Triangulos
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CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Trigonometría
TEOREMAS Y POSTULADOS
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TRIÁNGULOS
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.
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Para designar un triángulo se emplea el símbolo y para el plural ‘s .
Para nombrarlo se pueden usar las 3 letras de sus vértices en cualquier orden.
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CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Se clasifican según la igualdad o la desigualdad de sus lados , o la clase de ángulos que tengan:
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Equilátero Isósceles Escaleno
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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS
a) TRIÁNGULO ESCALENO: es aquel que ninguno de sus lados son iguales.
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b) TRIÁNGULO ISOSCELES: tiene iguales dos de sus lados.
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c) TRIÁNGULO EQUILATERO: tiene sus tres lados iguales; también se le llama acutángulo, por tener sus tres lados iguales (estos miden siempre 60°).
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Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Oblicuángulos
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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.
a) TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto (90°).
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b) TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un ángulo obtuso, mayor a 90°.
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c) TRIANGULO ACUTANGULO: tiene sus tres ángulos agudos.
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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Las rectas notables son: a. Medianas b. Mediatricesc. Bisectrices d. Alturas De cada una de ellas en cualquier
triangulo son tres.
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MEDIANA
Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
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MEDIATRIZ
Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.
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BISECTRIZ
Recta que partiendo de su vértice divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.
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ALTURA
Perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas correspondientes a cada lado.
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En un triángulo obtusángulo, las alturas correspondientes a los lados del ángulo obtuso caen fuera del triángulo, por lo tanto el ortocentro también.
A B
C
Ortocentro
Altura Altura
Altura
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TRAZOS
TRAZADO DE UNA BISECRIZ: con un ángulo cualquiera, con el compas haciendo centro en el vértice del ángulo y con una distancia cualquiera, se marcan los puntos B y C en los lados del ángulo; con esa misma abertura del compas, haciendo centro en B trazar un arco D, haciendo lo mismo con el punto C, se vuelve a cruzar en el arco D. Uniendo el vértice del ángulo con el punto D, se obtendrá la bisectriz del ángulo.
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TRAZADO DE LA MEDIATRIZ: En un segmento cualquiera abrimos el compas a más de la mitad del segmento, y haciendo centro en los dos extremos de él, se trazan los arcos C y D, a cada lado del segmento. Se unen los dos cruces de los arcos hechos con una recta, esta será la mediatriz del segmento.
C
D
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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: se sigue el mismo procedimiento para trazar o localizar el punto medio; solo se unen los arcos r y n sobre el segmento AB y se hará una marca que será M, exactamente el punto medio de un segmento .
n
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PUNTOS NOTABLES
Los puntos donde se cortan las rectas notables en un triangulo son:
1.BARICENTRO:
Centro de gravedad del triangulo donde se cortan las medianas.
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2.CIRCUNCENTRO: punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo.
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INCENTRO: punto en donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito del triangulo.
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ORTOCENTRO: punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo.
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PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
I. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo.
AlturaMedianaMediatrizBisectriz
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II. En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.
III. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
IV. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
V. En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.
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ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE TRIÁNGULOS
TEOREMA 1La suma de los ángulos
interiores de todo triángulo es igual a dos ángulos rectos o sea 180°.
A B
C
M N
x y
<A+<B+<C=
2rt.=
180°
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TEOREMA 2
Es un COROLARIO del teorema 1.
La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a un recto (90°).
C
AB
<A + <C= 1rt. = 90°
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TEOREMA 3La suma de los
tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo es igual a 4 ángulos rectos (360°)
A
C
BX
Y
Z
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TEOREMA 4:
Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes. A B
C
X
<X = <A + <C
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CONGRUENCIA
TRIÁNGULOS CONGRUENTESSon los que tienen igual forma y tamaño. Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
A B
C70°
60°
50°
C’
A’
B’
50°
70°
60°
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MARCAS EN LAS PARTES HOMÓLOGAS
Los triángulos congruentes se pueden sobreponer, entonces los ángulos de un triangulo que coinciden con el otro se llaman, ángulos homólogos y los lados que coinciden serán homólogos.
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LOS PRINCIPALES CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS SON 3:
Si un triangulo tiene dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.