1. 110Equation Chapter 0 Section 1BOBINA CON TENSIÓN APLICADA

Figura 1

Sea una bobina de N vueltas con un núcleo magnético tal como se muestra en la figura 1, con una tensión v aplicada a sus bornes, en su núcleo se desarrolla un flujo principal ϕM, asimismo se presenta un flujo de dispersión ϕd:

22\* MERGEFORMAT()

33\*MERGEFORMAT ()Aplicando la Ley de Faraday:

44\* MERGEFORMAT()

(2) en (3): 55\* MERGEFORMAT ()

La ley de Faraday dice que la fem inducida o tensión inducida crea una corriente, esta corriente tiene asociada un flujo magnético que se opone siempre a la variación del flujo aplicado o inductor, de aquí se deduce el signo menos.

La polaridad instantánea de si conservamos el signo menos de la ecuación (4) es la mostrada en la figura, pero como caída de tensión tendría signo contrario. Aunque no se dibujado se supone una resistencia r del devanado, de tal modo que:

66\* MERGEFORMAT ()

De (4): 77\* MERGEFORMAT ()

Definamos una tensión e como: 88\* MERGEFORMAT ()

La tensión e es la tensión inducida que enlaza al flujo principal del transformador, si no se toma en cuenta el flujo de dispersión y la resistencia óhmica r de la bobina, esta sería la tensión de la ley de Faraday (en vez de la ecuación 3) y como el sentido de i y de ϕM cumplen la ley de Lenz e debe tener un valor negativo.

En valores instantáneos: 99\* MERGEFORMAT ()

En Fasores: 1010\* MERGEFORMAT ()

En esta ecuación fasorial, podemos ver que el flujo ϕM recorre toda la longitud del núcleo del hierro, Ld es la inductancia de dispersión asociada con el flujo de dispersión y una impedancia de dispersión xd.

Presentamos el siguiente diagrama fasorial del sistema:

El sentido de E hacia la izquierda es el modo negativo de la fem inducida, según (3), el sentido de E hacia la derecha es el modo positivo de la fem autoinducida, o llamada también fuerza contra electromotriz fcem, ésta se comporta como una caída de tensión y se le considera así. Por lo que se concluye que cuando la tensión se usa como una fem la derivada de la ley de Faraday debe tener signo negativo (como debe de ser), y cuando se usa como una fcem (o caída de potencial) es de signo positivo.

La corriente Io es la corriente de magnetización de la bobina, y se descompone en dos valores Im e Ic.Im: Corriente de magnetización del hierro del circuito magnéticoIc: Corriente del cobre

En este caso se debe apreciar que la tensión E no es aprovechada por la bobina, solo es una fem inducida, cuando se trate de transformadores, veremos que esta tensión sí es aprovechada por el secundario del mismo.

2. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO DE DOBLE DEVANADO CON CARGA

A partir de lo anterior y conservando los conceptos antes dichos expondremos lo relacionado al transformador ideal y se desarrollarán formas de trabajar con este modelo, en valores instantáneos y luego en fasores, para obtener la ecuación de tensiones y la de circuitos acoplados.

Figura 2

En la figura 13.1 del libro de Kostenko Tomo I, los sentidos de los flujos magnéticos están bien dibujados con la salvedad de que el flujo ϕM, debe estar en el sentido opuesto.

De la figura 2 podemos observar que el flujo mutuo ϕM generado es la diferencia de los flujos 1 y 2 producidos individualmente por cada bobina.

En este caso se ha supuesto que la entrada de energía es por el arrollamiento primario y la salida por el arrollamiento secundario, por lo que v2 es una caída de tensión en la carga. Luego:

2.1. En el primario del transformador

Planteando primero la ecuación de tensiones en el primario. Notar que el sentido de ϕ2 y ϕd2 es el sentido opuesto del flujo mutuo del transformador debido a que por la ley de Lenz, ϕ2 inicialmente se opone a ϕ1:

1111\* MERGEFORMAT ()

Donde con el signo – es la fem autoinducida que cumple la ley de inducción de Faraday; esta fem crea una corriente, esta corriente crea un flujo en un sentido que se opone a la variación del flujo

aplicado. La polaridad instantánea de que se ha dibujado, algunos autores la definen como una

fcem fuerza contra electromotriz similar a una caída de tensión. En la figura v1 es una tensión que se está aplicando al primario del transformador y r1 es la resistencia óhmica de la bobina 1:

Luego: 1212\* MERGEFORMAT ()

donde 1 es el flujo concatenado del primario:

1313\* MERGEFORMAT ()

Agrupando:

En (11):

Reemplazando en (10): 1414\* MERGEFORMAT ()

Definiendo: 1515\* MERGEFORMAT ()

Si se despreciara el efecto del flujo de dispersión y la resistencia r1 de la bobina 1, esta tensión sería la

tensión inducida en el primario del transformador e igual a la fem inducida debida al flujo ϕM.

En este caso ϕM y el sentido de la corriente i1 cumplen la ley de Lenz por lo que e1 es negativa, este concepto es el mismo que se aplicó cuando se hablaba de solo una bobina.

Reemplazando finalmente en (13): 1616\* MERGEFORMAT ()

Hemos deducido la ecuación que se presenta en la mayoría de textos de la cual se deducen los diagramas fasoriales del transformador ideal, es por esto que esta ecuación se denomina ecuación de tensiones del transformador.

Deduciendo la expresión del flujo concatenado en función de las propias y las mutuas del transformador, de la ecuación (12):

Agrupando convenientemente: 1717\* MERGEFORMAT ()

1818\* MERGEFORMAT ()

Donde , y .

De (11): 1919\* MERGEFORMAT ()

Reemplazando en (10): 2020\* MERGEFORMAT ()

Donde L1 es la inductancia propia del primario del transformador, y M es la inductancia mutua entre ambos devanados, y se ha supuesto que M12 = M21 = M

Nótese que la inductancia propia parte de dos flujos que se suman, uno magnetizante y otro de

dispersión . En tanto que el flujo mutuo es el flujo concatenado en la bobina de N1 vueltas debido al flujo producido por la corriente i2.

Hasta ahora hemos deducido las ecuaciones de tensiones en el primario dado por (15) y las ecuaciones de circuitos acoplados, dado por (19) del primario del transformador.

2.2. En el secundario se cumple que:

2121\* MERGEFORMAT ()

Agrupando: 2222\* MERGEFORMAT ()

2323\* MERGEFORMAT ()

En la bobina 2, los flujos ϕ2 y ϕd2 se consideran positivos por estar en el mismo sentido en referencia a la bobina 2. Luego con (22) podemos trabajar la ecuación de tensiones.

De (20), reagrupando: 2424\* MERGEFORMAT ()

2525\* MERGEFORMAT ()

Con la Ec. (24) podemos trabajar la ecuación de circuitos acoplados.

En el secundario del transformador de la figura 2 la polaridad de es efectivamente una fem inducida que suministra energía al secundario, no olvidar que se ha supuesto que en el secundario está la carga del transformador:

2626\* MERGEFORMAT ()

La tensión transmite energía al secundario y debe cumplir también la ley de Lenz:

2727\* MERGEFORMAT ()

De (22): 2828\* MERGEFORMAT ()

2929\* MERGEFORMAT ()

Definiendo: 3030\* MERGEFORMAT ()

En este caso, ϕM y el sentido de la corriente i2 no cumplen la Ley de Lenz, luego e2 ya es esencialmente positiva, por lo que no es necesario cambiar su signo.

Obtenemos. 3131\* MERGEFORMAT ()

De (24) y (25) en (26): 3232\* MERGEFORMAT ()

Luego: 3333\* MERGEFORMAT ()

2.3. Ecuaciones de tensiones y circuitos acoplados

Ahora tenemos los dos pares de ecuaciones que conforman las ecuaciones de un transformador ideal.

Las ecuaciones de tensiones (15) y (30):

3434\* MERGEFORMAT ()

Las ecuaciones de circuitos acoplados (19) y (32):

3535\* MERGEFORMAT ()

De las ecuaciones de tensiones podemos deducir el diagrama fasorial del transformador ideal.

2.4. Conclusiones

Hemos cumplido con obtener las ecuaciones que la mayoría de textos muestran como las ecuaciones de tensiones y circuitos acoplados en un transformador ideal.

Del libro de Schaum “Circuitos Eléctricos”, también hemos comprobado la ley de puntos de flujos sustractivos y aditivos, comprobando que un transformador real que entrega energía tiene flujos sustractivos por la ley de Lenz, lógicamente (L y M tienen signos diferentes).

Se muestra también el comportamiento de bobinas que reciben e inducen fems, en el primario de un transformador se aplica una fem externa y en el secundario se induce una fem interna que es la que transmite la energía, según las ecuaciones (33), las tensiones e1 y e2 que son la variación del flujo mutuo es el parámetro que transporta la energía, según las ecuaciones (34) la inductancia mutua M es el parámetro que transporta la misma energía. Estas mismas tensiones e1 y e2 muestran el parámetro de la relación de transformación, siendo:

De acuerdo a lo que se vio cuando se considera solo una bobina y luego un transformador ideal, solo la presencia de un secundario permite el aprovechamiento de la tensión inducida en la bobina 1, ya que como bobina sola, nunca aprovecha esta fem.

Ambas ecuaciones (33) y (34) en realidad son equivalentes, y el usuario deberá elegir cuál de ellas debe utilizar según sus propias necesidades.

También se puede notar la presencia de las ecuaciones de flujos concatenados; toda máquina que transporta energía tiene esta característica, de las ecuaciones (17) y (24):

3636\* MERGEFORMAT ()

Hay otro detalle importante que se puede ver en la Figura 2, debido a la forma como se ha dibujado el sentido de arrollamiento en el secundario, la corriente i2 sale del transformador, si se cambiara el sentido del arrollamiento del secundario, la corriente i2, entraría al transformador. Este detalle también ocurre en transformadores reales, y para saber cómo está trabajando el transformador, se usan algunos circuitos para averiguar la polaridad del transformador, si es aditiva o sustractiva.

2.5. Ejercicio:

Como ejercicio vamos a suponer ahora que en la Figura 2, por el secundario también se aplica una

fuente de tensión, como resultado ahora en el núcleo el flujo mutuo es la suma de ambos flujos, se trata de hallar la ecuación de circuitos acoplados del transformador:

En estos casos es muy importante ver bien el problema, identificando por donde está la entrada de energía y el sentido de los arrollamientos para que cumplan la regla de la mano derecha de flujo y sentido de corriente inducida, y debemos seguir el planteamiento realizado más arriba.

Flujos concatenados:

Tensiones inducidas:

Ecs. de circuitos acoplados:

Se puede comprobar que Kostenko obtiene estas mismas ecuaciones, las cuales NO son iguales a las

condiciones iniciales que él mismo plantea. También como , L y M tienen el mismo signo.

3. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO DE TRIPLE DEVANADO CON CARGA

Extendamos este modo de trabajo con transformadores de 3 devanados

Figura 3

De la figura, v1 es la tensión aplicada al primario, el secundario y terciario alimentan cargas con una caída de tensión v2 y v3.

Como antes: 3737\* MERGEFORMAT ()

En cada bobinado se cruzan los siguientes flujos: el flujo mutuo , el flujo de dispersión propio de cada

bobina , y dos flujos de dispersión de concatenación con las otras 2 bobinas:

3838\* MERGEFORMAT ()

No es posible que puedan existir más flujos que los que se indican en (37).

Hallando la ecuación de tensiones

Agrupando: 3939\*MERGEFORMAT ()

4040\* MERGEFORMAT ()

3.1. Ecuación de tensiones:

4141\* MERGEFORMAT ()

4242\* MERGEFORMAT ()

Esta es la ecuación instantánea de las tensiones de un transformador de triple devanado, comparar con las ecuaciones de un transformador de dos devanados. Como se puede apreciar e2 y e3 son los parámetros que transmiten energía del primario al secundario y terciario respectivamente.

Transformando a Fasores:

4343\* MERGEFORMAT ()

4444\*MERGEFORMAT ()

En matrices fasoriales: 4545\* MERGEFORMAT ()

Ecuación (44) de tensiones generalizada, solo es necesario saber que en la matriz de tensiones , el devanado que le corresponde una fuente externa es positivo, los devanados a los cuales se conectan las cargas son negativos, todos los demás términos permanecen con sus mismos signos.

3.2. Ecuación de circuitos acoplados:

4646\*MERGEFORMAT ()

Tensiones inducidas: 4747\* MERGEFORMAT ()

4848\* MERGEFORMAT ()

Ordenando: 4949\* MERGEFORMAT ()

Si hacemos que el coeficiente de inducción mutua sea el mismo, debido a un material magnético homogéneo:

5050\* MERGEFORMAT ()

La ecuación (49) es la que generalmente se presenta como las ecuaciones de transformadores de

triple devanado, no debemos perder el punto de vista que en (48) es el parámetro que

realmente transmite energía desde el primario al secundario y es el que transmite energía desde el primario al terciario del transformador.

Como en el caso anterior los textos suponen siempre que la entrada de energía es por los 3 arrollamientos, es decir, aplican tensiones v1, v2 y v3 a cada bobinado y dibujan los sentidos de los arrollamientos de tal manera, que con la regla de la mano derecha se cumpla que el flujo mutuo sea la

suma de todos los otros: (se puede dibujar el sentido de los arrollamientos de otro modo, para que existan flujos sustractivos). Es a partir de estas suposiciones que despliegan todas sus ecuaciones, para ese caso los signos de (46) son todos positivos.

Si suponemos una impedancia de carga en los bobinados respectivos: y ,

, podemos deducir que y , luego en (49):

5151\* MERGEFORMAT ()

En (50)

5252\* MERGEFORMAT ()

En la matriz de impedancias e inductancias solo es necesario colocar los signos negativos en los subíndices donde los flujos son sustractivos, los demás términos son positivos, en la matriz columna de tensiones, solo las tensiones externas existirán, las demás son nulas.

Al autor le parece que los estudiantes que recién empiezan con estos conocimientos deben ver primero el modo de funcionamiento normal de un transformador, y apreciar los signos de las ecuaciones que definen el sentido del flujo de la energía en los mismos.

Ha sido un camino largo comprender como funcionan los flujos a partir de una sola bobina, pero se ha logrado demostrar que las ecuaciones de tensiones y de circuitos acoplados son solo las sumas y restas de las tensiones inducidas o de los flujos que cortan una bobina.