U4 4to CJSF 2020 1 · 4. Dadas las siguientes fórmulas de funciones polinómicas definidas en ,...

Unidad No. 4: Funciones Polinómicas

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Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea Gandolf i

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Unidad No. 4

Funciones

Polinómicas

Nombre: ………………………….………………

4to. Año 2020

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández

CJSF 4to. año 2020


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Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea

Gandolf i

Pá b // /

Armado y d i seño de la un idad : Prof . Andrea

Gandolf i

Pá b // /

CJSF 4to. año 2020


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1 nn

aa

m

n m na a

Unidad 4: Funciones Polinómicas

Recordemos algunas cosas:

Función Fórmula Forma factorizada

Función lineal f x mx b 1f x m x x

Función Cuadrática 2f x ax bx c 1 2n x xx a x xf

Función Polinómica 0

11 1....nn

n nf xax x a x aa 1 2n nf x a x xx x xx

Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.

Todos los exponentes de un polinomio son números naturales o cero.

Un polinomio está completo si figuran en su expresión todos los monomios que lo componen aún cuando sus coeficientes sean cero

Si el coeficiente principal de un polinomio es uno, o sea, 1na el polinomio se denomina polinomio MONICO o NORMALIZADO.

1. Indica cuales de las siguientes fórmulas de funciones polinómicas y cuáles no. Justificar. En caso de que sí lo sean, determinen el grado, el coeficiente principal y el término independiente. ¿Es

polinomio? Grado Coeficiente principal

Termino independiente

2 31A x x 5 x

2

83B x 2 x

8

6 17 1F x x 6x x

2 2

H x x

E x 3

C x 5x

3

I x xx

Término independiente/

Ordenada al origen:

Indica la intersección con el eje de

ordenadas. 0;b

Coeficiente Principal

Grado del polinomio:

Es el mayor exponente.

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2. En el siguiente sistema de coordenadas se da la gráfica de la función polinómica f(x)

Completar :

0C

C

C je de ordenadas:e

¿Podrías encontrar la fórmula factorizada que corresponda a la función?

3. Indicar si x = -1 es raíz de alguna de estas funciones polinómicas definidas en :

a. ( ) 2 1Q x x

b. ( ) 1 2R x x x c. 3( ) 5 1 1T x x x

d. 2( ) 1 3M x x x

e. 2( ) 1 3H x x x f. 4

( ) 4 2A x x x

4. Dadas las siguientes fórmulas de funciones polinómicas definidas en , escribir las fórmulas reducidas. indicar el conjunto de ceros y su grado.

Fórmula reducida 0C Grado Multiplicidad

a. ( ) 2 3f x x

b. ( ) 2 3 1f x x x

c. ( ) 2 3 3 1f x x x x

d. ( ) 2 3 3 1 1f x x x x x

e. 3( ) 2 3 1 1f x x x x

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5. Menciona una raíz que tengan en común las siguientes fórmulas de las funciones polinómicas. Escribir (en donde se pueda) su fórmula factorizada.

a. 3 2( ) 3 6A x x x b.

3 2( ) 2 3B x x x x

c. 5 4 3( ) 2 4 2C x x x x d.

3 2( ) 5 15 10N x x x x

6. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado tres que corte al eje de abscisas únicamente en 1,0 21 xx y 23 x .¿Es única?

7. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado seis que sea mónica (coeficiente

principal es 1), tal que -6 sea una raíz de multiplicidad tres, 0 sea raíz doble y 1 raíz única. ¿Puede tener más raíces?

8. Escribir la fórmula de una función polinómica que sea de grado 4; corte al eje de ordenadas en 10 y corte al eje x en 1,5 21 xx , 23 x y 44 x .

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Multiplicidad de raíces

9. Graficar las siguientes funciones con el , completar la tabla y analizar el comportamiento de la función teniendo en cuenta la multiplicidad de las raíces.

0C y Multiplicidad

0C y Multiplicidad

a. 2 1 2f x x x x b. 2 222 1 2f x x x x

c. 222 1 2f x x x x d.

432 1 2f x x x x

e. 3 1 1 2f x x x x f. 2 2 43 1 1 2f x x x x

g. 3 23 1 1 2f x x x x h.

2 23 1 1 2f x x x x

¿Qué me indica la multiplicidad de la raíz en el gráfico?

10. Escribe en el comando o entrada del la siguiente fórmula,

21 2 1y a x x x . Te van a aparecer el deslizador correspondiente al valor de

“a” . Mueve el deslizador a y observa que pasa con la función.

a. Si a=0, ¿Qué tipo de función es?

b. Cuando a es positivo: ¿Qué ocurre con las imágenes de “x” cuando esta toma valores cada vez más grandes x ? ¿Crece o decrece?

c. Cuando a es negativo: ¿Qué ocurre con las imágenes de “x” cuando esta toma valores cada vez más grandes x ? ¿Crece o decrece?

11. Una función polinómica tiene todas sus raíces con multiplicidad par. ¿Es cierto que su C es vacío? ¿Por qué?

Si una raíz es de multiplicidad ……………….. , la gráfica de la función llega allí, roza y sigue para el

mismo lado.

Si una raíz es de multiplicidad ……………….., la gráfica cruza allí al eje de abscisas.

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21

22

2 23

24

24

3 1 2

2 3 1 2

3 1 2

1 3 1 2

1 3 1 2

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

12. Dado el gráfico de la función f : :

a. Completar:

b. Decidir cuál puede ser su fórmula. Justificar.

13. Dados los gráficos A), B), C) Y D) se pide:

a. Proponer, si es posible, una fórmula de grado mínimo para cada una de las gráficas.

Justificar.

b. Hallar la multiplicidad de las raíces de la función cuyo gráfico es B) sabiendo que su grado es 6. ¿La respuesta es única?

c. Encontrar la fórmula de grado mínimo del gráfico D) sabiendo que 2 1h .

0CCC

ejeod

¿Se puede calcular el valor exacto del punto máximo y mínimo?

¿Qué es grado mínimo?Si por ejemplo sabemos que va a tener multipl icidad impar, escribiremos 1, y si va a tener mult ipl icidad par escribiremos 2 .

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d. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

a.

b.

14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas indicando

intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas.

a. 2R t 3 t 1 t 2

b. 3 2

R t 2 t 1 t 2

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

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c. 2R v 3v v 1 v 2

d. 22T u 2u u 3 u 2

e. 32M r 2r r 2 r 1

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

0

:Im :

:::

::

Dom

CCC

ejeordGrado

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3 ‐15 24 ‐12

¿Cómo se factoriza una función cuadrática completa?

Dada la siguiente función 3 2p : / p x 3x 15x 24x 12 se pide:

Teorema de Gauss

Sea P(x) un polinomio de grado n con todos sus coeficientes enteros. Si el número racional p

q,

escrito de manera irreducible, es raíz de P(x); entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.

El Teorema de Gauss permite calcular las posibles raíces racionales del polinomio P(x).

Buscamos las posibles raíces de P(x)

“p” divisores del término independiente p 12, 6, 4, 3, 2, 1

“q” divisores del coeficiente principal. q 3, 1

Las posibles raíces racionales son: p 4 2 14, 12, 2, 6, , 4, 1, 3, ,q 3 3 3

Utilizando el Teorema del Resto (la imagen de las posibles raíces), calculamos analíticamente cuales son las raíces. p 1

p 1

Aplicamos la regla de Ruffini:

Aplicamos la fórmula resolvente o fórmula de Baskhara, para encontrar las otras raíces.

Por lo tanto las raíces son: x y x= (raíz doble)

La expresión factorizada es:

P x 3. x x

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15. Representa gráficamente las siguientes fórmulas de funciones definidas : a. 3 2( ) 6 11 6A t t t t

b. 4 3 2( ) 6 9B x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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c. 3( ) 2 6 4C x x x

d. 3 2( ) 2 2 4 4D x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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e. 3 2( ) 2 2 10 6J x x x x

16. Dada la siguiente fórmula correspondiente a una función polinómica. 3( ) 2 3R x x x

a. Hallar las raíces

b. Verificar con el la solución c. ¿Qué ocurre?

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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Repaso para la evaluación 1. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

a.

b.

2. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que 2;13; C y que su gráfico pasa por 2;4

3. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que 4;22; C si la imagen de 0 es 6 .

0

C CC

0

C CC

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4. Representa gráficamente las siguientes fórmulas de funciones definidas indicando intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas y forma factorizada.

a. 22 1 1R v v v

b. 4 3 2( ) 2 4 8T x x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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c. 3 2( ) 3 6 3 6 P x x x x

d. 4 2( ) 3 9 6f x x x x

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

:Forma Factorizada

0

:Im :

::

:

:

Dom

CC

C

ejeord

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