Unidad 2 ejercicios
-
Upload
carolina-santillan-yuqui -
Category
Education
-
view
211 -
download
1
Transcript of Unidad 2 ejercicios
UNIDAD 2
GRÁFICA DE DESIGUALDADES
1) Convertir la desigualdad en igualdad
2) Graficar una recta
3) Escojo un punto de ensayo.
4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
EJERCICIO N° 1
DESARROLLO:
2X1 + 4X2 ≤12
1. Convertir la desigualdad en igualdad
2X1 + 4X2 ≤ 12 2X1 + 4X2 = 12
2. Graficamos
3. Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)
4. Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
2(0)+4(0) ≤12
0 < 12 VERDADERO
Regresando al paso 3) Si escojo otro punto de ensayo por ejemplo P (6,4)
2(6)+4(4) = 12
28 = 12 FALSO
SOLUCIÓN
X1
X2
EJERCICIO N°2
DESARROLLO:
3X1 + 6X2 ≥17 3X1 + 6X2 = 17
X1 X2
0 2,8
5,7 0
P (0,0)
3(0)+6(0) =17
0 = 17 FALSO
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
EJERCICIO # 3
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y
auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y
liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos.
Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una
auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas
de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de
impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión,
produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales
disponible es de 60.
SOLUCIÓN
LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONE:
X1 X2
HORAS DE
TRABAJO 8 40 800
HORAS DE
REVISIÓN 5 10 320
UTILIDAD 100 300
1. FUNCION OBJETIVO.- Maximizar
2. VARIABLES DE DECISIÓN.- son las incógnitas: liquidaciones X1 y auditorías
X2
3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.- Se dispone de 800 horas de trabajo y 320 de revisión y un máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60
4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
F.O.
Z= 100X1 +300X2
S.a
8X1+40X2 ≤ 800
5X1+10X2 ≤ 320
X1 ≤ 60
Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0
8X1+40X2 = 800
X1 X2
0 20
100 0
8(0)+40(0) = 800
0 = 800 VERDADERO
5X1+10X2 =320
X1 X2
0 32
64 0
X1 = 60
Punto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 20 6000
C 40 12 7600
D 60 2 6600
E 60 0 6000
Para calcular los puntos C y D por el método de eliminación
8X1+40X2 = 800
5X1+10X2 = 320 (-4)
8X1 +40X2 = 800
-20X1-400X2 = -1280
-12X1 = - 480
X1 = 40
8(40) + 40X2 = 800
40X2 = 800 -320
X2 = 12
5(0)+10(0) = 320
0 = 320 VERDADERO
B
A
B
C
D
E
X1 = 60 5(60) + 10X2 = 320
10X2 = 320 – 300
X2 = 2
Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2
Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3
X2 = 12
COMPROBACIÓN
1) 8 X1 + 40 X2 = 800
8(40)+40(12) = 800
320 + 480 = 800
800 = 800 Hay Equilibrio
2) 5 X1 + 10 X2 = 320
5(40) + 10(12) = 320
200 + 120 = 320
320 = 320 Hay equilibrio
3) X1 = 60
40 = 60 Hay Holgura
Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12
auditorías para tener un ingreso de $7600.
Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo
de liquidaciones posibles en el mes.
8 X1 + 40 X2 + h1 = 800
8(40) + 40 (12) + h1 = 800
800 + h1 = 800
h1 = 0
5 X1 + 10 X2 + h2 = 320
5(40) + 10(12) + h2 = 320
200 + 120 + h2 = 320
h2 = 0
X1 + h3 = 60
40 + h3 = 60
h3 = 20
CONCEPTUALIZACIONES
Maximización: representa el punto más lejos del origen.
Minimización: representa el punto más cercano al origen.
Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada
contorno de las ecuaciones.
RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
RESTRICCIONES Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución,
se cumple la igualdad al sustituir las variables.
RESTRICCIONES Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la
solución.
HOLGURA Y EL EXCEDENTE
VARIABLE DE HOLGURA.- representa la cantidad de recursos no
utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro
izquierdo de la desigualdad.
VARIABLE DE EXCEDENTE.- representa la cantidad por encima de un
nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el
miembro izquierdo de la desigualdad.
Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es
decir deben ser diferentes o mayores que cero.
EJERCICIO # 4
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a
trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es
necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de
electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de
electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El
beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200
euros por mecánicos.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el
máximo beneficio, y cuál es este?
FORMULACIÓN:
F.O.
MAXIMIZAR: Z= 200(X1) +250(X2)
VARIABLES: X1= número de mecánicos
X2= número de electricistas
Lim. X1= X2
X1= 2X2
X2= 30
X1= 20
C.T X1, X2 = 0
X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20
X1 X2 X1 X2
0 0 0 0
5 5 10 5
10 10 20 10
15 15 30 15
20 20 40 20
PUNTOS X1 X2 Z
B 20 10 6500
C 20 20 9000
SO. Z= 9000
V.O.
RA=1, 4 X1= 20
RI= 2, 3 X2=20
COMPROBACIÓN
1) X1≥X2
20≥20 Hay equilibrio
2) X1≤ 2X2
20 ≤ 2(20)
20 ≤ 40 Hay holgura
3) X2≤ 30
20 ≤ 30 Hay holgura
4) X1≤ 20
20 ≤ 20 Hay equilibrio
PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE
MECÁNICOS 20 ELECTRICISTAS 30 10
X1 + H1 = 2X2
20 + H1 = 2(20)
20 + H1 = 40
H1 = 20
X2 + H2 = 30
20 + H2 = 30
H2 = 10
EJERCICIO # 5
Solución única
Función objetivo: MINIMIZAR Z = 2X + 3Y
S.a -3x+2y ≤ 6
X +y ≤ 10.5
-x+2y ≤ 4
CONDICIÓN TÉCNICA X,Y ≥ 0
1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4
X Y X Y X Y
0 3 0 10.5 0 2
-2 0 10.5 0 -4 0
0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4
Verdadero Verdadero Falso
PUNTOS X Y Z A 0 2 6
SO
Z=6 RA=3
RI=1, 2
V.O
X =0
Y= 2
COMPROBACIÓN:
1) -3x+2y ≤ 6
-3(0)+2(2) ≤ 6
4 ≤ 6 HAY HOLGURA
2) X +y ≤ 10.5
0+2 ≤ 10.5
2 ≤ 10.5 HAY HOLGURA
3) -x+2y = 4
-0+2(2) = 4
4 =4
EJERCICIO # 6
Solución múltiple
Función objetivo:
MAXIMIZAR Z = 5/2X1 + X2
s.a 3x1+5x2 ≤ 15
5X1 +2x2≤ 10
CONDICIÓN TÉCNICA X1;x2 = 0
1) 3x1+5x2 = 15 2)5X1 +2x2 = 10
0 ≤ 15 0 ≤ 10
Verdad Verdad
X1 X2
0 3
5 0
X1 X2
0 5
2 0
-3(0)+2(2)+H1=6
4+H1=6
H1=3
(0)+2+H2=10.5
2+H2=10.5
H2=8.5
SO
Z=5 RA=1;2
V.O
X1 =20/19
X2= 45/19
POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS
X1 DESDE 20/19 HASTA 45/19
20/19 ≤ X1 ≤ 2
X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19
DONDE Z = 5
Para calcular el Punto C
3x1+5x2 =15 (-2)
5X1 +2x2=10(5)
-6x1-10x2 =-30
25X1 +10x2=50
19x1 0 =20
X1=20/19
3(20/19)+5x2 =15
60/19+5x2 =15
X2 =45/19
PUNTO C= (20/19; 45/19)
COMPROBACIÓN:
1) 3x1+5x2 ≤15
3(20/19)+5(45/19) ≤15
15 ≤15
2) 5X1 +2x2 ≤10
5(20/19)+2(45/19) ≤10
10 ≤10
EJEMPLO # 7
NO ACOTADO.- una de las variables de decisión puede asumir calores
indefinidamente. Función objetivo:
MAXIMIZAR Z= 5000A + 4000B
s. a A+B≥5
A-3B≤0
30A+10B≥135
CONDICIÓN TÉCNICA A;B = 0
1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135
A B A B A B
0 5 3 1 0 13.4
5 0 15 5 4.5 -1
No acotada no hay solución
EJERCICIO # 8
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana.
Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero
solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en
cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El
mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos
y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de
distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos
contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar
tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
FORMULACIÓN:
FO. Z = 150A + 300B
RESTRICCIONES
S.A
8A +2B ≥ 16
A + B ≥ 5
2A+7B ≥ 20
CONDICIÓN TÉCNICA A, B ≥ 0
1) 8A +2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A+7B ≥ 20
0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20
Falso Falso Falso
PUNTOS X1 X2 Z
B 1 4 1350 C 3 2 1050
SO
Z= 1050 RA= 2,3
VO RI= 1
A= 3
B= 2
COMPROBACIÓN
1) 8A +2B ≥16
8(3)+2(2) ≥16
24+4 ≥16
A B A B A B
0 8 0 5 10 0
2 0 5 0 0 2,86 = 3
8A +2B - H1 = 16
8(3)+2(2) - H1= 16
28 – H1 = 16
H1 = 12
28 ≥16 Hay Excedente
2) A + B = 5
3 + 2 = 5
5 = 5
3) 2A+7B = 20
2(3)+7(2) = 20
6+14 = 20
20 = 20
Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.