Unidad 2 Teoria de Lineas de Espera(1)

Investigación de Operaciones 2 Unidad 2. Teoría de Líneas de Espera

M. C. José Alberto Estrada Beltrán 10

UNIDAD 2.- TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA.

2.1.- GENERALIDADES Y CONCEPTOS. Si en el futuro algún científico decide representar la "agresividad del mexicano" por medio de una función, seguramente una de las variables sería el "tiempo de espera". Estas dos variables tienen una alta correlación positiva. Tenemos como ejemplos: -- Regreso a casa después del trabajo a las 13:00 hrs. e intentar transitar por el cruce de cualquier calle principal de la ciudad (15 a 30 minutos de espera). -- Asistencia al cine para ver un estreno (2 a 3 horas haciendo cola para adquirir los boletos, si no se agotaron antes). -- Asistir a cualquier banco de la localidad para efectuar algún servicio a las 12:00 hrs. (1 a 2 horas de espera). En todos los casos anteriores, el común denominador es la "espera", que a su vez acarrea un costo. Por ejemplo, en el caso del regreso a casa después del trabajo, el costo de la espera está asociado, entre otros factores, al mantenimiento extra que requerirá el auto por sobrecalentamiento, a la cuenta del gastroenterólogo por el principio de úlcera causado por el enojo de tener que esperar y al costo de oportunidad por no haber visto en televisión algún programa completo. Por otro lado, habría que considerar lo que costaría abrir más cruceros amplios para mejorar la circulación, y en el caso del banco, el poner a más cajeros para atender mejor a los clientes. De lo anterior se desprende que en todo sistema de líneas de espera existen dos grandes clases de costos: 1).- El costo social referente al tiempo de espera para recibir un servicio. 2).- El costo asociado al consumo de recursos que requiere ese servicio. Estos costos tienen una relación inversa: cuando uno aumenta el otro disminuye, y viceversa. La teoría de líneas de espera se ha llegado a utilizar con bastante éxito para determinar: a).- El número de médicos que deben atender el servicio de emergencia en un hospital, variando ese número en el tiempo y el espacio. b).- El número de camas que debe tener el pabellón gineco-obstétrico de un hospital. c).- El número de cajas que deben operar en un banco o en una tienda de autoservicio, en función de la hora y del día de la semana. d).- El número de autotransportes que deben distribuir productos perecederos en una región. e).- El número de operadores de tráfico aéreo, que varía en el tiempo y el lugar. f).- La secuenciación automática de encendido de semáforos a lo largo de una avenida. g).- El número de operadoras que atienden llamadas de larga distancia durante un turno. h).- El número de grupos de mantenimiento de algunas líneas aéreas.



La línea de espera, en su concepto más simple, se forma por la llegada

aleatoria de CLIENTES, que entran a un ESTABLECIMIENTO a recibir un SERVICIO,

proporcionado por un SERVIDOR. Si el tiempo que se utiliza para servir a un cliente es mayor que el que transcurre entre la llegada consecutiva de dos clientes, se formarán líneas de espera. Pero si el servicio es más rápido que la llegada de clientes, no se formarán colas o líneas de espera. La teoría de líneas de espera tiene los siguientes objetivos: a).- Caracterizar cuantitativa y cualitativamente a una cola. b).- Determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema que balanceen el costo social de la espera con el costo asociado al consumo de recursos. La cuantificación de una línea de espera se puede hacer a través de un ANÁLISIS MATEMÁTICO o de un PROCESO DE SIMULACIÓN. ANÁLISIS MATEMÁTICO.- produce

resultados óptimos. Sin embargo, requiere de suposiciones muy estrictas en cuanto a la naturaleza de las llegadas de clientes, el tipo de servicio, el número de servidores y la estructura del sistema.

LA CUANTIFICACIÓN DE LAS LÍNEA DE ESPERA SE PUEDE HACER A TRAVÉS DE

PROCESO DE SIMULACIÓN.- prácticamente se le puede utilizar para cual quier sistema, pero tiene como desventaja no produce resultados óptimos y es mucho más costoso.

2.2 ESTRUCTURA BÁSICA DE UNA LÍNEA DE ESPERA. Una línea de espera está constituida por: Un cliente que requiere de un servicio proporcionado por un servidor en un período determinado en una instalación de servicio. Los clientes entran aleatoriamente al sistema y forman una o varias colas o líneas de espera para ser atendidos. Si el servidor está desocupado, de acuerdo a ciertas reglas preestablecidas, conocidas como "disciplina del servicio", se proporciona el servicio a los elementos de la cola. El cliente será atendido en un período determinado de tiempo, denominado "tiempo de servicio". Al finalizar éste, el cliente abandona el sistema. Los clientes que se forman en una cola lo hacen en un "área de espera".



2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE ESPERA.

Las líneas de espera se pueden clasificar de acuerdo a: a).- El número de clientes que pueden esperar en la cola (este número puede ser finito o infinito). b).- La fuente que genera la población de clientes (esta fuente puede tener una producción finita o infinita). c).- A la manera como esperan los clientes (en una cola o en varias, con o sin opción a cambiarse de cola). d).- El tiempo transcurrido entre la llegada consecutiva de clientes (este intervalo de tiempo puede ser una constante o una variable aleatoria independiente). e).- El tiempo de servicio (este intervalo de tiempo puede ser una constante o una variable aleatoria dependiente o independiente). f).- La disciplina de la cola (como ejemplo de disciplina se puede utilizar: PEPS, UEPS, SEOA, etc.). g).- El número de servidores (uno o más). h).- La estructura de las estaciones de servicio (estas pueden estar en serie, en paralelo o mixtas). i).- La estabilidad del sistema (puede ser estable o transitoria. En la condición estable se tratan aquellos casos en los cuales en un período determinado solo puede ocurrir una

entrada al sistema (NACIMIENTO) y una salida del mismo (MUERTE). 2.4.- NOMENCLATURA BÁSICA.

Los modelos que analizan por medio de la teoría de líneas de espera son:

1.- UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN INFINITA.- es el caso de la taquilla de un cine, donde se venden boletos de acuerdo a como llegan los espectadores a requerirlos, y la producción de la fuente es infinita.

2.- UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN FINITA - por ejemplo, el caso de un banco, en el cuál existe una sola caja automática de atención al público. La población es finita, ya que no todos los clientes del banco poseen tarjeta para el uso de la caja automática. 3.- UNA COLA- SERVIDORES MÚLTIPLES EN PARALELO - POBLACIÓN INFINITA.- este es el caso de cualquier supermercado, en el cuál existen varias cajas de cobro, y el cliente puede hacer cola para pagar en la fila que más le convenga. 4.- UNA COLA- SERVIDORES MÚLTIPLES EN PARALELO - POBLACIÓN FINITA.- en este caso, se puede mencionar, por ejemplo, el departamento de damas de un autoservicio, al cual acude como cliente solo la población femenina, y existen varios servidores para atenderla.



5.- UNA COLA- SERVIDORES MÚLTIPLES EN SERIE.- este caso es típico de cualquier sistema de producción en serie, en el cual el producto terminado de una etapa es insumo de la etapa en serie que le sigue.

ILUSTRACIÓN DE LOS SISTEMAS DE COLAS: .......... .

LLEGADAS UNA COLA UN SERVICIO SALIDA

.................. .

LLEGADAS UNA COLA SALIDA SERVICIO EN PARALELO

LLEGADAS SALIDA

LÍNEAS EN PARALELO CON SERVICIO EN OPCIÓN AL CAMBIO DE COLA PARALELO

......... . ......

LLEGADAS UNA COLA SERVICIO EN SERIE SALIDA

.......

LLEGADAS SALIDA LÍNEAS EN PARALELO SIN OPCIÓN AL CAMBIO DE COLAS SERVICIO MIXTO NOTACIÓN KENDALL.



El investigador británico David Kendall introdujo en 1953 una notación programática para las diferentes líneas de espera. Lee complementó esta lista en 1966. La notación Kendall tiene la siguiente forma general:

( a / b / c ) : ( d / e / f ) donde:

a: distribución de llegadas. b: distribución del servicio. c: numero de servidores en paralelo en el sistema. d: disciplina del servicio. e: máximo número de clientes que pueden estar en el sistema. f: fuente de generación de clientes.

Para los símbolos a y b se utilizan los siguientes códigos:

M: llegada con distribución de Poisson y servicio distribuido exponencialmente. D: llegada o servicio determinístico. E: llegada y servicios con distribución de Erlang y Gamma, respectivamente. GI: llegadas con distribución general independiente. G: servicios con distribución general independiente.

Para el símbolo d se utilizan los siguientes códigos:

PEPS: primero que llega, primero al que se le proporciona servicio. UEPS: último que llega, primero al que se le proporciona servicio. SEOA: servicio en orden aleatorio. SPNA: servicio prioritario no abortivo. SPA: servicio prioritario abortivo. EQUIVALENCIA ENTRE LAS NOMENCLATURAS BÁSICA Y KENDALL. UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN INFINITA ( M / M / 1) : (PEPS / ∞ / ∞ )

UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN FINITA ( M / M / 1) : (PEPS / N / ∞ )

UNA COLA - SERVIDORES MÚLTIPLES EN PARALELO POBLACIÓN INFINITA ( M / M / S) : (PEPS / ∞ / ∞ )

UNA COLA - SERVIDORES MÚLTIPLES EN PARALELO POBLACIÓN FINITA ( M / M / S) : (PEPS / N / ∞ )

UNA COLA - SERVIDORES MÚLTIPLES EN SERIE ( M / Mi / 1 ) : (PEPS / ∞ / ∞ ) i = 1, 2, ..., n.



PARÁMETROS DE LOS SISTEMAS DE COLAS.

SÍMBOLO C O N C E P T O

Número promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo (cada minuto, hora, día, etc.)

Número promedio de servicios del sistema por unidad de tiempo.

Factor de utilización del sistema, y está dado por el cociente = ( / ). Si > 1 significa que llegan más clientes al sistema que a los que se les puede dar servicio, por lo que se forma una línea de espera en crecimiento sin límite. El factor > 1 indica la necesidad de añadir al sistema más servidores ( s ), hasta que se logre que < 1, es decir, s = ( / s ) < 1.

s Número de servidores en el sistema.

s = ( / s ) Factor de utilización de un sistema con servidores múltiples.

Wq Tiempo promedio de espera en la cola.

Ws Tiempo promedio de estancia en el sistema, es decir, el tiempo de espera en la cola más el tiempo de servicio al cliente.

1 / Tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas.

1 / Tiempo promedio de servicio a un cliente.

n Número esperado de llegadas de nuevos clientes por unidad de tiempo, cuando ya existen n clientes en el sistema.

n Número esperado de servicios por unidad de tiempo, cuando existen n clientes en el sistema. Representa la tasa combinada de servicios a la cuál trabajan todos los servidores ocupados.

Lq Número esperado de clientes en la cola.

Ls Número esperado de clientes en el sistema, tanto haciendo cola como recibiendo servicio.

P0 ( t ) Probabilidad de encontrar cero clientes en el sistema (probabilidad de sistema vacío).

Pn ( t ) Probabilidad de encontrar n clientes en el sistema.

Cs Número esperado de clientes que no requieren servicio al momento de arribar al sistema.

s Utilización promedio de cada uno de los s servidores ( s > 1 ), dada en porcentaje de tiempo.



4.3 MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA. 1.- UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN INFINITA. Las siguientes fórmulas son adecuadas para resolver problemas de este tipo de modelo: P0 ( t ) = 1 - ( / ). Pn ( t ) = n ( 1 - ) = ( / )n ( 1 - ( / )). Lq = 2 ( - ) Ls = ( - ) Wq = ( - ) Ws = Wq + ( 1 / ) P ( Ls > z ) = ( z + 1 ) = ( / )( z + 1 ) P (Wq > g ) = e - g ( 1 - ) ; g 0 ( g = unidades de tiempo ). P (Ws > h ) = e - h ( 1 - ) ; h 0 (h = unidades de tiempo ).

Ejemplo 1: Petróleos Mexicanos estudia la utilización de la gasolinera que se encuentra en el kilómetro 70 de la carretera estatal Toluca - Valle de Bravo, en el Estado de México. La gasolinera tiene 6 bombas, 4 para gasolina magna, una para gasolina premium y una más para diesel. Cada una de éstas bombas tiene solamente una manguera para servir combustible. Las llegadas de autobuses que cargan diesel muestran una distribución que se aproxima a la de Poisson, mientras que el servicio muestra una distribución exponencial. El promedio de llegadas a la bomba diesel es de 5 autobuses por hora, mientras que esa bomba puede prestar en promedio 7 servicios por hora. Solo se puede dar servicio en esa bomba a un autobús a la vez, y se sirve a los autobuses en el orden en que llegan a la bomba.

a).- Encuentre todos los parámetros que describen cuantitativamente a esta bomba diesel, para que posteriormente se pueda tomar una decisión acerca de la instalación de otras bombas diesel en ese lugar.



DATOS: = 5 autobuses / hora. = 7 autobuses / hora.

En base a estos datos, se calcula el factor de utilización del sistema:

= ( / ) = 5 / 7 = 0.7142 < 1.

Debido a que el factor de utilización es menor que 1 (lo que indica que no se formarán colas en crecimiento sin límite), se procede a aplicar las fórmulas de este modelo.

La probabilidad de encontrar la bomba diesel vacía es: P0 ( t ) = 1 - ( / ) = 1 - ( 5 / 7 ) = 1 - 0.7142 = 0.2857.

Es decir: es 28.57 % probable encontrar el sistema vacío.

La probabilidad de encontrar, por ejemplo, un autobús cargando diesel y dos esperando en la cola es: P3 ( t ) = 3 ( 1 - ) = (5 / 7 )3 ( 1 - (5 / 7 )) = 0.1041.

Esto significa que es 10.41 % probable encontrar 3 autobuses en el sistema.

El número promedio de autobuses en la cola es de: Lq = 2 = ( 5 ) 2 = 1.785 2 autobuses en la cola. ( - ) 7 ( 7 - 5 )

El número esperado de autobuses en el sistema (tanto en la cola como cargando combustible) es: Ls = = 5 = 2.5 3 autobuses en el sistema. ( - ) ( 7 - 5 )

El tiempo promedio de espera en la cola es: Wq = = 5 = 0.3571 horas x 60 min. 21.42 minutos de espera en ( - ) 7 ( 7 - 5 ) 1 hora la cola.



El tiempo promedio de estancia en el sistema ( tanto haciendo cola como cargando combustible ) es: Ws = Wq + ( 1 / ) = 0.3571 + ( 1 / 7 ) 0.5 horas x 60 min. 30 minutos de están- 1 hora cia en el sistema

La probabilidad de que en el sistema se encuentren, por ejemplo, más de 3 autobuses ( z > 3 ), es: P ( Ls > 3 ) = ( 3 + 1 ) = ( 5 / 7 ) 4 = 0.2603. Esto es, 26.03 % probable encontrar más de 3 autobuses en el sistema.

La probabilidad de que la espera en la cola sea mayor de, por ejemplo, 45 minutos ( 0.75 horas ), es: P (Wq > g ) = e - g ( 1 - ) = P (Ts > 0.75 ) = ( 5 / 7 ) e - (7 x 0.75 )( 1 - 0.7142 ) = 0.1593.

Esto indica que es 15.93 % probable tener que esperar en la cola más de 45 minutos.

La probabilidad de que la estancia total en el sistema sea de, por ejemplo, más de una hora, es: P (Ws > h ) = e - h ( 1 - ) = P (Ws > 1 ) = e - ( 7 x 1 ) ( 1 - 0.7142 ) = 0.1353.

Esto significa que es 13.53 % probable que un autobús tarde más de una hora en el sistema, desde que llega hasta que sale, una vez que ya cargó combustible. b).- Cada autobús de la línea " VAS QUE CHUTAS, S.A. DE C.V. " hace 6 recorridos diarios Valle de Bravo - Toluca - Valle de Bravo. El recorrido es tal, que obliga a los autobuses a rellenar sus tanques de diesel cada tercer viaje redondo. El costo de operación mensual de un autobús (sueldo de operador, diesel, aceite, mantenimiento refacciones, seguros, etc.) es de $ 20,000.00 aproximadamente, y cada autobús opera 22 días por mes, 18 horas por día. Por lo tanto, el costo diario por esperar a cargar diesel por autobús es de:

2 cargas x 0.5 horas x $ 20,000.00 x 1 mes x 1 día = $ 50.50 por día por día carga mant. mes 22 días 18 horas autobús Los empresarios de todas las líneas de autobuses con sede en Valle de Bravo, que hacen el recorrido mencionado, han solicitado a la Secretaría de Comunicaciones y Transportes un aumento de un 30 % al costo del pasaje, ya que la espera en la única bomba diesel disponible en su recorrido los hace ser menos productivos de lo que podrían



ser. La SCT les ha negado el aumento pedido, debido a que no quiere acelerar el proceso inflacionario, pero ha prometido presionar a las autoridades de Petróleos Mexicanos para que instalen más bombas diesel en ese lugar. ¿ Cuántas bombas diesel deberá instalar Petróleos Mexicanos a fin de abatir los costos de espera de los autobuses y mitigar las demandas de aumentos de precios en los pasajes ? La forma de resolver este problema se verá al estudiar modelos de servidores múltiples. Ejemplo 2:

Suponga que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuando están exactamente a la mitad. En la actualidad, llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4 minutos para atender a un automóvil. Suponga que las llegadas siguen una distribución que se aproxima a la de Poisson, mientras que los servicios siguen una distribución exponencial negativa. a).- Calcule Lq y Ls. b).- Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Suponga también que esta situación hace que los propietarios de automóviles compren gasolina cuando a sus tanques les falta exactamente 1/4 parte. Como cada conductor pone menos gasolina a su tanque en cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3 1/3 minutos. ¿ Cómo afectan las compras de pánico a Lq y Ls?.

a).- DATOS: = 7.5 autos / hora. 1/ = 4 min. / auto = ¼ = 0.25 autos x 60 min. = 15 autos/hora min. 1 hr.


= ( / ) = 7.5 / 15 = 0.5 < 1.


La probabilidad de encontrar la bomba vacía es: P0 ( t ) = 1 - ( / ) = 1 - ( 7.5 / 15 ) = 1 - 0.5 = 0.5.

Es decir: es 50 % probable encontrar el sistema vacío.



El número promedio de autos en la cola es de: Lq = 2 = ( 7.5 ) 2 = 0.5 0 autos en la cola.

( - ) 15 ( 15 – 7.5 )

El número esperado de autos en el sistema (tanto en la cola como cargando

combustible) es: Ls = = 7.5 = 1 auto en el sistema.

( - ) ( 15 – 7.5 )

El tiempo promedio de espera en la cola es:

Wq = = 7.5 = 0.0666 horas x 60 min. 4 minutos de espera en ( - ) 15 ( 15 – 7.5 ) 1 hora la cola.

El tiempo promedio de estancia en el sistema ( tanto haciendo cola como cargando combustible ) es: Ws = Wq + ( 1 / ) = 0.0666 + (1 / 15) 0.1333 horas x 60 min. 8 minutos de están- 1 hora cia en el sistema. b).- DATOS: Dado que los automovilistas ahora cargan cuando solo les falta ¼ de tanque, la tasa de llegadas se duplica: = 2(7.5) = 15 autos / hora. 1/ = 3.33 min. / auto = 1/ 3.33 = 0.3 autos x 60 min. = 18 autos/hora min. 1 hr.


= ( / ) = 15 / 18 = 0.833 < 1.


La probabilidad de encontrar la bomba vacía es:



P0 ( t ) = 1 - ( / ) = 1 - ( 15 / 18 ) = 1 - 0.833 = 0.166.

Es decir: es 16.66 % probable encontrar el sistema vacío. El número promedio de autos en la cola es de:

Lq = 2 = ( 15 ) 2 = 4.16 4 autos en la cola.

( - ) 18 ( 18 – 15 )

El número esperado de autos en el sistema (tanto en la cola como cargando

combustible) es: Ls = = 15 = 5 autos en el sistema.

( - ) ( 18 – 15 )


Wq = = 15 = 0.2777 horas x 60 min. 16.66 minutos de espera en ( - ) 18 ( 18 – 15 ) 1 hora la cola.

El tiempo promedio de estancia en el sistema ( tanto haciendo cola como cargando combustible ) es: Ws = Wq + ( 1 / ) = 0.2777 + (1 / 18) 0.3333 horas x 60 min. 20 minutos de están- 1 hora cia en el sistema.

La situación de escasez hizo que se incrementara significativamente tanto la cantidad de autos en el sistema como los tiempos de espera y de estancia.



2.- UNA COLA - UN SERVIDOR - POBLACIÓN FINITA.

El caso anterior supone una población infinita, pero esto no corresponde a la realidad, ya que por regla toda población es de tamaño finito. Sin embargo, esto en lugar de simplificar el desarrollo de las fórmulas, lo complica. Sea m la población que pudiera requerir un servicio determinado ( 0 < m < ∞ ), y n ( n < m ) elementos de esa población piden ese servicio. Entonces, las formulas para este modelo son: Pn ( t ) = m ! ( / ) n P0 ( t ) ( m - n ) ! P0 ( t ) = 1 m Pn ( t )

Σ P0 ( t ) n = 0

Una vez conocida P0 ( t ), tenemos: Lq = m - + ( 1 - P0 ( t )) Ls = Lq + ( 1 - P0 ( t )) Wq = Lq ( 1 - P0 ( t )) Ws = Wq + ( 1 / )

Ya conocida P0 ( t ), se puede calcular Pn ( t ) de la siguiente forma: P n ( t ) = m ! ( / ) n ( P0 ( t ) ) ( m - n ) ! Ejemplo 1:

Suponga que en la flota de AEROMEXICO existen 4 aviones del tipo Jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones en los últimos años y, en especial, las fallas de las turbinas. Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una variable aleatoria, y que el tiempo promedio que transcurre entre dos fallas consecutivas es de un año. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la turbina es de 45 días ( un octavo de año ).



Solamente se tiene un equipo humano de expertos para dar servicio, y éste se proporciona bajo la política PEPS. a).- Describa cuantitativamente al sistema de espera. Se toma como unidad de tiempo un año; entonces: = 1 avión por año (1 / ) = 1 / 8 de año por avión, entonces = 8 aviones por año. = ( / ) = 1 / 8 = 0.125 < 1. Los cálculos son:

n

m ! . ( m - n ) !

n

Pn ( t ) = m ! n P0 ( t ) ( m - n ) !

0 1 1.0000 1.00000 1 4 0.1250 0.50000 2 12 0.01563 0.18750 3 24 0.00195 0.04688 4 24 0.00024 0.00586 Σ = 1.74024

P0 ( t ) = 1 = 1 = 0.57463. m Pn ( t ) 1.74024

Σ P0 ( t ) n = 0

Este resultado significa que existe un 57.46 % de probabilidad de encontrar cero aviones tipo Jumbo 747 en el sistema.

La probabilidad de que se encuentre, por ejemplo, un avión en mantenimiento y otro en espera es:

P2 ( t ) = m ! ( / ) 2 ( P0 ( t ) ) = 4 ! ( 1 / 8 ) 2 ( 0.57463 ) 0.1077 10.77 % ( m - n ) ! (4 – 2) !

El número promedio de aviones que esperan para recibir servicio es: Lq = m - + ( 1 - P0 ( t )) = 4 - 1 + 8 ( 1 - 0.57463 ) Lq = 0.17 aviones en la cola. 1

El número promedio de aviones en el sistema ( esperando en la cola y recibiendo servicio ) es: Ls = Lq + ( 1 - P0 ( t )) = 0.17 + ( 1 - 0.57463 ) Ls = 0.597 1 avión en el sistema.

El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es: Wq = Lq = 0.17 Wq = 0.05 años x 360 días 18.41 días de ( 1 - P0 ( t )) 8 (1 - 0.57463) 1 año espera en la cola.



El tiempo promedio de estancia en el sistema ( espera más servicio ) es: Ws = Wq + (1 / ) = 0.05 + (1 / 8) Ws = 0.175 años x 360 días 64 días de estancia 1 año en el sistema. b).- ¿ Qué representa este costo ? . Suponga que el costo de una hora de vuelo de un Jumbo 747 es de $ 800 DLS., de $80 DLS. cuando está en tierra sin hacer nada, y de $ 200 DLS. cuando está en mantenimiento. Se supone que estos aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día, y por cada 1,000 horas de vuelo se les proporciona mantenimiento preventivo ( independiente de las composturas de falla de turbina ) que dura, en promedio, 100 horas. Se supone que el sueldo mensual del personal especializado en reparación es de $ 8,000 DLS., y el costo mensual del equipo de re- paración ( luz, depreciación, seguros, etc. ) es de $ 5,000 DLS. Entonces, el costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión, es la suma de los siguientes costos: 1.- Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina ( Ws ). 2.- Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por compostura de turbinas. 3.- Tiempo de reparación de la turbina ( sin incluir refacciones ), es decir, ( 1 / ). Como la unidad de tiempo es el año, se deben convertir todos los datos:

En un año ( 365 días ), el avión vuela: 365 días x 14 hrs. = 5,110 hrs. año día año

Como se debe dar mantenimiento preventivo cada 1,000 horas de vuelo, y cada mantenimiento preventivo dura 100 horas, el número de horas de mantenimiento preventivo por año es:

5,110 hrs. vuelo x 1 mant. prev. x 100 hrs. mant. prev. 500 hrs. mant. prevent. año 1,000 hrs. vuelo mant. prev. por año.

Si en un año hay: 24 hrs. x 365 días = 8,760 hrs. día año año Entonces, el tiempo que el avión está parado en tierra sin hacer nada ( hr. t. s. h. n. ) es:

8,760 - ( 5,110 + 500 ) = 3,150 horas al año.

Por lo tanto, el costo total anual de cada avión es de:

5,110 hrs. vuelo x $ 800 dls. = $ 4’088,000 dlls año hr. Vuelo año

500 hrs. mant. x $ 200 dls. = $ 100,000 dlls año hr. mant. año



3,150 hr. t. s. h. n. x $ 80 dlls. = $ 252,000 dlls. año hr. t. s. h. n. año

COSTO ANUAL POR AVION = $ 4’440,000 dlls. año

Si un avión de este tipo pasa Ws = 0.175 años ( 64 días ) en el sistema de compostura de turbinas, el costo asociado al tiempo muerto cada vez que un avión entra a reparación, es decir, el punto número 1 mencionado anteriormente, es de: $ 4’440,000 dls. x 0.175 años = $ 777,000 dls. año

Si el sueldo mensual de la tripulación es de, por ejemplo, $ 2,660 dls. ( $ 31,920 dls. al año ), el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la compostura de una turbina, es decir, el punto número 2 mencionado anteriormente, es de: $ 31,920 dls. x 0.175 años = $ 5,586 dls. año

Por último, si la nómina mensual del equipo de reparación mas sus costos mensuales suman, por ejemplo, $ 2,167 dls. ( $ 26,000 dls. al año ), el costo del tiempo de reparación del avión, sin incluir refacciones, es decir, el punto número 3 mencionado anteriormente, es de: ( Ws - Wq ) = ( 0.175 - 0.05 ) año x $ 26,000 dls. = $ 3,250 dls. año

Así, el costo total de tener un avión en el sistema de compostura de turbinas es la suma de los tres costos anteriores: $ 777,000 dls. + $ 5,586 dls. + $ 3,250 dls. = $ 785,836 dls.

¿ Conviene aumentar el número de equipos especializados en reparación de turbinas a 2 ó 3 ? . Si es así, ¿ en cuanto disminuiría el costo de la espera por avión en el sistema ?. ¿ A cuanto aumentaría el costo del equipo de reparación ?.

¿ Cuál es un buen punto de equilibrio ?. Los modelos de servidores múltiples pretenden responder este tipo de preguntas. Ejemplo 2: En una peluquería hay un peluquero y un total de 4 asientos (uno para cortar el pelo y 3 más para esperar turno). Los tiempos de llegada siguen una distribución de Poisson, con un promedio de 3 clientes por hora. Los clientes que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente, y el servicio de corte de pelo sigue una distribución exponencial. a).- ¿ Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido inmediatamente al llegar ? b).- Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería desde que entra ?



DATOS:

Se toma como unidad de tiempo la hora; entonces: m = 4 asientos. = 3 clientes por hora. (1 / ) = 12 min./cliente, = 1/12 = .0833 clientes x 60 min. = 5 clientes min. 1 hr. hora = ( / ) = 3 / 5 = 0.6 < 1.


n

m ! . ( m - n ) !

n

Pn ( t ) = m ! n P0 ( t ) ( m - n ) !

0 1 1.0000 1.0000 1 4 0.6000 2.4000 2 12 0.3600 4.3200 3 24 0.2160 5.1840 4 24 0.1296 3.1104 Σ = 16.0144

P0 ( t ) = 1 = 1 = 0.0624. m Pn ( t ) 16.0144

Σ P0 ( t ) n = 0

Este resultado significa que existe un 6.24 % de probabilidad de encontrar cero clientes en la peluquería.

El número promedio de clientes que esperan para cortarse el pelo es: Lq = m - + ( 1 - P0 ( t )) = 4 - 3 + 5 ( 1 - 0.0624 ) Lq = 1.5 2 clientes en espera. 3

El número promedio de clientes en la peluquería (esperando sentados y recibiendo servicio ) es: Ls = Lq + ( 1 - P0 ( t )) = 1.5 + ( 1 - 0.0624 ) Ls = 2.43 3 clientes en la peluquería.

El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es: Wq = Lq = 1.5 Wq = 0.3199 horas x 60 min. 19.19 minutos de ( 1 - P0 ( t )) 5 (1 - 0.0624) 1 hora espera en la cola



El tiempo promedio de estancia en el sistema ( espera más servicio ) es: Ws = Wq + (1 / ) = 0.3199 + (1 / 5) Ws = 0.5199 hrs. x 60 min. 31.2 min. de estancia 1 hora en la peluquería 3.- UNA COLA - SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO - POBLACION INFINITA.

En este modelo se supone un sistema con una sola cola, a la cual pueden llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de s (s > 1) servidores en paralelo. La política de servicio es PEPS (primero en llegar, primero en ser atendido), y el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado. El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es , y se supone que tiene una distribución de Poisson. El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo para cada uno de ellos, y se denota por . Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa. Las expresiones para resolver problemas de líneas de espera que se acoplen a las condiciones de este modelo son las siguientes:

P0 ( t ) = 1 s - 1 n s 1 + 1 s n = 0 n ! s ! s -

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n s n !

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n > s s ! s(n – s)

s

Lq = P0 ( t ) Ls = Lq + Wq = Lq Ws = Wq + 1 ( s – 1) ! s -

Así como en el caso de un servidor se supone que < 1 ( para que no se formen colas de tamaño infinito ), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición s = < 1, es decir, < s. s



Ejemplo 1: Suponga que en el cruce fronterizo de México a Estados Unidos, localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila y Eagle Pass, Texas, existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La línea de tráfico de Estados Unidos a México se ramifica a 5 garitas de inspección aduanal. Suponga que la llegada de automóviles tiene una distribución de Poisson, con = 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa, con = 8 servicios por hora. Si la política de servicio es PEPS: a).- Describa en forma cuantitativa al sistema de garitas aduanales: s = = 15 = 0.375 < 1. Esto significa que la cola no tiende a crecer sin límite. s 5 x 8

Calculando la probabilidad de encontrar el sistema vacío:

P0 ( t ) = 1 = 0.1525. 4 n 5 1 15 + 1 15 ( 5 ) ( 8 ) n = 0 n ! 8 5 ! 8 ( 5 )( 8 ) - 15

Esto significa que es 15.25 % probable encontrar el sistema vacío.

El largo promedio de la cola es: s 5 15 Lq = P0 ( t ) = ( 15 )( 8 ) 8 ( 0.1525 ) Lq = 0.7068 autos en ( s - 1 ) ! ( s - ) ( 5 - 1 ) ! ( ( 5 )( 8 ) - 15 ) la cola.

El número de elementos en el sistema es: Ls = Lq + = 0.7068 + 15 Ls = 2.58 3 autos en el sistema. 8

El tiempo promedio de espera en la cola es: Wq = Lq = 0.7068 Wq = 0.047 hrs. x 60 min. = 2.83 min. de espera 15 1 hr. en la cola.

El tiempo total de estancia en el sistema es: Ws = Wq + 1 = 0.047 + 1 = 0.172 hrs. x 60 min. Ws = 10.32 min. de estancia 8 1 hr en el sistema



Calculando las probabilidades de encontrar diferente número de autos en el sistema:

n

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n s n !

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n s s ! s ( n - s )

0 0.1525 --- 1 0.2859 --- 2 .02680 --- 3 0.1675 --- 4 0.0785 --- 5 0.0294 --- 6 --- 0.0110 7 --- 0.0041 8 --- 0.0015 9 --- 0.0005

10 --- 0.0002

b).- El licenciado A. Ustero, Director General de Egresos de la Secretaría de Aduanas, sospecha que se puede lograr un considerable ahorro económico si en lugar de 5 garitas aduanales funcionan solo 2, sin causar graves problemas al turismo. ¿ Tendrá razón ?

Para resolver este inciso, el número de servidores es de s = 2:

= 15 = 0.9375 < 1. Esto significa que la cola no tiende a crecer sin límite. s ( 2 )( 8 )


P0 ( t ) = 1 = 0.0322. 1 n 2 1 15 + 1 15 ( 2 )( 8 ) n = 0 n ! 8 2 ! 8 ( 2 )( 8 ) - 15

Esto significa que es 3.22 % probable encontrar el sistema vacío.

El largo promedio de la cola es: s 2 15 L = P0 ( t ) = ( 15 ) ( 8 ) 8 ( 0.0322 ) L = 13.608 14 autos en ( s - 1 ) ! ( s - ) ( 2 - 1 ) ! ( (2 )( 8 ) - 15 ) la cola. El número de elementos en el sistema es: W = L + = 13.608 + 15 W = 15.483 16 automóviles en el sistema. 8


Ts = L = 13.608 Ts = 0.9072 hrs. x 60 min. = 54.43 min. de espera en la cola. 15 1 hr.



El tiempo total de estancia en el sistema es:

Tw = Ts + 1 = 0.9072 + 1 Tw = 1.032 hrs. de estancia en el sistema. 8

n

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n s n !

n Pn ( t ) = P0 ( t ) para n s s ! s ( n - s )

0 0.0322 --- 1 0.0603 --- 2 0.0566 --- 3 --- 0.0530 4 --- 0.0497 5 --- 0.0466

Por lo anterior, se observa que el Lic. A. Ustero no tiene razón en su afirmación. Ejemplo 2: Pag. 1145 Ejemplo 7 Inv. de Operac. Wayne L. Winston El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 ¢ de dólar. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. El sueldo de un cajero es de $ 9 dólares por hora. Los tiempos entre llegadas de clientes siguen una distribución de Poisson, y los servicios siguen una distribución exponencial. Para reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de demora, ¿ cuántos cajeros deben trabajar en el banco los viernes ? DATOS: = 2 clientes x 60 min. = 120 clientes min 1 hr. hr. 1/ = 2 min . = 0.5 clientes x 60 min. = 30 clientes cliente min. 1 hr. hr.

s = = 120 < 1 s = 120 = 4 cajeros como mínimo. s s (30) 30 Sin embargo, s debe ser menor que 1, por lo que se necesitan 5 cajeros para lograrlo, es decir, s = = 120 = 0.8 < 1 s 5 (30)


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Note

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P0 ( t ) = 1 = 0.012987012 4 n 5 1 120 + 1 120 ( 5 )( 30 ) n = 0 n ! 30 5 ! 30 ( 5 )( 30 ) - 120

El largo promedio de la cola es: s 5 120 Lq = P0 ( t ) = ( 120 ) ( 30) 30 ( 0.012987012 ) Lq =66.49 66 clientes en ( s - 1 ) ! ( s - ) ( 5 - 1 ) ! ( (5 )( 30 ) - 120 ) la cola. El número de elementos en el sistema es: Ls = Lq + = 66.49 + 120 Ls = 70.49 71 clientes en el sistema. 30


Wq = Lq = 66.49 Wq = 0.5540 hrs. x 60 min. = 33.24 min. de espera en la cola. 120 1 hr.

El tiempo total de estancia en el sistema es:

Ws = Wq + 1 = 0.5540 + 1 Ws = 0.588 hrs. = 35.3 min. de estancia en el sistema. 30

Costo de la espera: (.05) x (33.24) x (66.49) = $ 110.50 Costo de servicio: ($ 9 dolares) x 1 hora x 2 min. x 71 clientes = $ 21.30 hora 60 min. cliente COSTO TOTAL = $ 131.80 El cálculo para 6, 7, 8, 9 y 10 servidores se muestra en la siguiente tabla:

No. cajeros 5 6 7 8 9 10 Po(t) 1.298% 1.66% 1.78% 1.81% 1.83% 1.8% L 66 34 17 7 3 1 W 71 39 21 11 7 5 Ts 33.24 17.1 8.1 3.54 1.42 0.5 Tw 35.5 19.1 10.1 5.64 3.42 2.52 COSTO $ 131.50 $ 40.94 $ 12.86 $ 3.37 $ 2.30 $ 1.52

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4.- UNA COLA - SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO - POBLACION FINITA. Para s servidores, y una población finita de m elementos, se tienen las siguientes fórmulas: n Pn ( t ) = m ! para 0 n s. P0 ( t ) n ! ( m - n ) ! n Pn ( t ) = m ! para s < n m. P0 ( t ) ( m - n ) ! s ! s( n - s ) m m

P0 ( t ) = 1 Lq = Σ ( n - s ) Pn ( t ) Ls = Σ n Pn ( t ) m n = (s + 1) n = 0

Σ Pn ( t ) n = 0 Po ( t ) Wq = Ls . Ws = Wq + ( 1 / ) ( Ls - Lq ) El número de unidades de la población que no requieren de servicio está dada por: Cs = ( m - Ls ) El número esperado de estaciones de servicio que se utilizan está dado por: NE = Ls - Lq La utilización esperada de cada servidor s, dada en porcentaje de tiempo, está dada por: s = ( Ls - Lq ) . s Todas las fórmulas proporcionadas se derivan bajo los supuestos de que < 1, s la política de servicio es PEPS, las llegadas tienen una distribución de Poisson y los servicios tienen una distribución exponencial negativa. Ejemplo 1:

Suponga que el equipo de mantenimiento de cierta compañía aérea cuenta con dos grupos especializados de técnicos con su respectivo material. La llegada de aviones al taller de mantenimiento es una variable aleatoria con distribución de Poisson, que tiene un valor medio de 5 aviones por mes. El tiempo promedio de servicio es una variable



aleatoria con distribución exponencial negativa, con un valor medio de 30 horas. La flota de la compañía es de 8 aviones. Suponga que los mecánicos trabajan 6 días a la semana, 10 horas por día, 26 días hábiles por mes y que la unidad de tiempo es la hora. Encuentre los parámetros cuantitativos del sistema, si la política de servicio es PEPS.

Convirtiendo todos los parámetros a unidades por hora, tenemos:

= 5 aviones x 1 mes x 1 día = 0.01923 aviones . mes 26 dias 10 hrs. hr.

1 = 30 hrs. = 1 = 0.03333 aviones . avión 30 hrs. / avión hr.

Calculando el factor de utilización del sistema: = = 0.01923 = 0.2884 < 1 . s ( 2 ) ( 0.033) Esto indica que por lo pronto, con el número de servidores que se tiene no se formarán colas de tamaño infinito, ya que existe capacidad de atención. Por lo anterior, se procede a realizar los cálculos: n n ! ( 8 - n ) ! 8 !

n ! ( 8 - n ) ! n

2 ( n - 2 ) 8 ( 8 - n ) ! 2 ! 2 ( n - 2 )

Pn ( t ) P0 ( t )

0 1 40,320 1 1 --- --- 1.0000 1 1 5,040 8 0.576923 --- --- 4.6156 2 2 720 28 0.332840 --- --- 9.3206 3 6 120 --- 0.192023 2 84 16.1327 4 24 24 --- 0.110782 4 210 23.2698 5 120 6 --- 0.063913 8 420 26.8514 6 720 2 --- 0.036872 16 630 23.2218 7 5,040 1 --- 0.021272 32 630 13.4070 8 40,320 1 --- 0.012272 64 315 3.8675 8

Pn ( t ) = n = 0 P0 ( t )

121.6864

P0 ( t ) = 1 P0 ( t ) = 0.0082. Esto significa que es 0.82 % 0 % probable 121.6864 encontrar el sistema vacío. Calculando las probabilidades de encontrar diferente número de aviones en el sistema:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Pn ( t ) 0.0082 0.0379 0.0765 0.1325 0.1912 0.2206 0.1908 0.1101 0.0310

El largo de la cola es: 8



Lq = ( n - s ) Pn ( t ) = ( 1 ) ( 0.1325 ) + ( 2 ) ( 0.1912 ) + ( 3 ) ( 0.2206) + n = 3 ( 4 ) ( 0.1908 ) + ( 5) ( 0.1101 ) + ( 6 ) ( 0.0310 ) Lq = 2.6764 3 aviones esperando en la cola para recibir servicio. El número de aviones en el sistema es: 8 Ls = n Pn ( t ) = ( 0 ) ( 0.0082 ) + ( 1 ) ( 0.0379 ) + ( 2 ) ( 0.0765 ) + ( 3 ) ( 0.1325 ) + n = 0 ( 4 ) ( 0.1912 ) + ( 5 ) ( 0.2206 ) + ( 6 ) ( 0.1908 ) + ( 7 ) ( 0.1101 ) + ( 8 ) ( 0.0310 )

Ls = 4.6197 5 aviones en el sistema de mantenimiento. El número de aviones que no requieren mantenimiento es: Cs = ( m - Ls ) = 8 - 4.6197 = 3.38 3 aviones están en servicio. El número esperado de grupos de mantenimiento que se encuentran ocupados es: NE = ( Ls - Lq ) = 4.6197 - 2.6764 = 1.9433 2 grupos de mantenimiento ocupados. El tiempo de espera para que se le proporcione mantenimiento a un avión es: Wq = Ls = 4.6197 Wq = 71.39 horas (7 días hábiles) de espera ( Ls - Lq ) (0.0333) (1.9433) en la cola para recibir servicio. El tiempo total de estancia en el sistema es: Ws = Wq + ( 1 / ) = 71.39 + 1 Wq = 101.39 horas (10 días hábiles) de estancia 0.0333 en el taller de reparación. La utilización esperada de cualquiera de los dos grupos de mantenimiento es: s = ( Ls - Lq ) = 1.9433 = 0.9717. Esto significa que cada grupo pasa el 97.17 % de s 2 su tiempo trabajando. En base a los cálculos anteriores, se observa que esta compañía va directo a la quiebra, ya que de los 8 aviones con que cuenta, solo 3 aviones se encuentran prestando servicio, mientras que 5 de ellos están en mantenimiento. ¿ Cuál será entonces el número óptimo de grupos de mecánicos con que se debe contar, para disminuir el tiempo que cada avión está en el sistema de mantenimiento ?



Calculando los parámetros para tres y cuatro grupos de mecánicos, tenemos:

PARAMETRO No. DE GRUPOS DE MECANICOS

s = 3 s = 4 P0 ( t ) 1.78 % 1.75 %

Lq 1 0 Ls 4 4 Wq 40 hrs. 40 hrs. Ws 70 hrs. 70 hrs. Cs 4 aviones 4 aviones NE 3 equipos 4 equipos s 86.98 % 67.06 %

En base a los cálculos anteriores, se observa que 3 es el número óptimo de grupos de mantenimiento que deben atender a los aviones de ésta compañía, ya que el tiempo de espera para recibir servicio, así como el tiempo de estancia total dentro del sistema de mantenimiento, es razonable.

Ejemplo 2: Los clientes que llegan a cierto minisuper toman un carrito. Si no hay carritos disponibles, no entran. Suponga que la llegada de clientes sigue una distribución de Poisson, con una media de 15 clientes por hora. El tiempo promedio de atención al cliente sigue una distribución exponencial, con una media de 7.5 minutos por cliente, en la caja de cobro. Suponga que actualmente el minisuper cuenta con 10 carritos. Si la política de servicio es PEPS, calcular: a).- La probabilidad de que un cliente no entre al minisuper. b).- El tiempo promedio que un cliente pasa en el minisuper. c).- El número promedio de carritos desocupados. DATOS: = 15 clientes hora 1/µ = 7.5 min. µ = 0.1333 clientes x 60 min. = 8 clientes Cliente min. 1 hora hora = = 15 = 1.875 > 1 es necesario agregar más cajas de cobro. µ 8 Calculando para s = 2 cajas de cobro:



= = 15 = 0.9375 < 1 el modelo adecuado es una cola, serv. múltiples sµ (2)(8) en paralelo, población finita (sólo hay 10 carritos) Con s = 2 cajas de cobro, se procede a realizar los cálculos: n n ! ( 10 - n ) ! 10 !

n ! ( 10 - n ) ! n 2 ( n - 2 ) 10 !

( 10 - n ) ! 2 ! 2 ( n - 2 ) Pn ( t ) P0 ( t )

0 1 3’628,800 1 1 --- --- 1 1 1 362,880 10 1.875 --- --- 18.75 2 2 40,320 45 3.5156 --- --- 158.202 3 6 5,040 --- 6.5917 2 180 1,186.506 4 24 720 --- 12.3596 4 630 7,786.548 5 120 120 --- 23.1742 8 1,890 43,799.238 6 720 24 --- 43.4551 16 4,725 205,325.3475 7 5,040 6 --- 81.4720 32 9,450 769,910.4 8 40,320 2 --- 152.7601 64 14,175 2’165,374.418 9 362,880 1 --- 286.4253 128 14,175 4’060,078.628 10 3’628,800 1 --- 537.0477 256 7,087.5 3’806,324.156 10

Pn ( t ) = n = 0 P0 ( t )

11’059,962.89

P0 ( t ) = 1 P0 ( t ) = 0.00000009. Esto significa que es 0% probable 11’059,962.89 encontrar el sistema vacío. Calculando las probabilidades de encontrar diferente número de clientes en el minisuper:

n Pn (t) 0 0.00000009 1 0.000001695 2 0.0000142 3 0.0001072 4 0.0007040 5 0.003955 6 0.01856 7 0.0696 8 0.195785 9 0.367097

10 0.344153

El largo de la cola es: 10 Lq = ( n - s ) Pn ( t ) = ( 1 ) (0.0001072) + ( 2 ) (0.0007040) + ( 3 ) (0.003955) + n = 3 ( 4 ) (0.01856) + ( 5) (0.0696) + ( 6 ) (0.195785) + ( 7) (0.367097) + ( 8 ) (0.344153)

Lq = 6.9332 7 clientes esperando en la cola para recibir servicio.



El número de aviones en el sistema es: 10 Ls = n Pn ( t ) = ( 0 ) (0.00000009) + ( 1 ) (0.000001695) + ( 2 ) (0.0000142) + n = 0 ( 3 ) (0.0001072) + ( 4 ) (0.0007040) + ( 5 ) (0.003955) + ( 6 ) (0.01856) + ( 7 ) (0.0696) + ( 8 ) (0.195785) + ( 9) (0.367097) + ( 10 ) (0.344153)

Ls = 8.9331 9 clientes en el minisuper. El tiempo de espera para que se le proporcione mantenimiento a un avión es: Wq = Ls = 8.9331 Wq = 0.5583 horas x 60 min. = 33.49 min. de ( W - L ) (8) (8.9331-6.9332) 1 hr. .espera en cola

El tiempo total de estancia en el sistema es: Ws = Wq + ( 1 / ) = 0.5583 + 1 Ws = 0.6833 x 60 min. = 40.99 min. de estancia 8 1 hr. en el minisuper.

a) La probabilidad de que un cliente no entre es igual a P10(t) = 34.41% b) El tiempo promedio que un cliente pasa en el minisuper es de 41 min. c) El número promedio de carritos desocupados es de m – W = 10 – 9 = 1 carrito.

5.- UNA COLA - SERVIDORES MULTIPLES EN SERIE - POBLACION FINITA O INFINITA. Este tipo de líneas de espera es característico del sector productivo, donde las líneas de ensamble requieren de conjuntos de actividades que se desarrollan en serie. En estos procesos, la salida de cada etapa es insumo de la etapa en serie que le sigue. Se supone que la llegada al sistema con s servidores en serie es una variable aleatoria con distribución de Poisson, con un valor medio . El tiempo de servicio en la etapa o estación i (i = 1, 2, 3, ....., k ), es una variable aleatoria independiente, distribuida exponencialmente con media i . La probabilidad conjunta de que existan z1 clientes esperando para recibir servicio en la estación 1, z2 clientes esperando en la estación 2 y zk esperando en la estación k, está dada por: P ( Lq1 = z1 , Lq2 = z2 , ......., Lqk = zk ) = ( 1 - 1 ) (1 ) z1 (1 - 2 ) (2 ) z2 ........... (1 - k ) (k ) zk donde: i = < 1 , i = 1, 2, 3, ......, k. i

El número esperado de clientes en el sistema ( W ) está dado por: k Ls = Ls1 + Ls2 + Ls3 + .......... + Lsk = i i = 1 ( 1 - i )



Si la disciplina del servicio es PEPS, entonces el tiempo de espera de un cliente en la cola, a lo largo de todo el sistema, es: k Wq = Wq1 + Wq2 + Wq3 +.........+ Wqk = I 1 i = 1 ( 1 - i ) i El tiempo total de estancia en todo el sistema ( incluyendo los tiempos de servicio de las k estaciones ) es: k Ws = Ws1 + Ws2 + Ws3 + ......... + Wsk = 1 1 i = 1 ( 1 - i ) i Ejemplo 1: La unidad móvil de servicios de salud visita comunidades rurales de 2,500 habitantes o menos, que no cuentan con clínicas o dispensarios médicos, siempre y cuando existan caminos de acceso. Al llegar la unidad a la población, se presta un servicio preventivo de salud, que consiste en: a).- Recabación de datos personales. d).- Muestra de sangre. b).- Rayos X. e).- Muestra de orina c).- Toma de presión arterial. f).- Revisión médica general. La unidad móvil cuenta con un especialista para cada una de las actividades mencionadas, y todas ellas se llevan a cabo en serie, en el orden descrito. Se reciben en promedio 10 pacientes por hora, y el tiempo promedio de servicio de cada estación es: ACTIVIDAD DATOS

PERSONALES RAYOS

X PRESION ARTERIAL

MUESTRA DE

SANGRE

MUESTRA DE ORINA

REVISION MEDICA

TPO. PROM. SERV (MIN.)

3

2

1

2

1

5

Para el parámetro i , es decir, el número de servicios por hora que cada estación

puede prestar, se tiene:

i DATOS PERSONALES

RAYOS X

PRESION ARTERIAL

MUESTRA DE SANGRE

MUESTRA DE ORINA

REVISION MEDICA

i 60 = 20 3

60 = 30 2

60 = 60 1

60 = 30 2

60 = 60 1

60 = 12 5

i = i

10 = 0.5 20 < 1

10 = 0.33 30 < 1

10 = 0.17 60 < 1

10 = 0.33 30 < 1

10 = 0.17 60 < 1

10 = 0.83 12 < 1



De esta forma, la probabilidad conjunta de que al entrar una persona a la unidad móvil existan, por ejemplo, dos personas esperando a ser documentadas, una a ser sometida a rayos X, una a que le tomen la presión arterial, nadie en la revisión sanguínea, una esperando análisis de orina y dos en revisión médica general, es: P ( Lq1 = 2 , Lq2 = 1 , Lq3 = 1,Lq4 = 0, L5 = 1, L6 = 2) = (1 - 0.5) (0.5) 2 ( - 0.33) (0.33)1(1 - 0.17) ( 0.17 )1 (1 - 0.33)(0.33)0(1- 0.17) (0.17)1 (1 - 0.83) (0.83) 2 = P ( Lq1 = 2 , Lq2 = 1 , Lq3 = 1, Lq4 = 0, Lq5 = 1, Lq6 = 2) = 0.00000076 0 %. Esto significa que es prácticamente imposible que suceda esta situación. El número promedio de clientes a lo largo de todo el sistema es: 6 Ls = i = 0.5 + 0.33 + 0.17 + 0.33 + 0.17 + 0.83 = i = 1 ( 1 - i ) (1 - 0.5) (1 - 0.33) (1 - 0.17 ) (1 - 0.33) (1 - 0.17 ) (1 - 0.83)

Ls = 7.28 personas a lo largo de todo el sistema. El tiempo promedio de espera de un cliente en las colas a lo largo de todo el sistema es: 6 Wq = i 1 = 0.5 1 + 0.33 1 + 0.17 1 + i = 1 (1 - i ) i (1- 0.5) 20 (1 - 0.33) 30 (1 - 0.17 ) 60

0.33 1 + 0.17 1 + 0.83 1 (1- 0.33) 30 (1 - 0.17) 60 (1 - 0.83 ) 12

Wq = 0.49 hrs. 29 minutos de espera en las colas del sistema.

El tiempo de estancia de un cliente dentro del sistema es:

6 Ws = 1 1 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + i = 1 (1 - i ) i (1- 0.5) 20 (1 - 0.33) 30 (1 - 0.17 ) 60

1 1 + 1 1 + 1 1 = (1- 0.33) 30 (1 - 0.17) 60 (1 - 0.83) 12 Ws = 0.625 hrs. 38 minutos de estancia en el sistema.

Unidad 2 Teoria de Lineas de Espera(1)

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