Tres Teoremas Fundamentales de La Teoria de Diseño de Estructuras

TRES TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORA DEL DISEO DE ESTRUCTURAS (THREE FUNDAMENTAL THEOREMS OF STRUCTURAL DESIGN THEORY)

Jaime Cervera Bravo, Dr, Arquitecto Fecha de recepcin: 12-IX-88 450-22

RESUMEN

En este artculo, tras recordar dos conocidos teoremas de Maxwell, 1890, y Michell, 1904, se presenta un importante teorema de la teora de diseo de estructuras, tanto por su generalidad terica, como por sus implicaciones prcticas; la estructura de diseo ptimo para un problema dado es tambin la ms rgida de entre todas las correspondientes a diseos alternativos, entendindose que las alternativas lo son de forma, manteniendo el mismo grado de aprovechamiento del material (idnticas tensiones de trabajo). De este modo, concebir modificaciones (de forma) en un diseo que reduzcan la deformabilidad de la estructura significa simultneamente disminuir la inversin en material en sta. Se adopta una formulacin explcita para tal teorema, apuntado como propiedad de las estructuras ptimas por Parkes, 1965.

SUMMARY

This article, after mentioning the well-known theories of Maxwell (1890) and Michell (1904), presen ts an importan t theorem on structural design, both for its theoretical generality as well as for its practical implications. The best structural design from among many alternatives is the most rigid one, the alternatives being understood to be alternatives in shape, maintaining the same use of materials (identical working tensions). In this fashion, the conception of modifications (in shape) in a design which reduces deformation of the structure means simultaneous reduction of materials. An explicit formulation is adopted for this theorem, considered as a property of optimal structures by Parkes (1965).

INTRODUCCIN

Es suficientemente conocido el diferente contenido del diseo y del anlisis, y esta diferencia se aplica entre otros campos al de la definicin de estructuras: poder analizar una estructura para asegurar que cumple los requerimientos estructurales exige un elevado grado de diseo previo de la misma: En general el anlisis ex-plora objetos definidos al efecto de validarlos o invali-darlos, y dichos objetos deben estar descritos con tan-ta mayor precisin, previamente al anlisis, cuanto ma-yor es la precisin del mtodo adoptado.

La tarea de definir estructuras exige, por lo tanto, un proceso iterativo de diseo-anlisis en el que, por otra parte, las decisiones en las primeras etapas de la defi-nicin son precisamente las ms importantes.

Con herramientas de anlisis adecuadas, y mediante un sistema de prueba y error, puede llegar a encontrarse una estructura suficientemente estable, segura, rgida, y compatible con otros requerimientos de uso, e inclu-so que se site en un coste razonable, siempre que se destinen a ello los medios y el tiempo necesarios. Los cuatro primeros requerimientos son obviamente inelu-dibles, pero para evaluar el ltimo debe considerarse tambin el propio coste del proceso de diseo. En fun-cin de los medios a emplear puede llegarse a un pun-to en que el ahorro de materiales sea menor que el aumento de coste del proceso de diseo, punto que de-pende del nmero de objetos iguales que hayan de pro-ducirse.

La experiencia del proyectista puede acortar el cami-no de prueba y error permitindole producir rpidamen-

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te diseos vlidos y razonables en cuanto a coste, pe-ro por el contrario limita la bsqueda de soluciones al-ternativas.

ra, por lo que puede en stas plantearse uno o varios Problemas de Maxwell que caractericen su comporta-miento.

La teora del diseo estructural trata de racionalizar el proceso de diseo estableciendo, mediante el anlisis de soluciones genricas, reglas que permitan llegar en el menor tiempo y al menor coste posible a solucio-nes razonables. Cuando hablamos de teora del dise-o estructural nos referimos al diseo general de la es-tructura; al final del proceso ser precisa una etapa de diseo especfico en la que se produzca la documen-tacin necesaria para la ejecucin de la estructura.

En el pasado, el nfasis de la investigacin ha sido puesto en la depuracin de los mtodos de anlisis, nfasis mediante el que se han logrado niveles de pre-cisin muy elevados. Sin embargo, los primeros inten-tos realizados en la lnea de formalizar una teora del diseo (Maxwell, 1890, Michell, 1904,...) no han sido va-lorados ni continuados adecuadamente. El grupo de profesores formado en torno a la docencia de Clculo de Estructuras III y Proyectos de Estructuras de la Es-cuela Tcnica Superior de Arquitectura de Madrid, de la Universidad Politcnica, ha realizado diversos avan-ces en ese terreno (1). Este artculo enuncia tres teore-mas bsicos para dicha teora. Finalmente se exponen algunas reflexiones sobre la misma.

Llamaremos Estructura de Maxwell a la estructura que resuelve un Problema de Maxwell y que cumple la con-dicin siguiente:

est constituida por elementos que trabajan unia-xilmente, en traccin o compresin.

Llamamos finalmente Estructura estricta a toda estruc-tura de Maxwell tal que:

en todo punto de la estructura el dimensionado es estricto, ie. si la estructura est realizada con un ma-terial dado, en todas las secciones de la misma el material se halla sometido a la mxima tensin compatible con la seguridad (a de servicio en todos los puntos).

Se trata nuevamente de estructuras tericas, en la me-dida en que en la realidad no es usual cumplir dichos requerimientos: Los diseos no son estrictos, tanto por razones derivadas de la necesidad de rigidez (deforma-ciones limitadas, estabilidad,...), como por razones constructivas (dimensionados por seccin constan-te,...).

1. TRES TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORA DEL DISEO DE ESTRUCTURAS

1.1. Definiciones previas En primer lugar definiremos como Problema de Max-well el de definir una estructura capaz de poner en equi-librio entre s a las fuerzas de un sistema tal que tanto la posicin como la magnitud de las mismas estn de-finidas. En dicho problema es evidente que la resultante y el momento resultante de dicho sistema de fuerzas es nulo, pues de otro modo el equilibrio no es posible. La funcin de la estructura ser conectar dichas fuer-zas entre s, constituir la ligazn fsica que permita ma-terializar tal equilibrio.

Debe quedar claro que se trata de fuerzas definidas tambin en posicin, y que dicho sistema incluye, tal como est formulado el problema, todas las fuerzas ex-ternas del mismo, tanto acciones como reacciones.

Dicho problema es, asimismo, un problema terico en la medida en que la existencia y la forma de la estruc-tura tienen una influencia considerable en la magnitud y posicin de tales fuerzas (y ello sin considerar que muchas de ellas son imprevisibles, por ms que exis-tan formas convencionales normadas de considerarlas). Sin embargo es posible, en tipologas dadas de estruc-turas, acotar las fuerzas a que se somete la estructu-

Las piezas en flexin no encajan con facilidad en la des-cripcin, mantienen tensiones variables en la seccin, muchos de cuyos puntos se encuentran sometidos a estados planos no uniaxiles,... Existen, sin embargo, es-tructuras en flexin que s pueden hacerlo, y se puede intentar modelizar la pieza mediante conceptos asocia-dos a alguna de dichas estructuras, con las salveda-des que sean necesarias (por ejemplo emulando los es-tados biaxiles de cortadura por una doble familia de estados de traccin-compresin,...).

Existen estructuras y componentes estructurales que basan su comportamiento en estados bi o triaxiles. Sin embargo forman una familia que supone un porcenta-je limitado del total de estructuras construidas, y en ellas a menudo el uso de materiales heterogneos lle-va a trabajar en ellas con estados uniaxiles, pese al glo-bal de la estructura: pinsese en los armados en pla-cas o lminas de hormign, que suponen un importante componente estructural sometido a traccin (o com-presin en algunos casos) uniaxil.

En estas condiciones podemos definir un importante concepto, asociado en gran medida al coste de la es-tructura:

Cantidad de estructura, W (2) es la integral extendida a toda la estructura de los productos IN | ds, siendo




t

I I Pjg^ 1Para ambos esquemas estructurales (1 T a 1 m de distan-cia) las magnitudes W y M valen

W = 1 m.t W = 1.666 m.t M = 1 m.t M = 1.00 m.t

N el esfuerzo en la "seccin" y ds el elemento longitu-dinal de pieza en el punto considerado.

W = |N| ds [11

Se consideran valores absolutos de modo que, ya se trate de traccin o compresin, se obtengan valores po-sitivos. Tal cantidad acumula todos los productos de esfuerzo por longitud correspondientes a todas las "ba-rras" de la estructura, y tiene dimensiones fsicas de trabajo. (Fig. 1).

La cantidad de estructura es una medida del volumen de la estructura no asociada al material utilizado: en efecto, sea un material de comportamiento simtrico, en traccin y compresin, cuya tensin de trabajo sea a. Para una estructura estricta, en toda seccin el rea ser:

A = |N|/a y el elemento de volumen

dV = A - ds

de modo que el volumen de la estructura ser:

V = A -ds = | N | / a d s = W/a [2]

si admitimos a constante.

De este modo en una Estructura Estricta el volumen de la estructura es directamente la "cantidad de estruc-tura" dividida por la Tensin de Servicio. Si no es posi-ble asegurar idntica tensin en todos los puntos, el volumen ser mayor que dicho cociente, pero estar go-bernado por la magnitud W.

Veremos ms adelante que en el caso de una estruc-tura formada, bien por materiales diferentes en com-presin o traccin, bien por un material de comporta-miento no simtrico en ambos estados y siendo a, # a^ las tensiones en servicio en traccin y compresin, el Volumen de la Estructura V es una funcin lineal de W.

Teorema de Maxwell

Para toda Estructura de Maxwell, que resuelve un mis-mo problema de Maxwell, la cantidad

M = N - ds

es funcin de las fuerzas aplicadas y de sus puntos de aplicacin, e independiente de la forma de la estruc-tura, siendo la misma para todas ellas.

Ntese que aqu no se trata de valores absolutos de N, sumando por lo tanto compresiones y tracciones con signos opuestos. Ntese, asimismo, que la afirma-cin se hace para toda estructura de Maxwell no ne-cesariamente de dimensionado estricto que resuel-ve idntico problema.

Para demostrar dicho Teorema basta aplicar el Teore-ma de los Trabajos Virtuales a una estructura tal:

Por dicho teorema, si sometemos a una estructura en equilibrio a un movimiento o deformacin arbitrario, el trabajo total realizado por fuerzas externas e internas es nulo.

Supongamos pues una deformacin consistente en ex-pandir uniformemente la estructura en torno al origen de coordenadas, que permanece fijo, ampliando las di-mensiones lineales I en un factor (1 + e). Denotaremos por ej al vector desplazamiento de todo punto i en ta-les circunstancias. Tales vectores forman una radiacin de centro en el origen y de magnitud proporcional a la distancia de cada punto al mismo.

En esta situacin el trabajo realizado por las fuerzas exteriores ser LF, e,, suma de los productos esca-lares fuerza desplazamiento. Si desglosamos en com-ponentes:

EF. e, = EF^, X,. e + EFy, - Y, - e + LF, Z, e




Por Otro lado la deformacin interior en cada compo-nente de la estructura ser e, constante en toda ella.

El trabajo de deformacin interno a la estructura ser:

U = c j -e -dV = e ( 7 - d V = e - N - (dV/A) = /I

= e N ds

y por lo tanto si el trabajo total debe ser nulo resulta

M = N . ds = EoF i^ X, + LFy, - Y, + EF,, Z, [31

Ntese que a puede ser variable sin que ello afecte al razonamiento.

En las anteriores expresiones, suponiendo una estruc-tura dada a la que se aplica la expansin uniforme e, es evidente observar que U, y por lo tanto EF, e, no dependen del sistema de ejes de referencia elegido. Co-mo a su vez EF, e^ no depende de la estructura ele-gida, resulta ser M independiente de sta, es decir es una constante del Problema, que no depende de su so-lucin.

De dicho teorema se derivan importantes corolarios:

1) En un problema de Maxwell, la diferencia entre la cantidad de estructura utilizada en traccin y com-presin permanece constante para todas las estruc-turas que lo resuelven, por lo que reducir la parte de estructura que trabaja en compresin conlleva si-multneamente reducir la parte en traccin, y vice-versa.

En efecto, desglosando la cantidad de estructura W en dos partes, una W^ en traccin y otra W"" en compre-sin resulta:

W = W^ + W~ ;

M = W^ - W~ (constante)

Reducir uno de los trminos en la segunda expresin exige reducir el primero, al efecto de que se mantenga la diferencia. Por ello:

2) Si se minimiza una de las dos partes de compresin o de traccin de una estructura se minimiza la es-tructura.

3) Una estructura de Maxwell, slo fraccionada o slo extendida, es ya una estructura mnima, y todas las diferentes estructuras que puedan proponerse en es-tas condiciones para el problema de Maxwell dado son equivalentes.

^ ^

"^Si -0=3-

1^

^H

^^

i t *


Podemos ver ahora que en el caso de una estructura dimensionada estrictamente y formada, bien por ma-teriales diferentes en compresin o tracccion, bien por un material de comportamiento no simtrico en ambos estados y siendo a^ y a^ las tensiones mximas admi-sibles en traccin y compresin en valores absolutos, el Volumen de la Estructura V es una sencilla funcin lineal de W, de modo que la estructura de mnimo vo-lumen es tambin la de menor cantidad de estructura.

En efecto el volumen ser:

V = |N | / a -ds = dW/(j [21 (expresin que no es ms que una generalizacin de [2] y por lo tanto

V = 1/a, dW" + 1/a, dW" = W"/a, + W~/a,

como

M = W ' - W" ,

resulta

(a - 7) M = (a* - (f) W" - ((7* - (f) W"

y como

2 a, a, V = 2 a, W" + 2 (j, W"

resulta, sumando ambas expresiones,

2 (7, - a, V + ((7 - C7-) M = (a, + a,) (W" + W") = = (c^r + o^ W

de este modo

v= Al_^w-A^:^M 2' ar (Je 2 a, j. [4]

Es fcil ver que en problemas de slo traccin o slo compresin W y M coinciden, salvo signos, mientras que en los problemas de slo flexin M es nula (Fig. 3).

I

\ t i

V> ^ V Problemas de slo flexin y\l ^ M


Teorema de Michell

(Veamos a continuacin una formulacin del mismo).

Una estrutura estricta alcanza el lmite de economa (es estructura mnima) si el espacio en el que est si-tuada puede ser sometido a una deformacin (virtual), tal que los alargamientos o acortamientos unitarios se incrementan igualmente en todas las piezas (con el mismo valor y en el signo original), y en valor no me-nor que en el cambio unitario de longitud de cualquier elemento del espacio considerado.

Si el espacio considerado se extiende al infinito, en to-das las direcciones, el volumen de tal estructura es m-nimo con relacin a todos los posibles diseos, y en caso contrario mnimo en relacin a los diseos que pueden considerarse incluidos en el mismo contorno finito.

Considrese el espacio delimitado por un contorno da-do encerrando todas las estructuras estrictas interio-res a ese contorno que puedan concebirse para un cier-to problema de Maxwell. Considrese dicho espacio so-metido a una deformacin (virtual) arbitraria, y tal que el valor absoluto de las deformaciones principales (vir-tuales) en todo punto del espacio sean menores que un cierto valor e dado. (En toda direccin del espacio el valor absoluto del alargamiento o acortamiento uni-tario IX es: Ul < e). Por el principio de los trabajos vir-tuales, la variacin en la energa de deformacin de ca-da estructura es igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores 6U y por lo tanto igual para todas ellas. Po-demos escribir, pues,

5U = L . a - dV

igual para todas las estructuras consideradas.

5U = U . a - A - ds =

ds <

[ / . .N-ds < [ |,i| . |N|

. | N | ds

de modo que para todas ellas,

5U < e dW [51

De este modo los valores posibles para la cantidad de estructura W, incluyendo el correspondiente a la estruc-tura mnima, quedan acotados inferiormente por 5U/e.

Ahora bien, si es posible encontrar una estructura cu-yas deformaciones se incrementen en la deformacin virtual, i: con el mismo valor (|/i| = e) en todos los pun-tos, y ii: en el mismo sentido que las deformaciones originales, en el desarrollo anterior los signos < se mo-difican a = , por lo que dicha estructura tiene como cantidad de estructura la citada cota inferior, y es por lo tanto la estructura mnima (Fig. 4).

De la clase de estructuras que pueden ser sometidas con xito a una deformacin test del tipo citado, Mi-chell presenta dos subclases:

1) las estructuras sometidas a esfuerzos de igual sig-no en todas sus barras (para stas la deformacin test es una contraccin o una dilatacin uniforme del espacio);

^ ^

Fig. 4.En la deformacin test (crculo de Mohr adjunto) la direccin de una barra en un punto como el A no "aprovecha" toda la posi-ble deformacin.




-v

kF

Fig. 5.Estructuras de Michell.

2) las estructuras formadas por barras en direcciones ortogonales antes y despus de la deformacin, para las que la deformacin test es igual en valor, y de igual u opuesto signo en tales direcciones (Fig. 5).

Veamos, por ltimo, el tercer teorema.

Teorema de la mnima deformacin

De entre todas las estructuras estrictas que resuelven el mismo problema de Maxwell, todas aquellas que tie-nen igual cantidad de estructura tienen igual deforma-cin; la deformacin aumenta con la cantidad de es-tructura del esquema elegido, y, finalmente, la estruc-tura mnima (la de menor cantidad de estructura) es a su vez la ms rgida.

Para poder demostrar el Teorema hemos de definir pre-viamente cmo describimos de una forma abstracta y uniforme la deformacin para esquemas estructurales que pueden ser muy diferentes. Se trata de usar una norma coherente del desplazamiento, un escalar que permita la comparacin y que sea acorde a la "defor-mabilidad" que se asigna ms o menos intuitivamen-te a cada estructura.

Es usual, en esquemas sencillos (prtico de una altu-ra, viga de un vano,...) usar como medida de la defor-macin de la estructura un desplazamiento de sta, y en particular el desplazamiento en la posicin y direc-cin de la carga principal ("bajo" la carga principal) (Fig. 6), y cuando no es ese el caso, un valor que es propor-cional a ste para tipos comparables de estructuras (Fi-gura 7).



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^ A A

Figs. 6 y 7.Medidas usuales de la deformacin. La flexibilidad de la estructura suele medirse como 8IP, 6/q.

Para problemas de Maxwell, los nicos parmetros fi-jos son la posicin y magnitud de las cargas, por lo que es apropiado usar los desplazamientos "bajo" stas, debiendo ser combinados en forma apropiada todos ellos en un nico escalar. Una forma de hacerlo es su-marlos escalarmente asignando pesos a cada uno, bien iguales, bien que denoten una contribucin diferente a la suma segn su importancia respectiva (pesos di-ferentes segn la importancia). Se tratara, pues, de una medida del tipo:

h = ILoL, b,

Siendo b^ la medida de la deformacin de la estructu-ra, a el peso asignado a cada desplazamiento y , ca-da uno de ellos. La forma ms evidente de asociar un peso a cada desplazamiento es hacerlo mediante la magnitud de la carga aplicada en el punto correspon-diente. Se reproduce as la idea intuitiva de que las car-gas mayores son las de mayor importancia en la des-cripcin del comportamiento global de la estructura. De este modo

be = EP, b,

Ahora bien, es fcil ver que tal magnitud es la prdida de energa potencial de las fuerzas que constituyen el

problema debido a la deformacin de la estructura. Co-rresponde, pues, a un concepto claro, adecuado en los casos sencillos citados con anterioridad, y utilizable de forma totalmente general.

Por tanto, adoptando como deformacin de la estruc-tura el valor de la prdida de energa potencial de las fuerzas, que sobre ella actan, basta medir este valor y compararlo en estructuras diferentes. Dicho valor, considerado desde el punto de vista de la deformacin de la estructura, no es ms que la integral extendida a todo su volumen del producto Tensin Deformacin (suma de la energa de deformacin y de la energa complementaria) (Fig. 8).

5. = Up = G dV = dW

= dW [6]

Tratndose de comparar diseos estrictos de idntico material, como los valores de tensin y deformacin son constantes e iguales para todos los diseos con-siderados, y eso en todas y cada una de sus seccio-nes, resulta que la deformacin de la estructura es pro-porcional en estructuras estrictas a la cantidad de es-tructura de stas.



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I 1 T"

+ + + + + >| + + + + -b

+ + + + +

H **" ^"Energa complementaria" . . . . Fig. 8.-

"Energa de deformacin"

De ello se deduce que estructuras de igual cantidad de estructura son igualmente deformables, y que la es-tructura mnima (de menor cantidad de estructura) es asimismo la ms rgida.

Ha de repetirse que se trata de la comparacin entre estruc-turas de forma diferente propuestas para idntico proble-ma de Maxwell, y que usan el mismo material con idntico aprovechamiento local (iguales tensiones y deformaciones locales): es evidente que para cualquiera de tales estructu-ras podra aumentarse la rigidez (a la vez que el consumo de material) disminuyendo la tensin de trabajo (y el apro-vechamiento del material).

Si se usan materiales o tensiones diferentes en trac-cin y compresin, el proceso es algo ms complica-do, pero se llega a idntico resultado:

Up= U.e..dv+ a,.e,.cw= G,.vr + e,-vr;

2 . Up - (G, - GJ . M = (G. + GJ - (W^ + W") = = (G, + G J . W

(G, + G,) (G, - G,) [7]

2 U p = 2 . G , -W" + 2 - G , W -

Tal teorema permite justificar completamente la liga-zn existente entre menor coste y menor deformacin en los casos conocidos: vigas continuas frente a vigas apoyadas, cerchas trianguladas o arcos de canto pti-mo, etctera (Fig. 9). Puede verse que las magnitudes W y M revisten una importancia crucial en la descripcin del diseo de una estructura, gobernando tanto su volumen como su de-formacin.

Cabe aadir, adems, que W (cantidad de estructura) es mejor medida de la inversin en estructura requeri-da por un diseo que V (volumen de material), en la me-dida en que no depende del material elegido para ma-terializar dicho diseo, siendo sus magnitudes exclu-sivamente fuerzas y recorridos correspondientes al es-quema estructural adoptado.

Del teorema anterior pueden deducirse importantes co-rolarios:

1) Para minimizar la estructura de un problema de Max-well bastar obtener el esquema estructural que mi-nimice la deformacin de la misma (siempre que se utilice el material en su mximo aprovechamiento).

: c A

^ e ^

" ^ ^ ^

l/\/\/\AA/\/W^ > H' ^ f^

Fig. 9.- Todas las soluciones de la columna izquierda son mayores (en coste) y ms deformables que las correspondientes soluciones de la columna derecha para idntico aprovechamiento del material (igual tensin de trabajo).



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2) Disminuir la rigidez de un esquema estructural con-lleva aumentar su cantidad de estructura, y, en la me-dida en que el coste depende de aqulla, aumentar el coste final de la estructura.

3) Si para un tipo estructural dado, el lmite en que tal tipo deja de ser utilizable por razones econmicas (en competencia con otros tipos) corresponde a un esquema en el que se cumplen los requerimientos de deformacin sin necesidad de disminuir las ten-siones en sus secciones, dichos requerimientos de deformacin se cumplen igualmente en todos los esquemas utilizables de dicho tipo, pues correspon-dern a estructuras de menor coste y, por tanto, de menor cantidad de estructura y, por ende, de menor deformacin.

este modo la teora deber tener un carcter marcada-mente geomtrico, describiendo cuestiones goberna-das en parte por las formas, por las proporciones, y en parte por los tamaos. El anlisis, aplicado a tipologas genricas de estructuras, permite establecer dichas he-rramientas.

NOTAS:

(1) Ha de citarse la labor pionera desarrollada por los profe-sores Ricardo Aroca y Jos Luis de Miguel en este terre-no.

(2) Trmino acuado por Ricardo Aroca. Con anterioridad ha sido utilizado el de "trabajo estructural".

Unas reflexiones finales

En primer lugar deseara que los teoremas anteriores permitan llamar la atencin sobre las posibilidades que ofrece una teora del diseo de estructuras.

En segundo lugar quiero sealar que en la medida en que la realidad es geomtrica, y en la medida en que las herramientas que se utilizan en las etapas inicia-les del diseo son herramientas geomtricas (dibujos, croquis,...), introducir la reflexin sobre el diseo es-tructural en esas etapas exige (y es posible hacerlo) establecer conceptos y herramientas de reflexin de tipo geomtrico: de otro modo no podran ser utiliza-das con facilidad en el anlisis y contraste de las dife-rentes opciones (no slo estructurales) en juego. De

BIBLIOGRAFA

1. J. C. Maxwell, 1890: Scientific papers, Cambridge Univ. Press. London Vol. 2.

2. Michell A. G. M., 1904: "The limits of Economy of Material in Frame-structures" en Philosophical Magazine. 8.6, Vol. 8, N. 47 Nov. 1904.

3. Parkes E. V. V., 1965: "Braced Frameworks". Pergamon Press, Oxford.

4. Jos Luis de Miguel, 1974. Tesis Doctoral: "Trabajo estruc-tural: Un nuevo escalar en el diseo de estructuras". ET-SAM. Universidad Politcnica de Madrid.

5. Hemp W. S., 1973: "Optimum Structures". Clarendon Press. Oxford.

publicaciones del lETcc/CSIC

cdigo-modelo ceb-flp para las estructuras de hormign ;

El Instituto Eduardo Torroja, miembro activo tanto del Comit Eurointernacional del Hormign (CEB), como de la Federacin Internacional del Pretensado (FIP), ha tomado a su cargo la traduccin y edicin de esta importante normativa.

Aunque presentado con el titulo de Cdigo Modelo CEB/FIP 1978 este documento incorpora los dos primeros volmenes de este Sistema Unificado Internacional de Reglamentacin Tcnica de Ingeniera Civil. El primer volumen de este Sistema Unificado es el denominado Reglas comunes Unificadas para los diferentes tipos de obras y materiales, donde se exponen los criterios y formatos de seguridad a que han de ajustarse los diferentes Cdigos (estructuras de hormign, estructuras metlicas, estructuras mixtas, estructuras de albaileria y estructuras de madera), que han de configurar la totalidad del antedicho sistema. El segundo volumen es propiamente el Cdigo Modelo para las Estructuras de Hormign. Fruto de la colaboracin de dos asociaciones del prestigio del CEB y la FIP, desde mediados de los 60, incorpora los avances cientficos y tecnolgicos producidos en los ltimos aos sin detrimento alguno de la claridad y operatividad que deben presidir un cdigo que pretende ser, ante todo, un auxiliar prctico para los tcnicos de la construccin.

El Cdigo sigue en su estructura las reglas ms o menos clsicas: una primera parte dedicada a los datos generales para el clculo (propiedades de los materiales, datos relativos al pretensado, tolerancias); en segundo lugar se presentan las reglas de proyecto estructural (acciones, solicitaciones, estados lmites ltimos y de utilizacin, reglas de detalle para el armado); y, por ltimo, ejecucin, mantenimiento y control de calidad. Tambin incluye reglas para estructuras con elementos prefabricados y estructuras de hormign con ridos ligeros. Los Anejos del Cdigo se refieren a: terminologa, proyecto mediante la experimentacin, resistencia al fuego, tecnologa del hormign, comportamiento en el tiempo del hormign y fatiga.

Un volumen encuadernado en carton, de 21 x 30 cm, compuesto de 340 pginas, Madrid, mayo 1982.

Precios: Espaa 2.500 ptas. Extranjero 36 $ USA.



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