ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO

COMBINACION

ALARGAMIENTO Y ESTIRAMIENTO

FUNCIONES PAR E IMPAR

ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL DE GRÁFICAS

Se conoce la gráfica de y=f(x); para la relación y=Cf(x). La coordenada y=Cf(x) en x es la misma que la coordenada y correspondiente de y=f(x) multiplicada por un factor de C, donde este tendrá el efecto de alargamiento y acortamiento verticalmente de la gráfica por el factor de C

Ejemplo: use la gráfica de f(x)=x² para trazar la gráfica de cada función.

a) g(x) = 3x² b) h(x) = x²

y

4

0 1 xSolución: a) La gráfica de g se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de f por 3, es decir se alarga verticalmente por un factor de 3. (parábola estrecha)

b) La gráfica de h se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la grafica de

f por x², es decir se acorta por un factor x².

(parábola pequeña)

COMBINACION DE DESPLAZAMIENTO, ESTIRAMIENTO Y REFLEXIÓN

Para este estilo de problemas debemos tener en cuenta la explicación anterior de estiramiento y acortamiento vertical de gráficas.

Primero empezaremos bosquejando la gráfica de la función f(x) =1-2(x-3)²

(3,1)

01

Solución: Se comenzó graficando y=x², donde se desplazó a la derecha 3 unidades como se bosqueja en la gráfica y=(x-3)², luego de esto se graficó Y=-2(x-3)² donde se evidencia la reflexión en el eje x y se alarga por un factor de 2; por ultimo observamos que la gráfica se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la gráfica de la función f(x) =1-2(x-3)²

g(x) = 3x²

f(x)=x²

h(x) = x²

Ojo: Si c >1, alargue verticalmente la gráfica de f(x) por un factor de cSi 0<c<1, acorte verticalmente la gráfica de f(x) por un factor de c

1

Y= x²Y= (x-3)²

F(x)= 1-2(x-3)²

Y=-2(x-3)²

h(x) = x²

F(x)= 1-2(x-3)²

g(x) = 3x²

f(x)=

y = f ( x)

ALARGAMIENTO Y ESTIRAMIENTO HORIZONTAL DE GRÁFICAS

Se conoce la gráfica de y= f(x); para la relación de y= f (cx).La coordenada y= f (cx) en x es la misma que la coordenada y correspondiente de y=f(x) multiplicada por C. Es decir que las coordenadas x en la gráfica y= f (cx) son las coordenadas x en la gráfica de y = f (x) multiplicada 1/c , donde se estira o acorta la gráfica horizontalmente por un factor de 1/c.

Ejemplo:La gráfica de y = f (x) se muestra a continuación, trace la gráfica de cada función

a) Y = f (2x) b) y = f ( x)

y

0Gráfica y = f (x) 1

y

1

Gráfica Y = f (2x)

0 1 x

y

1 X

-1 0 1 2 Gráfica y = f ( x)

FUNCIONES PAR E IMPAR Si una función f satisface f (-x) = f (x) para todo numero x en su dominio, entonces f(x) se llamas función par. Ejemplo f (-x) = (-x)² = x²= f(x)

g(x)=1-x⁴ (-x)=1-(-x)⁴= 1-x⁴= g (x) 2.5

-2 2F(-x) f(x)

si -2.5 g(x)=1-x⁴

Si satisface f(-x)=-f(x) para todo numero x en su dominio, entonces f se llama función impar.

Ejemplo: f(x)=

f(-x)= = =-f(x)

f(x)=

=

=- f (x)

2.5F(x)

-2 2

F(-x)

-2.5 f(x)=

¿Cuándo una función no es par ni impar?

Ejemplo:h (x) = 2x - x²

Puesto que

se concluye que h no es par ni impar.

2.5

h(x)= 2x-x²-1 3

-2.5

Bibliografía:Pre calculo (James Stewart) pág. 186-189transformaciones de funciones (diapositivas)

X

Ojo: Si c >1, acorte horizontalmente la gráfica de f(x) por un factor de 1/cSi 0<c<1, estire horizontalmente la gráfica de f(x) por un factor de 1/c

♦La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y

♦la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen