1 Podemos resolver un triángulo siempre que conozcamos tres de sus seis elementos. Sin embargo, no

encontrarás ningún ejemplo en el que se ofrezca la medida de sus tres ángulos solamente. ¿Por qué? Solución: Porque los tres ángulos no bastan para resolver un triángulo, dado que no hay un único triángulo con dichos ángulos, sino todos los semejantes a él.

2 Las ramas de un compás miden 7 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con el compás abierto en un ángulo de 40º? Solución: Quedaría el siguiente dibujo:

Por lo tanto,

cm2,3920º7·senr7

r20ºsen

.

3 Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 10 cm y el perímetro 32 cm. Determina las medidas de los ángulos del triángulo. Solución: El lado desigual del triángulo mide 32 - 2 · 10 = 12 cm, por lo que la altura divide al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm.

Por tanto,

'48' 7' 53º5

3arccosBA

5

3

10

6cosA

, y '24' 44' 73º'48' 7' 53º · 2180ºC .

4 Resuelve los siguientes triángulos:

a) a = 12 m, b = 7 m, A = 85º. b) b = 38 m, c = 50 m, a = 42 m. c) b = 17 m, c = 15 m, A = 48º. Solución:

a) Por el teorema del seno:

'35º31'44'12

85ºsen7arcsenB

senB

7

85ºsen

12

. C = 180º - 85º - 35º31'44'' = 59º28'16''.

Por el teorema del seno:

m10,3885ºsen

'59º28'16'sen12c

'59º28'16'sen

c

85ºsen

12

.

b) Por el teorema del coseno:

'54º59'33'2·38·50

425038arccosAcosA2·38·50503842

222222

.

Por el teorema del seno:

'47º49'21'42

'54º59'33'sen38arcsenB

senB

38

'54'59'33'sen

42

. C = 180º - 54º59'33'' - 47º49'21'' = 77º11'6''.

c) Por el teorema del coseno: m13,14a172,7448ºcos2·17·151517a 222

.

Por el teorema del seno:

'74º2'22'13,14

48ºsen17arcsenB

senB

17

48ºsen

13,14

. C = 180º - 48º - 74º2'22'' = 57º57'38''.

5 Un faro tiene una altura de 20 m. Desde lo alto del faro el ángulo de depresión de un barco es 35º. ¿A qué distancia de la base del faro está el barco? Solución: Como el ángulo de depresión (ángulo que forma la visual con la horizontal) es de 35º,

m28,5635ºtg

20x

x

2035ºtg

.

6 Desde un barco, el ángulo de elevación hasta la luz de un faro a 100 m sobre el nivel del mar es 20º. Calcula la distancia a la que se encuentra el barco del faro. Solución:

m274,7420ºtg

100x

x

10020ºtg

.

7 Halla x e y en los siguientes triángulos: a) b)

Solución:

a) Si la base del triángulo es z:

cm9,4028ºtg

5z

z

528ºtg

.

Por tanto:

cm4,4128ºsen9,4y9,4

y28ºsen

y

cm8,3028ºcos9,4x9,4

x28ºcos

.

b) Como el ángulo comprendido entre 72 e y es 90º - 56º = 34º, entonces:

m40,2634ºsen72x72

x34ºsen

y

m59,6934ºcos72y72

y34ºcos

.

8 Calcula x en el siguiente triángulo:

Solución:

Llamando h a la altura:

m55,7259ºsen65h65

h59ºsen

.

Por el teorema de Pitágoras: m190,3418255,72x 22

.

9 Las torres Kio de Madrid tienen forma de romboide. Si la longitud de la base fuera 40 m, la altura 82 m y el ángulo que el lado inclinado forma con el suelo 74º, determina a qué distancia de la base del bloque golpearía el suelo una piedra que se dejara caer desde el borde de la azotea. Solución:

m23,5174ºtg

82x

x

8274ºtg

.

10 Un globo pasa por encima de un observador al ir de un punto A a otro B separados 2 km. Los ángulos de elevación del globo en esos puntos son 23º y 42º. ¿A qué altura va el globo? Solución: Se forma el siguiente triángulo:

67ºh·tg248ºh·tg

67ºh·tgx

h

x24290tg

h

x2390tg

km0,57767ºtg48ºtg

2h267ºtg48ºtgh

.

11 Calcula los ángulos A, B y C en el siguiente triángulo:

Solución:

Por el teorema del coseno:

'68º4'49'2·88·94

1029488arccosAcosA2·88·949488102

222222

.

'53º9'57'2·102·94

8894102arccosBcosB2·102·949410288

222222

. C = 180º - 68º4'49'' - 53º9'57'' = 58º45'14''.

12 Resuelve un triángulo sabiendo que dos lados miden 5 y 7 m y su ángulo comprendido 37º. Solución:

El lado a que falta se calcula aplicando el teorema del coseno: m4,2518,09a37ºcos2·5·775a 222

. El ángulo B opuesto al lado de 5 m se calcula aplicando el teorema del seno:

'45º4'26'4,25

37ºsen5arcsenB

37ºsen

4,25

senB

5

. El ángulo que falta es: C = 180º - 37º - 45º4'26'' = 97º55'34''.

13 El alzado de un granero es el que aparece en la figura. Determina su altura máxima.

Solución: Tomando el triángulo rectángulo que forma medio tejado, y llamando h a su altura:

m4,7750ºtg4h4

h90)tg(140

de alto tiene el tejado. Añadiendo los 3 m de la pared, la altura máxima es de 4,77 + 3 = 7,77 m.

14 ¿Qué triángulo tiene área mayor?

Solución:

La altura h1 del primero es:

m56,2960ºsen65h65

h60ºsen 1

1

. En el segundo triángulo, el ángulo A comprendido entre los lados de 65 y 80 m se calcula aplicando el teorema del

seno:

'44º43'13'80

60sen65arcsenB

senB

65

60ºsen

80

y por tanto A = 180º - 60º - 44º43'13'' = 75º16'47''.

La altura h2 del segundo es:

m62,87'75º16'47'sen65h65

h'75º16'47'sen 2

2

. El segundo triángulo es el que tiene más área, pues tienen la misma base y el segundo tiene mayor altura.

15 Te encuentras situado en el vértice de un triángulo del que conoces la amplitud del ángulo en que se encuentra, 56º, y la medida de los dos lados que lo forman, 42 y 52 m. ¿Puedes calcular el área? Solución:

Si consideramos como base el lado de 52 m y llamamos h a la altura:

m34,8256ºsen42h42

h56ºsen

, y

por tanto el área es

2m905,322

52·34,82A

.

16 Calcula a y b en el siguiente triángulo:

Solución: El ángulo que falta es 180º - 49º - 60º = 81º.

Por el teorema del seno:

m10,5281ºsen

60ºsen12a

81ºsen

12

49ºsen

b

60ºsen

a

y

m9,1781ºsen

49ºsen12b

.

17 Dos focos situados en el suelo a una distancia de 250 m iluminan a la vez un helicóptero en vuelo. El primero emite luz con un ángulo de 32º con la horizontal y el segundo con un ángulo de 48º. ¿A qué altura está el helicóptero? Solución: Si h es la altura y x es la distancia de la proyección del helicóptero con el primer foco, tenemos:

m99,97

32ºtg

48ºtg1

48ºtg250h

h48ºtg32ºtg

h250

32ºtg

hx

x250

h48ºtg

x

h32ºtg

.

18 Determinar el área de un terreno triangular cuyos lados miden 70, 60 y 45 m. Solución:

Por la fórmula de Herón, como el semiperímetro es

m87,52

456070

, el área es

2m1337,784587,5··6087,5··7087,587,5·A

.

19 Un camión de mudanzas debe transportar un listón de 4,5 m de largo. Si la parte destinada a la carga tiene forma de ortoedro cerrado de dimensiones 3,5 x 2,5 x 2 m, ¿se podrá transportar el listón? Solución:

Hay que calcular la diagonal x del ortoedro: m4,7422,5x22,53,5x 2222

. Por tanto, sí entra el listón de 4,5 m.

20 En un triángulo B = 72º12'46'' y dos de sus lados miden a = 12 m, c = 7 m . Calcula el área del triángulo sin determinar más elementos del triángulo. Después usa el teorema del coseno para calcular b. Solución:

La altura h se calcula así:

'72º12'46'sen12h12

h'72º12'46'sen

, por lo que el área es

2m33,992

'72º12'46'sen7·12A

.

m11,90141,68b'72º12'46'cos2·12·7712b 222 .

21 Desde un pico se ven dos pueblos A y B. Sabiendo que la distancia que los separa es 1400 m y las visuales

desde la cumbre son las del dibujo, determina la altura del pico.

Solución: Llamando h a la altura del pico y x a la distancia de A a la proyección de la cumbre:

m770,13

27º35'tg

15ºtg1

15ºtg1400h

h15ºtg27º35'tg

h1400

27º35'tg

hx

x1400

h15ºtg

x

h27º35'tg

.

22 Calcula el área del siguiente triángulo:

Solución: Llamando h a la altura y x a la distancia entre A y el pie de la altura, tenemos:

cm39,38

50ºtg

46ºtg1

46ºtg72h

h46ºtg50ºtg

h72

50ºtg

hx

x72

h46ºtg

x

h50ºtg

, por lo que el área es

2cm1417,682

72·39,38A

.

23 En un triángulo A = 62º, B = 85º y a = 12 m. Calcula empleando el teorema del seno la medida de b. ¿Cuánto mide c? ¿Y el área? Solución:

m13,5462ºsen

85ºsen12b

62ºsen

12

85ºsen

b

. Como C = 180º - 62º - 85º = 33º, entonces:

m7,4062ºsen

33ºsen12c

62ºsen

12

33ºsen

c

.

La altura h sobre el lado c es:

m11,9585ºsen12h12

h85ºsen

, y el área es

2m44,2152

7,40·11,95A

.

24 Calcula el área del romboide del dibujo:

Solución:

Si h es la altura del romboide:

cm22,0762º25·senh25

h62ºsen

.

Si A es el ángulo que forma la diagonal con la base:

0,596637

62ºsen25senA

senA

25

62ºsen

37

'33' 37' 36º0,5966arcsenA .

Si B es el ángulo que forma la diagonal con el lado oblicuo: '27' 22' 81º'33' º37' 3662º180ºB .

Si b es la base del romboide: cm41,43b1716,53'81º22'27'cos2·25·373725b 222

. Por último, el área es b · h = 41,43 · 22,07 =914,3601cm

2.

25 Calcula a en el siguiente triángulo:

Solución:

Si llamamos x a la distancia entre A y el pie de la altura:

cm66,9838ºcos85x85

x38ºcos

, por lo que AB = 66,98 + 94 = 160,98 cm.

Por el teorema del coseno: cm107,5811574,39a38ºcos52·160,98·885160,98a 222

.