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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-03-18 12ª

Es bueno distinguir lo esencial de lo superfluo… ups!

¿Qué se celebraba el 18 de Marzo?

2014-03-13Contenido

Ejercicios

Flujo en tabla inclinada.; Flujo en tubo cilíndrico

Sea el caso de un fluido Newtoniano que fluye sobre la superficie plana (ancho W, longitud L ) que está recargada en una pared vertical (ángulo β).Asumiendo que el sistema esta en condiciones isotérmicas y en estado estacionario, se requiere obtener el modelo matemático de lo siguiente:1) Perfil de esfuerzos;2) Perfil de velocidad;3) Esfuerzo en la pared;4) Velocidad máxima;5) Velocidad media;6) Gasto volumétrico;7) Espesor de la película de fluido.

Flujo no-laminar

Flujo no-laminar

Flujo laminar

β

gz

Esquema

Solución

Modelo (características del sistema)1. Isotérmico;2. Fluido incompresible;3. Pared inclinada (β, respecto del plano vertical)4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠05. Fuerza motriz: aceleración de la gravedad: gx=0 ; gy=0 ; gz≠06. Estado estacionario.

β

gz

zx

Coordenadas cartesianas

yxx x x x xx zxx y z x

v v v v pv v v gt x y z x x y z

τ∂ τ τρ ρ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

BSL Tabla 3.4-2 Ecuación de movimiento en términos de τ; densidad ρconstante; coordenadas rectangulares. Componente-x

1. Perfil de esfuerzos τ = τ(¿?)Parece conveniente revisar la ecuación de movimiento en términos de los esfuerzos y coordenadas cartesianas a la luz de las restricciones.

Modelo (características del sistema)1. Isotérmico;2. Fluido incompresible;3. Pared inclinada (β, respecto del plano vertical)4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠05. Fuerza motriz: aceleración de la gravedad: gx=0 ; gy=0 ; gz≠06. Estado estacionario.

6 4 4 4 5 5?¿ij

τ

BSL Tabla 3.4-2 Ecuación de movimiento en términos de τ; densidad ρconstante; coordenadas rectangulares. Componentes-y y -z

Modelo (características del sistema)1. Isotérmico;2. Fluido incompresible;3. Pared inclinada (β, respecto del plano vertical)4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠05. Fuerza motriz: aceleración de la gravedad: gx=0 ; gy=0 ; gz≠06. Estado estacionario.

6 4 4 4 5 5

6 4 4 5

y y y y xy yy zyx y z y

v v v v pv v v gt x y z y x y z

τ τ τ∂ρ ρ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

yzz z z z xz zzx y z z

v v v v pv v v gt x y z z x y z

τ∂ τ τρ ρ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

?¿ij

τ

?¿ij

τ

Para tener una idea de cuales son los componentes del tensor de esfuerzos que deben tomarse en consideración, es conveniente revisar las componentes del tensor de esfuerzos para fluidos Newtonianos, considerando aquellas restricciones que pudieran ayudar en dicha identificación, como son las siguientes: 2. Fluido incompresible;4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠0

( )

( )

( )

xxx

yyy

zzz

v 22 vx 3v 22 vy 3

v 22 vz 3

τ µ

τ µ

τ µ

∂ = − − ∇• ∂ ∂

= − − ∇• ∂ ∂ = − − ∇• ∂

yxxy yx

y zyz zy

xzzx xz

vvy x

v vz y

vvx z

τ τ µ

τ τ µ

τ τ µ

∂ ∂= = − + ∂ ∂

∂ ∂= = − + ∂ ∂

∂∂ = = − + ∂ ∂

4

4

4 4

4

4

2

2

2Al parecer, son diferentes de cero: , y zz yz zy zx xzτ τ τ τ τ= =

( ) ( ) ( )x y zv v v 0t x y zρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

Conclusión del análisis de las componentes del tensor de esfuerzos: , y son diferentes de cerozz yz zy zx xzτ τ τ τ τ= =

( ) z zz

v vv 0z z yzρ ρ∂ ∂ ∂

⇒ = ⇒ = ⇒∂ ∂ ∂

( )z zv v z≠

Buscando la simplificación del sistema, es conveniente analizar es la ecuación de continuidad, considerando las siguientes restricciones:2. Fluido incompresible;4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠06. Estado estacionario

46 4

( )como: zzz

v 22 vz 3

τ µ ∂ = − − ∇ • ∂ 2 zz 0τ⇒ =

El análisis de las componentes del tensor de esfuerzos y la ecuación de continuidad permitieron concluir que:

y son diferentes de ceroyz zy zx xzτ τ τ τ= =

Para simplificar (aún mas) el modelo se puede suponer que el análisis se hace en el seno del fluido, lejos de la interfase fluido/gas:

β

( )Esto permite suponer que: zz z

vv v y 0y

∂≠ ⇒ =

∂ z

zy yzv 0y

τ τ µ ∂⇒ = = − =∂

Por lo tanto, solamente: es (son) diferente(s) de ceroxz zxτ τ=

Por lo tanto, la única componente del tensor de esfuerzos que es diferente de cero es la siguiente:

zxz zx

dvdx

τ τ µ= = −

2. Perfil de velocidadDe acuerdo con esta ecuación, para obtener el modelo del perfil de esfuerzos (primera pregunta del ejercicio) es necesario conocer el perfil de velocidad vz(x), y para conseguirlo se debe analizar la ecuación de movimiento para un fluido Newtoniano, expresada en términos de los gradientes de velocidad, tomando en consideración que la única componente que resultó diferente de cero fue la componente-z.

De acuerdo con la nomenclatura adoptada, el primer subíndice identifica al plano sobre el cual actúa el esfuerzo, y el segundo subíndice señala la dirección en la que se mueve el fluido; por lo tanto, la componente del tensor de esfuerzos que es de interés se expresa como:

zxz

dvdx

τ µ= −

13

BSL Tabla 3.4-2. Ecuación de Movimiento. Coordenadas Rectangulares Fluido Newtoniano. En términos de gradientes de velocidad.

Densidad ρ y viscosidad μ constantes. Componente-z2 2 2

z z z z z z zx y z z2 2 2

v v v v p v v vv v v gt x y z z x y z

∂ρ µ ρ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Modelo (características del sistema)1. Isotérmico;2. Fluido incompresible;3. Pared inclinada (β, respecto del plano vertical)4. Flujo unidireccional: vx=0 ; vy=0 ; vz≠05. Fuerza motriz: aceleración de la gravedad: gx=0 ; gy=0 ; gz= -gz6. Estado estacionario;7. Ecuación de continuidad: vz≠ vz(z)8. Análisis lejos de las orillas: vz≠ vz(x)

6 4 4 87 75

2z

z2d v0 gdx

µ ρ⇒ = − −

Como: 2

zz2

d v g 0dx

µ ρ− − =

( ) ( ) zz

gcos g g cosg

β β= ⇒ =

De acuerdo con esta figura:

( )

con: @ ; @

2z

2

zz

d v g cosdx

dvv 0 x 0 x 0dx

µ ρ β

δ

⇒ − =

= = = =

β

g

zx

δ

( ) ( ) ( ) ( ) z g cos g cosdv x a 0 0 a a 0dx

ρ β ρ βµ µ

⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ =

( ) ( ) ( ) 2 2

zg cos g cosxv b 0 b

2 2ρ β ρ β δ

µ µ⇒ = − + ⇒ = − +

( ) 2g cos

b2

ρ β δµ

⇒ =( )

22

zg cos xv 1

2ρ δ β

µ δ

⇒ = −

1. Perfil de esfuerzosUna vez que se conocen el perfil de velocidad y su relación con el esfuerzo (Fluido Newtoniano), se puede obtener el perfil de esfuezos:

( ) 22

zg cos xv 1

2ρ δ β

µ δ

= −

como: zxz

dvdx

τ µ= −

( )z g cosdv xdx

ρ βµ

⇒ = − ( )xz g cos xτ ρ β⇒ =

3. Fuerza del fluido sobre la superficieDe acuerdo con la relación entre fuerza y esfuerzo, se tiene:

[ ] ( ) ( )L w L w L w

z xz x x0 0 0 0 0 0

F dydz g cos x dydz g cos dydzδ δ

τ ρ β ρ β δ= =

= = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )zF g cos LWρ β δ=

4. Velocidad máximaDe acuerdo con el perfil de velocidad, la velocidad es máxima vz=vz-maxen x = 0:

( )como: 22

zg cos xv 1

2ρ δ β

µ δ

= −

( ) 2

z maxg cos

v2

ρ δ βµ−⇒ =

5. Velocidad mediaDe acuerdo con el perfil de velocidad, la velocidad media vz=vz-media es:

( )

Definición:

22WW

z0 00 0

z media W W

0 0 0 0

g cos x1 dxdyv dxdy 2v

dxdy dxdy

δδ

δ δ

ρ δ βµ δ

−

− = =

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫( )2

z mediag cos

v3

ρ δ βµ− =

6. Gasto volumétricoDe acuerdo con el perfil de velocidad, el gasto volumétrico es:

( ) ( )22 3W W

z0 0 0 0

g cos W g cosxQ v dxdy 1 dxdy2 3

δ δ ρ δ β ρ δ βµ δ µ

= = − =

∫ ∫ ∫ ∫

también: z mediaQ W vδ −=

7. Espesor de la películaPuede expresarse en términos de: la velocidad promedio Vz-media; el gasto volumétrico Q; o el gasto másico M, definido éste por unidad de longitud en la dirección y (W=1):

( ) ( ) ( ) ... z media 3 3 z media2

3 v 3 Q 3 M M vg cos W g cos g cosµ µ µδ ρδ

ρ β ρ β ρ β−

−= = = =

( )xz g cos xτ ρ β=

( ) 22

zg cos xv 1

2ρ δ β

µ δ

⇒ = −

Ahora, el fluido Newtoniano es transportado verticalmente (altura L),utilizando para ello un tubo cilíndrico (radio R) y una bomba de pistón.Asumiendo que el sistema esta en condiciones isotérmicas y en estado estacionario, se requiere obtener el modelo matemático de lo siguiente:1) Perfil de esfuerzos;2) Perfil de velocidad;3) Esfuerzo en la pared;4) Velocidad máxima;5) Velocidad media;6) Gasto volumétrico.

Esquema Coordenadas cilíndricas

Solución

Modelo (características del sistema)1. Isotérmico;2. Fluido Newtoniano e incompresible;3. Tubo en posición vertical;4. Flujo por bombeo;5. Estado estacionario;6. Flujo laminar.

r = 0 r = R

z=0

z=L

1.Perfil de esfuerzos. Es conveniente analizar la ecuación de movimiento expresada en coordenadas cilíndricas (r,θ,z) y en términos de τ

( )

2r r r r

r z

r rzrr r

v vv v v v pv vt r r r z r

1 1r gr r r r z

θ θ

θ θθ

∂ρθ ∂

τ τ ττ ρθ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + = − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ − + − + + ∂ ∂ ∂

( )

rr z

2 zr2

v v v v v v v 1 pv vt r r r z r

1 1r gr r zr

θ θ θ θ θ θ

θθ θθ θ

∂ρθ ∂θτ ττ ρθ

∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ − + + + ∂ ∂ ∂

( )

z z z zr z

z zzrz z

vv v v v pv vt r r z z

1 1r gr r r z

θ

θ

∂ρθ ∂

τ ττ ρθ

∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ − + + + ∂ ∂ ∂

Para identificar a los esfuerzos que deben considerarse, se analizan las componentes del tensor de esfuerzos.

& B.1 BSL Coordenadas cilíndricas

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

r 2rr 3

r 23

zr

z 2zz 3

v2 vr1 v v2

1 1 v vv rvr r

vr rv v

r

z

z

2

θθ

θ

θ

θ

τ µ µ κ

τ µ µ κθ

τ µ µ κ

∂ = − + − ∇ • ∂ ∂ = − + + − ∇ • ∂ ∂ = − + − ∇ •

∂ ∂ ∂∇ • = + +

∂ ∂

∂

∂

( )2. Fluido e incompresibleNewtoniano v 0⇒ ∇• =

6. Flujo unidireccional... en- ; ; z rz v 0 v 0 v 0θ⇒ ≠ = =

Conclusión: la componente es diferente de cero zzz zz

v2z

τ τ µ ∂= −

∂

Continua el análisis de las componentes del tensor de esfuerzos…

& B.1 BSL Coordenadas cilíndricas

rr r

zz z

r zzr rz

v 1 vrr r r

1 v vr zv vz r

θθ θ

θθ θ

τ τ µθ

τ τ µθ

τ τ µ

∂ ∂ = = − + ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + ∂ ∂

∂ ∂ = = − + ∂ ∂ 6. Flujo unidireccional... en- ; ; z rz v 0 v 0 v 0θ⇒ ≠ = =

; z zz rz

1 v vr rθτ µ τ µ

θ∂ ∂ ⇒ = − = − ∂ ∂

Como el primer subíndice identifica al plano sobre el cual actúa el esfuerzo y el segundo subíndice señala la dirección en la que se mueve el fluido, y el flujo es en-z, las componentes se denominan como:

Por ahora, los componentes del tensor de esfuerzos de este caso son:

; ; z z zzz z rz

v 1 v v2z r rθτ µ τ µ τ µ

θ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂

Al parecer, vz = vz(z,θ,r); para saber mas al respecto, se analiza la ecuación de continuidad:

( ) ( ) ( )r z1 1rv v v

t r r r zθρ ρ ρ ρ

θ∂ ∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂

6. Flujo unidireccional... en- ; ; z rz v 0 v 0 v 0θ⇒ ≠ = =

( )5. Estado estacionario: 0tρ∂

⇒ =∂

( ) ( ) z zz z z zz

v vv 0 v v z 2 0z z zρ ρ τ µ∂ ∂ ∂

⇒ = = ⇒ ≠ ⇒ = − =∂ ∂ ∂

Entónces, los componentes del tensor de esfuerzos son:

; z zz rz

1 v vr rθτ µ τ µ

θ∂ ∂ = − = − ∂ ∂

Los componentes del tensor de esfuerzos son:

; z zz rz

1 v vr rθτ µ τ µ

θ∂ ∂ = − = − ∂ ∂

Esto parece indicar que: vr = vr (θ,r ).Para mayor simplificación, se puede asumir simetría respecto de θ, lo cual implica que la variable en cuestión no depende de θ: vr ≠ vr(θ); consecuentemente se tiene que:

z zz

v 1 v0 0rθτ µ

θ θ∂ ∂ = ⇒ = − = ∂ ∂

zrz

dvdr

τ µ⇒ = −

Consecuentemente, el tensor de esfuerzos tiene una sola componente:

De acuerdo con esta expresión, para obtener el perfil de esfuerzos τzr es necesario obtener el perfil de velocidad vr; por lo tanto, se debe analizar la ecuación de movimiento en términos de la velocidad.

vr

vr

vr

La ecuación de movimiento en términos de la velocidad se puede analizar rápidamente, recordando que al aplicar las restricciones impuestas al sistema, solo la componente-z de la ecuación de movimiento en términos de los esfuerzos fue diferente de cero, y esto mismo debe cumplirse en ambos casos . Sin embargo, para enfatizar la correspondencia que hay entre las dos formas de la ecuación de movimiento (en términos de τ y de v) se revisarán las tres componentes considerando la siguiente anotación

( )5. Estado estacionario: 0tρ∂

⇒ =∂

6. Flujo unidireccional... en- ; ; z rz v 0 v 0 v 0θ⇒ ≠ = =

( )4. Flujo por bombeo y es unidireccional... en- z zz p p z⇒ =

3. Tubo verical zg 0⇒ ≠

Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3. Cilíndricas (r,θ,z). Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. ρ y µ constantes

( )

2r r r r

r z

2 2r r

r r2 2 2 2

v vv v v v pv vt r r r z r

vv v1 1 2rv gr r r r r z

θ θ

θ

∂ρθ ∂

µ ρθθ

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + = − ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂ ∂ − + − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂

(D) Componente-r

(E) Componente-θ

( )

rr z

2 2r

2 2 2 2

v v v v v v v 1 pv vt r r r z r

v vv1 1 2rv gr r r r r z

θ θ θ θ θ θ

θ θθ θ

∂ρθ ∂θ

∂µ ρ∂ θθ

∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ − + + + + ∂ ∂∂ ∂

(C) Componente-z

z z z zr z

2 2z z z

z2 2 2

vv v v v pv vt r r z z

v v v1 1r gr r r r z

θ ∂ρθ ∂

∂µ ρ∂ θ

∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + + + + ∂ ∂ ∂

Por lo tanto, recordando que g = -gz , la ecuación de movimiento de vpermite concluir que:

zz

dp 1 d dv0 g rdz r dr dr

ρ µ = − − −

Considerando que: i) ρgz es constante; ii) p = p(z); y iii) vz = vz(r), se concluye que el lado izquierdo la última ecuación es función de z, en tanto que el lado derecho es función de r; por lo tanto, para que la igualdad se cumpla ambos lados deben ser iguales a la misma constante (a); ese par de ecuaciones diferenciales se pueden resolver por separado.

zz

dp 1 d dvg rdz r dr dr

ρ µ ⇒ − − = −

zz

dp 1 d dvg a rdz r dr dr

ρ µ ⇒ + = = − La ecuación diferencial que describe la dependencia de la presión respecto de la posición axial y sus condiciones límite son:

... @ ; @ z 0 Ldp g a p p z 0 p p z Ldz

ρ+ = = = = =

definiendo: zg zp ρ+℘=

Resolviendo la ecuación diferencial que describe p(z) se puede obtener a en términos conocidos:

Como: ... @ ; @ z 0 Ldp g a p p z 0 p p z Ldz

ρ+ = = = = =

Utilizando una variable que represente al efecto combinado de la presión estática y la fuerza gravitacional, se tiene:

( ) ( ) z zdp a g dz p a g z bρ ρ⇒ = − ⇒ = − +

( )( ) 0 z 0p a g 0 b p bρ⇒ = − + ⇒ =

( ) L 0L z 0 z

p pp a g L p a gL

ρ ρ−⇒ = − − ⇒ = +

( )como: @ 0 0 0 z 0 0p p z 0 p g p0ρ= = ⇒ ℘ = + ⇒ ℘ =

como: @ L L L zp p z L p g Lρ= = ⇒ ℘ = +

como: L 0z

p LpaL L

gρ−= +

0 L z 0 Lp p g LaL L

ρ− + ℘ −℘⇒ = =

El perfil de presión queda: L 00

p pp p zL− = +

además: = ... L 00 z

p pb p a gL

ρ−= +

( )Como: zp a g z bρ= − +

( ) ( ) ... 0 Lp z 0 p p z L p⇒ = = = =

... @ ; @ z rr

1 d dv dva r v 0 r R 0 r 0r dr dr dr

µ = − = = = = Resolviendo esta ecuación se obtiene el perfil de velocidad vr(r):

Por otro lado, la ecuación diferencial que describe vr = vr(r), y sus condiciones límite son:

z z1 d dv dv aa r d r rdrr dr dr dr

µµ

= − ⇒ = −

= ; como @ 2

z rdv ar dvr c 0 r 0dr 2 drµ

⇒ − + = =

( )( ) ( )= 20

0 0 c c 02aµ

− + ⇔ =

= 2 2

zz z

dv ar a arr dv rdr v ddr 2 2 4µ µ µ

⇒ − ⇒ = − ⇒ = − +

como: @ 22 2 2 2

z zaR aR ar aR rv 0 r R d v 14 4 4 4 Rµ µ µ µ

= = ⇒ = ⇒ = − = −

Por lo tanto, el perfil de velocidad vr(r) es:

como: ... 22

0 Lz

aR rv 1 a4 R Lµ

℘ −℘ = − =

( ) 22

0 Lz

R rv 14 L Rµ

℘ −℘ ⇒ = −

1. Perfil de esfuerzosPara obtener el perfil de esfuerzos, se combinan las expresiones del esfuerzo y el perfil velocidad vr(r) … ley de Newton:

( )como: 22

0 Lzzr zr

Rdv d r1dr dr 4 L R

τ µ τ µµ

℘ −℘ = − ⇒ = − −

( ) 0 Lzr r

2Lτ

℘ −℘⇒ =

Velocidad máxima vz-max:( )como:

220 L

zR rv 1

4 L Rµ

℘ −℘ = −

Velocidad promedio vz-media:

( )( ) 222 R2 R

0 Lz

0 00 0z media 2 R 2 R

0 0 0 0

R r1 rdrdv rdrd 4 L Rv

rdrd rdrd

ππ

π π

θθ µ

θ θ−

℘ −℘ − = =

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

De acuerdo con el modelo vz(r), la vr-max ocurre cuando r = 0:

( ) 20 L

z maxR

v4 Lµ−

℘ −℘=

( ) 20 L

z mediaR

v8 Lµ−

℘ −℘=

Gasto volumétrico: producto de vz-meda y el área de flujo:

( ) ( ) ( )2 40 L 0 L2R R

Q R8 L 8 L

ππ

µ µ ℘ −℘ ℘ −℘

= =

Componente escalar del vector de esfuerzos que actúa sobre la superficie (pared) del tubo: ( )( )z zr r R

F 2RLπ τ=

=

( )como: 0 Lzr r

2Lτ

℘ −℘=

( ) ( ) ( )0 L 2z 0 LF 2RL R R

2Lπ π

℘ −℘⇒ = = ℘ −℘

( )como: g0 L 0 L zp p Lρ℘ −℘ = − +

( ) ( )g g2 2 2z 0 L z 0 L zF R p p L R p p R Lπ ρ π π ρ⇒ = − − = − −

( ) ... fuerza debida a la diferencia de presión20 LR p pπ −

g ... fuerza debida a la fuerza de gravedad2zR Lπ ρ

( )0 Lzr r

2Lτ

℘ −℘=

( ) 220 L

zR rv 1

4 L Rµ

℘ −℘ = −

Transferencia de Momentum

1740-2

Fin de 2014-03-18 12ª