UNASAM Matemática II para administradores · 2016. 9. 12. · 3−2 2+3 +4 𝐑. Productos...

TOLEDO QUIÑONES RICARDO ENRIQUE

HUARAZ 2016

05/09/2016

FAT – UNASAM

Matemática II para

administradores Guía de Práctica

Microsoft

Matematics 4.0

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

Serie de Técnicas de Estudio: Toledo Quiñones Ricardo Enrique.

Setiembre – 2 016

Ediciones: Estudio XXI

Se puede reproducir citando la fuente.

Publicación para los estudiantes del Curso de Matemáticas II para administradores de la Facultad de

Administración y Turismo – Escuela Profesional de Administración, que deben estudiarlo de manera

autodidáctica ya que cubre facilidades que se pueden emplear para la resolución de problemas de

Matemática Financiera. Sin embargo, el objetivo ha sido ser más amplio y lo puedan utilizar

personas interesadas en el Algebra o el Cálculo. De modo alguno reemplaza el arte del

planteamiento matemático.

PRESENTACIÓN

En el presente documento se resuelven algunos problemas del Software

Microsoft Mathematics.

Microsoft Mathematics o Microsoft Matemáticas (antes conocida como

Microsoft Math) es un software educativo, diseñado para Microsoft

Windows, que permite a los usuarios resolver problemas matemáticos y

científicos. Desarrollado y operado por Microsoft, está concebido

principalmente como una herramienta educativa para los estudiantes.

Microsoft Math ha recibido el Premio 2008 de Excelencia de la Tecnología

por la Revista Learning.

No tiene el objetivo el enseñar matemáticas es un complemento al

conocimiento que se tiene sobre la materia, no se aborda temas de la

teoría, lo que permite practicar y admirar lo excelente que puede

significar el contar con una herramienta que facilite y conduzca al

estudiante hacia aplicaciones más avanzadas de manera amena y

práctica.

Los ejemplos que se dan en la primera parte, son básicos, se toma el

conocido Algebra elemental de A. Baldor - Álgebra, que luego se

complementa con el libro de Cálculo de Edward Dowling, para la parte de

Álgebra Lineal se toma un documento elaborado por la Universidad

Abierta de Cataluña (UOC) y el libro de Matemáticas para Administración

y Economía de Haesussler y Paul. No podría ser un manual exhaustivo o

acabado, se irá seguramente ampliando a la medida que el lector utilice

el programa y se enfrente a problemas más complejos.

Huaraz, Setiembre de 2016.

CONTENIDO

GENERALIDADES SOBRE EL PROGRAMA ....................................................................................... - 1 -

PARTE I: ALGEBRA ELEMENTAL ...................................................................................................... - 2 -

Guardar en la memoria ................................................................................................................... - 2 -

Suma ................................................................................................................................................ - 2 -

Resta ................................................................................................................................................ - 2 -

Signos de agrupación ...................................................................................................................... - 3 -

Multiplicación .................................................................................................................................. - 3 -

División ............................................................................................................................................ - 3 -

Productos notables ......................................................................................................................... - 3 -

Ecuaciones enteras de primer grado .............................................................................................. - 4 -

Descomposición factorial ................................................................................................................ - 4 -

Máximo común divisor (m.c.d.) ...................................................................................................... - 5 -

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) ................................................................................................... - 5 -

Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones ........................................................................... - 5 -

Operaciones con fracciones algebraicas ......................................................................................... - 6 -

Ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita ........................................................ - 7 -

Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita ................................................................ - 8 -

Ecuaciones fraccionarias de primer grado ...................................................................................... - 8 -

Fórmulas .......................................................................................................................................... - 9 -

Desigualdades, inecuaciones .......................................................................................................... - 9 -

Representación gráfica de las funciones ....................................................................................... - 10 -

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas ...................................................... - 12 -

Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas ........................................... - 12 -

Estudio elemental de la teoría coordinatoria ............................................................................... - 13 -

Potenciación .................................................................................................................................. - 13 -

Radicación ..................................................................................................................................... - 15 -

Cantidades imaginarias ................................................................................................................. - 16 -

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita ......................................................................... - 16 -

Ecuaciones binomias y trinomias .................................................................................................. - 17 -

Logaritmos ..................................................................................................................................... - 17 -

Pendiente y gráfica ........................................................................................................................ - 18 -

Gráficas .......................................................................................................................................... - 19 -

PARTE II: ESTADÍSTICA .................................................................................................................. - 21 -

PARTE III: CÁLCULO ....................................................................................................................... - 23 -

Ecuaciones y gráficas ..................................................................................................................... - 23 -

Funciones ...................................................................................................................................... - 25 -

La derivada .................................................................................................................................... - 27 -

Derivación ..................................................................................................................................... - 28 -

Integración .................................................................................................................................... - 31 -

PARTE IV: ÁLGEBRA LINEAL .......................................................................................................... - 33 -

Suma .............................................................................................................................................. - 33 -

Multiplicación ................................................................................................................................ - 33 -

Inversa ........................................................................................................................................... - 33 -

Transposición ................................................................................................................................ - 34 -

Reducción ...................................................................................................................................... - 34 -

Determinante ................................................................................................................................ - 35 -

Tamaño .......................................................................................................................................... - 36 -

Traza .............................................................................................................................................. - 36 -

Producto interno ........................................................................................................................... - 37 -

Producto vectorial ......................................................................................................................... - 37 -

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................... - 37 -

R. Toledo

Guía de Práctica 2016

- 1 -

GENERALIDADES SOBRE EL PROGRAMA1

Microsoft Mathematics, una herramienta de Microsoft que, después de tres versiones

como programa de pago, ahora pasa a ser gratuita.

Microsoft Mathematics incluye una calculadora gráfica que representa gráficos en 2D y

3D, resolución de ecuaciones paso a paso y herramientas de gran utilidad que sirven de

ayuda para los estudiantes de matemáticas y ciencias.

Ofrece in conjunto de herramientas matemáticas que resultarán de gran utilidad a los

estudiantes para realizar sus deberes de forma rápida y sencilla. Con Microsoft

Mathematics, los estudiantes pueden aprender a resolver ecuaciones paso a paso a la vez

que afianzan los conceptos fundamentales de materias como preálgebra, álgebra,

trigonometría, física, química y cálculo.

Microsoft Mathematics incluye una calculadora de gráficos completa diseñada para

funcionar como si se tratara de una calculadora de mano. Las herramientas matemáticas

adicionales ayudan a evaluar triángulos, convertir de un sistema de unidades a otro y

resolver sistemas de ecuaciones.

Sistema operativo compatible: Windows 7; Windows Server 2003 Service Pack 2;

Windows Server 2008 R2; Windows Server 2008 Service Pack 2; Windows Vista Service

Pack 2; Windows XP Service Pack 3. Para el Windows 10 requerirá el Microsoft .NET

Framework 3.5.

Para instalar esta descarga:

1. Descargue uno de los archivos haciendo clic en el botón Descargar que encontrará junto

al archivo MSetup.exe correspondiente (según la versión en la que esté interesado) y

guárdelo en la unidad de disco duro.

2. Haga doble clic en el archivo de programa descargado en el disco duro para iniciar el

programa de instalación.

3. Siga las instrucciones que aparecen en pantalla para completar la instalación.

Instrucciones de uso:

Después de instalar esta aplicación, podrá encontrarla junto con los otros programas con

el nombre "Microsoft Mathematics".

1 Extraído de: https://www.microsoft.com/es-es/download/details.aspx?id=15702

R. Toledo


- 2 -

PARTE I: ALGEBRA ELEMENTAL

Guardar en la memoria

Asignar x=5, y=2, luego halla el resultado de la expresión: x2+xy+y2x3. Borrar

los valores almacenados para evitar que estos sean asignados a otros problemas.

Para guardar en la memoria de valores para las variables, el proceso es el siguiente:

a) Ingresar el valor numérico.

b) Clic a la opción “Almacén” de la calculadora e indicar la variable:

5 x

Efectuar lo mismo para y.

c) Ingresar la expresión: x2+xy+y2x3 , las variables se presentarán a la vista de

color rojo, que indica que tienen valores almacenados, el resultado será:

535

d) Para ver o borrar los valores almacenados, ir al menú: Ver\Variables almacenadas.

Suma

Sumar: (Baldor, 1970, pág. 44)

𝑎3𝑏 − 𝑏4 + 𝑎𝑏3 − 2𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 2𝑏4 + 5𝑎3𝑏 − 4𝑎𝑏3 − 6𝑎2𝑏2 − 𝑏4 − 6

−8𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 + 6𝑏𝑎3 − 6 𝐑.

Sumar y hallar el valor numérico del resultado para x=5 y y=4: (Baldor, 1970,

pág. 45).

4𝑥 − 5𝑦 − 3𝑥 + 6𝑦 − 8 − 𝑥 + 𝑦

Almacenar: x=5 y y=4, luego ingresar la expresión algebraica, obtendrá el resultado, no

olvidar de borrar los valores almacenados si no los volverá a utilizar.

0 𝐑.

Resta

Restar (−8 𝑎2 𝑥 + 6 − 5 𝑎 𝑥2 − 𝑥3) de 7𝑎3 + 8𝑎2𝑥 + 7𝑎𝑥2 − 4 (Baldor, 1970,

pág. 49)

7𝑎3 + 8𝑎2𝑥 + 7𝑎𝑥2 − 4 − ((− 8) 𝑎2 𝑥 + 6 − 5 𝑎 𝑥2 − 𝑥3)

7𝑎3 + 8𝑎2𝑥 + 7𝑎𝑥2 − 4 − ((− 8) 𝑎2 𝑥 + 6 − 5 𝑎 𝑥2 − 𝑥3) 𝐑.

De −3

5𝑎𝑏 +

1

6𝑎2𝑏2 − 8 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 − 4𝑎3𝑏3 −

1

10𝑎𝑏 +

2

3𝑎2𝑏2 − 8 (Baldor,

1970, pág. 51)

R. Toledo


- 3 -

−𝑎2𝑏2

2+ 4𝑎3𝑏3 −

𝑎𝑏

2+ 1 𝐑.

Signos de agrupación

Suprimir los signos de agrupación en: (Baldor, 1970, pág. 59)

5𝑥 + (− 𝑥 − 𝑦) − (− 𝑦 + 4 𝑥) + (𝑥 − 6)

𝑥 − 6 𝐑.

Multiplicación

Multiplicar 3𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 por 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 (Baldor, 1970, pág. 73)

(3 𝑥2 − 2 𝑥2 + 5 𝑥 − 2)(2 𝑥2 + 4 𝑥 − 3)

(2 𝑥2 + 4 𝑥 −3)(3 𝑥3 − 2 𝑥2 + 5 𝑥 −2) 𝐑.

Nota: Si bien después se tratará la función “expandir”, para obtener un resultado

equivalente al libro de Baldor, la utilizamos:

expand((2 𝑥2 + 4 𝑥 − 3) (3 𝑥3 − 2 𝑥2 + 5 𝑥 − 2))

6𝑥5 + 8𝑥4 − 7𝑥3 + 22𝑥2 − 23𝑥 + 6 𝐑.

División

Dividir: 11𝑎3 − 3𝑎5 − 46𝑎2 + 32 entre 8 − 3𝑎2 − 6𝑎 (Baldor, 1970, pág.

87)

11𝑎3 − 3𝑎5 − 46𝑎2 + 32

8 − 3𝑎2 − 6𝑎

Nota: Puede ingresar la división en línea con paréntesis para el numerador y denominador

enlazados con el signo “/”:

𝑎3 − 2𝑎2 + 3𝑎 + 4 𝐑.

Productos notables

Efectuar: (4 𝑎2 − 3 𝑏3)2, como se trata de expandir la expresión se plantea:

(Baldor, 1970, pág. 100)

expand((4 𝑎2 − 3 𝑏3)2)

16𝑎4 − 24𝑎2𝑏3 + 9𝑏6 𝐑.

Dividir: 8𝑥12 − 729𝑦6 entre 2𝑥4 − 9𝑦2 (Baldor, 1970, pág. 108)

R. Toledo


- 4 -

8𝑥12 − 729𝑦6

2𝑥4 − 9𝑦2

4𝑥8 + 81𝑦4 + 18𝑦2𝑥4 𝐑.

Ecuaciones enteras de primer grado

Resolver: 3𝑥 − 5 = 𝑥 + 3 (Baldor, 1970, pág. 127)

Se ingresa tal como está planteado el Ejemplo, el programa lo transforma a lo que debe

ser la forma de expresarlo para poder resolverlo que sería conveniente que se practique

para poder utilizarlo, nótese que lo que se desea resolver es una ecuación en x.

solve(3 𝑥 − 5 = 𝑥 + 3 , 𝑥)

𝑥 = 4 𝐑.

Resolver: 35-22x+6-18x=14-30x+32 (Baldor, 1970, pág. 128).

solve(35 − 22 𝑥 + 6 − 18 𝑥 = 14 − 30 𝑥 + 32 , 𝑥)

𝑥 = −1

2= −0.5 𝐑.

Resolver: 3x-(2x-1)=7x-(3-5x)+(-x+24) (Baldor, 1970, pág. 128)

solve(3 𝑥 − (2 𝑥 − 1) = 7 𝑥 − (3 − 5 𝑥) + (− 𝑥 + 24) , 𝑥)

𝑥 = −2 𝐑.

Resolver: (3x-1)2-3(2x+3)2+42=2x(-x-5)-(x-1)2 (Baldor, 1970, pág. 130).

solve((3 𝑥 − 1)2 − 3 (2 𝑥 + 3)2 + 42 = 2 𝑥 (− 𝑥 − 5) − (𝑥 − 1)2 , 𝑥)

𝑥 =1

2= −0.5 𝐑.

Descomposición factorial

Factorar o descomponer: 𝑎2 + 𝑎𝑏 (Baldor, 1970, pág. 145)

factor(𝑎2 + 𝑎 𝑏)

𝑎(𝑎 + 𝑏) 𝐑.

Factorar o descomponer: 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 (Baldor, 1970, pág. 145)

factor(𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4)

−𝑥(𝑥 −1)(𝑥2 + 1) 𝐑.

Factorar o descomponer: 𝑎2 − 66𝑎 + 1080 (Baldor, 1970, pág. 161)

(𝑎 −36)(𝑎 −30) 𝐑.

R. Toledo


- 5 -

Expansión

Expandir el resultado obtenido en el Ejemplo 15 (Nota: El expandir es la

operación contraria a la factorización..

expand(𝑎 (𝑎 + 𝑏))

𝑎2 + 𝑎𝑏 𝐑.

Expandir el resultado obtenido en el Ejemplo 16.

expand((− 𝑥) (𝑥 − 1) (𝑥2 + 1))

𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 𝐑.

Máximo común divisor (m.c.d.)

Hallar el m.c.d. de 14, 21, 42 (Nota: Sólo calcula el m.c.d. para valores

numéricos aritméticos, no algebraicos como: a2x2 y 3a3bx)

gcf(14 , 21 , 42)

7 𝐑.

Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Hallar el m.c.m. de 3, 7, 9) (Nota: Sólo calcula el m.c.m. para valores

numéricos aritméticos, no algebraicos como: ax2 y a3x)

lcm(3 , 7 , 9)

63 𝐑.

Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones

Simplicar: (Baldor, 1970, pág. 197), ingresar la expresión y luego

4𝑎2𝑏5

6𝑎3𝑏3𝑚

2𝑏2

3𝑎𝑚 𝐑.

Simplicar:

2𝑎2

4𝑎2 − 4𝑎𝑏

𝑎

2𝑎 − 2𝑏 𝐑.

R. Toledo


- 6 -

Se puede deducir a partir del resultado anterior:

𝑎

2(𝑎 − 𝑏) 𝐑.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar (Baldor, 1970, pág. 211):

𝑥 − 4𝑎

2𝑎𝑥+𝑥 − 2

5𝑥2+

1

10𝑥

Es práctico utilizar la opción de la calculadora “c/d” para el ingreso de las fracciones y

cuando no opera el teclado, por ejemplo para ingresar los signos + o -, se puede utilizar los

signos de la misma calculadora.

1

2𝑎−17

10𝑥−2

5𝑥2 𝐑.

Nota: Si bien no es igual a la respuesta de Baldor, se comprueba que ambas respuestas

son equivalentes.

Simplificar (Baldor, 1970, pág. 215):

2

𝑥 + 𝑥2−

1

𝑥 − 𝑥2−1 − 3𝑥

𝑥 − 𝑥3

0 𝐑.

Simplificar (Baldor, 1970, pág. 217)

1

𝑎2 − 𝑎𝑏+1

𝑎𝑏−

𝑎2 + 𝑏2

𝑎3𝑏 − 𝑎𝑏3

1

𝑎2 + 𝑎𝑏 𝐑.


𝑥

𝑥2 − 5𝑥 + 6−

1

2 − 𝑥−

2𝑥

(3 − 𝑥)(1 − 𝑥)

1

−𝑥2 + 3𝑥 − 2 𝐑.

Si el denominador se factoriza el resultado es:

factor(− 𝑥2 + 3 𝑥 − 2)

−(𝑥 −2)(𝑥 −1)

Con lo cual se puede llegar a una respuesta más simplificada:

1

(− (𝑥 − 2))(𝑥 − 1) 𝐑.

Multiplicar (Baldor, 1970, pág. 222):

R. Toledo


- 7 -

𝑎 + 3 −5

𝑎 − 1 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 2 +

5

𝑎 + 4

En este caso no se logra reducir la expresión.

Dividir (Baldor, 1970, pág. 223)

𝑥2 + 4𝑥8

𝑥2 − 164

Nota: Para llegar a la expresión anterior sólo tiene que ingresar “/” en la calculadora para

expresar la división.

𝑥

2𝑥 − 8 𝐑.

Simplificar: Simplificar (Baldor, 1970, pág. 226)

𝑎𝑥 −

𝑥𝑎

1 +𝑎𝑥

Ingresar “c/d”, en el numerador volver a ingresar “c/d”, ingresar la primera fracción: a/x,

luego ingresar “-“,“c/d” x/a, finalmente 1+a/x.

𝑎 − 𝑥

𝑎 𝐑.


1𝑥 − 1 −

1𝑥 + 1

𝑥𝑥 − 1 −

1𝑥 + 1

2

𝑥2 + 1 𝐑.

Ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita

Resolver (Baldor, 1970, pág. 237)

12𝑥

2=12𝑥

6−12

4

Se ingresa la ecuación y la calculadora identifica que lo que se requiere es resolver x, por

lo que lo expresa y resuelve como:

solve (12𝑥2 = 12𝑥6 − 124 , 𝑥)

𝑥 = −3

4= −0.75 𝐑.

R. Toledo


- 8 -


1

5(𝑥 − 2) − (2 𝑥 − 3) =

2

3(4 𝑥 + 1) −

1

6(2 𝑥 + 7)

solve (15 (𝑥 − 2) − (2 𝑥 − 3) =

23 (4 𝑥 + 1) −

16 (2 𝑥 + 7) , 𝑥)

𝑥 =3

4= 0.75 𝐑.


𝑥 − 2

𝑥2 + 2𝑥 − 3−𝑥 + 1

𝑥2 − 9=

4

𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑥 = −5

9= 0.555555556 𝐑.

Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita2

Resolver la ecuación: (Baldor, 1970, pág. 244)

𝑥(3 − 2 𝑏) − 1 = 𝑥(2 − 3 𝑏) − 𝑏2

solve(𝑥 (3 − 2 𝑏) − 1 = 𝑥 (2 − 3 𝑏) − 𝑏2 , 𝑥)

𝑥 = 1 − 𝑏, 𝑏 ≠ −1 𝐑.


𝑥

2𝑚−3 − 3𝑚𝑥

𝑚2−2𝑥

𝑚= 0

𝑥 =2

𝑚,m ≠ 0 𝐑.

Ecuaciones fraccionarias de primer grado

Hallar el valor de x: (Baldor, 1970, pág. 246)

𝑥

3+𝑥

4= 2𝑥 − 17

𝑥 = 12 𝐑.

Hallar el valor de x: (Baldor, 1970, pág. 251)

𝑥 − 30 −3

4(𝑥 − 30) = 30

𝑥 = 150 𝐑.

2 Las letras pueden ser a, b, c, d, m y n según costumbre, representando x a la incógnita.

R. Toledo


- 9 -

Fórmulas

Hallar el área de un trapecio cuya altura mide 5 m y sus bases 6 y 8 m

respectivamente (Baldor, 1970, pág. 273).

a) Ingresar la fórmula con las variables, las que deben estar expresadas a partir de la

incógnita que es el área:

solve (𝐴 = ℎ (𝑏 + 𝑐2) , 𝐴)

b) Dar los valores para h, b y c guardando (“almacén”) sus valores:

5 h

6 b

8 c

c) Copiar (con un clic sobre la fórmula ingresada) a la entrada de la calculadora la fórmula

elaborada en a), las letras de la fórmula se visualizarán de color rojo claro.

solve (𝐴 = ℎ (𝑏 + 𝑐2) , 𝐴)

d) Entrar, con lo cual se tendrá el resultado:

𝐴 = 35 𝐑.

e) La fórmula o fórmulas si se desea se puede guardar para usos posteriores, tener

cuidado que la asignación de valores para las variables quedará almacenada,

debiendo ingresar nuevos valores para cada caso que se presente.

Desigualdades, inecuaciones

Resolver la inecuación: (Baldor, 1970, pág. 279)

2𝑥 − 3 > 𝑥 + 5

Se ingresa la inecuación cuando se le da la opción “Entrar” la calculadora interpreta los

que se desea efectuar (hallar el valor de x) y resuelve automáticamente:

solveIneq(2 𝑥 − 3 > 5 + 𝑥 , 𝑥)

𝑥 > 8 𝐑.

Hallar qué valores de x satisfacen las inecuaciones: (Baldor, 1970, pág. 280)

2𝑥 − 4 > 6

3𝑥 + 5 > 14

No se resuelve ingresando al menú: “Solver de ecuaciones”, la solución se da de manera

individual y luego se decide cuál de los resultados satisface ambas inecuaciones:

a)

2𝑥 − 4 > 6

R. Toledo


- 10 -

solveIneq(2 𝑥 − 4 > 6 , 𝑥)

𝑥 > 5 𝐑𝟏.

b)

3𝑥 + 5 > 14

solveIneq(5 + 3 𝑥 > 14 , 𝑥)

𝑥 > 3 𝐑𝟐.

c) Se toma como solución general de ambas x>5, ya que cualquier valor de x mayor que

5 será mayor que 3.

𝑥 > 5 𝐑.

Hallar el límite superio e inferior de los valores que satisfacen las

inecuaciones: (Baldor, 1970, pág. 281)

5𝑥 − 10 > 3𝑥 − 2 .... (1)

3𝑥 + 1 < 2𝑥 + 6 .... (2)

En (1):

𝑥 > 4

En (2):

𝑥 < 5

Resultado:

4 < 𝑥 < 5 𝐑.

Representación gráfica de las funciones

Representar gráficamente la función: (Baldor, 1970, pág. 295)

𝑦 = 2𝑥

R. Toledo


- 11 -

Representar gráficamente la función: (Baldor, 1970, pág. 299)

9𝑥2 + 25𝑦2 = 225

Graficar: (Baldor, 1970, pág. 299)

𝑥𝑦 = 5

o

𝑦 =5

𝑥

Nota: Si el resultado se guarda como Archivo/Exportar al Word se tendrá:

R. Toledo


- 12 -

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas

Resolver el sistema: (Baldor, 1970, pág. 321)

7𝑥 + 4𝑦 = 13

5𝑥 − 2𝑦 = 19

(𝑥 = 3 , 𝑦 = −2) 𝐑.


5𝑥 + 6𝑦 = 20

4𝑥 − 3𝑦 = −23

(𝑥 = −2 , 𝑦 = 5) 𝐑.


3(2 𝑥 + 𝑦) − 2(𝑦 − 𝑥) = (− 4)(𝑦 + 7)

3(2 𝑦 + 3 𝑥) − 20 = −53

(𝑥 = −1 , 𝑦 = −4) 𝐑.


𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦= −

2

7

8𝑥 + 𝑦 − 1

𝑥 − 𝑦 − 2= 2

(𝑥 = −5 , 𝑦 = 9) 𝐑.

Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas


𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6

2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

solve({𝑥 + 4 𝑦 − 𝑧 = 6 , 2 𝑥 + 5 𝑦 − 7 𝑧 = − 9 , 3 𝑥 − 2 𝑦 + 𝑧 = 2})

(𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 3) 𝐑.


𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = −5

3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 10

solve({𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 , 2 𝑥 − 3 𝑦 + 5 𝑧 = − 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 + 7 𝑧 = 10})

(𝑥 = 3 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = −1) 𝐑.

R. Toledo


- 13 -


𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑢 = 10

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 4𝑢 = 9

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 5𝑢 = 13

𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 4𝑢 = −3

solve({𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑢 = 10 , 2 𝑥 − 𝑦 + 3 𝑧 − 4 𝑢 = 9 , 3 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 + 5 𝑢 = 13 , 𝑥 − 3 𝑦 + 2 𝑧 − 4 𝑢 = − 3})

(𝑥 = 2 , 𝑦 = 3 , 𝑧 = 4 , 𝑢 = 1) 𝐑.

Estudio elemental de la teoría coordinatoria

Coordinaciones: Cuantos números distintos de 4 cifras se pueden formar con

los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Baldor, 1970, pág. 372)

𝑛𝐴𝑚 = 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)… . . (𝑚 − 𝑛 + 1)

m = 9; n = 4

4𝐴9 = 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6

3024 𝐑.

Permutaciones: ¿De cuántos modos pueden sentarse 6 personas en una

mesa redonda, contando en un solo sentido, a partir de una de ellas? (Baldor, 1970, pág.

373)

𝑃5 = 5!

Alternativa:

permutation(5 , 5)

120 𝐑.

Combinaciones: Entre 7 personas ¿de cuántos modos pueden formarse un

comité de 4 personas? (Baldor, 1970, pág. 374)

combination(7 , 4)

35 𝐑.

Potenciación

𝑥2𝑥3

Ingresar tal como está escrito, para ingresar el exponente, digitar ^:

𝑥2𝑥3

Resultado:

𝑥5 𝐑.

R. Toledo


- 14 -

Además el software le permite ver los pasos de la solución:

𝑥2+3

𝑥4

𝑥2

𝑥2 𝐑.

𝑥

√𝑥4

𝑥34 𝐑.

Desarrollar: (Baldor, 1970, pág. 377)

(3 𝑎 𝑏2)3

27𝑎3𝑏6 𝐑.


(−23 𝑎3 𝑏4)

5

−32𝑎15𝑏20

243 𝐑.


(4 𝑎3 + 5 𝑎2 𝑏2)3 𝐑.

Si se desea llegar a la misma respuesta de Baldor:

expand((4 𝑎3 + 5 𝑎2 𝑏2)3)

64𝑎9 + 125𝑎6𝑏6 + 300𝑏4𝑎7 + 240𝑏2𝑎8


(2 𝑥2 + 3 𝑦4)5

(2 𝑥2 + 3 𝑦4)5 𝐑.

Como el resultado no varía con respecto al problema, se expande:

32𝑥10 + 720𝑥6𝑦8 + 1080𝑥4𝑦12 + 810𝑥2𝑦16 + 243𝑦20 + 240𝑦4𝑥8 𝐑.

Resolver:

(1.05)𝑛+4

(1.05)𝑛−6

1.62889462677744140625 𝐑. R.

Para ingresar varios valores al exponente, utilizar paréntesis, así 1.05^(n+4) o ingresar el

valor inicial y luego retornar al exponente y completarlo.

Resolver:

R. Toledo


- 15 -

(((1 + 0.25)2)6)−2

((1 + 0.25)3)8

0.000022300745198530623141535718272648361505980416

2.2300745198531.10-5 R.

Puede poner un exponente a varios valores encerrados entre paréntesis, para ello marque

la expresión, ingrese ^ y luego señale el exponente, así (1+0,25)

Resolver:

(1 + 𝑟)𝑛−2

(1 + 𝑟)𝑛−1

Importante: El ejercicio estaba originalmente con r = i, pero la letra “i” está reservada para

los números imaginarios, por lo que para tener una solución se cambió “i” por “r”.

1

𝑟 + 1 𝐑.

Resolver:

(500

0.05) ((1 + 0.05)6 − 10.05(1 + 0.05)6

− 6

(1 + 0.05)6)

5983.9968744768112 𝐑.

Resolver:

(((1.02)6) ((1.03)2) ((1.035)4))2− 1

0.8796360172637 R.

Radicación

√163

64 𝐑.

√27. 314. 544

270√724

786.496670165864 R.

2√12 − 3√75 + √27

−8√3

−13.856406460551 𝐑.

√163

+ √2503

+ √46−

1

√43

−1

√43 + 8√2

3

R. Toledo


- 16 -

9.4494078742115 𝐑.

Cantidades imaginarias

Simplificar: (Baldor, 1970, pág. 438)

√−4 + √−9

Indeterminate 𝐑.

Probando con la opción “C números complejos”:

5i 𝐑.

Multiplicar: (Baldor, 1970, pág. 439)

(√−9 + 5 √−2) 𝑝𝑜𝑟 (√−4 − 2 √−2)

(−2√2𝑖 + 2𝑖)(5√2𝑖 + 3𝑖)𝐑.

8.3431457505076 𝐑.

Dividir: (Baldor, 1970, pág. 443)

5 + 2√−1

4 − 3√−1

14

25+23

25i 𝐑.

0.56 + 0.92i 𝐑.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita


6𝑥 − 𝑥2 − 9 = 0

solve(6 𝑥 − 𝑥2 − 9 = 0 , 𝑥)

𝑥1 = 𝑥2 = 3 𝐑.


1

3𝑥=

7

5𝑥2−11

60

solve (13𝑥 = 75𝑥2

− 1160 , 𝑥)

𝑥 = −42

11 𝐑.

𝑥 = 2 𝐑.

R. Toledo


- 17 -


√4𝑥 − 3 − √𝑥 − 2 = √3𝑥 − 5

nsolve(√4𝑥 − 3 − √𝑥 − 2 = √3𝑥 − 5 , {𝑥})

𝑥 ≈ 3 𝐑.

Ecuaciones binomias y trinomias


𝑥4 − 16 = 0

Se resuelve con la opción “C números complejos” y tiene cuatro respuestas:

𝑥 = 2𝑖 𝐑.

𝑥 = −2𝑖 𝐑.

𝑥 = −2 𝐑.

𝑥 = 2 𝐑.


4𝑥4 − 37𝑥2 + 9 = 0

Los resultados son números reales por lo que no se resuelve con la opción “C números

complejos” y tiene cuatro respuestas:

𝑥 = −1

2= −0.5 𝐑.

𝑥 =1

2= 0.5 𝐑.

𝑥 = −3 𝐑.

𝑥 = 3 𝐑.

Logaritmos3

Hallar el logaritmo natural (neperiano de 150.

Ln(150)

5.0106352940963 𝐑.

𝑙𝑛(2)𝑙𝑛(5)

1.11557735129 𝐑.

3 Para todo cálculo utilizar los logaritmos neperianos, de base e = 2.718281828459.

R. Toledo


- 18 -

El antilogaritmo del valor hallado anteriormente:

En el lado izquierdo de la calculadora, encontrará en –Estándar la tecla “m”, que es la base

de los logaritmos, naturales, seleccionarlo y luego ingresar “^” y aceptar.

𝒆5.0106352940963

150.0000000000066 ≈ 150 𝐑.


3𝑥 = 60

solve(3𝑥 = 60 , 𝑥)

𝑥 = log360 ≈ 3.7268330278608 𝐑.


52𝑥−1 = 125

solve(52𝑥−1 = 125 , 𝑥)

𝑥 = 2 𝐑.

Pendiente y gráfica

Hallar la pendiente (inclinación de un elemento lineal, natural o constructivo

respecto de la horizontal) de: 3𝑥 + 4𝑦 = 7

En la calculadora en el menú ingresar a la entrada dándole un clic la función es: slope

slope(3 𝑥 + 4 𝑦 = 7)

−3

4

−0.75 𝐑.

Graficar la función anterior. Ingresar a ingresar la función y

se graficará, puede grabarse o recortarse (en este caso se utilizó Recorte).

R. Toledo


- 19 -

Gráficas

Ecuación y función—Cartesiano en 2D, ir a Gráficas, seleccionar 2D,

Cartesiano, escriba la función:

(𝑥 − 3)2

𝑎2− (

(𝑦 − 2)2

𝑏2) = 1

Entrar y aceptar “Gráfica”, el resultado será:

Superficie paramétrica—Cartesiano en 3D, ir a Gráficas, seleccionar

paramétrico e ingresar sólo la parte derecha de la ecuación:

x = t+s, y = t^2 + s^2, z = t-s

El resultado será:

R. Toledo


- 20 -

Compruebe el efecto que tiene el ocultar ejes, el ocultar el marco externo, ocultar líneas

de la cuadrícula. Haga girar la gráfica en sentido antihorario y horario. Finalmente puede

restablecer la ficha Gráficas.

Inecuación—Cartesiano en 2D, seleccione 2D, Or, escriba la ecuación:

𝑥2 + 𝑦2 < 4

El resultado será:

R. Toledo


- 21 -

PARTE II: ESTADÍSTICA

Se dan pautas generales sobre la Estadística, otros softwares otorgan mayores facilidades

y son más sencillas para obtener resultados estadísticos,

Un minimarket ha tomado los datos de los ingresos mensuales de 36 de sus

clientes, a nivel de hogar, los que se muestran a continuación:

Hogar Ingreso mensual

(S/) Compra semanal

1 1 200.00 95.00

2 1 500.00 140.00

3 2 100.00 340.00

4 2 000.00 320.00

5 1 500.00 150.00

6 2 200.00 360.00

7 1 450.00 120.00

8 1 310.00 90.00

9 1 150.00 80.00

10 2 320.00 420.00

11 1 350.00 100.00

12 1 640.00 165.00

13 1 680.00 170.00

14 1 100.00 70.00

15 1 850.00 200.00

16 1 410.00 110.00

17 1 580.00 160.00

18 2 110.00 370.00

19 2 180.00 360.00

20 1 640.00 170.00

21 1 840.00 180.00

22 1 950.00 210.00

23 1 230.00 100.00

24 2 000.00 340.00

25 2 810.00 450.00

26 1 530.00 150.00

27 1 980.00 310.00

28 2 900.00 500.00

29 2 680.00 400.00

30 1 970.00 200.00

31 2 560.00 380.00

32 2 180.00 350.00

33 1 980.00 220.00

34 2 050.00 330.00

35 2 500.00 400.00

R. Toledo


- 22 -

Se solicita calcular los siguientes estadísticos: Media, Mediana, Moda, Suma,Varianza de

la población, Varianza de la muestra, Producto, Máximo, Mínimo, Media geométrica,

Desviación estándar población, Desviación estándar muestra.

Ingresar a la opción: “Insertar conjunto de datos”. Allí puede ingresar los datos de los

ingresos mensuales, hay compatibilidad con el Excel y el Word, por lo que puede copiar la

información, “Aceptar” y seguidamente almacene los datos en la calculadora, por ejemplo

bajo el nombre “a”:

{1200, 1500, 2100 ......} a

Anteponiendo la función correspondiente a los datos, podrá calcularlos:

Estadístico Función Valor 𝐑.

Media mean(a) : 1869.4285714285713

Mediana median(a) : 1950

Moda mode(a) : {1500,2000,1640,2180,1980}

Suma sum(a) : 65430

Varianza de la población variance(a) : 221513.95918367346

Varianza de la muestra unbiasedVariance : 228029.0756302521

Producto product(a) : 1.0477946734807*10^114

Máximo max(a) : 2900

Mínimo min(a) : 1100

Media geométrica geometricMean(a) : 1810.1817277790917

Desviación estándar población stddev(a) : 470.6526948649859

Desviación estándar muestra unbiasedStdDev( : 477.5239005853551

Establecer el nivel de correlación de los ingresos y las compras semanales.

Ingresar los datos de las compras semanales y asignare un valor para almacenarlo:

{95, 140, 340 ......} b

Seguidamente se puede hallar la correlación:

correlation(a, b)

0.9563403021937 𝐑.

R. Toledo


- 23 -

PARTE III: CÁLCULO

Ecuaciones y gráficas

Resolver: (Dowling, 1992, pág. 29)

𝑥

2− 3 =

𝑥

3+ 1

𝑥 = 24 𝐑.


5𝑥 − 39 = 5(𝑥 − 8) + 1

𝑥 ∈ ℝ 𝐑.


8𝑥 − 13 = 8𝑥 + 9

solve(8 𝑥 − 13 = 8 𝑥 + 9 , 𝑥)

Esta ecuación no tiene ninguna solución. 𝐑.

Hallar la forma intersecto-pendiente: (Dowling, 1992, pág. 31)

a) Hallar y en:

3𝑥 + 5𝑦 = 35

solve(3 𝑥 + 5 𝑦 = 35 , 𝑦)

𝑦 = −3𝑥

5+ 7 𝐑.

b) Hallar x en:

7𝑥 − 6 = 15

solve(7 𝑥 − 6 = 15 , 𝑥)

𝑥 = 3 𝐑.

Graficar la ecuación lineal: (Dowling, 1992, pág. 31)

𝑦 = (− 12) 𝑥 + 4

Ir a Gráficas e ingresar la ecuación, luego para poder adecuar el rango de los ejes, en el

Menú ir a: Formato / Rango de trazado.

R. Toledo


- 24 -

Hallar la pendiente: (Dowling, 1992, pág. 32)

a) 𝑦 = 3𝑥 − 1

Ingresando con la tecla “pendiente”:

slope(𝑦 = 3 𝑥 − 1)

3 𝐑.

b) 𝑦 = −1

2𝑥 + 2

slope (𝑦 = (− 12) 𝑥 + 2)

−0.5 𝐑.

Hallar la ecuación de una recta que pase por el punto (3,10) y que tenga una

pendiente de -4: (Dowling, 1992, pág. 33)

𝑦 − 𝑦_1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥_1 )

𝑦 − 10 = (− 4)(𝑥 − 3)

𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝑦 − 10 = (− 4)(𝑥 − 3), 𝑦)

𝑦 = 22 − 4𝑥 𝐑.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales a) algebraicamente y b)

gráficamente (Dowling, 1992, pág. 34)

2𝑥 + 𝑦 = 10

3𝑥 − 2𝑦 = 8

(𝑥 = 4 , 𝑦 = 2) 𝐑.

R. Toledo


- 25 -

Resolver la ecuación cuadrática: (Dowling, 1992, pág. 35)

𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0

𝑥 = 2, x = 12 𝐑.

Una empresa tiene costos fijos de S/ 480 y un costo marginal de S/ 8 y vende

a un precio unitario de S/ 20, definir la ecuación del Costo Total (CT), Ingreso Total (IT) y

hallar la cantidad del punto de equilibrio. Basado en (Dowling, 1992, pág. 36)

Definiendo x como la cantidad producida:

𝐶𝑇 = 𝐶𝐹 + 𝑐𝑚𝑔 ∗ 𝑥 𝐑.

𝐼𝑇 = 𝑝𝑥 𝐑.

Haciendo la Utilidad o Pérdida como U:

𝑈 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 = 𝑝𝑥 − (𝐶𝐹 + 𝑐𝑚𝑔 ∗ 𝑥)

𝑈 = 20𝑥 − (480 + 8𝑥)

𝑈 = 12𝑥 − 480

En el punto de equilibrio U=0, por lo tanto:

0 = 12𝑥 − 480

𝑥 = 40 𝐑.

Funciones

Si 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 3 y 𝑓(𝑔) = 4𝑥 − 8, entonces: (Dowling, 1992, pág. 65)

(𝑓𝑥 + 𝑔)(𝑥) = (5 𝑥 + 3) + (4 𝑥 − 8) = 9𝑥 − 5 𝐑.

R. Toledo


- 26 -

(𝑓𝑥 − 𝑔)(𝑥) = (5 𝑥 + 3) − (4 𝑥 − 8) = 𝑥 + 11 𝐑.

(𝑓𝑥 ∗ 𝑔)(𝑥) = (5 𝑥 + 3). (4 𝑥 − 8) = 20𝑥2 − 28𝑥 − 24 𝐑. (Con expand).

(𝑓𝑥/𝑔)(𝑥) =(5 𝑥 + 3)(4 𝑥 − 8)

=5𝑥+3

4𝑥−8𝐑. (Con expand).

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 y 𝑓(𝑔) = 𝑥2 − 28𝑥 − 24, entonces la función compuesta

𝑔[𝑓(𝑥)]: (Dowling, 1992, pág. 65)

Se puede almacenar: (dado que es inconsistente x+3 x)

𝑦 + 3 𝑥

Luego ingresar:

𝑥2 − 28𝑥 − 24

Entrar, el resultado es:

𝑥2 + 8𝑥 + 8 𝐑.

Graficar: (Dowling, 1992, pág. 66)

𝑦 = −(𝑥 − 3)2 + 16

Para la gráfica se ha identificado previamente el punto extremo (máximo relativo),

hallando la primera derivada e igualando el resultado a cero y luego identificando el valor

de y para ese máximo relativo. Siendo la derivada un tema que será tratado

posteriormente.

deriv(− (𝑥 − 3)2 + 16 , 𝑥)

6 − 2𝑥

6 − 2𝑥 = 0

𝑥 = 3

Con x=3:

𝑓(3) = −(𝑥 − 3)2 + 16 = 16

Con lo cual aproximando ya por observación y deducción se puede llegar a los siguientes

rangos para la variable:

Mínimo Máximo

x -2 10

y 0 17

Siendo la gráfica:

R. Toledo


- 27 -

La derivada

Hallar los límites de: Basado en (Dowling, 1992, pág. 96)

a)

lim𝑥→46 = 6 𝐑.

b)

lim𝑥→5𝑥2 = 25 𝐑.

c)

lim𝑥→29𝑥2 = 72 𝐑.

d)

lim𝑥→4(𝑥2 + 3𝑥) = 28 𝐑.

e)

lim𝑥→3[(𝑥 + 7)(𝑥 − 4)]

Para resolver aplicar la regla siguiente:

lim𝑥→3(𝑥 + 7)lim

𝑥→3(𝑥 − 4)

−10 𝐑.

Hallar la pendiente de x2 cuando el incremento de x tiende a cero (es

importante considerar que para el caso ya se está refiriendo a la derivada): (Dowling,

1992, pág. 99)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) = 2𝑥 𝐑.

R. Toledo


- 28 -

Hallar la derivada de: (Dowling, 1992, pág. 101)

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 3𝑥) = 2𝑥 − 3 𝐑.

Derivación

Hallar la derivada de (función lineal): (Dowling, 1992, pág. 126)

𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 9 = 4 𝐑.

𝑓(𝑥) =1

2𝑥 + 3 =

1

2= 0.5 𝐑.

𝑓(𝑥) = −16𝑥 = −16 𝐑.

Hallar la derivada de (función potencia): (Dowling, 1992, pág. 126)

𝑓(𝑥) = 6𝑥4 = 24𝑥3 𝐑.

𝑓(𝑥) = −7𝑥6 = −42𝑥5 𝐑.

Hallar la derivada de (sumas y diferencias): (Dowling, 1992, pág. 127)

𝑓(𝑥) = 8𝑥4 + 5𝑥3 = 32𝑥3 + 15𝑥2 𝐑.

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 − 2 = 6𝑥 − 7 𝐑.

Hallar la derivada de (producto): (Dowling, 1992, pág. 127)

𝑓(𝑥) = 8𝑥3(5𝑥 − 2) = 160𝑥3 − 48𝑥2 𝐑.

Hallar la derivada de (cociente): (Dowling, 1992, pág. 127)

𝑓(𝑥) =2𝑥4

5𝑥 − 6

−5𝑥4

2 (5𝑥2 −3)

2 +𝑥3

5𝑥8 −

34

𝐑.

Nota: Resultado es equivalente al del Libro:

6𝑥3(5 𝑥 − 8)

(5 𝑥 − 6)2

Hallar la derivada de (potencia generalizada): (Dowling, 1992, pág. 128)

(𝑥2 + 7)4

Nota: Escribir:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 7)4

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 3𝑥) 𝐑.

Hallar la derivada de (en cadena): (Dowling, 1992, pág. 128)

R. Toledo


- 29 -

𝑓(𝑥) = √8𝑥 + 9

4

√8𝑥 + 9 𝐑.

Hallar la derivada de primer, segundo(segunda derivada), tercer y cuarto

orden (a partir de 2, de orden superior): (Dowling, 1992, pág. 131)

𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 + 5𝑥 − 7

𝑓′(𝑥) = 12𝑥2 − 18𝑥 + 5 𝐑.

𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 − 18 𝐑.

𝑓´´´(𝑥) = 24 𝐑.

𝑓(4)(𝑥) = 0 𝐑.

Con una función del costo total, hallar a) La función del costo marginal. b) el

costo marginal de la unidad 40: (Dowling, 1992, pág. 132)

0.001𝑥3 − 0.05𝑥2 + 7𝑥 + 6500

a)

3𝑥2

1000−𝑥

10+ 7 𝐑.

b)

40 x

cmg de la unidad 40: 7.80 𝐑.

Con una función del ingreso total (R), hallar a) La función del ingreso

marginal. b) el ingreso marginal de la unidad 16: (Dowling, 1992, pág. 133)

𝑅 =600𝑥

𝑥 + 3

a)

1800

𝑥2 + 6𝑥 + 9

b)

4.5 𝐑.

Maximizar las ganancias para una firma si: (Dowling, 1992, pág. 165)

Ingreso total 𝑅 = 6400𝑄 − 20𝑄2 y el Costo Total 𝐶 = 𝑄3 − 5𝑄2 + 400𝑄 + 52000,

suponiendo Q >0.

Las ganancias son iguales a: G = R – C

𝐺 = 6400𝑄 − 20𝑄2 − (𝑄3 − 5 𝑄2 + 400 𝑄 + 52000)

𝐺 = −𝑄3 − 15𝑄2 + 6000𝑄 − 52000

R. Toledo


- 30 -

Primera derivada de G:

𝑑

𝑑𝑄(−𝑄3 − 15𝑄2 + 6000𝑄 − 52000)

6000 − 30𝑄 − 3𝑄2

Igualando resultado a cero para hallar los valores críticos:

Q = -50 y

Q = 40 𝐑.

Hallando la segunda derivada (que podría ser también derivando la primera derivada):

𝑑2

𝑑𝑄2(−𝑄3 − 15𝑄2 + 6000𝑄 − 52000)

−6𝑄 − 30

Ignorando el valor crítico negativo (no se puede producir una cantidad negativa) y

resolviendo la segunda derivada con el valor 40:

−6 ∗ 40 − 30 = −270. Que es un máximo relativo, por lo que se deduce que la ganancia

se maximiza cuando Q=40, reemplazando éste valor en la función G, se encuentra que la

ganancia máxima es:

6400𝑄 − 20𝑄2 − (𝑄3 − 5 𝑄2 + 400 𝑄 + 52000)

6400 ∗ 40 − 20402 − (403 − 5 ∗ 402 + 400 ∗ 40 + 52000)

= 100000 𝐑.

Gráficamente con la función G (para el software se cambia la variable Q por x, para

estandarizar y=f(x)):

R. Toledo


- 31 -

En la gráfica se puede observar que cuando se vende Q=40 lo que genera una ganancia

máxima de 10 000 unidades monetarias.

Para “x” se ha utilizado un rango de 0 al 80 y para “y” el rango 0 a 100 500.

Integración

Empleando las propiedades de las integrales, el área de la región entre dos

funciones como: (Dowling, 1992, pág. 227)

𝑦1 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 8

𝑦2 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

Desde x=0 a x=2

Para resolver:

a) Para visualizar si el problema tiene solución se traza una gráfica de las dos funciones

(ingresar sólo la parte derecha de las ecuaciones), para la gráfica se ha tomado el

rango de 0 a 2 para “x” y de 0 a 8 para “y”:

b) Nótese la relación entre curvas. y1 se halla por arriba de y2, la región deseada es

simplemente el área por debajo de y1, menos el área por debajo de y2 entre x=0 y

x=2. Por tanto:

∫ 3𝑥2 − 6𝑥 + 8𝑑𝑥2

0

−∫ (− 2)𝑥2 + 4𝑥 + 1𝑑𝑥2

0

7.3333 𝐑.

R. Toledo


- 32 -

La sensibilidad a la droga se mide por el tipo de reacción de la persona a una

droga particular. Si la razón de cambio de temperatura T con respecto a la dosis x de

medicina está dada por: (Dowling, 1992, pág. 231)

𝑇′(𝑥) = 3𝑥 − 0.75𝑥2

0 ≤ x ≤ 4

La intensidad total de la reacción para las dos primeras unidades de la medicina se halla

de esta manera:

∫ 3𝑥 − 0.75𝑥2𝑑𝑥2

0

4 𝐑.

Dada la función de demanda p = 70 - x2 y suponiendo que en el equilibrio de

mercado p0 = 34 y x0 = 6, el superavit del consumidor (llamado también excedente del

consumidor) se grafica y calcula de la forma siguiente: (Dowling, 1992, pág. 232)

∫ 70 − 𝑥2𝑑𝑥6

0− (6 ∗ 34)

348 − 204 = 144 𝐑.

Excedente del

consumidor

R. Toledo


- 33 -

PARTE IV: ÁLGEBRA LINEAL

Suma

Sumar: (UOC, 2016, pág. 4)

(2 4−1 30 2

) + (4 42 4−1 0

)

(6 81 7−1 2

) 𝐑.

Multiplicación

Multiplicar: (UOC, 2016, pág. 5)

(2 0 −1−2 0 45 7 0

) ∗ −5

(−10 0 510 0 −20−25 −35 0

) 𝐑.

Multiplicar: (UOC, 2016, pág. 6)

(1 32 −10 4

) ∗ (−1 2 5−2 0 3

)

(−7 2 140 4 7−8 0 12

) 𝐑.

Inversa

Invertir: (UOC, 2016, pág. 8)

(2 4 3−1 3 43 0 1

)

Anteponiendo la función :

R. Toledo


- 34 -

inverse((2 4 3−1 3 43 0 1

))

El resultado expresado en fracciones es:

(

3

31−4

31

7

3113

31−7

31−11

31

−9

31

12

31

10

31 )

𝐑.

El resultado expresado en decimales es:

(0.0967741935484 −0.1290322580645 0.22580645161290.4193548387097 −0.2258064516129 −0.3548387096774−0.2903225806452 0.3870967741935 0.3225806451613

)

Transposición

Hallar la matriz traspuesta: (UOC, 2016, pág. 9)

(4 3 21 2 3

)

Anteponiendo la función :

(4 13 22 3

) 𝐑.

Reducción

Reducir: (Haeussler & Paul, 1992, pág. 268)

2𝑥 + 3𝑦 = −1

2𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥 + 𝑦 = 1

Como se observa se tienen 3 ecuaciones con dos incógnitas, si se desea resolver con la

opción Solver de Microsoft Mathematics, indicará que: “El sistema actual de ecuaciones,

no tiene suficientes variables”. Se encuentra una solución sumando a cada ecuación la

variable 0z.

R. Toledo


- 35 -

Por reducción de matrices, la matriz aumentada (incluye el lado derecho de las

ecuaciones) del sistema es:

(2 3 −12 1 51 1 1

)

Se reduce la matriz ingresando:

reduce((2 3 −12 1 51 1 1

))

El resultado es una matriz reducida:

(1 0 40 1 −30 0 0

)

La anterior matriz corresponde al sistema:

𝑥 + 0𝑦 = 4

0𝑥 + 𝑦 = −3

0𝑥 + 0𝑦 = 0

Puesto que el sistema original, es equivalente a éste, tiene una solución única (se puede

deducir del sistema anterior), que es:

𝑥 = 4

𝑦 = −3

Nota: Una matriz reducida permitirá en otros casos diferentes al ejemplo (Haeussler &

Paul, 1992, págs. 270-271) si un sistema de ecuaciones no tiene solución o posee un

número infinito de soluciones.

Determinante

Hallar la determinante de: (Haeussler & Paul, 1992, pág. 290), se efectúa con:

(12 −1 3−3 1 −1−10 2 −3

)

R. Toledo


- 36 -

det((12 −1 3−3 1 −1−10 2 −3

))

El resultado es:

−1

Tamaño

Hallar el tamaño de una matriz, se efectúa con , así para una matriz

desarrollada en un ejemplo anterior:

(2 3 −12 1 51 1 1

)

Se ingresa:

size((2 3 −12 1 51 1 1

))

El resultado es:

{3 , 3}

Que indica que la matriz tiene 3 filas y 3 columnas.

Traza

Hallar la Traza (valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal

principal) de:

(2 3 −12 1 51 1 1

)

Con la función :

tr ((2 3 −12 1 51 1 1

))

El resultado es:

4

R. Toledo


- 37 -

Producto interno

Hallar el producto interno de los vectores:

𝑢 = (2,1) 𝑦 𝑣(3,4)

Ingresar con:

inner({2 , 1} , {3 , 4})

El resultado es:

10

Producto vectorial

Hallar el producto vectorial de:

𝑢 = (0,1,0) 𝑦 𝑣(1,0,0)

Ingresar con:

cross({0 , 1 , 0} , {1 , 0 , 0})

{0 , 0 , −1}

BIBLIOGRAFÍA

Baldor, A. (1970). Algebra elemental. Madrid: Mediterraneo.

Dowling, E. (1992). Cálculo. Para administración, Economía y Ciencias Sociales. Bogotá:

McGRAW-HILL, INC.

Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (1992). Matemáticas para Administración y Economía.

México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V.

UOC. (s/f de s/f de 2016). Algebra de matrices: UOC Universitat Oberta de Catalunya.

Obtenido de UOC Web site: http://www.uoc.edu/portal/es/

FAT – UNASAM

RTQ

2 016

UNASAM Matemática II para administradores · 2016. 9. 12. · 3−2 2+3 +4 𝐑. Productos...

Documents

Transcript of UNASAM Matemática II para administradores · 2016. 9. 12. · 3−2 2+3 +4 𝐑. Productos...