UNIDAD 4 ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA.

4.1 Definicin de anlisis dimensional, modelos hidrulicos.

El anlisis dimensional es las matemticas de las dimensiones y las cantidades, y suministra tcnicas de procedimiento por medio de las que las variables que se supone son significativas en un problema pueden conformarse en parmetros adimensionales, y el nmero de stos es menor que el nmero de variables. sta es una ventaja, porque as, es posible realizar menor nmero de experimentos, aunque de carcter altamente selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr as importantes ahorros de tiempo y dinero. Aun cuando no se supone que el usuario tenga conocimiento alguno de las ecuaciones fsicas fundamentales, entre ms conocimientos tenga, mejores sern los resultados. Si se omiten alguna o algunas variables significativas, la relacin que se obtenga a partir del anlisis dimensional no ser aplicable al problema fsico. Por otra parte, la inclusin de todas las variables posibles har que se pierda la ventaja principal del anlisis dimensional, es decir, la reduccin de la cantidad de datos experimentales requeridos para establecer relaciones. Se aplican dos mtodos formales de anlisis dimensional: el mtodo de Lord Rayleigh y el teorema de Buckingham. Las dimensiones usadas en mecnica son la masa M, la longitud L, el tiempo T y la fuerza F. Las unidades correspondientes en el SI kilogramo (kg), metro (m), segundo (s), y newton (N). En mecnica puede definirse cualquier sistema por medio de tres dimensiones fundamentales. Se utilizan dos sistemas: el de fuerza (FLT) y el de masa (MLT). En el sistema de fuerza la masa es una cantidad derivada, y en el sistema de masa la fuerza es una cantidad derivada. Nota: en este curso de mecnica de fluidos nosotros utilizamos el sistema de masa (MLT).

TABLAS DE DIMENSIONES DE VARIABLES COMUNES EN MECNICA DE FLUIDOS

4.4 El teorema PI de Buckingham. Nos sirve para deducir ecuaciones que expresen una variable en trminos de sus variables independientes. Se prefiere el teorema , si el nmero de variables es mayor que cuatro. La aplicacin del teorema conduce a la formacin de parmetros adimensionales llamados razones o relaciones . El teorema de Buckingham demuestra que, en un problema fsico que incluye n cantidades en las que hay m dimensiones, las cantidades se pueden ordenar en n-m parmetros adimensionales independientes. Sean A1, A2, A3,, An las cantidades implicadas, tales como la presin, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales a la solucin, por lo que debe existir alguna relacin funcin.

(1, 2, 3, , 3 ) = 0

Si 1, 2, , representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A1, A2, A3, , entonces con m dimensiones implicadas, existe una ecuacin de la forma

(1, 2, 3, , , ) = 0 El mtodo para determinar los parmetros consiste en seleccionar m de las cantidades A, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones y usarlas como variables repetitivas (Es esencial que ninguna de las m cantidades seleccionadas usadas como variables repetitivas se puedan obtener a partir de las dems variables repetitivas) junto con una de las otras A cantidades para cada . Por ejemplo, sea que A1, A2, A3 contengan M, L y T, no necesariamente en cada una, sino en forma colectiva. Entonces el primer parmetro est compuesto como

1 = 11 2

131 4

el segundo como

2 = 12 2

232 4

y as hasta

= 1 2

3

En estas ecuaciones se determinarn los exponentes para que cada sea adimensional. Las dimensiones de las cantidades A se sustituyen y los exponentes de M, L y T se fijan iguales a cero respectivamente. stos producen tres ecuaciones con tres incgnitas para cada parmetro , con lo que se pueden determinar los exponentes x, y, z y de aqu el parmetro . Si slo estn implicadas dos dimensiones, dos de las cantidades A se escogen como variables repetitivas y se obtienen dos ecuaciones con los dos exponentes incgnitos para cada trmino de .

Se ilustra el teorema de Buckingham con el siguiente ejemplo visto en clase.

La descarga por un tubo capilar horizontal se piensa que depende de la cada de presin por unidad de longitud, el dimetro y la viscosidad. Encuntrese la forma de la ecuacin. Solucin: las cantidades son listadas con sus dimensiones:

Cantidad Smbolo Dimensiones

Descarga Q L3T-1 Cada de presin por unidad

de longitud

p/l ML-2T-2

Dimetro D L

viscosidad ML-1T-1

Entonces

(,

, , ) = 0

Se usan tres dimensiones, y con cuatro cantidades habr un parmetro :

= 1 , (

)

1

, 1 ,

Sustituyendo en las dimensiones da

= (31)1 , (22)1 , 1 , 11 = 000 Los exponentes de cada dimensin deben ser iguales en ambos lados de la ecuacin. Con L primero

31 21 + 1 = 0 E igualmente para M y T

1 + 1 = 0

1 21 1 = 0

De la cual 1 = 1, 1 = 1 y 1 = 4 y

=

4

Despus de resolver para Q,

= C

4

De la cual el anlisis dimensional no produce informacin sobre el valor numrico de la constante adimensional C; la experimentacin (o el anlisis) muestra que es /128. Cuando se usa el anlisis dimensional, deben conocerse las variables en un problema. Se puede considerar este resumen de pasos para aplicar el teorema de Buckingham.

Resumen conciso de seis pasos para el mtodo de repeticin de variables

Paso 1 Haga una lista con los parmetros del problema y cuente su nmero total n.

Paso 2 Haga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parmetros.

Paso 3 Establezca la reduccin m como el nmero de dimensiones primarias. Calcule = n-m , el nmero de parmetros .

Paso 4 Elija los m parmetros repetitivos.

Paso 5 Construya los parmetros y manipule segn sea necesario.

Paso 6 Escriba la relacin funcional final y verifique su algebra.