Clase 12 - Energía Magnética - Cirtuitos inductivos -...
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Clase 12 - Energía Magnética - Cirtuitosinductivos - Transitorios
Prof. Juan Mauricio Matera
15 de mayo de 2019
Repaso
I Ley de Gauss para el campo eléctrico∫S~E · d ~S = QS
ε0
I Ley de Gauss para el campo magnético∫S~B · d ~S = 0
I Ley de Faraday
EC =∫C~E · d ~̀= − ∂
∂t
∫S~B · d ~S = − dΦB
dt
∣∣∣∣S
I Ley de Ampère ∫C~B · d ~̀= µ0iC
I Motor eléctrico
Pmec = Pabs = −E i = iN dΦBdt
I Generador eléctrico
Peléctrica = E i = −iN dΦBdt
Efecto de solenoides en un circuito
I Los Solenoides son bobinados de alambres conductoresalrededor de un núcleo ferromagnético (µ0 → µ).
I Al ser atravesados por una corriente, producen un campomagnético confinado.
I “Versión magnética de un capacitor”.I Debido a la Ley de Faraday
∆VL = −dΦdt = −L di
dt
donde L es una constante llamada “autoinductancia”.I Para un solenoide recto de sección S, longitud ` y N vueltas,
enrollado alrededor de un núcleo de permeabilidad µ,
L = S`µN2
I Inducción Mutua: Dados dossolenoides acoplados magnéticamente,las variaciones de corriente en unoproducen una FEM en el otro:
E21 = −M di1dt
E12 = −M di2dt
I Para un solenoide dentro de otrosolenoide,
M = µ0S`
N1N2
donde S es la sección del solenoideinterior y ` es ≈ la longitud compartida.(notar la semejanza con la capacidadde un capacitor C = ε0
S` )
I Para dos solenoides que comparten elmismo núcleo, de sección S
M ≈ µ S√`1`2
N1N2 =√
L1L2
Transformador idealI Si dos bobinados comparten
el mismo núcleo y no existenpérdidas,
Φ1 = Φ2 = Φ
en cualquier sección delnúcleo.
I Luego, por la Ley de Faraday
V1 = N1dΦdt y V2 = N2
dΦdt
de manera queI
V1N1
= V2N2⇒ V2 = V1
N2N2
Inductancias realesI Además de
autoinductancia einductancia mutua, lossolenoides presentanresistencia eléctrica.
I En las aplicaciones, lasautoinductancias serepresentan comoinductancias idealeslocalizadas, en serie conresistencias localizadas.
I De la misma manera, lasinductancias mutuas serepresentan localizadas, yen serie con resistenciastambién localizadas.
Combinaciones serie de inductancias
I Si dos o más inductores reales deinductancia Li y resistencia Ri seconectan en serie, resultan en unainductancia real equivalente con
Leq =∑
iLi Req =
∑i
Ri
I Nótese que el resultado esconsistente, despreciando los bordes,dividir un solenoide en dos tramos.
Combinación en paralelo de inductancias
I Si dos o más inductores reales deinductancia Li y resistencia Ri seconectan en paralelo, resultan enuna inductancia real equivalentecon
Leq = 1∑i L−1
iReq = 1∑
i R−1i
Energía y Densidad de Energía Magnética
Potencia en un autoinductor
I La relación E = −L dIdt implica que al
establecerse una corriente en unconductor, se absorbe una potenciaPe = −E i = Li di
dt = L2
di2
dt .I Integrando esta expresión, vemos que
para lograr una corriente estacionaria i ,se requiere una cantidad de energía
UB =∫
Pedt = 12Li2
I Cuando la corriente cesa, esta energíaes entregada nuevamente al circuito.
Energía MagnéticaI En el caso de un solenoide, podemos
escribir esta energía UB en términos delCampo magnético producido por lacorriente:
UB = Li2
2 = µ0SN2i2
2`
= µ20S`N2i2
2µ0`2= (µ0iN/`)2
2µ0(S`)
= |~B|22µ0V =
∫VUBdV
donde V es el volumen contenidodentro del solenoide y UB = |~B|2
2µ0la
densidad de energía magnética.I Interpretamos entonces que el campo magnético almacena
la energía absorbida al establecerse la corriente, y la entregacuando la corriente cesa y este desaparece.
I Se puede probar que en general,
UB =∫ |~B|2
2µ0dV
I Llamamos al integrando
UB = |~B|22µ0
la densidad de energía magnética.I Los inductores almacenan en su interior una energía magnética
U = 12∑
iLk i2
k + 12∑i 6=j
Mkl ik il
donde Lk es la auto inductancia del k-esimo circuito yMkl = Mlk la inductancia mutua entre los circuitos k−ésimo yl−ésimo.
Circuitos fuera del régimen estacionario
Circuitos fuera del régimen estacionario
I En un circuito, las resistencias,inductancias y capacidades serepresentan en forma localizada.
I Las Leyes de Kirchhoff siguensiendo válidas en circuitos coninductancias:I La suma algebráica de las caídas
de potencial en toda malla escero.
I La suma algebráica de lascorrientes en cualquier nodo seanula.
I La corriente sobre cualquier ramaes constante.
I En general, todo componente de uncircuito siempre involucra, ademásde una resistencia, pequeñascontribuciones a la capacidad yautoinductancia del circuito, quetípicamente pueden despreciarse silas variaciones de la corriente enel tiempo son pequeñas.
I Sin embargo, la inclusión en elcircuito de componentes comomotores y lámparas incandescentes,que involucran bobinados, o cablescoaxiles largos contribuyen siemprecon valores no despreciables deautoinductancia.
I En un capacitor, Q = C∆VC , perodQdt = −i luego, i = −C d∆V
dt .I En una autoinductancia,Eind = −L di
dtI En un transformador,Eind ,2 = −M di1
dt − L2di2dt y
Eind ,1 = −M di2dt − L1
di1dt
I De esta manera, las ecuaciones quese siguen de las leyes de Kirchoff encircuitos con inductancias ycapacidades son en generalEcuaciones diferenciales linealesacopladas.
I En el caso de sistemas estacionarios,las derivadas se anulan yrecuperamos las ecuacionesalgebráicas.
El circuito RC Serie
I Es el ejemplo más simple de circuitoen un régimen no estacionario
I Por la Ley de mallas, una vezcerrado el circuito,
E − VC − iR = 0I En un capacitor, VC = −Q/C ⇒ i = −dQ
dt = C dVCdt , por lo que
en general, i 6= 0 fuera del régimen estacionario. Luego,
E − VC − RC dVCdt = 0
ó,dVCdt = 1
RC (E − VC )
RC dVCdt = E − VC
I Esta ecuación es análoga a la queobteníamos para la velocidad de unparacaídas, a partir de las Leyes deNewton
mdvzdt = mg − kvz
I Para tiempos menores a τ = m/k,el paracaídas parecía caer en caídalibre.
I Para tiempos mayores a τ = m/k,el paracaídas alcanzaba unavelocidad límite constantevlim = mg
k
La ecuación diferencial lineal de primer ordenI En general, la ecuación
diferencial
df (t)dt = flim
τ− 1τ
f (t)
con flim y τ dosconstantes, tienesoluciones
f (t) = flim+(f0−flim)e−t/τ
donde f0 = f (0) es elvalor inicial de lafunción.
I ex es la Función Exponencial que tiene las propiedadesex+y = exey y det
dt = et
I Para tiempos menores que τ , las solución varía con velocidad(f0 − flim)/τ en dirección al valor límite flim.
I Para tiempos mayores a τ , la solución tiende al valor constanteflim.
I Decimos que entre t = 0 y t � τ , el sistema atraviesa untransitorio, hasta alcanzar una situación estacionaria.
La ecuación diferencial lineal de primer ordenI En general, la ecuación
diferencial
df (t)dt = flim
τ− 1τ
f (t)
con flim y τ dosconstantes, tienesoluciones
f (t) = flim+(f0−flim)e−t/τ
donde f0 = f (0) es elvalor inicial de lafunción.
I ex es la Función Exponencial que tiene las propiedadesex+y = exey y det
dt = et
I Para tiempos menores que τ , las solución varía con velocidad(f0 − flim)/τ en dirección al valor límite flim.
I Para tiempos mayores a τ , la solución tiende al valor constanteflim.
I Decimos que entre t = 0 y t � τ , el sistema atraviesa untransitorio, hasta alcanzar una situación estacionaria.
I La ecuación diferencial lineal de primer orden aparecerecurrentemente en ciencias:I Movimiento en medios viscosos.I Procesos disipativos.I Decaimiento radioactivo.I Marcha al equilibrio en procesos químicos.I Concentración de antibióticos en sangre.
Volviendo al circuito RC ,
RC dVCdt = E −VC ⇒
dVCdt = E
RC −1
RC VC
de manera que VC ,lim = E , τ = RC y por lotanto,
VC (t) = E + (VC (0)− E)e−t/τ .
I La corriente en el circuito se recuperavía
i = C dVCdt = −C(VC (0)− E)
τe−t/τ
que se anula para t � τ .I Si inicialmente el capacitor estaba descargado,
VC (0) = Q(0)/C = 0, con lo quei = CE
τ e−t/τ = −CERC e−t/τ = − ER e−t/τ .
I A t = 0, la corriente se comporta como si remplazáramos elcapacitor por un cable.
Descarga del capacitorSi, luego de cargar al capacitor, se retira labatería, la ecuación diferencial
dVCdt = E
RC −1
RC VC
se reduce a
dVCdt = − 1
RC VC
con la condición inicial, VC (0) = E .I De esta manera, VC ,lim = 0, τ = RC y
VC (t) = Ee−t/τ .I La corriente en el circuito será
i = C dVCdt = −CE
τ e−t/τ = ER e−t/τ
I Nótese que el signo negativo en lacorriente se debe a que su circulaciónes opuesta que en la carga.
I En la descarga,un capacitor secomportainicialmentecomo sí fuerseuna FEM quedecrece amedida que sedescarga.
El circuito RL serieI Por la Ley de mallas, una vez
cerrado el circuito,
E + VL − iR = 0
I En una autoinductancia,VL = −L di
dt , por lo que en general,VL 6= 0 fuera del régimenestacionario. Luego,
E − L didt − Ri = 0
ó,didt = R
L ( ER − i)
I Inicialmente, la corriente es nula,por lo tanto,
i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L
R
El circuito RL serieI Por la Ley de mallas, una vez
cerrado el circuito,
E + VL − iR = 0
I En una autoinductancia,VL = −L di
dt , por lo que en general,VL 6= 0 fuera del régimenestacionario. Luego,
E − L didt − Ri = 0
ó,didt = R
L ( ER − i)
I Inicialmente, la corriente es nula,por lo tanto,
i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L
R
VL = −L didt = −L ilim
τ e−t/τ =−ilimRe−t/τ
I Al conectar el interruptor, laautoinductancia produce unaFuerza Contra-Electromotriz quese opone al paso de la corriente.
I Para tiempos cortos respecto a τ , elinductor se comporta como uninterruptor abierto.
I A tiempos largos, VL → 0 y elcircuito alcanza su régimenestacionario.
i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L
R
VL = −L didt = −L ilim
τ e−t/τ =−ilimRe−t/τ
I Al conectar el interruptor, laautoinductancia produce unaFuerza Contra-Electromotriz quese opone al paso de la corriente.
I Para tiempos cortos respecto a τ , elinductor se comporta como uninterruptor abierto.
I A tiempos largos, VL → 0 y elcircuito alcanza su régimenestacionario.
i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L
R
Descarga de un inductorI En este circuito, se asume que el
interruptor estuvo conectado por untiempo largo, y en un momento seabre.
I La corriente inicial por el inductorviene dada por i0 = E
R .I Al abrir el interruptor, la única
malla a considerar es a la quecontiene a L y a RD.
VL − iRD = 0
I La corriente será i(t) = i0e−t/τ conτ = L
RD.
I ⇒ VL = Lτ i0e−t/τ = RD
R Ee−t/τ
I De esta manera, por tiempos muycortos (del orden de L/RD) esposible lograr diferencias depotencial muy grandes.
Tratamiento cualitativo de circuitos con varias ramas
I Si inicialmente se encuentradesconectado, al conectar elinterruptor,
iL(0) = VC (0) = 0VL = E − iR
i = iC = ER + RCI Luego de un tiempo largo
de estar conectado, (t �τL = L/RL, τC = RCC),
VL = iC = 0 VC = E RLR + RL
i = iL = ER + RL
I Inmediatamente aldesconectar el interruptor,
i = 0 , iL = −iC = ER + RL
VC = E RLR + RL
, VL = E RCR + RL
. . . sin embargo, el transitorio puede presentar oscilaciones: