r z

2CL 2: @ 0v z

CL 3: 0 @ 0 y 0r z

puede obtenerse resolviendo la ecuación de continuidad y el balance de

momentum adimensionales, aplicando las condiciones límite (CL)

adecuadas; para el sistema de flujo de un fluido en tubo cilíndrico:

; Rev v r , ,z ,t ; Rer , ,z ,t

El efecto de L/D es importante cuando el análisis del flujo se hace cerca

de la entrada o salida del tubo. En la mayoría de los casos, la región de

interés es aquella en donde el flujo esta completamente desarrollado, lo

cual ocurre lejos de entradas o salidas, y en esa región no hay un efecto

importante de L/D, y entonces se tiene:

es función de: Rezvr , ,z ,t ,

r

como: z zv v r

1

2

2

0 0

1 1además:

Re

LD

z

r

vDf t d dz

L r

Por lo tanto, al resolver la intergral se tiene: Ref f t ,L D ,

al promediar en un intervalo de se tiene: Ret f f L D ,

Ref f

0

212

1por otro lado:

4

LDf

L v

0Experimentalmente, fijar Re, y medir: LD , , , v

L

Para un sistema con flujo completamente desarrollado y bien definido

(i.e. fluido, tubo y condiciones de proceso), se puede obtener el valor de

f, conociendo el valor de Re (Re=D<v>ρ/μ) y determinando

experimentalmente los valores de: 0 y L v

0

212

1

4

LDf

L v

16

Ref

Ref f

2 2

1 1 2 21 2

1 2

Ecuación de

144 144

2 2L

Bernoulli

P v P vZ Z

g gh

Crane, Engineering Flow of Fluids Through Pipes Valves Fittings

¿Qué se estudia en el curso de Transferencia de Momentum?

¿Para que sirve el haber estudiado Transferencia de Momentum en la

primera parte del Plan de Estudios de Ingeniería Química?

t v G

0

v vv g P 0t

¡Sigan disfrutando su estancia en la

Facultad de Química de la U.N.A.M.!