UNIDAD 1 Desigualdades

7/24/2019 UNIDAD 1 Desigualdades

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Nmeros reales

Se representan con la letra .

Los nmeros reales son los que pueden ser expresados por un nmero entero (3,28, 1568) o decimal (4.28 28!.6 3!!85.46"1). #sto quiere decir que a$arcan alos nmeros racionales (que pueden representarse como el cociente de dosenteros con denominador distinto a cero) % los nmeros irracionales (los que nopueden ser expresados como una &racci'n de nmeros enteros con denominadordi&erente a cero).

entro de la n*enier+a se ace especialmente uso de los citados nmeros reales% en ella se parte de una serie de ideas claramente delimitadas como ser+an lassi*uientes- los nmeros reales son la suma de los racionales % los irracionales, el

conunto de los reales puede de&inirse como un conunto ordenado % este sepuede representar mediante una recta en la que cada punto de la mismarepresenta a un nmero concreto.

#s importante tener en cuenta que los nmeros reales permiten completarcualquier tipo de operaci'n $/sica con dos excepciones- las ra+ces de orden parde los nmeros ne*ati0os no son nmeros reales (aqu+ aparece la noci'n denmero compleo) % no existe la di0isi'n entre cero (no es posi$le di0idir al*o entrenada).

Propiedades de los nmeros reales

Propiedades de los reales en la suma o adicin

La suma de nmeros reales, tam$in llamada adici'n, es una operaci'n que see&ecta entre dos nmeros, pero se pueden considerar tam$in m/s de dossumandos. Siempre que se ten*an dos nmeros reales, se pueden sumar entre s+.

La suma de nmeros reales tiene las si*uientes propiedades-

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Propiedad Interna

#l resultado de sumar dos nmeros reales es otro nmero real.

Propiedad Asociativa

#l modo de a*rupar los sumandos no 0ar+a el resultado.

Propiedad Conmutativa

#l orden de los sumandos no 0ar+a la suma.

Propiedad del Elemento Neutro

#l (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nmero sumado con lda el mismo nmero.

Propiedad del Elemento Opuesto o Elemento Inverso

odo nmero real tiene un in0erso aditi0o, lo que quiere decir que si se suman elnmero % su in0erso, el resultado es (cero).

ropiedades de los reales en la di&erencia (resta o sustracci'n)

La di&erencia de dos nmeros reales se de&ine como la suma del minuendo m/s elopuesto del sustraendo. La resta es la operaci'n in0ersa de la suma, es unaoperaci'n entre dos nmeros- el minuendo % el sustraendo. Siempre que seten*an dos nmeros reales, se pueden restar.

l e&ectuar sustracciones o restas de$en considerarse las si*uientes re*las de lossi*nos-

Si el minuendo % el sustraendo son positi0os, % el minuendo es ma%or que elsustraendo, se e&ecta la resta % el resultado es positi0o.

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Si el minuendo % el sustraendo son positi0os, % el minuendo es menor que elsustraendo, se e&ecta la resta % el resultado es ne*ati0o.

Si el minuendo es ne*ati0o % el sustraendo es positi0o, se e&ecta la suma deam$os nmeros % al resultado se le pone el si*no menos.

7estar un nmero positi0o es lo mismo que sumar un nmero ne*ati0o.

7estar un nmero ne*ati0o es lo mismo que sumar un nmero positi0o.

ropiedades de los reales en un producto (multiplicaci'n)

La re*la de los si*nos que se aplica para el producto de los nmeros enteros %

racionales se si*ue manteniendo con todos los nmeros reales.

+ por + = +

- por - = +

- por + = -

+ por - = -

#ntre las propiedades del producto o multiplicaci'n con nmeros reales tenemos-

Propiedad Interna

#l resultado de multiplicar dos nmeros reales es otro nmero real.

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Propiedad Asociativa

#l modo de a*rupar los &actores no 0ar+a el resultado. Si se tienen m/s de dos&actores, da i*ual cu/l de las multiplicaciones se e&ecte primero.

Propiedad Conmutativa

La expresi'n usual de esta propiedad es- #l orden de los &actores no altera elproducto.

Propiedad del Elemento Neutro

#l 1 es el elemento neutro de la multiplicaci'n, porque todo nmero multiplicadopor l da el mismo nmero.

Propiedad del Elemento Opuesto

9n nmero es in0erso del otro si al multiplicarlos o$tenemos como resultado elelemento unidad.

Propiedad Distributiva

#l producto de un nmero por una suma es i*ual a la suma de los productos dedico nmero por cada uno de los sumandos.

Propiedad que permite sacar actor Comn

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#s el proceso in0erso a la propiedad distri$uti0a. Si 0arios sumandos tienen un&actor comn, podemos trans&ormar la suma en producto extra%endo dico &actor.

ropiedades de los reales en la i0isi'n

La di0isi'n es la operaci'n in0ersa de la multiplicaci'n, es una operaci'n entre dosnmeros- el di0idendo % el di0isor. :on una excepci'n, siempre que se ten*an dosnmeros reales, se pueden di0idir.

La excepci'n es que el di0isor no puede ser cero. #sto es, no se puede di0idirentre cero. ero, oo, que el di0idendo s+ puede ser cero, % cuando esto ocurre elresultado o cociente siempre es cero.

Las re*las de los si*nos en el caso de la di0isi'n son las mismas que para lamultiplicaci'n-

#l cociente de dos nmeros de i*ual si*no siempre es positi0o.

#l cociente de dos nmeros de distinto si*no siempre es ne*ati0o.

unque la di0isi'n est/ mu% emparentada con la multiplicaci'n, no tiene todas laspropiedades de la multiplicaci'n.

E!emplos"

;meros naturales-

;meros enteros ne*ati0os ? < @1, @2, @3, @4, @5, @6, @", @8, @!>

:ero-

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;meros &raccionarios- A, B, 14C35, 2C"

;meros decimales- .25 .!!!, .625

;meros racionales- .125 % 1C8, .5 % A, .85 % 1"C2

;meros irracionales- p ? 3.1415!265358!"!323846= (pi)

? 1.61833!88"4!8!48482458683436563811""23!= (nmero ureo) D1

Desi#ualdades

9na desi*ualdad es una expresi'n matem/tica que sir0e para representar quecierta cantidad es ma%or o menor que otra e indica una relaci'n de orden que seda entre dos 0alores cuando estos son distintos.

La desi*ualdad siempre contiene al*uno de los si*nos-

$ % & menor que

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$ ' $ ma(or que

$ ) $ menor o i#ual que

$ * $ ma(or o i#ual que

Intervalo

#s un espacio mtricocomprendido entre dos 0alores. #spec+&icamente,un inter0alo real es un su$conunto conexode la recta real , es decir,una partede recta entre dos 0alores dados.

#xisten dos notaciones principales- en un caso se utiliEan corcetes % corcetesin0ertidos, corcetes % parntesisam$as notaciones est/n descritas en el.

;F:F; #SG9L G7H:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexohttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexohttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico


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(, I) J I

K, I x I

K, I) x I

(, I x I

(, ) x

K,

) x

(@ , I x I

(@ , I) x I

(@ , ) (@ , )

a$la de inter0alos

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Las desi*ualdades est/n *o$ernadas por las si*uientes propiedades. ;otar que,para las propiedades transiti0idad, adici'n, sustracci'n, multiplicaci'n % di0isi'n, lapropiedad tam$in se mantiene si los s+m$olos de desi*ualdad estricta (M % N) sonreemplaEados por sus correspondientes s+m$olos de desi*ualdad no estricta

(O % P).

Propiedades de las desi#ualdades

ransitividad

aranmeros realesar$itrarios a, b% c-

Si a > b% b > centonces a > c.

Si a < b% b < centonces a < c.

Si a > b% b = centonces a > c.

Si a < b% b = centonces a < c.

Adicin ( sustraccin

aranmeros realesar$itrarios a, b% c-

Si a < bentonces a + c < b + c% a c < b c.

Si a > bentonces a + c > b + c% a c > b c.

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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales


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,ultiplicacin ( divisin

ara nmeros reales ar$itrarios a% b, % cdi&erente de cero-

Si ces positi0o % a < bentonces ac < bc% a/c < b/c.

Si ces ne*ati0o % a < bentonces ac > bc% a/c > b/c.

Opuesto

ara nmeros reales ar$itrarios a% b-

Si a < bentonces aN b.

Si a > bentonces aM b.

ec.proco

ara nmeros reales a% bdistintos de cero, am$os positi0os o ne*ati0os a la0eE-

Si a < bentonces 1/aN 1/b.

Si a > bentonces 1/aM 1/b.

Si a % $ son de distinto si*no-

Si a < bentonces 1/aM 1/b.

E!emplos

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Intervalo Desi#ualdad Gra&ica en la recta

K@3, 5) @3 x 5

(@ , @5 x @5

K3, 8 3 x 8

(@5, 4) @5

x

4

E!ercicios

/0 Qallar la soluci'n de la desi*ualdad 3x + 5 - 7x + 8 % represntala*r/&icamente.

3x R "x R 5 O @"x R "x R 25

1x R 5 O 25 5

1x O 2

(1C1) (1x) O (1C1) (2)

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x O 2

ratemos de separar la x en la parte iEquierda de la desi*ualdad.

rimero sumamos "x a am$os lados % despus @5.

#nse*uida multiplicamos por 1C1. e esta manera tenemos que la soluci'n est/&ormada por todos los nmeros menores o i*uales que 2.

#n otros trminos, la soluci'n est/ dada por el inter0alo (@ ,2.

10 7esol0er la desi*ualdad 2x + 3 3x + 7% representar la soluci'n en l+nea recta.

2x R 3 O 3x R "

2x R 3 3 O 3x R " 3

2x O 3x R 4

2x 3x O 3x 3x R 4

@ x O 4

(@ 1) (@ x) P (@ 1) (4)

x P @ 4

espearemos la 0aria$le x en la parte iEquierda, sumando @3 en am$os lados dela desi*ualdad % despus @3x.

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Tultiplicamos por (@1) am$os lados para dear x con si*no positi0o % as+ tenemos

que la soluci'n es el inter0alo K@ 4, ).

20Qallar el conunto de soluciones de la desi*ualdad 2 + 3x < 5x + 8e ilustrarlo enla l+nea recta.

2 R 3x M 5x R 8

2 R 3x 2 M 5x R 8 2

3x M 5 R 6

3x 5x M 5x 5x R 6

@2x M 6

(@1C2) (@2x) N (@1C2)(6) ? @6C2

x N @3

Sumamos @2 a am$os lados de la desi*ualdad % despus @5x.

Tultiplicamos por (@1C2) los dos lados de la desi*ualdad.

F$ser0a que se cam$io el orden de la desi*ualdad, por consi*uiente el conunto

de soluciones es el inter0alo (@3, ).

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307esuel0a la desi*ualdad 2 R x M !x R 6 % *ra&ique.

2 2 R x M !x R 6 2

x M !x R 4

x !x M !x !x R 4

@8x M 4

(@1C8)(@8x) N (@1C8)(4)

x N4

8

x N1

2

La desi*ualdad es 0/lida para al*unos 0alores de x, pero para otros no. #nprimero lu*ar restamos @2 a am$os lados de la desi*ualdad.

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Lue*o multiplicamos am$os miem$ros por (@1C8). F$ser0a que al multiplicar por elnmero ne*ati0o cam$iamos el orden de la desi*ualdad. or lo tanto el conuntode la soluci'n est/ &ormado por todos los nmeros ma%ores que (@1C2). #n otras

pala$ras, la soluci'n de la desi*ualdad es el inter0alo (@1C2, ).

40 x N 5

(5, )

50 x M 2

(@ , 2)

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60 x N 2

K2, )

70 2 O x O 5

K2, 5

802

3 M x M5

2

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K2C3, 5C2)

/90 x 8 P 3

@ x P 3 R 8

@ x P 11

x O @ 11

(@ , @11)

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Desi#ualdades con valor absoluto

e&inimos el 0alor a$soluto de un nmero real x, que representamos por UxU,mediante-

x, si x

UxU?

x, si x

Propiedades del valor absoluto

1.@ U@xU ? UxU

2.@ Ux%U ? UxUU%U

3.@ Uxy U ?

x y , %

0

4.@ Ux R %U UxUR U%U

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5.@ UxU@ U%U Ux @ %U % U%U@ UxU Ux @ %U

La interpretaci'n *eomtrica de UxU nos proporciona una usti&icaci'n de lassi*uientes 2 propiedades, sea a 0 , entonces-

6.@ UxU a es equi0alente a ax

".@ UxU a e equi0alente a x a o x a

Ftra propiedad del 0alor a$soluto, mu% utiliEada en la soluci'n de desi*ualdadeses la si*uiente-

8.@ UxU U%U es equi0alente a x2 y2

e las propiedades 6 a 8 el s+m$olo puede ser remplaEado por

E!emplos

/0 7esol0er 3 | 2y + 6 | - 9 < 27

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3 V 2% R 6 V @ ! M 2"

R ! R !

3 V 2% R 6 V M 36

#mpieEa por despear el 0alor a$soluto,sumando ! a am$os lados de la

desi*ualdad.

i0ide entre 3 am$os lados paradespear el 0alor a$soluto.

@12 M 2% R 6 M 12

@6 @ 6 @ 6

@18 M 2% M 6

7esta 6 de cada parte de ladesi*ualdad.

@! M % M 3 i0ide entre 2 para despear la 0aria$le.

- 8 % ( % 2

10 7esol0er: ; + 2 : ' 3

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x R 3 M @ 4 x R 3 N 4

x R 3 M @ 4 x R 3 N 4

@ 3 @ 3 @ 3 @ 3

x M @ " x N @ 3

:omo esta es una desi*ualdad Wma%orqueX la soluci'n puede reescri$irse de

acuerdo con la re*la de Wma%or queX.

x M @ " x N 1

V x R 3 V N 4 V x R 3 V N 4

V @ " R 3 V ? 4 V 1 R 3 V ? 4

V @ 4 V ? 4 V 4 V ? 4

4 ? 4 4 ? 4

:omprue$a las soluciones en laecuaci'n ori*inal para ase*urarte queson correctas.

V x R 3 V N 4 V x R 3 V N 4

V @ 1 R 3 V N 4 V 5 R 3 V N 4

V " V N 4 V 8 V N 4

" N 4 8 N 4

:omprue$a el punto &inal de la se*unda

ecuaci'n relacionada, 1. ntenta con 5,un 0alor ma%or que 1.

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; % - 6 o ; ' /

20 7esol0er | 2x + 3 | + 9 7

V 2x R 3 V R ! O "

@ ! @ !

V 2x R 3 V O @ 2

espea el 0alor a$soluto restando ! deam$os lados de la desi*ualdad.

#l 0alor a$soluto de una cantidadnunca es un nmero ne*ati0o, por loque la desi*ualdad no tiene soluci'n.

No


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U4x @ 1U4

2

U4x @ 1U@ 2

(2, 3)

40

50

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Desi#ualdades cuadrticas

9na desi*ualdad es cuadr/tica si tiene al*una de las si*uientes &ormas-

a x2

R $x R c

a x2

R $x R c

a x2

R $x R c

a x2

R $x R c

ntes de indicar como se resuel0en, recordaremos que las soluciones

de la ecuaci'n cuadr/tica a x2

R $x R c ? donde a sea son-

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dem/s, &/cilmente se 0eri&ica que r1 % r2 satis&acen las si*uientesrelaciones-

La ultima &ormula nos proporciona un mtodo para &actoriEar cualquier

trinomio de la &orma a x2

R $x R c en todos los casos posi$les.

Yeamos aora como se resuel0en las desi*ualdades cuadr/ticas. 9naprimera simpli&icaci'n que podemos suponer es que a N , pues en casocontrario, multiplicando la desi*ualdad por @1 esta se trans&orma en otradesi*ualdad cuadr/tica.

Se presentan dos casos-

Si $2 4ac 0

#n este caso la ecuaci'n cuadr/tica a x2

R $x R c ? tiene ra+ces

reales r1 % r2, pudiendo &actoriEar el trinomio.

Si $2 4ac 0

#n este caso las ra+ces de la ecuaci'n a x2

R $x R c, no son reales,

sino compleas % la &actoriEaci'n no sir0e para resol0er la desi*ualdad,por lo que se procede de esta &orma-

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or lo tanto las desi*ualdades cuadr/ticas se trans&orman en-

E!emplos

/0 7esol0er la desi*ualdad cuadr/ticax2 x < 6

asamos todos los trminos distintos de cero a la iEquierda de ladesi*ualdad % &actoriEamos.

x2

x M 6asamos el 6 restando % se o$tiene x2 x 6 M . HactoriEamos estaexpresi'n % tenernos (x 3) (x R 2) M . F$ser0amos que para x ? 3 %x ? @ 2 estos &actores son cero. #stos nmeros a los que les llamaremospuntos de separaci'n di0iden la recta en tres inter0alos-

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#stos inter0alos son (@ Z, @ 2), (@ 2, 3) % (3, Z). #n cada uno de estosinter0alos el producto (x 3) (x R 2) tiene si*no positi0o o ne*ati0o. araencontrar el si*no de este producto en cada inter0alo tomaremos un0alor de prue$a. Los 0alores que tomaremos son- @4, % 5.

continuaci'n reemplaEamos los puntos de prue$a en (x 3) (x R 2),con la intenci'n de los 0alores x del producto sea ne*ati0o.

#n x ? @ 4, tenemos (@ 4 3) (@ 4 R 2) ? 14

#n x ? , tenemos ( 3) ( R 2) ? @ 6

#n x ? 5, tenemos (5 3) (5 R 2) ? 14

:on esta in&ormaci'n concluimos que (x 3) (x R 2) M solo se cumple

en el inter0alo (@ 2, 3). La representaci'n *ra&ica es la si*uiente-

10 7esol0er la desi*ualdad cuadr/tica 2x2+ 5x < 12

7estamos 12 a am$os lados % tenemos lo si*uiente-

2x2R 5x @ 12 M

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HactoriEamos esta expresi'n % o$tenemos-

(x R 4) (2x 3) M

ora para que el producto de estos $inomios sea ne*ati0o se requiere

que los &actores ten*an si*nos opuestos. s+ consideramos los dos casossi*uientes-

a) (x R 4) N % (2x 3) M .espeando x, tenemos que estas desi*ualdades sonequi0alentes a las si*uientes- x N @ 4 % x N 3C2. ntersectando estasdos desi*ualdades encontramos que se reducen a la si*uiente-@4 M x M 3C2.

$) (x R 4) M % (2x 3) N .espeando x, tenemos que estas desi*ualdades son equi0alentes

a las si*uientes- x M @ 4 % x M 3C2. Si intersectamos estas dosdesi*ualdades encontramos que no tienen nin*n elemento encomn.

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#n conclusi'n la desi*ualdad (x R 4) (2x 3) M es 0/lida solo en elinter0alo @4 M x M 3C2.

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