Unidad 1 Modulo 2

Departamento de Fsica

Curso de: FSICA FUNDAMENTAL I (cdigo 106004M)

UNIDAD 1: Matematizar la descripcin del movimiento (CINEMTICA)

MDULO 2: Cmo medir el movimiento en general (trayectoria curvilnea)?

Cuando el mvil cambia la direccin de su movimiento de manera arbitraria (no limitndose a

invertir su sentido, como suceda en el primer mdulo), el vector velocidad, que nos indica esa

direccin adems de la rapidez (recordar lo dicho en la lectura 3), deja de estar determinado por una

nica componente. Necesitamos ahora las tres componentes, pues este vector puede apuntar ahora

en cualquier direccin en el espacio tridimensional. Igualmente, necesitamos tres coordenadas para

localizar la posicin del mvil, las cuales sern funciones del tiempo. Cul es la relacin

matemtica entre estas funciones y las componentes del vector velocidad?

Por otra parte, ya sabemos que la aceleracin mide la no uniformidad del movimiento. La

desviacin de la trayectoria rectilnea constituye una no uniformidad del movimiento que se agrega

al cambio de rapidez, y que es muy diferente de ste. Por eso podemos esperar que las relaciones

entre tiempo, trayectoria, posicin, velocidad y aceleracin sean mucho ms complejas que en el

movimiento rectilneo. Cmo son estas relaciones en el movimiento curvilneo?

En las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto gua Usted encontrar los elementos para construir sus

propias respuestas a las dos preguntas planteadas (las secciones 3.3 y 3.5 se estudiarn en el mdulo

3; la seccin 3.4 no requiere ninguno de los conceptos estudiados en la 3.3). En este mdulo

seguiremos una metodologa didctica diferente a la que seguimos en el mdulo 1. Ahora la

responsabilidad por el aprendizaje est en manos del estudiante, por lo que las actividades de

aprendizaje se reducen esencialmente al estudio del texto gua y a la resolucin de problemas, con la

excepcin de una actividad inicial a modo de laboratorio virtual (Exploracin 2).

Objetivo: El estudiante comprender cmo describir matemticamente el movimiento en

tres dimensiones, generalizando la estructura conceptual de la cinemtica al movimiento

curvilneo

Desarrollo del mdulo

A. Trabajo independiente (5 a 8 horas)

1. Exploracin 2: Movimiento a control remoto (debe entregarse un informe individual).

2. Estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto gua, y realizacin de ejercicios y problemas

B. Discusin en clase (2 horas).

UNIDAD 1 (Matematizar la descripcin) MDULO 2: Cmo medir el movimiento en general? Pg 2/13

Exploracin 2: Movimiento a control remoto

Las prcticas de simulacin computacional han abierto unas enormes posibilidades para facilitar la enseanza y

aprendizaje de la fsica, permitiendo modificar los enfoques didcticos tradicionales puramente verbales

ilustrados con representaciones estticas. En esta simulacin podremos percibir y experimentar visual y cinestsicamente (es decir, mediante las sensaciones asociadas al propio movimiento corporal), las relaciones

entre las variables cinemticas, antes de proceder a su estudio matemtico. De esta manera se espera hacer este

estudio mucho ms significativo para el estudiante. Lo notable de esta exploracin es que la experiencia que

proporciona es imposible de obtener en un laboratorio real, pues en este laboratorio virtual se hacen tangibles

entidades matemticas como los vectores velocidad y aceleracin.

Objetivo: Adquirir experiencia sensorial (tanto visual como cinestsicamente) en las relaciones entre las

magnitudes cinemticas en el movimiento bidimensional, comparando su sentido intuitivo de estas relaciones con las relaciones definidas formalmente en cinemtica en trminos de la razn de cambio de la

posicin y la velocidad.

Materiales:

1. Computador con Java y conexin a Internet 2. Simulacin Movimiento del cucarrn 2D, disponible en:

http://phet.colorado.edu/en/simulation/ladybug-motion-2d#translated-versions

Procedimiento:

1. Suponga que Usted conduce su auto de carreras en una pista con forma de ocho, como se muestra en la figura 1. Como buen piloto,

Usted vara su rapidez segn la curvatura de la pista, siendo mxima

en los segmentos ms rectos y disminuyndola al tomar las curvas.

Conjeture razonadamente cmo varan los vectores velocidad y

aceleracin a lo largo de su trayectoria, dibujando flechas que

marquen la direccin y magnitud relativa (use flechas ms largas cuando la magnitud de estos vectores es

mayor, y viceversa) en diferentes puntos. No se trata de adivinar la respuesta correcta, sino de dejarse llevar de su intuicin y su comprensin actual de la cinemtica.

2. Para comparar sus conjeturas con lo que nos dice la fsica, Usted va a transformar el computador con el que est trabajando en simulador de un controlador remoto del movimiento de un robot El robot estar representado como un cucarrn, el cual har las veces del automvil.

a. Vaya a la direccin de Internet dada y busque en el listado de versiones traducidas (TRANSLATED VERSIONS) la versin en espaol (Colombia). Cargue y ejecute la simulacin (RUN NOW).

b. Cuando aparezca la pantalla de la figura 2, fije los controles del panel derecho como aparece en la figura. Site el cursor con el mouse en la punta de la flecha gruesa azul en la ventana Control

remoto. Muvalo en cualquier direccin (oprimiendo continuamente a la vez el botn principal del

mouse) y observe el consiguiente movimiento del cucarrn en la ventana principal. Familiarcese con

el control interactivo en una exploracin libre, hasta que haya adquirido habilidad para hacer seguir al

cucarrn una trayectoria predeterminada, modificando de una manera tambin predeterminada su

rapidez.

c. Aprenda el manejo de la funcin de grabacin, mediante la cual Usted puede grabar el movimiento y luego reproducirlo en cmara lenta.

d. Ahora haga que el cucarrn siga una trayectoria cercana a la de la figura 1, variando su rapidez como se indic en el nmero 1. Puede ser necesario hacer varios ensayos.

3. Compare y evale ahora sus conjeturas contrastndolas con el comportamiento observado de los vectores velocidad y aceleracin. Para este efecto reproduzca en cmara lenta el movimiento del cucarrn grabado

en el paso 2.d.

4. Vare repetidas veces la forma de la trayectoria y la rapidez, hasta percibir un patrn general en las relaciones geomtricas entre la forma de la trayectoria y el cambio de la rapidez, por una parte, con la

direccin de los vectores velocidad y aceleracin y los cambios en sus magnitudes, por la otra.

Figura 1


Informe: Describa en palabras el patrn general observado en las relaciones geomtricas entre la forma de la

trayectoria y el cambio de la rapidez con la direccin de los vectores velocidad y aceleracin y los cambios en

sus magnitudes. Ilustre dicho patrn con algunas impresiones de pantalla debidamente comentadas. Explique

tericamente dicho patrn, a partir de las definiciones vectoriales de la velocidad y la aceleracin en el

movimiento curvilneo.

Figura 2

Gua de estudio

Para orientarse en su estudio de las secciones 3.1, 3.2 y 3.4 del texto gua, tenga siempre presente las preguntas

claves del mdulo (las que estn en negrilla y resaltadas en la introduccin) y para las cuales ha encontrado una

respuesta emprica en la exploracin. A continuacin encontrar algunas preguntas con las cuales podr

comprobar su comprensin y retencin del material, sin olvidar que el objetivo primordial del trabajo es

comprender, generalizar y demostrar la relacin entre las variables cinemticas observada en la simulacin.

Posteriormente encontrar unos cuantos problemas de estudio para los que se ofrecen modelos de solucin que

Usted debe contrastar con la suya, y se proponen algunos problemas de prctica y para la autoevaluacin.

PREGUNTAS DE COMPRENSIN

Seccin 3.1

1. Describa en palabras la receta para combinar las coordenadas cartesianas del mvil como ingredientes de su vector de posicin, tomando como base la figura 3.1.

2. Si las tres coordenadas cartesianas del mvil son funciones del tiempo, la ec. (3.1) implicara que el vector de posicin es una funcin del tiempo. Cules son el dominio y el rango de

esta funcin?

3. Indique las semejanzas y diferencias entre el desplazamiento en una dimensin y el desplazamiento en general.

4. Por qu la velocidad media en la figura 3.2 no es colineal con el desplazamiento?

Gua de estudio


5. Compare las figuras 3.2 y 3.3. Cmo se llevan a cabo las transformaciones de , situada entre P1 y P2, en los vectores 1 y 2, situados en P1 y P2, respectivamente?

6. Contina siendo cierto en el movimiento curvilneo que la rapidez es la razn de cambio de la distancia recorrida?; Cmo es posible que una razn o tasa de cambio sea un vector,

como sucede en el caso del vector velocidad, que es la tasa instantnea de cambio de posicin con el tiempo (p.79)?

7. Se explica el hecho que el vector velocidad sea tangente a la trayectoria (figura 3.3) de la misma forma que el hecho de que la derivada sea la pendiente de la recta tangente a la

grfica cartesiana de una funcin?

8. El teorema de Pitgoras establece que 2 + 2 = 2 siendo a y b la longitud de los catetos de un tringulo rectngulo y c la de su hipotenusa. De qu manera se aplica el teorema para

obtener la rapidez en trminos de las componentes rectangulares de la velocidad (ec. 3.6)?

9. Explique porqu vy es el dividendo y vx el divisor en la ecuacin (3.7)

10. Justifique cualitativamente (analizando el comportamiento de las funciones de posicin dadas en el ejemplo 3.1 para t > 0) la FORMA del camino seguido por el carrito que se

dibuja en la figura 3.5.

11. Por qu es necesario sumar 180 a la tangente inversa de 1,3 para obtener el ngulo en el ejemplo 3.1?

Seccin 3.2

1. Es, tambin en el movimiento curvilneo, el vector aceleracin la razn de cambio de la razn de cambio de la posicin?

2. Cul es el efecto anlogo, en el movimiento curvilneo, al efecto de sacudida que produce la aceleracin en el movimiento rectilneo (ver lectura 5)?

3. Por qu es posible trasladar el vector 2 a la cola del vector 1 para formar el tringulo de la figura 3.6 (b)?

4. Qu significa la palabra resultante en la frase: Observe que 2 es la resultante de la velocidad original 1 y el cambio (p.82)?

5. Ilustre con todos los casos posibles la generalizacin: el vector aceleracin siempre apunta hacia el lado cncavo de una trayectoria curva utilizando diagramas triangulares de adicin vectorial como los de la figura 3.6 (nota: hay cuatro casos posible: doblar a la

izquierda aumentado la rapidez; doblar a la izquierda disminuyendo la rapidez; doblar a la

derecha aumentando o disminuyendo rapidez)

6. Explique porqu cuando un cuerpo sigue un movimiento uniforme curvilneo (ver lectura 2) el vector aceleracin es siempre perpendicular al vector velocidad (incluso no siendo un

movimiento circular uniforme).

7. Qu significa en general componente de un vector en la direccin

paralela/perpendicular al vector ?; Para qu nos sirve obtener la componente de la aceleracin en la direccin paralela a la velocidad?

8. Cmo se generaliza al movimiento curvilneo la regla sobre los signos de la velocidad y la aceleracin de las pginas 50 y 51, a saber: si en el movimiento rectilneo ambas magnitudes tienen el mismo signo, la rapidez aumenta; si sus signos son opuestos la rapidez

disminuye? (en caso de duda, consulta una posible respuesta al final del mdulo)

Gua de estudio


9. En la figura 3.15, explique con diagramas triangulares de adicin vectorial de velocidades la direccin de la aceleracin en los puntos B, D, E, F.

Seccin 3.4

1. Explique porqu en el movimiento circular uniforme (MCU) la aceleracin en cada punto de la trayectoria apunta siempre hacia el centro del crculo descrito por el mvil. Qu sucede

en el movimiento circular no uniforme (discuta los dos casos posibles: aumento o

disminucin de la rapidez)?

2. Son sinnimos los adjetivos radial y centrpeta? (La expresin aceleracin centrfuga se escucha con frecuencia, pero el texto no la menciona. Por qu?)

3. La demostracin que trae el texto de la importante relacin (3.28), entre la magnitud de la aceleracin en el MCU, la rapidez y el radio del crculo descrito, consta de los siguientes tres

grandes pasos (complete las frases siguientes):

I. Clculo de la magnitud de _______________________ para un cierto t, mediante la __________ entre un diagrama triangular de adicin vectorial (ver fig. 3.28b) y el sector

circular 0P1P2 (ver fig. 3.28a)

II. Clculo de ________ de __________ media para el mismo intervalo t III. __________________________________________________________

4. Relacione los diferentes casos que aparecen en la figura 3.30 con la generalizacin, al movimiento curvilneo, de la regla que relaciona los signos de la velocidad y la aceleracin

en el movimiento rectilneo (ver pregunta de comprensin 8, seccin 3.2).

5. Ordinariamente se piensa sin mucha precisin que la aceleracin es el aumento de rapidez, y que la disminucin de rapidez es una desaceleracin o aceleracin negativa. La segunda de

las ecuaciones (3.31) parece justificar este uso, pero a la vez muestra que el cambio de

rapidez no es toda la aceleracin1. Explique en palabras en qu consiste la otra parte de la

aceleracin.

6. En la relacin (3.28) el radio de la circunferencia descrita por el mvil aparece en el denominador y en la relacin (3.30) aparece en el numerador. Significa esto que la

magnitud de la aceleracin en el MCU es a la vez directa e inversamente proporcional al

radio?

7. Pregunta P3.1) Un pndulo (un cuerpo que oscila colgado del extremo de un cordel) se mueve siguiendo el arco circular BC. En los puntos B y C est momentneamente en reposo.

Qu direccin tiene su aceleracin en los puntos A, B, C, D, E?

(dibuje en escala los vectores aceleracin)

8. (Pregunta P3.11) En el MCU, cul es la velocidad media durante una revolucin? Y la aceleracin media?

1 Estas dos ecuaciones se aplican tambin a un movimiento curvilneo no circular (es decir, a un movimiento con

trayectoria arbitraria), con la diferencia de que el valor de R, el radio de curvatura, no es una constante.

D .

. E

Gua de estudio


Problemas de estudio propuestos2

1. Demuestre las ecuaciones (3.4) y (3.10) del texto sin usar el lenguaje vectorial (es decir, sin partir de la ecuacin 3.3).

2. La aceleracin de un mvil est dada por la funcin vectorial (t) = (5 3 s-1 t + 2 s-2 t2 ) m/s2. Se sabe que, en el instante t= 0, la velocidad es el vector = (2 + - 5) m/s y el mvil se encuentra en el origen de coordenadas. (a) Encuentre su posicin y su velocidad en cualquier instante. (b)

Encuentre el vector desplazamiento, la distancia al origen, la rapidez y la direccin de movimiento en

el instante t = 1 s.

3. Encuentre las funciones de movimiento generales en el caso del movimiento uniformemente acelerado (no necesariamente rectilneo). Dibuje las grficas cinemticas y la trayectoria del movimiento (en el plano XY) para el caso en que la velocidad inicial sea perpendicular a la

aceleracin.

4. Analice el MCU en trminos de las coordenadas cartesianas del mvil, expresadas como funcin del ngulo que forma el vector posicin con el eje X, deduciendo la relacin 3.28 directamente desde la

definicin general de aceleracin como derivada de la velocidad (ver el problema 3.75 del texto gua,

que le ofrece una secuencia de preguntas intermedias que le facilitarn el anlisis; ver tambin el

problema de estudio 4 de la actividad 4).

5. Resuelva al menos los problemas 3.6, 3.7, 3.29, 3.33, 3.34, 3.44, 3.46, 3.50

Modelos de resolucin de los problemas de estudio propuestos

1. A. Descripcin y anlisis del problema

Podemos imaginar que tres tubos fluorescentes muy alargados paralelos a los ejes de coordenadas proyectan

haces perpendiculares sobre cada eje. Las sombras producidas por el mvil sobre los ejes se mueven con

movimiento rectilneo cuando el mvil se desplaza en el espacio tridimensional. Las posiciones de aqullas

determinan conjuntamente la posicin del mvil, en cuanto sus coordenadas sobre el respectivo eje (X, Y Z)

son idnticas a las coordenadas x, y, z del mvil. Igualmente la velocidad lineal de cada sombra es idntica a la

componente rectangular del vector velocidad del mvil sobre el eje correspondiente, y lo mismo sucede con

sus aceleraciones. El movimiento puede considerarse entonces como la composicin de tres movimientos

rectilneos solidarios en direcciones mutuamente perpendiculares.

B. Planteo de ecuaciones

Sean , , las coordenadas que marcan la posicin de las sombras proyectadas sobre los ejes y , ,

sus velocidades, cuyas nicas componentes (en las direcciones X, Y y Z respectivamente) son =

,

=

, =

. En efecto, la velocidad lineal de cada una de las sombras a lo largo del correspondiente

eje es la razn de cambio de su posicin, o lo que es igual es la derivada de su coordenada con respecto al

tiempo.

Ahora bien, = , = , = y vx = , vy = , vz = . Sustituyendo trmino a trmino en ambos miembros de las ecuaciones anteriores obtenemos las ecuaciones (3.4). Derivando una segunda vez cada

ecuacin se obtienen las ecuaciones para las componentes de la aceleracin (3.10).

2 Los primeros cuatro problemas son de tipo terico; su finalidad primordial es contribuir a la comprensin de la teora y desarrollarla con mayor detalle. Por ello es recomendable que Usted estudie el modelo propuesto de resolucin (despus de

haber reflexionado sobre el enunciado del problema) y pasado un cierto tiempo intente hacerlos de nuevo por su cuenta.

Los restantes problemas buscan afianzar los conceptos y desarrollar la competencia en su aplicacin. Los respectivos

modelos de solucin ofrecidos se limitan a indicaciones y sugerencias, sin desarrollar por completo el proceso.

Gua de estudio


C. Discusin

La notacin vectorial nos proporciona una forma compacta o econmica de describir un movimiento

tridimensional agrupando las tres coordenadas en una nica magnitud (), sus tres velocidades lineales en otra magnitud () y sus tres aceleraciones lineales en una tercera magnitud .


Conocida la aceleracin del mvil como funcin del tiempo, es decir, la derivada de la velocidad, encontramos

sta mediante la resolucin del problema inverso de la diferenciacin (integracin). Reiterando el proceso

obtenemos la posicin como funcin del tiempo. Tanto la diferenciacin como la integracin de una funcin

vectorial fx (u) + fy (u) + fz (u) de la variable real u se realizan de manera idntica a la diferenciacin y la integracin de una funcin real, considerando a los vectores unitarios , , como factores constantes. Obsrvese que una funcin vectorial es un conjunto ordenado de tres funciones escalares3.

La parte (b) del problema requiere simplemente evaluar las funciones posicin y velocidad para un instante

particular, y a partir de all obtener las magnitudes solicitadas utilizando la aritmtica vectorial.

B. Planteo y solucin de ecuaciones

a) A partir de la ec. (3.9) e integrando, obtenemos:

= =

0(t) dt = ( 5

0 3 s-1

0 + 2 s-2 2

0) m/s2 =

= (5 t 32 s-1 t2 + 2

3 s-2 t 3 ) m/s2

Sustituyendo el valor dado de = (2 + - 5) m/s y factorizando trminos semejantes obtenemos:

= ((2+5 s-1t) +(1 32 s-2 t2) +(-5+ 2

3 s-3 t 3) ) m/s

Por otra parte:

= =

0(t)dt = ((2 s-1 t + 5

2 s-2 t 2) +(1 s-1t 3

6 s-3 t3) +(-5 s-1t + 2

12 s-4 t 4) ) m

Como el vector posicin inicial es cero, la anterior funcin es tambin el vector posicin en cualquier tiempo.

b) Al sustituir en la funcin (t) el valor t = 1 s obtenemos el vector (1 s) = (92

+ 12

- 29

6) m, cuya

magnitud: (92)2 + (1

2)

2+ (29

6)

2 = 6,6 m, nos proporciona la distancia al origen en ese instante. Para

encontrar la rapidez evaluamos la funcin velocidad en t = 1 s, obteniendo el vector (1 s) = (7 - 12

- 13

3) m/s,

cuya magnitud 72 + (12)

2+ (13

3)

2 = 8,25 m/s nos proporciona la rapidez tras 1 s. La direccin del vector

(1 s), es decir el ngulo que forma con cada uno de los ejes de coordenadas, se calcula de la manera ms fcil usando el concepto de producto escalar (ver seccin 1.10 del texto). Si tomamos el producto escalar de un

vector con el vector unitario el resultado es simplemente la componente en X del vector (ecuacin 1.21), puesto que Bx = 1, By = Bz = 0. Por otra parte, la ecuacin (1.18) nos dice que ese producto escalar es tambin

el producto de la magnitud del vector por el coseno del ngulo desde el vector hacia el vector , o lo que es igual al ngulo que forma ste ltimo con el eje X. En consecuencia, obtenemos las importantes ecuaciones

para los ngulos de un vector con los tres ejes coordenados usando la funcin arco coseno, o la funcin inversa

del coseno:

= arccos (Ax / || || ); = arccos (Ay / || || ); = arccos (Az / || || )

Substituyendo los valores numricos y evaluando con calculadora (asegrese que entrega como resultado de la

tecla arccos un valor entre 0 o 180), obtenemos:

= arccos (7 / 8,25) = 32; = arccos (-0,5/8,25) = 93,5; = arccos (-4,3/8.25) = 121,7

3 En realidad, es condicin necesaria, para que constituyan un vector, que cuando se hace un cambio de ejes coordenados

las componentes de la funcin se combinen de una determinada manera para dar las nuevas componentes.

Gua de estudio


C. Anlisis y evaluacin de la solucin

Al triplicar el nmero de integrales o de derivadas que se deben evaluar para obtener las magnitudes

cinemticas bsicas a partir de la que se conoce exige gran cuidado al trabajar para evitar errores. Para

verificar la respuesta a la pregunta (a) se deriva la funcin posicin dos veces, obteniendo de nuevo la

aceleracin dada. La pregunta (b) es un ejercicio numrico en el cual el estudiante debe mostrar su

competencia para trabajar con orden y manejar eficientemente la informacin que debe procesarse para llegar a

las respuestas correctas4. La especificacin de la direccin de un vector en tres dimensiones es bastante

dispendiosa, por exigir tres parmetros (aunque slo dos de ellos son independientes, como se demuestra en la

geometra analtica). Pero la casi totalidad de los problemas de aplicacin se harn en dos dimensiones

(movimiento en el plano), en donde basta un nico parmetro para especificar cualquier direccin.


El movimiento uniformemente acelerado es aquel en el cual la aceleracin es un vector constante . Como no se han especificado ejes de coordenadas predeterminados, tenemos libertad de construir nuestro sistema de

coordenadas de forma que se reduzcan al mximo el nmero de componentes de las magnitudes cinemticas.

Tomemos la direccin dada del vector como la direccin de uno de los ejes, digamos el eje Y. La velocidad inicial es otro vector dado , que puede tener cualquier direccin. Supongamos que esta direccin es diferente a la del vector (en caso contrario el caso sera de MRUA, no de movimiento curvilneo). Como dos vectores no colineales determinan un nico plano, sea XY el plano determinado por los vectores y . Escojamos como origen O del sistema de coordenadas la posicin inicial del mvil. Definamos como eje Y la

recta que pasa por ese punto orientada en la misma direccin del vector y como eje X la recta perpendicular al eje Y trazada por O orientada en alguna de las dos posibles direcciones. Por ltimo, el eje Z ser una recta

trazada por O y perpendicular al plano XY.

Como la aceleracin no tiene componentes en las direcciones X y Z, no hay cambios en las componentes de la

velocidad en estas direcciones (no se olvide que la aceleracin es la razn de cambio de la velocidad). Dado

que la componente inicial de velocidad en Z es cero, la velocidad en Z siempre es cero y en consecuencia as

tambin lo es la coordenada Z del mvil. En conclusin, el movimiento se produce nicamente en el plano

XY, siendo entonces un movimiento en dos dimensiones, requirindose nicamente dos coordenadas, x y y,

para localizar la posicin del mvil. Los parmetros del movimiento son entonces la magnitud de la

aceleracin, a, la magnitud de la velocidad inicial, vo, y el ngulo entre los vectores y , que llamaremos .

B. Planteo de ecuaciones

Integrando la ecuacin (3.9) para constante (por lo que puede salir de la integral), obtenemos y = + t. Substituyendo esta funcin en la ecuacin (3.3) e integrando nuevamente obtenemos:

= + t+ 1

2 t2 (1)

Utilizando ahora la definicin del sistema de coordenadas realizada en la parte A, la ecuacin (1) se expande

en las siguientes ecuaciones escalares:

x = vox t

y = voy t + 1

2 a t2

De la primera ecuacin podemos despejar t en trminos de x y luego substituir en la segunda, obteniendo la

ecuacin de la trayectoria:

y =

+ 1

2

1

2

2

4 Este manejo de la informacin es rutinario, pero es necesario para la solucin efectiva de los problemas. La situacin es

algo anloga a la ciruga. Las tcnicas de esterilizacin son rutinarias y no demandan habilidad intelectual, pero son

indispensables para que el paciente no se infecte.

Gua de estudio


Las componentes del vector estn dadas por: vox = vox cos y voy = voy sen (siendo = /2 - el ngulo que forma la velocidad inicial con el eje X). Substituyendo obtenemos:

y = (tan ) x + 12

1

2 co2

2

Las grficas cinemticas son las grficas cartesianas de las funciones posicin contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleracin contra tiempo. A diferencia del movimiento rectilneo, en el movimiento en el

plano se requieren seis grficas, dos por cada magnitud. En cambio, la grfica de trayectoria, o diagrama de movimiento (ver texto gua, pg. 47) que en el caso rectilneo es una recta sobre la que se indican en ciertos instantes especficos los vectores velocidad y aceleracin, en el caso curvilneo plano es una curva en el plano

XY. Las siguientes figuras presentan las grficas cinemticas y el diagrama de movimiento para la situacin

en que la velocidad inicial es perpendicular a la aceleracin constante. El color rojo se usa para las magnitudes

en la direccin X y el verde para las magnitudes en la direccin Y.

C. Anlisis y evaluacin de la solucin

La ecuacin (1) es estructuralmente idntica a la ecuacin para la posicin en el MRUA pues los conceptos

bsicos implicados son los mismos para el movimiento en una, dos o tres dimensiones. Pero un movimiento en

lnea recta acelerado uniformemente es superficialmente muy diferente al movimiento parablico. En el

siguiente mdulo veremos que esta diferencia es de perspectiva.

La curva parablica del grfico y versus t es muy diferente de la curva parablica que representa la trayectoria

del mvil en el espacio real. Mientras la curvatura de la primera es 1

2a, la de la segunda es 1

2

1

2 co2

.

4. A. Descripcin, anlisis del problema y planteo de ecuaciones

Las coordenadas de los puntos que forman una circunferencia de radio R

se pueden obtener, conociendo el ngulo entre el radio y el eje X, mediante la definicin del seno y el coseno. Considere el tringulo

rectngulo OPQ. El coseno del ngulo es la razn entre el cateto adyacente OQ = x y la hipotenusa OP = R. El seno es la razn entre el

cateto opuesto PQ = y y la hipotenusa. De all la relacin bsica buscada:

Ahora bien, si el punto P se mueve con rapidez uniforme siguiendo la circunferencia el ngulo vara

proporcionalmente con el tiempo. Sea (omega minscula) la constante de proporcionalidad, el parmetro que describe la rapidez con la que cambia el ngulo, la variable esencial del problema porque determina las dos

coordenadas cartesianas. As pues, = t, por lo que se denomina velocidad angular (ya que desempea

el mismo papel que la rapidez en el movimiento uniforme, distancia = v t). Como se debe medir en radianes,

posicin velocidad aceleracin

Y

X 5 s Las lneas amarillas permiten seguir la

evolucin temporal de las coordenadas

por separado, hacindose evidente que la

coordenada x del mvil (o su proyeccin

sobre el eje, ver problema 1) tiene MU,

mientras la coordenada y tiene MRUA.

P(x , y)

X

Rcos

Rse

n

Y

O

Q

x = R cos ; y = R sen

Gua de estudio


la unidad natural angular (ver modelo de solucin al problema 4 de la actividad 4, en especial la nota al pi

de pgina 10), la cual es adimensional (sin dimensiones), la dimensin de es s-1 (sin embargo, por razones didcticas algunos textos, entre ellos el nuestro, la expresan como rad/s, para recordar que el desplazamiento

angular se expresa en radianes y no en grados sexagesimales.

El vector posicin con respecto al centro del crculo, que consideramos como origen del sistema de

coordenadas, estar dado entonces por:

= x + y = R ( cos (t) + sen (t) )

De donde (usando la derivacin en cadena y teniendo a R y constantes):

=

= R ( sen(t) + cos (t) )

El vector sen(t) + cos (t) tiene magnitud 1 y es tangente a la circunferencia, pues es perpendicular al vector unitario radial que va del origen al punto P, a saber cos (t) + sen (t) , como se puede comprobar efectuando el producto escalar de ambos vectores. La rapidez del punto est dada por la importante

relacin:

Por ltimo, la aceleracin est dada por:

=

= R2 ( cos (t) + sen (t) )

La anterior expresin nos dice a la vez la magnitud de la aceleracin, R2, y su direccin: un vector opuesto al

vector unitario radial, y por lo tanto normal a la velocidad. Si sustituimos como v/R en la magnitud de la aceleracin, obtenemos de nuevo la relacin (3.28) para la aceleracin centrpeta, que constituye uno de los resultados ms conocidos y fundamentales de la cinemtica rotacional:

La teora del MCU incluye otros dos familiares parmetros relacionados con , el periodo T y la frecuencia f. T es el tiempo que el punto tarda en dar una vuelta completa al crculo (o una revolucin, como se suele decir). Por otra parte f se define como el nmero de vueltas dadas en una unidad de tiempo; es por tanto

idntica a la velocidad angular cuando el ngulo se mide en la nueva unidad revolucin (rev) , donde

1 rev = 2 rad). As, cuando t = T, = 2 rad = 1 rev = 360. A partir de la definicin de como coeficiente

de proporcionalidad entre y t (a saber, = t) obtenemos la relacin (substituyendo los anteriores valores de

t y despejando luego ):

Para convertir la unidad rad que aparece en el numerador de a la unidad revolucin hemos de dividir el valor numrico por 2 (lo que equivale a multiplicar por 1 = 1 rev/ (2 rad) y cancelar luego la unidad rad). Las frmulas para la frecuencia son entonces:

B. Anlisis y evaluacin de la solucin

Como se dijo en la nota 2, los problemas propuestos en este mdulo son problemas tericos, no ejercicios de aplicacin de procedimientos algortmicos ya definidos. Estos son los verdaderos problemas que enfrenta un

cientfico en su trabajo: a partir del conocimiento que ya posee y de un objetivo cognoscitivo (a saber, llenar

una laguna en ese conocimiento), ejercer su creatividad para aumentar su conocimiento del problema

inventando si es del caso nuevos conceptos. Lo que hicimos en este problema fue particularizar las

definiciones generales de velocidad y aceleracin a una funcin posicin (t) explcitamente dada por una

v = R (1)

acentrpeta = R2 = 2

R (2)

= 2

T (3)

f =

2 =

1

T (4)

Gua de estudio


expresin analtica, que fue construida geomtricamente sabiendo la trayectoria y el carcter uniforme del

desplazamiento angular. Posteriormente utilizamos los resultados para ampliar la base de conocimientos sobre

el MCU, los cuales sern utilizados con frecuencia y deben ser memorizados. La frmula (1) nos da la

velocidad tangencial, que no es ms que la rapidez en el contexto del movimiento curvilneo (en realidad la velocidad como vector es siempre tangente a la trayectoria). Las frmulas (3) y (4) son variaciones de la

rapidez angular; una forma adicional de expresarla es en revoluciones por minuto (rpm), cuyo valor numrico se obtiene multiplicando por 60 la frecuencia (dada en rev/s, que normalmente se expresa en s-1, pues

la unidad revolucin, como la unidad radin, es adimensional). Pero la frmula ms importante es la (2), pues

nos permitir obtener la llamada fuerza centrpeta, que tuvo excepcional importancia en el desarrollo histrico y conceptual de la mecnica, y por lo mismo tiene una altsima importancia pedaggica en la

comprensin de la fsica por parte del estudiante.

Pistas para la solucin de los ejercicios del texto sugeridos

3.6 Conocemos la aceleracin media en un intervalo (en magnitud y direccin) y la velocidad al comienzo de

ese intervalo (en componentes cartesianas), y nos piden la velocidad al final del intervalo (en ambas formas).

Sabemos que = t. De donde: ||||= || || t y la direccin de ambos vectores es idntica (la multiplicacin de un vector por un escalar no altera su direccin). Lo ms fcil es calcular primero las

componentes cartesianas de 2 : vx2 = vx1 + x, vy2 = vy1 + y, Las componentes cartesianas del cambio de velocidad se obtienen multiplicando su magnitud por el coseno y el seno, respectivamente, del ngulo dado

(31,0) que indica la direccin de este vector. La magnitud y direccin de 2 se obtienen por las frmulas (1.8) y (1.9).

El dibujo sobre papel cuadriculado de los vectores velocidad inicial y final permite verificar la respuesta,

restndolos grficamente y comparando el resultado con el vector t.

R/ 2 = (6,46 + 0,52 ) m/s; ||2|| = 6,48 m/s; ngulo entre el eje X y 2 : +4,6 (en sentido antihorario); los vectores difieren en magnitud y direccin.

3.7. Estructuralmente este ejercicio es idntico al problema 3, en cuanto la aceleracin es el vector constante

2 y la velocidad inicial el vector , como se puede ver al derivar dos veces las funciones de posicin dadas multiplicadas por los respectivos vectores unitarios (la funcin velocidad es 2t) . La eliminacin del

tiempo nos da la ecuacin de la trayectoria: y = 3 -

2 x2: una parbola con vrtice en (0, 3) y que corta al eje X

en x= 3

. En t = 0 las coordenadas son (0, 3) y en t = 2 s son (4,8, -1,8), como se ve de inmediato al

evaluar las funciones posicin en tales instantes. Evaluando la funcin velocidad en t = 2 y calculando el

mdulo y la direccin del vector obtenido, tenemos que la rapidez es 5,4 m/s en direccin -63,4 (desde el eje

X hacia el negativo del eje Y). La aceleracin, que es un vector paralelo al eje Y hacia abajo, tiene una

componente paralela a la velocidad, por lo que la rapidez est aumentando. Como tambin tiene componente

normal a la velocidad apuntando hacia la derecha, el ave est virando hacia ese lado.

3.29 (a) Nos dan el periodo del MCU del objeto (T = 24 horas) y el radio de su trayectoria (R = 6,380 km).

Nos piden la magnitud de la aceleracin (0,0342 ms-2 = 0,0035g)5 , que obtenemos de la ecuacin (3.30), o de

las ec. (2) y (3) del problema 4. (b) Es el problema inverso: nos dan la magnitud de la aceleracin (1,0 g) y el

radio, y debemos encontrar T (1,42 horas).

3,33 Se conoce el radio de la trayectoria circular (14 m) y que el movimiento es uniforme, con una rapidez

(velocidad tangencial) de 7,00 m/s. La magnitud de la aceleracin es entonces constante, y est dada por la

frmula (3.28), obtenindose 72

14 = 3,5 m/s2. Como la aceleracin en el MCU apunta siempre hacia el centro de

la trayectoria, en el punto ms bajo es vertical hacia arriba y en el ms alto es vertical hacia abajo. La distancia

5 Otra de las posibles unidades para la aceleracin es la llamada unidad g. 1 g es igual a 9,8 ms-2. En el mdulo 3 se estudiar la razn de la escogencia de este valor y del nombre de esta unidad.

Gua de estudio


recorrida en una revolucin es igual al permetro de la trayectoria, es decir a la circunferencia del crculo

(2R=88 m). A razn de 7,00 m/s, recorrer esta distancia tarda 88/7 s = 12,6 s.

3.34. Ahora el movimiento no es uniforme. La aceleracin del pasajero tiene pues

una componente tangencial en la misma direccin horizontal de izquierda a derecha

que tiene la velocidad, puesto que la rapidez aumenta. La magnitud de esta

componente tangencial es igual a la razn de cambio de la rapidez. La magnitud de la

componente normal de la aceleracin se sigue calculando con la frmula (3.28).

R/ Magnitud de la aceleracin: 0,81 m/s2; direccin: 52 medidos desde la

horizontal hacia el centro de la rueda.

3.44. La parte a) se hace por integracin, como en el problema 2, obtenindose:

= ((vox+

3t3) +( voy + t

2 t2) ) m/s; = ((voxt +

12t4) +( voyt+

2t2

6 t3) ) m

b) Cuando la altura y es mxima la componente vertical de la velocidad vy se anula. El tiempo correspondiente

es entonces la solucin positiva a la ecuacin cuadrtica voy + t

2 t2 = 0, a saber 13,6 s. Evaluando la funcin

y(t) en ese punto obtenemos la altura mxima, 341 m.

c) Mediante el programa EXCEL se realiz una tabla de valores de las funciones x(t) , y(t) para los valores 0,

0,25 s, 0,5 s, . hasta 21 s, graficndose luego y vs x, obtenindose el siguiente grfico:

3.46 b) Como x(t)=t 3t3, x=0 t = 0 t =

3

= 2,12 s. En el ltimo instante la coordenada y es 9 m.

3.50 El periodo del MCU que describe la proyeccin del ave sobre el plano horizontal es 5 s. En este intervalo

recorre la distancia 2R = 50,3 m, lo que nos da una rapidez horizontal de 10,1 m/s, que es tangente al cilindro imaginario sobre el cual se desarrolla la trayectoria. Esta rapidez se compone con la rapidez vertical

(3,00 m/s) usando el teorema de Pitgoras para obtener la rapidez resultante de 10,5 m/s formando un ngulo

de 16,7 con la horizontal. La aceleracin est en el plano xy y tiene una direccin variable, siempre hacia el

centro del crculo, de magnitud constante igual a la rapidez horizontal al cuadrado sobre el radio (13 ms-2).

Para convencerse de que el movimiento de ascenso superpuesto al circular no afecta la aceleracin, analice el

vector posicin: = x + y + z = R ( cos (t) + sen (t) ) + 3 m/s t

Autoevaluacin Resuelva los ejercicios 3.4, 3.8, 3.32, 3.35, 3,45

d) El valor preciso en el que la

coordenada y se hace cero de nuevo se

calcul resolviendo la ecuacin

cuadrtica voy+

2t

6 t2 = 0,

obtenindose la solucin 20,7 s

Gua de estudio


Respuesta a la pregunta 8, secc. 3.2 Si la aceleracin tiene componente en la misma direccin que la velocidad (es decir, si tiene componente

paralela a la velocidad), la rapidez aumenta; si la aceleracin tiene componente en direccin opuesta a la de la

velocidad, la rapidez disminuye. Si la aceleracin es normal a la velocidad (en otras palabras, si no tiene

componente en direccin paralela a la velocidad), la rapidez es constante.

Solucin a los problemas de autoevaluacin pares

3.4. t = (2b)/(3c)

3.8.

3.32. a) 2,99 x104 m/s 108 000 KPH (es importante por razones tericas que veremos en la 2 unidad, comparar este resultado para la rapidez orbital de la Tierra con: i) la rapidez tangencial de un punto en el Ecuador terrestre debida a la rotacin diurna de la Tierra, que se puede obtener con los datos del ejercicio 3.29,

a saber 471 m/s 1700 KPH; ii) la rapidez del sistema solar en su movimiento de rotacin alrededor del

agujero negro situado en el centro de la Va, Lctea6, 2,29 x 105 m/s 826 000 KPH).

b) 5,95 x10-3 m/s2 (compare con la aceleracin debida a la rotacin de la Tierra obtenida en el ejercicio 3.29,

0,0342 m/s2, y con la aceleracin del sistema solar debida a su rotacin galctica, del orden de 2x10-10 m/s2).

c) 4,78 x104 m/s; 3,95 x10-2 m/s2

6 Segn los ms recientes datos, el sistema solar se encuentra a unos 28 mil aos luz del centro galctico, y

completa una rbita en unos 230 millones de aos. He usado para la velocidad de la luz el valor definido

exactamente en 1983 como 299.792.458 m/s (ver texto gua, p.6), y para la duracin de un ao el valor

365,2422 das (ao tropical), que equivalen a 3,1556926x10+07 s, un ao luz es igual a 9,46052841015 m. Si no se requiere mucha precisin se suele tomar el valor de 9,5 billones de kilmetros.

Unidad 1 Modulo 2

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